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Arcs parametres du plan Sommaire

Arcs parametres du plan

Sommaire

I Arcs parametres du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.1 Representations parametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2 Tangente en un point d’un arc parametre . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.3 Allure d’un arc au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.5 Etude globale des arcs parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.6 Intersection d’un arc parametre avec une droite . . . . . . . . . . . . . 15

II Courbes planes en coordonnees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . 16II.1 Coordonnees polaires d’un point du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II.2 Etude locale d’une courbe en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.3 Etude globale d’une courbe en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II.4 Droites et cercles en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II.5 Coniques ayant un foyer au pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

III Proprietes metriques des arcs du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III.1 Rectification d’un arc du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III.2 Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.3 Formules de Frenet dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28III.4 Calcul du rayon et du centre de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Jean-Michel Ferrard www.mathprepa.com

Arcs parametres du plan Partie I : Arcs parametres du plan

I Arcs parametres du plan

I.1 Representations parametriques

Definition

On appelle arc parametre du plan toute application f : I → R2, ou I est un intervalle deR d’interieur non vide. On note souvent M(t) plutot que f(t) : on dit alors que M(t) est lepoint de parametre t de l’arc (I, f).

L’ensemble f(I) = M(t), t ∈ I est appele support de l’arc parametre (I, f).

Remarques– On ne confondra pas un arc parametre (qui est une application) avec son support (qui est

l’ensemble image de cette application.)

Par exemple, les arcs parametres definis sur R parM(t) = (cos t, sin t) etN(t) = (cos 2t, sin 2t)sont distincts, mais dans les deux cas le support est le cercle de centre 0 et de rayon 1.

– Notons (x(t), y(t)) les coordonnees de M(t) dans le repere canonique (O, e1, e2) de R2.

Se donner l’arc (I, f), c’est se donner les applications t 7→ x(t) et t 7→ y(t).

On dit que (I, f) est de classe Cn si les applications t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sont de classe Cn.

On notera alors, pour tout indice k de 0, . . . , n, et tout t de I : f (k)(t) = (x(k)(t), y(t)(t)).

On notera egalement souvent M ′(t), M ′′(t), etc... les vecteurs derives successifs en t.

Dans la suite, on considerera toujours des arcs de classe Ck, avec k “suffisamment” grand.

– Interpretation cinematique :

On considere souvent que la variable t designe le temps. M(t) = (x(t), y(t)) designe alors laposition d’un point mobile a l’instant t. On dit que le support de l’arc est la trajectoire de cepoint. Les vecteurs f ′(t) = (x′(t), y′(t)) et f ′′(t) = (x′′(t), y′′(t)) sont appeles respectivementvecteur vitesse et vecteur acceleration au point M(t).

– Si f : I → R est une application, la courbe y = f(x) est le support de l’arc t 7→ (t, f(t)).

Definition

On considere deux arcs parametres (I, f) et (J, g), tous les deux de classe Ck.

On dit que (I, f) et (J, g) sont deux parametrages du meme arc s’il existe une bijection ϕde J sur I, de classe Ck ainsi que ϕ−1, et telle que g = f ϕ.

On voit ici deux arcs parametres (I, f) et (J, g) dans la situation evoquee par la definition.

Ils ont bien sur le meme support Γ (mais attention : le fait pour deux arcs d’avoir le memesupport ne suffit pas pour qu’ils soient deux parametrages du meme arc.)

Sur le support Γ de ces deux arcs, on a represente un point M , de parametre u pour (J, g) etde parametre t = ϕ(u) pour la representation parametrique (I, f).



Exemples

Considerons l’arc (]− π, π[, g), de classe C∞,

defini par : ∀u ∈]− π, π[, g(u) = (cos u, sinu).

Le support est le cercle unite, prive de (−1, 0).

Considerons l’arc (R, f), de classe C∞, defini par

∀ t ∈ R, f(t) =(1− t2

1 + t2,

2t

1 + t2

).

Pour tout u de ]− π, π[, posons t = ϕ(u) = tan u2 .

ϕ est bijective, de classe C∞, ainsi que son inverse.

On a l’egalite : ∀u ∈]− π, π[, g(u) = f(ϕ(u)).

Ainsi (]−π, π[, g) et (R, f) sont des representationsd’un meme arc parametre.

On a represente ici un pointM du support de l’arc.

Le point M est a la fois :

– Le point de parametre u, pour l’arc (]−π, π[, g).

– Le point de parametre t, pour l’arc (R, f).

Considerons maintenant les arcs (I, f) et (I, g), avec I = [0, 2π[ et

f(t) = (cos t, sin t)

g(t) = (cos 2t, sin 2t)Ces deux arcs ont le meme support (le cercle unite.)

Pourtant, ce ne sont pas deux representations du meme arc.

En effet le seul antecedent de (1, 0) par f est t = 0. En revanche (1, 0) = g(0) = g(π).

Il n’existe donc pas de bijection ϕ telle que g = f ϕ (car une telle application ϕ verifieraitnecessairement ϕ(0) = ϕ(π) = 0.)

Definition (Points multiples)

Soit M un point du support de l’arc parametre (I, f).

On dit que M est un point multiple de cet arc s’il existe au moins deux reels t0, t1 distinctsde I tels que M = M(t0) = M(t1). Sinon on dit que M est un point simple de l’arc.

Dans le cas ou il existe exactement deux tels reels t0, t1, on dit que M est un point double.

Exemple

– On considere l’arc parametre defini sur R \ −1, 1 par x(t) =t

t2 − 1et y(t) =

t2

t− 1.

On va montrer que cet arc presente un point double.

On doit donc trouver deux reels t0 et t1 distincts tels que M(t0) = M(t1).

– M(t0) = M(t1) ⇔x(t0) = x(t1)

y(t0) = y(t1)⇔t0(t

21 − 1) = t1(t

20 − 1)

t20(t1 − 1) = t21(t0 − 1)⇔

(t1 − t0)(t0t1 + 1) = 0

(t1 − t0)(t0 + t1 − t0t1) = 0

Or t0 6= t1, donc

t0 + t1 = −1

t0t1 = −1. Les reels t0, t1 sont donc les racines de t2 + t− 1 = 0.

Ainsi t = −1±√

52 . Pour ces deux valeurs de t, on a x(t) = t

t2−1 = −1 et y(t) = t2

t−1 = −1.

On constate donc que M = (−1,−1) est point double, pour t0 = −1−√

52 et t1 = −1+

√5

2 .



RemarqueDans ce qui suit, on considerera toujours qu’un point M(t) d’un arc (I, f) est simple, aubesoin en se restreignant a un sous-intervalle de I sur lequel l’application f est injective.

Il n’y a alors pas d’ambiguite a parler des proprietes du point M(t) de l’arc quand cesproprietes sont en fait celles de l’application f en t. C’est le cas dans la definition suivante.

Definition (points reguliers, points stationnaires)

Soit (I, f) un arc parametre de classe Ck, avec k ≥ 1.

On dit qu’un point M(t) de l’arc est regulier si f ′(t) 6= −→0 .

On dit que M(t) est singulier, ou stationnaire, si f ′(t) =−→0 .

On dit que le point M(t) est biregulier si les vecteurs f ′(t), f ′′(t) sont libres.

On dit que l’arc (I, f) est regulier (biregulier) si tous ses points sont reguliers (bireguliers).

Remarques

– Interpretation cinematique :

Un point stationnaire est un point dont le vecteur vitesse est nul.

Un arc est regulier si tous ses points ont un vecteur vitesse non nulle.

– On suppose que (J, g) et (I, f) sont deux parametrages du meme arc.

Soit ϕ : J → I le changement de parametre, tel que f = g ϕ.

Soit M un point du support de ces deux arcs, de parametre u sur (J, g) et t = ϕ(u) sur (I, f).Ce point est regulier (biregulier) sur l’un des deux arcs si et seulement s’il l’est sur l’autre.

Autrement dit, la notion de point regulier (biregulier) est independante de la representationparametrique de l’arc considere.

I.2 Tangente en un point d’un arc parametre

Definition (definition de la tangente en un point)

Soit (I, f) un arc parametre, et soit M(t0) le point de parametre t0.

On suppose qu’au voisinage de t0, on a M(t) 6= M(t0).

Soit Dt la droite passant par les points M(t0) et M(t).

On suppose que Dt possede une position limite ∆ quand t tend vers t0.

On dit alors que la droite ∆ est la tangente au point de parametre t0 de l’arc (I, f).

Remarques

– On verra plus loin que la tangente en M(t) est dirigee en general par le vecteur f ′(t).

Dans certains cas, il peut etre utile de revenir a la definition precedente.

On considere alors le coefficient directeur δt =y(t)− y(t0)

x(t)− x(t0)de la corde (M(t0),M(t)).

Si limt→t0

δt = a ∈ R∗, on trouve une tangente oblique d’equation Y = a(X − x(t0)) + y(t0).

Le signe de y(t)−a(x(t)−x(t0))−y(t0) donne alors la position par rapport a cette tangente.

Si limt→t0

δt = 0, on trouve une tangente horizontale Y = y(t0).

Si limt→t0

δt = ∞, on trouve une tangente verticale X = x(t0).



– L’allure de la courbe au voisinage d’une (demi-)tangente verticale ne pose en general pas deprobleme : elle se deduit facilement des variations de t 7→ x(t) et de y 7→ y(t).

Dans cet exemple on suppose que

limt→t0

x(t) = a et limt→t0

y(t) = b.

On suppose d’autre part que :

limt→t0

y(t)− b

x(t)− a= ∞.

(arc oriente selon les t croissants.)

– Il se peut que la limite du taux d’accroissement δt ne puisse etre calculee quand t tend verst0 que si t > t0 ou si t < t0. Il se peut aussi que les limites en t0 a droite ou a gauche soientdistinctes. On parlera alors de demi-tangentes en M(t0). Il arrive egalement qu’on etudieune eventuelle demi-tangente en un point-limite, obtenu quand t → ±∞. Dans ce cas, unprolongement du support de l’arc est necessaire pour servir d’origine a cette demi-tangente.

Exemple

Considerons l’arc parametre defini par x(t) =t2 − t

t2 + 1et y(t) =

t2

t2 − t.

On constate que limt→±∞

x(t) = 1 et limt→±∞

y(t) = 1. Le point M(1, 1) est donc un point-limite.

On prolonge le support de l’arc en considerant que ce point est “atteint a l’infini”.

Quand t→∞ : x(t)−1 =−t− 1

t2 + 1∼ −1

tet y(t)−1 =

t

t2 − t∼ 1

t. Donc lim

t→±∞

y(t)− 1

x(t)− 1= −1.

La droite Y = −(X − 1) + 1 = 2−X est donc tangente au point M(1, 1).

On constate que y(t) + x(t)− 2 =2

(t− 1)(t2 + 1)∼ 2

t3quand t→ ±∞.

Autrement dit :

y(t) > 2− x(t) quand t→ +∞ :

La courbe est alors au-dessus de sa tangente.

y(t) < 2− x(t) quand t→ −∞.

La courbe est alors en-dessous de sa tangente.

Au point-limite M(1, 1), la droite y = 2− x est doncune tangente d’inflexion.

Voici l’allure de la courbe au voisinage du point M(1, 1).

Proposition (tangente en un point regulier)

Avec les notations precedentes, on suppose que le point M(t0) est regulier (f ′(t0) 6=−→0 .)

Alors la tangente ∆ en M(t0) existe, et elle est dirigee par le vecteur f ′(t0).

Proposition (tangente en un point singulier)

Avec les notations precedentes, on suppose que le point M(t0) est singulier (f ′(t0) =−→0 .)

On suppose cependant qu’il existe un plus petit entier k ≥ 2 tel que f (k)(t0) 6= 0.

Alors la tangente ∆ en M(t0) existe, et elle est dirigee par le vecteur f (k)(t0).



Remarques

– La tangente en un point M(t0) de l’arc parametre (I, f) est donc toujours dirigee par lepremier vecteur derive non nul en t0.

– On suppose que x′(t0) 6= 0 et y′(t0) = 0. Alors la tangente en M(t0) est horizontale.

Si x′(t0) = 0 et y′(t0) 6= 0, la tangente en M(t0) est verticale.

On a represente ci-dessous ce que pourrait etre l’allure du support de l’arc au voisinage d’unpoint en lequel la tangente est verticale (la portion de l’arc est orientee dans le sens des tcroissants.)

– Le plus souvent, en un point stationnaire, on a f ′(t0) =−→0 et f ′′(t0) 6=

−→0 .

Dans ce cas, la tangente est dirigee par le vecteur acceleration f ′′(t0).

– Soit M(t) = (x(t), y(t)) un point de l’arc (I, f), avec x′(t) 6= 0 (tangente non verticale).

En ce point, m(t) =y′(t)

x′(t)represente le coefficient directeur de la tangente.

– Si (I, f) et (J, g) sont deux parametrages admissibles d’un meme arc, on verifie que l’exis-tence de la tangente en un point M de l’arc, ainsi que la position de cette tangente, sontindependantes du parametrage utilise.

Exemple

On a vu que l’arc x(t) =t

t2 − 1et y(t) =

t2

t− 1presente le point double (−1,−1).

Ce point double est obtenu pour t0 = −1−√

52 et t1 = −1+

√5

2 (solutions de t2 + t− 1 = 0.)

En ce point, il y a deux tangentes de coefficient directeur m(t) =y′(t)

x′(t)=t(2− t)(t+ 1)2

t2 + 1.

Pour chacune des valeurs t0 et t1, on peut simplifier m(t) en utilisant t2 = 1− t.

On trouve :

m(t) = t(t+ 1)2 = t(t2 + 2t+ 1)

= t(2 + t) = 2t+ t2 = 1 + t

On constate donc que :

m(t0)m(t1) = (1 + t0)(1 + t1)

= t0t1 + (t0 + t1) + 1 = −1

Cela prouve que les deux tangentes en M(−1,−1)sont orthogonales.

On a represente ici l’allure de la courbe au voisi-nage du point double.



I.3 Allure d’un arc au voisinage d’un point

On se donne un arc parametre (I, f), l’application f etant “suffisamment” derivable.

On veut etudier l’allure du support de l’arc (I, f) au voisinage du point M0 de parametre t0.

Notations

– On note p le plus petit entier strictement positif tel que f (p)(t0) 6=−→0 .

– On note q le plus petit entier strictement superieur a p tel que f (p)(t0) et f (q)(t0) soient libres.

– Pour p, le cas le plus frequent est p = 1, c’est-a-dire f ′(t0) 6= 0 (quand M0 est regulier.)

– Si p = 1, le cas le plus frequent est p = 1, q = 2, c’est-a-dire f ′(t0), f′′(t0) libres.

Ce cas correspond a la definition d’un point biregulier.

On effectue un developpement limite des fonctions x(t) et y(t), en t0, a l’ordre q.

Ces developpements limites sont a priori obtenus pas la formule de Taylor-Young :x(t) = x(t0) + (t− t0)x

′(t0) +1

2!(t− t0)

2x′′(t0) + · · ·+ 1

q(t− t0)

q x(q)(t0) + o(t− t0)q

y(t) = y(t0) + (t− t0) y′(t0) +

1

2(t− t0)

2y′′(t0) + · · ·+ 1

q!(t− t0)

q y(q)(t0) + o(t− t0)q

Ces deux developpements peuvent etre regroupes en un seul developpement limite vectoriel :

f(t) = f(t0) + (t− t0) f′(t0) +

1

2!(t− t0)

2f ′′(t0) + · · ·+ 1

q!(t− t0)

q f (q)(t0) +−→o (t− t0)q

Compte tenu de la definition de l’entier p, ce developpement peut s’ecrire :

f(t) = f(t0) +1

p!(t− t0)

pf (p)(t0) + · · ·+ 1

q!(t− t0)

q f (q)(t0) +−→o (t− t0)q

Dans cette derniere egalite, les pointilles designent des vecteurs colineaires a f (p)(t0).

On considere maintenant le repere (M0, U =1

p!f (p)(t0), V =

1

q!f (q)(t0)).

Dans ce repere, on note X(t), Y (t) les coordonnees du point M(t).

Le developpement precedent s’ecrit :

−−−−−→M0M(t) =

1

p!(t− t0)

pf (p)(t0) + · · ·+ 1

q!(t− t0)

q f (q)(t0) +−→o (t− t0)q

Cette egalite donne immediatement :X(t) = (t− t0)

p + o(t− t0)p ∼ (t− t0)

p

Y (t) = (t− t0)q + o(t− t0)

q ∼ (t− t0)q

Ce resultat permet, en fonction de la parite de p et q, et de la position de t par rapport a t0,de placer le point M(t) dans les differents quadrants du repere (M(t0), U, V ).

Cela permet donc d’obtenir la forme du support de l’arc au voisinage de M0 = M(t0).

Rappelons que dans tous les cas, la droite (M0, U) est la tangente a l’arc au point M0.

On va maintenant voir les differents cas possibles.



Les differents cas

– Dans les schemas ci-dessous, on a represente une portion du support de l’arc, au voisinagedu point de parametre t0. L’arc est “oriente” dans le sens des t croissants.

– L’entier p est impair, et l’entier q est pair.

C’est la situation la plus classiquecar elle contient le cas des pointsbireguliers (p = 1, q = 2).

Si on revient a l’interpretation cinematique, on voit qu’en un point biregulier (les vecteursvitesse et acceleration sont libres), le vecteur acceleration pointe dans la concavite de l’arc.

– L’entier p est impair, et l’entier q est impair.

La courbe “traverse” sa tangente.

M0 est un point d’inflexion.

Le cas courant est p = 1, q = 2 : f ′(t0) 6=−→0 , f ′′(t0) lie a f ′(t0) et f (3)(t0) libre avec f ′(t0).

– L’entier p est pair, et l’entier q est impair.

On dit que M0 est un point derebroussement de premiere espece

Le cas courant est p = 2, q = 3 : f ′(t0) =−→0 , f ′′(t0) 6=

−→0 , f (3)(t0) libre avec f ′′(t0).

– L’entier p est pair, et l’entier q est pair.

On dit que M0 est un point derebroussement de seconde espece

Le cas courant est

p = 2

q = 4: f ′(t0) =

−→0 , f ′′(t0) 6=

−→0 ,

f (3)(t0) lie a f ′′(t0)

f (4)(t0) libre avec f ′′(t0)

Ici, une etude supplementaire est necessaire pour distinguer les deux branches de l’arc.

ExemplePour l’arc t 7→ f(t) = (et−1 − t, t3 − 3t), on a f ′(t) = (et−1, 3t2 − 3).

On constate que f ′(1) =−→0 . Le point M(1) = (0,−2) est donc stationnaire.

On a f ′′(t) = (et−1, 6t) donc f ′′(1) = (1, 6) 6= −→0 .

L’entier p est donc egal a 2.

De meme f (3)(t) = (et−1, 6) donc f (3)(1) = (1, 6).

On constate que f (3)(1) est lie avec f ′′(1). Donc q > 3.

Enfin f (4)(t) = (et−1, 0) donc f (4)(1) = (1, 0).

f (4)(t) est libre avec f ′′(1) : l’entier q vaut 4.

M(0,−2) est un rebroussement de seconde espece.

Voici l’allure de l’arc au voisinage de ce point

(la tangente est tracee en pointilles.)



Remarques

– Pour le developpement de f(t) au voisinage de t = t0, on utilise assez rarement la formule deTaylor (qui oblige a calculer les derivees successives des fonctions t 7→ x(t) et t 7→ y(t).)

On a le plus souvent recours a des techniques classiques de developpement limite.

On ecrit ainsi les developpements

x(t0 + h) = x(t0) + aph

p + · · ·+ aqhq + o(hq)

y(t0 + h) = y(t0) + bphp + · · ·+ bqh

q + o(hq)

Dans cette notation, p est l’indice minimum pour lequel ap 6= 0 ou bp 6= 0, et q est le plus petitindice strictement superieur a p tel que les vecteurs (ap, bp) et (aq, bq) soient independants (cesont les memes indices que dans les calculs precedents.)

Ces deux developpements peuvent etre groupes pour ecrire :

M(t0 + h) = M0 + hp

(ap

bp

)+ · · ·+ hq

(aq

bq

)+−→o (hq)

– Revenons a l’exemple precedent, pour l’arc t 7→ f(t) = (et−1 − t, t3 − 3t).

M(1+h) =

(eh − 1− h

(1 + h)3 − 3(1 + h)

)=

(h2

2 + h3

6 + o(h3)

−2 + 3h2 + h3

)= M(1)+h2

2

(1

6

)+h3

6

(1

6

)+−→o (h3)

Pour tout h > 0, on en deduit−−−−−−−−−−−−→M(1−h)M(1+h) = h3

3

(1

6

)+−→o (h3)

Ainsi, au voisinage de h = 0, et avec h > 0, le vecteur−−−−−−−−−−−−→M(1−h)M(1+h) est colineaire

de meme sens que le vecteur (1, 6). Cette observation permet de distinguer entre les deuxbranches de l’arc au voisinage deM(1) (on se reportera a la figure tracee a la page precedente :la branche la plus “basse” correspond a t < 1.)

Dans la pratique

– Points d’inflexion

Les points d’inflexion sont caracterises par les conditions “p, q impairs”.

En un tel point, les vecteurs f ′(t), f ′′(t) sont necessairement lies.

On cherchera donc les inflexions parmi les points M(t) tels que D(t) =

∣∣∣∣ x′(t) x′′(t)

y′(t) y′′(t)

∣∣∣∣ = 0.

On a D(t) = x′(t)y′′(t)− x′′(t)y′(t) = −x′2(t)dmdt

, avec m(t) =y′(t)

x′(t).

On peut interpreter ce resultat en considerant que les inflexions sont les points en lesquels lecoefficient directeur m(t) de la tangente a l’arc passe par un extremum.

Dans la pratique, on ne fait pas une recherche systematique des points d’inflexion. De telspoints apparaissent en fait lors d’un premier trace approximatif de l’arc.

– Points de rebroussement

Les points de rebroussement sont caracterises par la condition “p pair”.

En un tel point, on a donc p ≥ 2. Autrement dit, un point de rebroussement est necessairementun point stationnaire (mais la reciproque est fausse.)

On cherchera donc les points de rebroussement parmi les points tels que x′(t) = y′(t) = 0.

Les points stationnaires apparaissent assez tot dans l’etude de l’arc, des qu’on connait lesvariations des applications t 7→ x(t) et t 7→ y(t).



I.4 Branches infinies

Definition

On dit que l’arc (I, f) presente une branche infinie au voisinage de t0 si limt→t0

‖ f(t) ‖ = +∞.

Si de plus limy(t)

x(t)= a, on dit que l’arc presente (quant t→ t0) :

– Une branche parabolique dans la direction Oy si a = ±∞.

– Une branche parabolique dans la direction Ox si a = 0.

– La direction asymptotique y = ax si a est un reel non nul.

Definition

On suppose que l’arc (I, f) presente la direction asymptotique y = ax quand t→ t0.

– Si limt→t0

(y(t)− ax(t)) = ±∞, on parle de branche parabolique dans la direction y = ax.

– Si limt→t0

(y(t)− ax(t)) = b ∈ R, on dit que la droite y = ax+ b est asymptote a la courbe.

– Dans ce dernier cas, le signe de y(t)−ax(t)−b donne la position de la courbe par rapporta l’asymptote. Si cette quantite est positive (resp. negative) quand t→ t0, alors la courbeest localement (quand t→ t0) “au-dessus” (resp. “en dessous”) de l’asymptote.

Exemple

– L’arc x(t) =t

t2 − 1et y(t) =

t2

t− 1presente une branche infinie quand t tend vers 1.

Plus precisement : limt→1−

x(t) = −∞, limt→1−

y(t) = −∞, limt→1+

x(t) = +∞, limt→1+

y(t) = +∞.

– Quand t tend vers 1,y(t)

x(t)= t(t+1) tend vers 2. Il y a donc la direction asymptotique y = 2x.

D’autre part, y(t)− 2x(t) =t3 + t2 − 2t

t2 − 1=t(t+ 2)

t+ 1tend vers

3

2quand t tend vers 1.

Enfin y(t)− 2x(t)− 3

2=

2t2 + t− 3

2(t+ 1)=

(t− 1)(2t+ 3)

2(t+ 1)∼ 5

4(t− 1) quand t→ 1.

– On aurait egalement pu proceder de la maniere suivante, en posant t = 1 + h.

D’une part : x(t) =1 + h

h(2 + h)=

1

2h(1 + h)

(1− h

2+h2

4+ o(h2)

)=

1

2h+

1

4− h

8+ o(h).

D’autre part : y(t) =(1 + h)2

h=

1

h+ 2 + h. On en deduit y(t)− 2x(t) =

3

2+

5h

4+ o(h).

On retrouve donc l’equation y = 2x+3

2,

et le placement donne par le signe de h = t− 1.

Voici l’allure de la courbe au voisinage de t = 1.

Par rapport a son asymptote, la courbe est :

– “au-dessus” quand t→ 1+

– “en-dessous” quand t→ 1−.



I.5 Etude globale des arcs parametres

Dans cette section, on voit comment proceder a l’etude complete d’un arc parametre, l’objectiffinal etant bien sur le trace (soigne) du support de cet arc.

Jusqu’a present, on a surtout privilegie les etudes locales (ce qui se passe au voisinage d’unpoint.) On va maintenant adopter un point de vue plus global.

On se propose donc d’etudier completement l’arc parametre (I, f). Cette etude se deroule enplusieurs etapes. L’ordre indique ci-dessous n’est pas immuable, mais il est conseille.

a . Domaine de definition, et degre de regularite de l’arc

On commence par preciser le domaine de definition D de l’application f , c’est-a-dire l’inter-section des domaines de definition des applications x 7→ x(t) et t 7→ y(t).

On indique quel est l’ordre de derivabilite de l’application f .

Les valeurs eventuelles du parametre t pour lesquelles f n’est pas continue ou pas derivable,sont signalees (mais les etudes locales correspondantes seront traitees plus loin.)

b . Reduction eventuelle du domaine d’etude par periodicite

Si les applications t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sont T -periodiques, alors on peut limiter le domained’etude a un intervalle de longueur T . L’arc est alors parcouru tout entier sur cet intervalle.

Considerons par exemple l’arc defini par x(t) = cos 3t et y(t) = sin 2t.

L’application x est 2π3 -periodique.

L’application y est π-periodique.

Ainsi t 7→M(t) = (x(t), y(t)) est 2π-periodique.

On peut donc limiter l’etude a tout intervalle[θ, θ + 2π] (et toute la courbe est obtenue.)

Voici l’allure de l’arc.

Il s’agit d’une courbe de Lissajous.

Sans que l’application f soit periodique, il arrive que le point M(t+T ) depende toujours dupointM(t) par une transformation geometrique tres simple. Il suffit alors d’etudier l’arc sur uncertain intervalle [θ, θ+T ], puis d’appliquer cette transformation geometrique (eventuellementde facon repetee) pour obtenir toute la courbe.

Considerons par exemple l’arc defini par x(t) = R(t− sin t) et y(t) = R(1− cos t).

Pour tout reel t, on constate que M(t+ 2π) = M(t) + 2πR(1, 0).

Ainsi le point M(t+ 2π) se deduit de M(t) par la translation de vecteur 2πR−→ı .

Il suffit donc d’etudier la courbe sur un certain intervalle [θ, θ+2π], puis de proceder a destranslations repetees de vecteur ±2πR−→ı pour obtenir “toute” la courbe.

Le resultat est bien connu, c’est une cycloıde :



b . Reduction eventuelle du domaine d’etude par symetrie

Rappelons que la symetrie d’axe la droite x = a est donnee par le systeme

x′ = 2a− x

y′ = y

De meme, la symetrie d’axe y = b est donnee par

x′ = x

y′ = 2b− y

Enfin la symetrie ponctuelle de centre (a, b) est donne par le systeme

x′ = 2a− x

y′ = 2b− y

Pour l’arc (I, f), on suppose que les conditions suivantes sont reunies :

– L’intervalle I est partitionne en I = J ∪K.

– Il existe une fonction t 7→ t′ = ϕ(t) telle que, quand t parcourt J , t′ parcourt K.

– Il existe une meme relation geometrique ψ liant M(t) et M(t′) pour tout t de J .

Dans ces conditions, on etudie l’arc sur l’intervalle J , et on applique la transformationgeometrique (en general une symetrie) a la portion de courbe obtenue, ce qui donne le supportde l’arc sur tout l’intervalle I.

L’application t 7→ t′ = ϕ(t) est tres souvent l’une des applications suivantes :

– L’application t 7→ −t. C’est le cas quand t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sont paires ou impaires.

Cela permet de reduire l’etude de l’arc aux valeurs t ≥ 0.

– Une des applications t 7→ t′ = a+ b− t ou t 7→ t′ = a+b2 + t quand I = [a, b].

Quand le reel t parcourt la moitie gauche de I, alors t′ parcourt la moitie droite.

Cela permet de ramener l’etude au sous-intervalle [a, a+b2 ].

Exemple

– Soit l’arc

x(t) = a cos3 t

y(t) = a sin3 t. Les applications t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sont 2π-periodiques.

Il en est donc de meme de t 7→M(t), et on obtient toute la courbe sur [θ, θ + 2π].

– On a

x(−t) ≡ x(t)

y(−t) ≡ −y(t)donc M(t) et M(−t) sont symetriques par rapport a Ox.

On centre [θ, θ + 2π] en 0 (on choisit θ = −π) pour se limiter ensuite a la partie droite del’intervalle, c’est-a-dire [0, π]. On complete ensuite par la symetrie par rapport a Ox.

– On a

x(π − t) ≡ −x(t)y(π − t) ≡ y(t)

donc M(t) et M(π − t) sont symetriques par rapport a Oy.

On se limite a [0, π2 ] puis on complete par la

symetrie par rapport a l’axe Oy.

On a

x(π

2 − t) ≡ y(t)

y(π2 − t) ≡ x(t)

donc M(t) et M(π2 − t)

sont symetriques par rapport a y = x.

On se limite donc a [0, π4 ] puis on complete par la

symetrie par rapport a la droite y = x.

On a represente ici le support de l’arc (avec a = 1.)

Cette courbe est une astroıde.



– Parfois la reduction du domaine d’etude n’est pas evidente.

Considerons par exemple l’arc defini pour t 6= −1 par x(t) =t

t3 + 1et y(t) =

t2

t3 + 1.

On constate que x(1t ) ≡ y(t) et y(1

t ) = x(t).

Les points M(t) et M(t′ = 1t ) sont symetriques par

rapport a la droite y = x.

Il suffit donc d’etudier l’arc pour t ∈ J =] − 1, 1]et de completer par cette symetrie.

En effet quand t parcourt J , le reel t′ parcourt]−∞,−1[∪[1,∞[.

On a represente ici le support de l’arc.

Cette courbe est un folium de Descartes.

c . Etude des variations de t 7→M(t).

On forme le tableau de variations des applications t 7→ x(t) et t 7→ y(t), engeneral en etudiant le signe des applications derivees. On complete ce tableaupar les limites de x(t) et y(t) aux bornes du domaine.

Il est recommande de presenter le tableau comme indique ci-contre. Le fait deplacer les variations de x(t) et de y(t) sur deux lignes contigues permet mieuxde suivre les “deplacements” du point M(t).

La derniere ligne, facultative, permet d’indiquer certaines valeurs utiles du

coefficient directeur m(t) =y′(t)x′(t) de la tangente en M(t).

Le tableau de variations peut faire apparaıtre des situations particulieres, qu’il faut etudierrapidement, en representant l’allure de la courbe au voisinage du point considere.

– Asymptotes verticales, quand limt→t0

y(t) = ±∞ et limt→t0

x(t) = x0 ∈ R.

L’allure est donnee par le signe de y(t) et par le placement de x(t) par rapport a x0.

– Asymptotes horizontales, quand limt→t0

x(t) = ±∞ et limt→t0

y(t) = y0 ∈ R.

L’allure est donnee par le signe de x(t) et par le placement de y(t) par rapport a y0.

– Tangentes verticales, quand x′(t0) = 0 et y′(t0) 6= 0.

Tangentes horizontales, quand y′(t0) = 0 et x′(t0) 6= 0.

Dans ces deux cas, les variations de x(t) et de y(t) au voisinage de t = t0 permettent depreciser localement l’allure de la courbe.

– Intersections avec l’axe x′Ox, quand y(t) s’annule.

Intersections avec l’axe y′Oy, quand x(t) s’annule.

On precisera si possible la valeur de m(t) =y′(t)x′(t) en ces points.

– Points stationnaires, quand x′(t0) = y′(t0) = 0.

Branches infinies, quand limt→t0

x(t) = ±∞ et limt→t0

y(t) = ±∞.

On se contente de signaler ces points, qui sont etudies plus precisement a l’etape suivante.



d . Etudes locales

On fait une etude detaillee des points stationnaires (points de rebroussements ? de premiereou de seconde espece ?) et des branches infinies (asymptotes obliques ? placement ?)

On representera l’allure de la courbe au voisinage du point etudie.

Remarque

L’etude d’un point de reboussement est parfois facilitee par des considerations de symetrie.

Par exemple, dans le cas de l’astroıde x(t) = a cos3(t), y(t) = a sin3(t).

On a x(0) = a, y(0) = 0, et :y(t)

x(t)− a=

sin3 t

1− cos3 t∼ sin3 t

3(1− cos t)∼ 2t

3.

Ainsi limt→0

y(t)

x(t)− a= 0, ce qui prouve qu’il y a une tangente horizontale en (a, 0).

Sachant que x′Ox est axe de symetrie, cela signifie qu’il y a en ce point un rebroussementde premiere espece : il etait donc inutile de calculer les derivees successives en ce point.

Toujours pour l’astroıde, on peut remarquer que : m(t) =y′(t)

x′(t)= − tan t.

La tangente en tout point M(t), avec x′(t) 6= 0, a donc un coefficient directeur egal a −t.Par passage a la limite, on retrouve la tangente horizontale en (a, 0).

e . Premier trace

On procede (au brouillon, ou avec sa calculatrice) a un trace sommaire de la courbe. Celui-cipeut faire apparaıtre un point d’inflexion, ou un point double.

– Les points doubles sont importants pour la precision du trace.

On recherche un point double en resolvant

x(t0) = x(t1)

y(t0) = y(t1), avec t0 6= t1.

Ce systeme est symetrique en t0, t1, et admet la solution evidente (mais a rejeter) t0 = t1.

En general (notamment quand x(t) et y(t) sont des fractions rationnelles), on peut facto-riser (t1 − t0) dans les deux egalites de ce systeme.

Apres simplification par (t1 − t0), et compte tenu du caractere symetrique du probleme,on obtient un systeme par rapport a p = t0t1 et s = t0 + t1, et qui permet de trouver la oules paires solutions t0, t1 et donc le ou les points doubles.

– Les points d’inflexion s’obtiennent en resolvant

∣∣∣∣ x′(t) y′(t)

x′′(t) y′′(t)

∣∣∣∣ = 0 (facultatif.)

C’est une condition necessaire mais non suffisante. Mais si on a localise une portion del’arc contenant ce point, il n’y a en general pas de verification a effectuer.

On peut egalement chercher les extremums de m(t) =y′(t)

x′(t)(qui se simplifie parfois).

f . Trace definitif

Toute l’etude de l’arc trouve son aboutissement dans le trace final, qui doit etre soigne.

On commencera par placer les differents elements sur lesquels “repose” la courbe (tangenteshorizontales ou verticales, asymptotes, rebroussements, intersections avec les axes.) Il n’estpas necessaire (au contraire) de faire figurer les autres points intermediaires (et n’ayantaucune propriete particuliere) ayant servi au trace.



I.6 Intersection d’un arc parametre avec une droite

On considere l’arc parametre t ∈ I 7→M(t) = (x(t), y(t)), de support Γ.

On se donne une droite D de R2, d’equation ax+ by + c = 0.

Les points d’intersection de D et de Γ sont les points M(t) dont le parametre t est solutionde l’equation (E) : ax(t) + by(t) + c = 0.

Dans le cas frequent ou x(t) et y(t) sont des fonctions rationnelles, une mise au denominateurcommun permet de transformer (E) en une equation polynomiale, ce qui permet de parlerde la multiplicite d’une racine de cette equation.

On peut generaliser cette notion de multiplicite a des fonctions non polynomiales.

Pour cela, on peut considerer :

– L’equation derivee (E ′) : ax′(t) + by′(t) = 0.

Une solution double (au moins) de (E) est une solution du systeme (E), (E ′).

– L’equation derivee seconde (E ′′) : ax′′(t) + by′′(t) = 0.

Une solution triple (au moins) de (E) est une solution du systeme (E), (E ′), (E ′′).

On peut egalement effectuer un developpement limite de ϕ(t) en t = t0 + h.

– Si ax(t0 + h) + by(t0 + h) + c = αh+ o(h), avec α 6= 0, alors t0 est racine simple.

– Si ax(t0 + h) + by(t0 + h) + c = αh2 + o(h2), avec α 6= 0, alors t0 est racine double.

– Si ax(t0 + h) + by(t0 + h) + c = αh3 + o(h3), avec α 6= 0, alors t0 est racine triple.

Soit M(t0) un point non stationnaire de l’arc.

La tangente a Γ en ce point est donc dirigee par le vecteur f ′(t0) = (x′(t0), y′(t0)).

Voici comment interpreter la multiplicite de t0 comme racine de (E)

– Si t0 est une solution simple de (E), alors la droite D est secante a l’arc en M(t0).

– Si t0 est solution au moins double de (E), alors D est tangente en M(t0) a Γ.

Tout se passe comme si deux points d’intersection etaient venus se superposer en M(t0).

– Si t0 est solution triple de (E), alors D est une tangente d’inflexion en M(t0).

Tout se passe comme si trois points d’intersection etaient venus se superposer en M(t0).

Normale a un arc en un point

Parmi les secantes a Γ en M(t0), il y a la droite orthogonale a la tangente en M(t0).

Cette droite est bien sur appelee la normale en M(t0) a la courbe Γ.

Son equation est : (X − x(t))x′(t0) + (Y − y(t))y′(t0) = 0.

Points alignes sur un arc parametre

Considerons une famille M(t1),M(t2), . . . ,M(tp) de la courbe Γ.

Ils sont alignes ⇔ ∃ (a, b, c) ∈ R3, tel que (a, b) 6= −→0 et ax(tk)+ by(tk)+ c = 0 pour tout k.

Le triplet (a, b, c) est defini a une constante multiplicative non nulle pres.

Quand x 7→ x(t) et t 7→ y(t) sont des fonctions rationnelles, cette condition d’aligne-ment peut souvent etre ecrite sous la forme d’une relation entre les fonctions symetriqueselementaires des parametres tk.


Arcs parametres du plan Partie II : Courbes planes en coordonnees polaires

II Courbes planes en coordonnees polaires

II.1 Coordonnees polaires d’un point du plan

Notations (repere mobile)

Pour tout reel θ, on note −→u (θ) = (cos θ, sin θ) et −→v (θ) = (− sin θ, cos θ).

Le repere (O,−→u (θ),−→v (θ)) est toujours orthonorme direct.

On dit qu’il constitue la position a l’instant θ du repere mobile.

Definition

Soit M(x, y) un point de R2.

On appelle couple de coordonnees polaires de M tout couple (ρ, θ) tel que−−→OM = ρ−→u (θ).

Remarques

– Tout point du plan possede une infinite de couples de coordonnees polaires.

Ceux de l’origine sont les couples (0, θ), pour tout reel θ.

Si M est distinct de l’origine, et si (ρ, θ) est un couple de coordonnees polaires de M , alorsles autres sont les couples (ρ, θ + 2kπ) et (−ρ, θ + (2k + 1)π), pour tout k de π.

– Pour M 6= (0, 0), voici les formules de changements de coordonnees :

Des coordonnees polaires vers les coordonnees cartesiennes, il n’y a que :

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

Dans le sens inverse :

ρ =√x2 + y2

cos θ =x

ρ, sin θ =

y

ρ

ou

ρ = −√x2 + y2

cos θ = −xρ, sin θ = −y

ρ

Chacun des deux systemes ci-dessus fournit une unique classe de reels θ modulo 2π.

– On remarquera qu’un pointM distinct deO possede un unique couple de coordonnees polaires(ρ, θ) a condition de choisir ρ > 0 (et dans ce cas ρ = d(O,M)) et de supposer que θ est dansun intervalle semi-ouvert de longueur 2π (en general [0, 2π[ ou [−π, π[.)

Definition

Une courbe en coordonnees polaires est la donnee d’une application θ ∈ I 7→ ρ(θ) et de l’arc

parametre θ 7→M(θ), ou−−→OM(θ) = ρ(θ)−→u (θ).

On dit que le support Γ de cet arc est la courbe d’equation ρ = ρ(θ).

Autrement dit, Γ est l’ensemble des points M du plan dont un couple de coordonneespolaires est (ρ(θ), θ), pour au moins un reel θ de l’intervalle I.

Remarques

– Soit λ un reel. La courbe ρ = λ est le cercle de centre 0 et de rayon |λ|.– Si un arc parametre s’ecrit t 7→M(t) = (f(t) cos t, f(t) sin t), alors c’est la courbe ρ = f(θ).

– Reciproquement l’arc ρ = ρ(θ) s’ecrit

x(θ) = ρ(θ) cos θ

y(θ) = ρ(θ) sin θet est donc un arc parametre

“comme les autres”. Mais les arcs “en polaires” donnent lieu a des methodes particulieres.On aura donc tout interet a voir quand une courbe peut etre parametree en polaires.



II.2 Etude locale d’une courbe en polaires

Dans ce paragraphe, on se donne une courbe en polaires ρ = ρ(θ).

On suppose que l’application θ 7→ ρ(θ) est “suffisamment” derivable.

Vecteurs derives successifs

– On note que pour tout reel θ, on a −→u ′(θ) = v(θ) et −→v ′(θ) = −u(θ).

– On en deduit, a partir de−−→OM(θ) = ρ(θ)−→u (θ) :

−−→OM

′(θ) = ρ′(θ)−→u (θ) + ρ(θ)−→v (θ)

−−→OM

′′(θ) = (ρ′′(θ)− ρ(θ))−→u (θ) + 2ρ′(θ)−→v (θ)

Si on note [w]θ la matrice colonne des coordonnees d’un vecteur w dans la base (−→u (θ),−→v (θ)),

on peut donc ecrire : [−−→OM ]θ =

(ρ

0

)[−−→OM

′]θ =

(ρ′

ρ

)[−−→OM

′′]θ =

(ρ′′ − ρ

2ρ′

)– On constate que si ρ(θ) 6= 0, alors

−−→OM

′(θ) 6= −→

0 .

Une courbe en polaires ne presente donc jamais de point stationnanire (donc a fortiori jamaisde point de rebroussement) en dehors de l’origine.

Passages par l’origine

– Les passages par l’origine (c’est-a-dire les valeurs de θ pour lesquelles ρ(θ) = 0) sont tresimportants pour une courbe en polaires (plus sans doute que les variations de θ 7→ ρ(θ).)

– Supposons donc que la fonction θ 7→ ρ(θ) s’annule en θ0.

Au voisinage de θ0, la corde OM(θ) est evidemment dirigee par u(θ). La position limite decette corde quand θ → θ0 est donc la droite passant par l’origine et d’angle polaire θ0.

Consequence : en tout point M(θ0) = 0 correspondant a un passage de la courbe a l’originepour θ = θ0, la tangente a l’arc a pour angle polaire θ0.

– Selon les variations de θ 7→ ρ(θ) au voisinage de θ0, voici les differentes allures possibles de lacourbe au voisinage de l’origine. Dans les quatre schemas ci-dessous, la courbe est orienteedans le sens des θ croissants. Pour comprendre la forme de la courbe, on notera que lorsqueρ(θ) est negatif, le point M(θ) se trouve “a l’oppose” du vecteur −→u (θ).

Quand ρ s’annule sans changer de signe, on est en presence d’un point de rebroussement depremiere espece (il n’y a jamais de rebroussement de seconde espece.)



Angle “rayon-vecteur tangente”

– On considere l’arc ρ = ρ(θ) en un point M(θ) distinct de l’origine.

On sait que la tangente a l’arc en M(θ) est dirigee par−−→OM

′(θ) = ρ′(θ)−→u (θ) + ρ(θ)−→v (θ).

On note traditionnellement V une mesure (modulo 2π) de l’angle (−→u (θ),−−→OM(θ)).

On dit que V represente l’angle “rayon-vecteur tangente”. C’est donc une mesure de l’angle

polaire de−−→OM

′(θ) (dirigeant la tangente) dans le repere mobile (O,−→u (θ),−→v (θ)).

– Si ρ′(θ) = 0, alors−−→OM

′(θ) = ρ(θ)−→v (θ). Dans ce cas la tangente en M(θ) est orthogonale au

rayon-vecteur c’est-a-dire a la droite OM(θ). Autrement dit V = π2 (π).

Si ρ′(θ) 6= 0, alors on a l’egalite importante tanV =ρ

ρ′.

On note souvent ϕ l’angle polaire du vecteur−−→OM

′(θ) dans le repere

canonique (O,−→ı ,−→ ). On a evidemment ϕ = θ + V (2π).

On a represente ici l’allure de la courbe au voisinage du point M(θ).

L’arc est oriente dans le sens des θ croissants.

Points d’inflexions

– Il y a un point d’inflexion quand det(−−→OM

′(θ),

−−→OM

′′(θ)) s’annule en changeant de signe.

Pour calculer ce determinant, on peut se placer dans n’importe quelle base orthonormeedirecte, et notamment dans la base mobile (ou les calculs sont beaucoup plus simples.)

On a alors det(−−→OM

′(θ),

−−→OM

′′(θ)) =

∣∣∣∣ ρ′ ρ′′ − ρ

ρ 2ρ′

∣∣∣∣ = ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′.

Pour trouver les points d’inflexion de la courbe ρ = ρ(θ), on cherchera donc les valeurs de θqui annulent la quantite ρ2 − 2ρ′2 − ρρ′′.

– On a vu les differents cas de figure au voisinage de l’origine et on a constate qu’il ne pouvaity avoir de point d’inflexion. On ne perd donc pas de generalite en supposant ρ(θ) 6= 0.

Or on constate que :1

ρ+(1

ρ

)′′=

1

ρ+(− ρ

′

ρ2

)′=

1

ρ+

2ρ′2 − ρρ′′

ρ3=ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′

ρ3.

On peut donc trouver les points d’inflexion en cherchant les valeurs de θ annulant1

ρ+(1

ρ

)′′.

Ceci est utile bien sur quand ρ = ρ(θ) est l’inverse d’une fonction simple.

Points doubles

– Il y a un point double M(θ0) = M(θ1) si

ρ(θ1) = ρ(θ0)

θ1 = θ0 (2π)ou

ρ(θ1) = −ρ(θ0)

θ1 = θ0 + π (2π)

On devra donc resoudre ρ(θ + 2kπ) = ρ(θ) ou ρ(θ + π + 2kπ) = −ρ(θ), avec k ∈ Z.

– Le plus souvent, le point double est obtenu apres un tour complet autour de l’origine (doncρ(θ + 2π) = ρ(θ)) ou apres un simple demi-tour du vecteur −→u (θ) mais accompagne d’unpassage par l’origine (changement de ρ(θ) en son oppose donc equation ρ(θ + π) = −ρ(θ).)

– Parfois le point double est assez evident, notamment quand il resulte d’une symetrie axialede la courbe, et il n’est alors pas besoin de resoudre d’equation pour le trouver.



Branches infinies

– L’arc ρ = ρ(θ) presente une branche infinie dans la direction θ = θ0 si limθ→θ0

ρ(θ) = ±∞.

A ce stade, la droite d’angle polaire θ = θ0 est deja une direction asymptotique.

– Pour savoir s’il y a une asymptote, on se place dans le repere mobile (O,−→u (θ0),−→v (θ0)).

Soit ∆θ la droite passant par M(θ) et qui est parallele a l’axe OX = (0,−→v (θ0)).

L’equation de cette droite dans le repere(O,−→u (θ0),−→v (θ0)) est Y = ρ(θ) sin(θ − θ0).

Il y a une asymptote ∆ quand θ → θ0 si la limiteα = lim

θ→θ0

ρ(θ) sin(θ − θ0) existe dans R.

L’equation de l’asymptote ∆ est alors Y = α dansle repere (O,−→u (θ0),−→v (θ0)).

Le signe de ρ(θ) sin(θ − θ0) − α renseigne sur leplacement de la courbe par rapport a l’asymptote.Mais attention : ce placement est relatif au reperemobile (dans sa position θ0.)

– Avec les notations precedentes, et si limθ→θ0

ρ(θ) sin(θ− θ0) = ±∞, on dit qu’il y a une branche

parabolique dans la direction θ = θ0.

– L’equation d’une asymptote, et le placement par rapport celle-ci, s’obtiennent le plus souventpar un developpement limite de ρ(θ) sin(θ − θ0), apres avoir pose θ = θ0 + h.

Suposons par exemple qu’on trouve : ρ(θ0 + h) sinh = α+ βh+ o(h), avec β 6= 0.

On en deduit l’asymptote Y = α dans le repere mobile, le placement etant donne par le signede βh. Par exemple, si β > 0, et si h → 0+ (c’est-a-dire si θ → θ0 par valeurs superieures),alors la courbe est au-dessus de son asymptote (mais “au-dessus” dans le repere mobile.)

Exemple

On considere l’arc defini en polaires par ρ =θ

π(θ − π).

Il y a une direction asymptotique quand θ → π. En effet limθ→π−

ρ(θ) = −∞ et limθ→π+

ρ(θ) = +∞.

On trouve ρ(π+h) sin(h) =π + h

πh

(h−h

3

6+o(h3)

)=(1+

h

π

)(1−h

2

6+o(h2)

)= 1+

h

π+o(h).

On en deduit que l’asymptote a pour equa-tion Y = 1 dans le repere mobile (qui sededuit du repere cartesien par une rotationd’angle π) donc l’equation y = −1 dans lerepere cartesien.

Quand θ → π−, la courbe est en-dessousdans le repere mobile, donc au-dessus dansle repere cartesien.

Le placement est inverse quand θ → π+.



Autres cas particuliers

– Si limθ→∞

ρ(θ) = ∞, on dit que l’arc ρ = ρ(θ) presente une branche spirale.

– Si limθ→∞

ρ(θ) = λ 6= 0, l’arc ρ = ρ(θ) admet un cercle-limite, de centre 0 et de rayon |λ|.

La courbe est a l’interieur du cercle si |ρ(θ)| < |λ|, et a l’exterieur si |ρ(θ)| > |λ|.

– Si limθ→∞

ρ(θ) = 0, l’origine est un point-limite de l’arc.

– A titre d’exemple, voici le trace de ρ(θ) = θ (branche spirale), puis de ρ(θ) =θ

π(θ − π)

Dans l’exemple de droite, on a un cercle limite de centre 0 et de rayon 1π . L’arc est a

l’exterieur du cercle quand θ → +∞, et a l’interieur quand θ → −∞.

II.3 Etude globale d’une courbe en polaires

On doit donc etudier puis tracer un arc donne par ρ = ρ(θ). Apres avoir precise le domaine dedefinition de l’application θ 7→ ρ(θ), et son degre de regularite (en general c’est une applicationde classe C∞), on cherche s’il existe des reductions du domaine d’etude.

Reduction du domaine d’etude par periodicite

– On suppose que l’application θ 7→ ρ(θ) est T -periodique.

Cela signifie que le point M(θ + T ) se deduit de M(t) par une rotation d’angle T .

Il suffit donc d’etudier l’arc sur un intervalle de longueur T , puis de completer par desrotations d’angle kT , avec k ∈ Z. Un nombre fini de rotations est suffisant pour obtenir latotalite de la courbe si θ = qπ, ou q est un rationnel.

– Cas particuliers :

Si T = 2π, toute la courbe est obtenue sur un intervalle de longueur 2π.

Si T = π, on etudie sur un intervalle de longueur π puis on complete par la rotation de centrel’origine et d’angle π (c’est-a-dire par la symetrie de centre 0.)

– Il arrive parfois que l’application θ 7→ ρ(θ) possede une anti-periode : ρ(θ + T ) = −ρ(θ).On se limite a un intervalle de longueur T (on complete par des rotations d’angle π + T .)

Une situation interessante et assez classique est ρ(θ + π) = −ρ(θ).En effet dans ce cas la courbe est completement parcourue sur un intervalle de longeur π,puisque

−−→OM(θ + π) = ρ(θ + π)−→u (θ + π) = (−ρ(θ))(−−→u (θ)) = ρ(θ)−→u (θ) =

−−→OM(θ).



Reduction du domaine d’etude par symetrie

– Les egalites suivantes indiquent que la courbe ρ = ρ(θ) a un axe de symetrie passant parl’origine. Dans chaque cas, cela se traduit par une diminution de moitie du domaine d’etude.

– Si ρ(2θ0 − θ) ≡ ρ(θ), il y a symetrie par rapport a la droite d’angle polaire θ0.

En particulier :

Si ρ(−θ) ≡ ρ(θ), il y a symetrie par rapport a Ox.

Si ρ(π − θ) ≡ ρ(θ), il y a symetrie par rapport a Oy.

Si ρ(π2 − θ) ≡ ρ(θ), il y a symetrie par rapport a y = x.

Si ρ(3π2 − θ) ≡ ρ(θ), il y a symetrie par rapport a y = −x.

– Si ρ(2θ0 − θ) ≡ −ρ(θ), il y a symetrie par rapport a la droite d’angle polaire θ0 + π2 .

En particulier :

Si ρ(−θ) ≡ −ρ(θ), il y a symetrie par rapport a Oy.

Si ρ(π − θ) ≡ −ρ(θ), il y a symetrie par rapport a Ox.

Si ρ(π2 − θ) ≡ −ρ(θ), il y a symetrie par rapport a y = −x.

Si ρ(3π2 − θ) ≡ −ρ(θ), il y a symetrie par rapport a y = x.

Plan d’etude

– Apres avoir reduit si possible le domaine d’etude, on dresse le tableau des variations de lafonction θ 7→ ρ(θ). Mais plus que le sens de variation de cette fonction, c’est son signe quiest important. On precisera en particulier les valeurs θ0 pour lesquelles ρ(θ0) = 0 (en un telpoint, la courbe passe par l’origine avec pour tangente la droite d’angle polaire θ0.)

– Il est utile de preciser tanV =ρρ′ , au moins pour des valeurs particulieres de θ.

Cette quantite donne le coefficient directeur de la tangente en M(θ) dans le repere mobile.Le coefficient directeur de la tangente dans le repere canonique est tanϕ, avec ϕ = V + θ.

– L’examen du tableau de variation de θ 7→ ρ(θ) fait eventuellement apparaıtre des situationsparticulieres, qu’il convient d’etudier avant de chercher a tracer la courbe :

Des points en dehors de 0 ou ρ′ = 0 (tangente orthogonale au rayon-vecteur−−→OM .)

Des directions asymptotiques, pour chaque θ0 tel que limθ→θ0

ρ(θ) = ±∞.

Une branche spirale, ou un cercle asymptote, ou 0 comme point limite (quand θ → ±∞.)

Avant de tracer l’arc, on precisera assez de points particuliers (en dehors des precedents),notamment les intersections avec les axes de coordonnees : θ = kπ ou θ = π

2 + kπ.

– Une premiere ebauche peut faire apparaıtre des points doubles ou des points d’inflexion.

Les points doubles doivent etre precises, car ils influent sur la precision du trace.

– Il ne reste plus qu’a tracer la courbe, de facon tres soignee bien sur.



II.4 Droites et cercles en polaires

Equations de droites en polaires

– Une droite D passant par l’origine admet une equation du type θ = θ0 (π).

– On se donne une droite D de R2, ne passant pas par l’origine.

Soit H la projection de O sur D, et soit (p, θ0) un couple de coordonnees polaires de H.

Soit M un point quelconque du plan, de coordonnees polaires (ρ, θ).

On a M ∈ D ⇔ (−−→OH | −−→HM) = 0 ⇔ (

−−→OH | −−→OM) = ‖−−→OH‖2 ⇔ p ρ cos(θ − θ0) = p2.

Ainsi une equation de la droite D est ρ =p

cos(θ − θ0).

On peut retrouver ce resultat autrement :

D est orthogonale a −→u (θ0) et passe par H(p, θ0). Sonequation cartesienne est donc : x cos θ0 + y sin θ0 = p.

On peut donc ecrire : M(ρ, θ) ∈ D

⇔ ρ(cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0) = p⇔ ρ =p

cos(θ − θ0)

On

peut en fait trouver l’equation polaire d’une droite (ne passant pas par 0) en remplacant xpar ρ cos θ et y par ρ sin θ dans toute equation cartesienne ax + by + c = 0 : ax + by + c =

0 ⇔ ρ(a cos θ + b sin θ) + c = 0 ⇔ ρ =−c

(a cos θ + b sin θ)

– L’equation ρ =λ

cos θest celle de la droite x = λ ; ρ =

λ

sin θest celle de la droite y = λ.

Equations de cercles en polaires

– L’equation du cercle de centre 0 et de rayon r > 0 est ρ = r.

– Les autres cercles dont l’equation est simple a ecrire en polaires sont ceux qui passent par 0.

Soit C un cercle passant par O, et soit A(d, θ0) le point diametralement oppose a l’origine.

Soit M un point quelconque du plan, de coordonnees polaires (ρ, θ).

On a M ∈ C ⇔ (−−→OM | −−→AM) = 0 ⇔ ‖−−→OM‖2 = (

−−→OM | −→OA) ⇔ ρ2 = d ρ cos(θ − θ0).

Cela equivaut a ρ = d cos(θ − θ0) (on retrouve en effet ρ = 0 quand θ = θ0 + π2 .)

Voici une illustration du cas general, puis de deux cas particuliers frequents :



II.5 Coniques ayant un foyer au pole

Definition de la conique par foyer et directrice

On considere une conique Γ, d’excentricite e, de foyer O, et de directrice associee D.

Soit K la projection de l’origine sur D.

Soit (d, θ0) des coordonnees polaires deK, avec d > 0.

L’equation de D est : x cos θ0 + y sin θ0 = d.

Soit M un point quelconque du plan.

Soit H la projection de M sur D.

Par definition, M ∈ Γ ⇔ ‖−−→OM‖ = e‖−−→MH‖.

Equation en coordonnees polaires

Soit (ρ, θ) un couple de coordonnees polaires de M .

On a ‖−−→MH‖ = d(M,D) = |xM cos θ0 + yM sin θ0 − d| = |ρ cos(θ − θ0)− d|On en deduit :

M ∈ Γ ⇔ ‖−−→OM‖2 = e2‖−−→MH‖2 ⇔ ρ2 = e2(ρ cos(θ − θ0)− d)2

⇔

ρ = −e(ρ cos(θ − θ0)− d)ouρ = e(ρ cos(θ − θ0)− d)

⇔

ρ =

ed

1 + e cos(θ − θ0)(1)

ou

ρ =−ed

1− e cos(θ − θ0)(2)

En fait (1) et (2) sont equivalentes. En effet, le couple (ρ, θ) est solution de (1) si et seulementsi le couple (−ρ, θ + π) (qui represente le meme point du plan) est solution de (2).

On gardera l’equation (1), en notant p = ed (le reel p est appele le parametre de la conique.)

On a ainsi obtenu l’equation de Γ : M(ρ, θ) ∈ Γ ⇔ ρ =p

1 + e cos(θ − θ0)

Remarque et reciproque

On voit que ρ =p

e cos(θ − θ0)=

d

cos(θ − θ0)est l’equation de la directrice D associee a O.

Reciproquement, soit (α, β, γ), avec γ 6= 0 et (α, β) 6= 0.

Soit C la courbe d’equation ρ =1

α cos θ + β sin θ + γ(E).

Posons (α, β) = δ(cos θ0, sin θ0), avec δ > 0.

Alors (E) ⇔ ρ =1

δ cos(θ − θ0) + γ⇔ ρ =

p

1 + e cos(θ − θ0)avec e = δ

|γ| et p = 1|γ| .

On trouve donc une conique de foyer O, d’excentricite e = δ|γ| et dont la directrice associee

a O a pour equation ρ =p

e cos(θ − θ0)=

1

δ cos(θ − θ0)=

1

α cos θ + β sin θ.

L’equation (E), avec

γ 6= 0

(α, β) 6= 0caracterise donc toutes les coniques ayant un foyer au pole.



Proprietes communes a toutes les coniques

On peut toujours se placer dans le repere orthonorme direct (O,−→u (θ0),−→v (θ0)).

Cela revient a poser θ0 = 0 dans ce qui precede. L’equation de la conique Γ d’excentricite e,

de foyer O et de directrice associee x = d > 0 est donc ρ =p

1 + e cos θ, avec p = ed.

L’application θ 7→ ρ(θ) est 2π-periodique. On peut donc se limiter a un intervalle de longueur2π (et toute la courbe est obtenue.) Ensuite l’application θ 7→ ρ(θ) est paire. La droite θ = 0est donc un axe de symetrie de la conique : c’est l’axe focal.

On limite donc l’etude a [0, π], avant de proceder a cette symetrie.

On voit que si θ = ±π2 (2π), alors ρ = p. La droite passant par O et orthogonale a l’axe focal

rencontre donc la conique en deux points, a une distance p = ed de O.

On va maintenant considerer les trois cas 0 < e < 1, puis e = 1 et e > 1.

Les trois types de coniques :

– L’ellipse (0 < e < 1) :

L’application θ 7→ ρ(θ) =p

1 + e cos θest definie sur R, et elle est croissante sur [0, π].

On constate que ρ′ =pe sin θ

(1 + e cos θ)2s’annule pour θ ∈ 0, π.

Pour θ = 0 et θ = π, on a donc une tangente orthogonale au rayon vecteur (donc a Ox.)

Pour la representation graphique, on a choisi e = 15 et d = 2 (donc p = 1.)

– La parabole (e = 1) :


1 + cos θest definie pour θ 6= π (2π), et est croissante sur [0, π[.

On a la direction aysmptotique θ = π car limθ→π

= +∞.

C’est une branche parabolique car ρ(π + h) sinh =p sinh

1− cosh∼ 2p

h→∞ quand h→ 0.

Pour la representation graphique, on a choisi p = d = 1.



– L’hyperbole (e > 1) :


1 + e cos θest definie pour θ 6= ±ϕ (2π), avec ϕ = arccos (−1

e).

On peut alors ecrire l’equation de Γ sous la forme ρ =p

e(cos θ − cosϕ).

Sur [0, π] on a la direction asymptotique θ = ϕ (avec π2 < ϕ < π car cosϕ < 0.)

On trouve ρ(ϕ+ h) sinh =p sinh

e(cos(ϕ+ h)− cosϕ)∼ p

−e sinϕ= − d

sinϕ.

Il y a donc une asymptote, d’equation Y = − d

sinϕdans le repere mobile.

Pour la representation graphique, on a choisi e = 2 et d = 12 (donc p = 1.)


Arcs parametres du plan Partie III : Proprietes metriques des arcs du plan

III Proprietes metriques des arcs du plan

III.1 Rectification d’un arc du plan

Definition (Ligne polygonale inscrite dans un arc)

Soit (I = [a, b], f) un arc parametre continu du plan.

Soit σ = t0 = a < t1 < · · · < tn = b une subdivision du segment [a, b].

On dit que M(t0),M(t1), . . . ,M(tn) forment une ligne polygonale inscrite dans l’arc (I, f).

La quantite Lσ =n−1∑k=0

‖−−−−−→MkMk+1‖ est appele longueur de cette ligne polygonale.

Definition (Arc rectifiable)

On dit que l’arc parametre (I = [a, b], f) est rectifiable si l’ensemble des longueurs Lσ deslignes polygonales inscrites dans cet arc est majore.

On appelle alors longueur de cet arc la quantite L = sup(Lσ), le “sup” etant pris surl’ensemble des longueurs des lignes polygonales inscrites dans (I, f).

Proposition

Soit (I = [a, b], f) un arc parametre du plan, de classe C1.

Alors cet arc est rectifiable et sa longueur est egale a : L =

∫ b

a

‖ f ′(t) ‖ dt.

Invariance par changement de parametrage

Soit (I = [a, b], f) et (J = [c, d], g) deux parametrages admissibles du meme arc de classe C1.

Il existe donc un diffeomorphisme ϕ de J sur I, de classe C1, tel que g = f ϕ.

Supposons par exemple que ϕ soit croissante (donc ϕ(c) = a et ϕ(d) = b) :

Alors

∫ d

c

‖ g′(u) ‖ du =

∫ d

c

‖ f ′(ϕ(u)) ‖ϕ′(u) du =

∫ ϕ(d)

ϕ(c)

‖ f ′(t) ‖ dt =

∫ b

a

‖ f ′(t) ‖ dt.

De la meme maniere, si ϕ est decroissante (donc ϕ(c) = b et ϕ(d) = a) :

Alors

∫ d

c

‖ g′(u) ‖ du = −∫ d

c

‖ f ′(ϕ(u)) ‖ϕ′(u) du = −∫ ϕ(d)

ϕ(c)

‖ f ′(t) ‖ dt =

∫ b

a

‖ f ′(t) ‖ dt.

Les arcs (I, f) et (J, g) ont donc la meme longueur, ce qui est rassurant et montre que lalongueur d’un arc parametre est en fait une notion geometrique : on pourra donc parler dela longueur du support de l’arc, independamment de la representation parametrique utilisee.

Cas particuliers

– La longueur de l’arc t ∈ [a, b] 7→M(t) = (x(t), y(t)) est L =

∫ b

a

√x′2(t) + y′2(t) dt.

– On considere l’arc de classe C1 defini par y = f(x), avec a ≤ x ≤ b.

On aM(x) = (x, f(x)) doncM ′(x) = (1, f ′(x)) : la longueur de l’arc est L =

∫ b

a

√1 + f ′2(x) dx.

– On considere un arc de classe C1, defini en polaires par ρ = ρ(θ) (avec a ≤ θ ≤ b).

Pour tout θ, on sait que−−→OM

′(θ) = (ρ′(θ), ρ(θ)) dans la base mobile.

Donc ‖−−→OM ′(θ)‖ =√ρ2(θ) + ρ′2(θ) et la longueur de l’arc est L =

∫ b

a

√ρ2(θ) + ρ′2(θ) dθ.



III.2 Abscisse curviligne

Definition

Soit (I, f) un arc parametre de classe C1, et soit t0 un element de I.

Pour tout t de I, la restriction de f a [t0, t] definit un arc rectifiable.

Notons L(t) la longueur de cet arc. On pose alors :

– Pour tout t de I avec t ≤ t0, S(t) = −L(t).

– Pour tout t de I avec t ≥ t0, S(t) = L(t).

Autrement dit, pour tout t de I, on a S(t) =

∫ t

t0

‖ f ′(t) ‖ dt.

On dit que l’application S : I → R est l’abscisse curviligne de l’arc (I, f) oriente dans lesens des t croissants, avec M(t0) comme origine.

Pour tout t de I, on dit que S(t) est l’abscisse curviligne du point M(t).

Remarque

Tout en conservant la meme origine, on peut tres bien orienter l’arc dans le sens des t

decroissants, ce qui revient a choisir l’abscisse curviligne S(t) = −∫ t

t0

‖ f ′(t) ‖ dt.

En fait, l’arc est toujours oriente dans le sens des abscisses curvilignes croissantes.

Proprietes de l’abscisse curviligne

– On reprend les notations de la definition precedente. ∀ t ∈ I, on a S ′(t) = ‖ f ′(t) ‖ =∥∥∥d−−→OM

dt

∥∥∥.– Si l’arc (I, f) ne possede que des points reguliers (ou encore si les points singuliers sont isoles)

alors l’application t 7→ S(t) est de classe C1 et strictement croissante sur I.

– Si l’arc (I, f) est de classe Ck, avec k ≥ 1, et regulier, alors l’application t 7→ S(t) est unCk-diffeomorphisme de l’intervalle I sur un intervalle J .

Les applications (J, g = f S−1) et (I, f) sont alors deux representations parametriquesadmissibles du meme arc de classe Ck.

Pour tout s de J , le point M = f(t) = f S−1(s) est souvent note M(s) (et on dit que Mest le point d’abscisse curviligne s.)

– L’abscisse curviligne definit donc une nouvelle representation parametrique de l’arc initial.Quelque soit l’orientation choisie, l’arc est oriente dans le sens des s croissants.

– Pour tout s de J ,d−−→OM

ds=

d−−→OM

dt

(ds

dt

)−1

=d−−→OM

dt

∥∥∥d−−→OM

dt

∥∥∥−1

est un vecteur unitaire.

On exprime cette propriete en disant que le parametrage s 7→ M(s) de l’arc initial est unparametrage normal.

– Pour tout s de J , on note−→T (s) le vecteur unitaire

d−−→OM

ds.

Il dirige la tangente au point M(s) de l’arc, dans le sens de l’orientation de l’arc.



III.3 Formules de Frenet dans le plan

Dans la suite de cette section, on considere un arc parametre (I, f), de classe Ck, avec k ≥ 1.

On suppose que cet arc est regulier (sans point stationnaire.)

On peut donc le parametrer au moyen d’une abscisse curviligne s.

Repere de Frenet

Au point M(s), on note−→N (s) unitaire directement orthogonal a

−→T (s).

Tout comme l’application s 7→ −→T (s), l’application s 7→ −→

N (s) est de classe Ck−1.

La droite passant par M(s) et dirigee par−→N (s) est la normale a l’arc en M(s).

Le repere orthonorme (M(s),−→T (s),

−→N (s)) est appele repere de Frenet en M(s).

Courbure

On suppose maintenant que l’arc (I, f) est de classe Ck, avec k ≥ 2.

Pour toute abscisse curviligne s, on sait que ‖−→T (s)‖2 = 1.

Si on derive cette egalite, on trouve, pour toute abscisse curviligne s : (−→T (s) | −→T

′(s)) = 0.

Pour tout s, il existe donc un reel c(s) tel qued−→T

ds= c(s)

−→N (s).

Ce reel est appelee courbure de l’arc au point M(s).

On notera que la courbure est une quantite algebrique (elle peut donc etre negative.)

L’application s 7→ c(s) =(d−→T

ds| −→N (s)

)est de classe Ck−2.

Formules de Frenet

On suppose toujours que l’arc (I, f) est de classe Ck, avec k ≥ 2.

En derivant ‖−→N (s)‖2 ≡ 1, on voit qued−→N

dsest orthogonal a

−→N (s) donc colineaire a

−→T (s).

En derivant (−→T (s) | −→N (s)) ≡ 0, on voit que

(d−→N

ds| −→T (s)

)= −

(d−→T

ds| −→N (s)

)= −c(s).

On en deduit l’egalited−→N

ds= −c(s)−→T (s), pour toute abscisse curviligne s.

Les egalitesd−→T

ds= c(s)

−→N (s) et

d−→N

ds= −c(s)−→T (s) sont les formules de Frenet en M(s).

Rayon et centre de courbure

On suppose que l’arc (I, f) est de classe Ck, avec k ≥ 2, et regulier.

En un point biregulier M(t), d’abscisse curviligne s, la courbure c(s) est non nulle.

Le reel R(s) defini par R(s) =1

c(s)est appele rayon de courbure en M .

Le point Ω(s) = M(s) +R(s)−→N (s) est appele centre de courbure en M .

Si on inverse l’orientation de l’arc (I, f), alors en tout M de cet arc, les vecteurs−→T (s) et

−→N (s), ainsi que les reels c(s) et R(s) sont changes en leur oppose. En revanche le point Ω(s)est inchange : il reste dans la concavite de l’arc.



Ci-dessous, on a represente l’influence d’un changement d’orientation sur l’arc (Γ).

Plus generalement, on peut dire que le rayon de courbure est positif lorsqu’en suivant l’arc dansle sens de son orientation on a la courbure de l’arc sur sa gauche (cad quand le vecteur

−→N (s)

pointe dans cette concavite.)

III.4 Calcul du rayon et du centre de courbure

Angle polaire ϕ du vecteur−→T (s)


On le munit d’une abscisse curviligne s 7→M(s) (avec s ∈ J .)

Il existe une application ϕ : J → R, de classe Ck−1, telle que, pour s de J , l’angle ϕ(s) soit

une mesure de l’angle polaire du vecteur−→T (s) dans la base canonique du plan.

Cette application verifie donc : ∀ s ∈ J, −→T (s) = (cosϕ(s), sinϕ(s)).

On en deduit l’egalite : ∀ s ∈ J, −→N (s) = (− sinϕ(s), cosϕ(s)).

Calcul du rayon de courbure


On le munit d’une abscisse curviligne s 7→M(s) (avec s ∈ J .)

Pour tout s de J , on a l’egalited−→T

ds=

dϕ

ds(− sinϕ(s), cosϕ(s)) =

dϕ

ds

−→N (s).

On en deduit c(s) =dϕ

ds. Quand la courbure est non nulle, on trouve donc R(s) =

ds

dϕ

Cas particuliers

– Dans le cas d’un arc parametre t 7→M(t) = (x(t), y(t)) :

tanϕ(s) =y′(t)

x′(t)⇒ dϕ =

x′y′′ − x′′y′

dt. D’autre part =

√x′(t)2 + y′(t)2 dt.

On en deduit l’expression de R au point M(t) : R =(x′2 + y′2)3/2

x′y′′ − x′′y′.

– Dans le cas d’un arc defini par y = f(x), cette formule devient R =(1 + y′2)3/2

y′′.



– Dans le cas d’un arc defini en polaires par ρ = ρ(θ) :

On a tanV =ρ

ρ′, donc dV =

ρ′2 − ρρ′′

ρ2 + ρ′2dθ, donc dϕ = dV + dθ =

ρ2 + ρ′2 − ρρ′′

ρ2 + ρ′2dθ.

Compte tenu de ds =√ρ2 + ρ′2 dθ, on obtient : R =

(ρ2 + ρ′2)3/2

ρ2 + ρ′2 − ρρ′′.

– Calcul du rayon de courbure en un point particulier :

Soit M(s0) un point particulier de l’arc.

Notons X(s), Y (s) les coordonnees d’un point M(s) dans le repere de Frenet en M(s0).

On a−−→OM(s) =

−−→OM(s0) + (s− s0)

−→T (s0) +

(s− s0)2

2R(s0)

−→N (s0) + (s− s0)

2−−→ε(s).

Ainsi X(s) ∼ (s− s0) et Y (s) ∼ (s− s0)2

2R(s0)quand s→ s0. On en deduit R(s0) = lim

s→s0

X2

2Y.

Cette formule est utilisee pour calculer le rayon de courbure en un point tres particulier(plutot qu’en un point quelconque de l’arc.) Dans la pratique, il s’agit surtout de pointsa tangente horizontale ou verticale (le repere de Frenet est alors evident, de meme que lesformules de changement de repere entre le repere canonique et le repere de Frenet.)

– Deux exemples de la formule precedente :

Considerons la parabole x2 = 2py, oriente dans le sens des x croissants.

En O, le repere de Frenet est le repere canonique.

Le rayon de courbure en ce point est donc R = limx→0

x2

2y= p.

Considerons la cardioıde ρ = a(1 + cos θ) orientee dans le sens ses θ croissants.

On veut calculer le rayon de courbure pour θ = 0 (il y a une tangente verticale en (2a, 0).)

Les formules de changement de repere sont X = y et Y = 2a− x.

Ainsi, quand θ → 0 :X = y = ρ sin θ = a(1 + cos θ) sin θ ∼ 2aθ

Y = 2a− x = 2a− ρ cos θ = a(2− (1 + cos θ) cos θ) ∼ 3a2 θ

2

On en deduit R = limθ→0

X2

2Y=

4a

3.

– Une expression des coordonnees du centre de courbure :

Notons x, y les coordonnees du point M(s), dans le repere cartesien.

On sait que−→T (s) = (cosϕ, sinϕ) =

d−−→OM

ds=(dx

ds,dy

ds

). Ainsi

dx = cosϕ ds

dy = sinϕ ds

Le centre de courbure Ω(s) au point M(s) est defini par Ω(s) = M(s) +R(s)−→N (s).

On sait que−→N (s) = (− sinϕ, cosϕ).

On obtient donc les coordonnees X, Y de Ω(s) :

X = x− ds

dϕsinϕ = x− dy

dϕ

X = y +ds

dϕcosϕ = y +

dx

dϕL’interet de cette formule est

qu’elle permet de masquer le recours a l’abscisse curviligne.


arcs param´etr´es du plantomlr.free.fr/math%e9matiques/fichiers%20claude/aweb... · 2009. 3....

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