Archimède et la Loi de la RéflexionAuthor(s): Albert LejeuneReviewed work(s):Source: Isis, Vol. 38, No. 1/2 (Nov., 1947), pp. 51-53Published by: The University of Chicago Press on behalf of The History of Science SocietyStable URL: http://www.jstor.org/stable/225448 .Accessed: 25/08/2012 05:31

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Paul, Jules, and Marie Tannery 51

Ann6e igo7-igo8 Histoire de la physique (Annuaire, 8, 7I, 1908)

Ann6e I908-i909

Tableau g6n6ral du d6veloppement des con- naissances positives sur la nature. (Annuaire, 9, 55, I909)

Ann6e I909-I910

Histoire de la chimie depuis Lavoisier (Par suite de maladie, le professeur n'a pu faire son cours)

Ann6e I9IO-19II

Histoire de la chimie depuis Lavoisier (An- nuaire, II, 9I-92, i9ii)

Ann6e 1911-I9I2

Etude critique des th6ories g6n6rales de la

physique depuis les premi&res g6n6ralisations de Galil6e jusqu'aux conceptions aussi in- g6nieuses qu'hypoth6tiques de la physique moderne. (Annuaire, Z2, 23, 1912)

Ann6e I912-1913

Histoire des th6ories cosmogoniques Histoire des th6ories geologiques (Annuaire, I3, 20-21, I913)

Le professeur a ete suppl6e par Leonce Ma- nouvrier.

Ann6e 1913-1914

Le cours, interrompu par la mort du profes- seur survenue le I3 decembre 1913, devait porter sur: L'histoire des hypotheses cosmogoniques et des th6ories g6ologiques.

Cambridge, Massachusetts, 19 July 1946

Archimede et la Loi de la Reflexion PAR ALBERT LEJEUNE

A SCOLIE 7 a la Catoptrique dite d' Euclide I rapporte un raisonnement d' Archi- m6de relatif a 1'egalite des angles de r6flexion:

Archimede dit ainsi aue I'angle Z est ial, ou plus petit, ou plus grand que I'angle E. Soit d'abord Z plus grand que E: E est alors plus petit. Supposons donc inversement que

l'oeil soit A et que la reflexion ait lieu en sens contraire, de l'oeil sur l'objet B. L'angle E sera, dhs lors, plus grand que l'angle Z. Mais il etait aussi plus petit: ce qui est absurde.

Cette scolie, quelle qu'en soit l'origine, ne cite pas textuellement Archimede. Elle suppose la figure et les donnees du theoreme I de la Catoptrique pseudo-euclidienne: oeil en B, objet en A, rayon reflechi en K sous les angles E et Z.2 Le scoliaste ne reproduit le raisonnement qu'en substance, en l'adaptant a la figure du theorOme 'a l'occasion duquel intervient la citation.3 II evite ainsi d'introduire, en marge, une demonstration in extenso et une figure supplementaire; mais il risque aussi de deformer la pensee originale.

De fait, interpretee telle quelle, comme le raccourci d'une demonstration purement g'ometrique, notre scolie apparatt logiquement erronee. II s'agit de determiner le rapport liant l'angle d'incidence Z et l'angle de reflexion E. On pose tous les cas

IEuclidis Opera Omnia edd. J. L. Heiberg & H. Menge, vol. VII. (Optica, Opticorum Recensio Theonis, Catoptrica).

Leipzig, I895, p. 348, 3I7. Notre scolie figure aussi parmi les fragments

rassembl6s dans Archimedis Opera Omnia, 2e 6d. Heiberg, Leipzig 1913, tome 2, p. 550, no I9.

'Ed. cit., p. 288, I-3.

' A moins d'attribuer 6galement le theoreme I du pseudo-Euclide i Archimede. Cela n'est pas invraisemblable a priori, puisqu'il s'agit tris probablement d'une compilation. Mais ce th6o- reme demontre l'egalite des angles de r6flexion i partir du troisieme postulat, et celui-ci est mani- festement extrait du theoreme ig de l'Optique d'Euclide. (ed. cit.)

52 Albert Lejeune

possibles: Z = E, Z > E et Z < E. On cherche a etablir la verite de la premiere relation, en reduisant par l'absurde les deux autres. Premiare hypothase: l'angle d'incidence Z

est plus grand que l'angle de re- flexion E.

A Echangeons les positions respec- X tives de l'oeil et de l'objet: E devient

angle d'incidence et est, par hy- pothese, plus grand que Z. Le noeud du raisonnement git dans l'apparente contradiction entre la deduction (E> Z) et l'hypothese initiale (Z>E). Or, rien ne nous oblige, logiquement, a affirmer que le rayon visuel suit, dans les deux AL K r sens, le meme trajet. Le point de reflexion K peut fort bien etre dif-

FI. 1 ferent pour une reflexion de A vers B et de B vers A. Les termes E et Z,

dans les deux inegalites mises en contradiction, E > Z et Z> E, ne representent pas les memes angles. II n'y a donc d'absurde que l'attribution de pareil sophisme a un genial mathematicien.4

On peut neanmoins hesiter a recuser aussi radicalement un temoignage qui, pour etre anonyme, n'en est peut-etre pas moins serieux. Sans lui accorder plein credit, on peut supposer qu'il reproduit, sous une forme tronquee, une demonstration correcte tiree, par exemple, des Catoptriques d' Archim6de. Des lors, le probl6me se presente ainsi: que faut-il pour que ce raisonnement cesse d'etre incoherent?

II suffit qu'on admette comme demontre que le point de reflexion sur le miroir reste le meme quand on intervertit l'oeil et l'objet. Cela ne peut gu6re etre etabli qu'en fait. Ne peut-on supposer que le raisonnement reproduit etait precede, chez Archimede, de la demonstration experimentale indispensable? Pure hypothese, dira-t-on. Oui, si nous ne trouvions decrit, chez deux opticiens posterieurs a Archimede, Ptolemee et Heron d'Alexandrie, un procede experimental de determination du point de reflexion.

Ptolemee, dans son Optique, propose l'experience suivante. On note, sur le miroir, les endroits precis au travers desquels apparaissent les points remarquables de l'image, pour une position fixe de l'oeil. On constate que les points-images sont eclipses, quand on couvre les endroits repre's correspondants, et reapparaissent successivement, au fur et a mesure qu'on les decouvre. On en conclut que l'image speculaire se comporte comme un objet vu sans interposition, c-a-d. qu'elle apparait sur les prolongements des rayons visuels incidents.5 Les points ainsi determines appartiennent a la fois au miroir et aux rayons incidents: ce sont les points de reflexion.

Le meme procede est nettement 6voque dans une curieuse proposition des Catop- triques de Heron: 6

Dans les miroirs plans, l'image n'apparaft plus lorsqu'un certain point est occup6. Soit, en effet,

'Mr A. Rome, Annales de la Societd Scienti- fique de Bruxelles, LII (1932), s6rie A, lre partie, p. 34, conclut sous une forme plus nuan- cee: "Nous avons peine a croire que ce soit de l'Archimede authentique."

J. A. Vollgraff, De Leer van het Licht voor Huygens, I: De Optika in de Oudheid, Leiden, Sijthoff, I9IO, p. ii en note, reproduit le raison- nement attribu6 k Archim6de et ajoute que mani- festement ArchimMde suppose connu que l'on peut echanger l'oeil et l'objet.

Plus recemment, Carl B. Boyer, dans Isis, vol. 36, p. 95: "Such a demonstration appears scarce- ly worthy of the greatest mathematician of antiquity. . . ."

'L'Ottica di Claudio Tolomco da Eugenio . pubblicata da Gilberto Govi. Torino. I885.

p. 6I, 1.23. sqq. 'Heronis Alexandrini Opera quae supersunt

omnia, vol. II, fasc. I, Mechanica et Catoptrica recensuerunt L. Nix et W. Schmidt, Leipzig igoo, prop. VI avec sa figure.

Archimade et la Loi de la Rjflexion 53

un miroir plan AG,7 l'oeil B, l'objet D et menons les perpendiculaires au miroir AD, BG, et cou- pons AG en H, de faqon que AD: BG=AH: HG. Je dis que, une fois le lieu H. occupe, D ne sera plus vu. En effet, joignons BH et HD. Vu la proportion donnee plus haut, les triangles seront semblables. D'oui,8 l'angle e est egal h l'angle z: en cons&quence, D apparaitra par le point H. L'endroit etant occup6 par de la cire ou quel- qu'autre chose, D n'apparaitra pas plus long- temps. Mais si le point H est libere,9 l'image apparaitra dans le miroir. Car tous les rayons qui tombent sur le miroir seront r6flechis a angles 6gaux.

Cette proposition consiste a tirer, par voie theorique, du principe d'egalite des angles de reflexion pr&cedemment demon- tre, une consequence verifiable experi- 4 mentalement. Le point H, determine par A4 la relation AD: BG = AH: HG, inter- CL H C cepte l'image, parce qu'en vertu de l'egal- FIG. 2 ite des angles de reflexion, il est le point de reflexion oblige. La forme deductive, sous laquelle les faits sont presentes, n'est qu'un procede d'exposition. Heron, ici comme souvent, vise a un effet de curiosite. II s'agit bien d'une experience realisee, puisque l'auteur va jusqu'a confier a son theoreme un detail d'execution: on couvre avec un peu de cire. Ce procede de deter- mination du point de reflexion n'est atteste que pour une epoque posterieure a Archimede. Cela ne prouve rien, puisque nous n'avons plus aucun traite anterieur. Ce procede etait assez naturellement suggere, rien qu'en considerant la theorie inter- pr'tative de la reflexion basee sur le rayon visuel. Archimede peut fort bien l'avoir reconnu et employe. II lui suffisait de determiner, par cette methode fort simple, le point de reflexion pour des position donnees de l'oeil en B et de l'objet en A (lere figure), puis de recommencer l'operation pour l'oeil en A et l'objet en B et de constater que la point de reflexion ne change pas. L'experience, ainsi concue, est probante et susceptible de precision, si l'on opere les visees a la dioptre. Le raisonne- ment, reproduit par la scolie, devient alors irreprochable.

En fin de compte, la scolie 7 a la Catoptrique du pseudo-Euclide pourrait bien nous avoir conserve le souvenir d'une elegante demonstration de la loi d'egalite des angles de reflexion. Elle ne serait pas indigne du genie d'un Archimede. Elle representerait, sans doute, un stade anterieur aux mesures directes des angles de reflexion decrites pour la premiere fois par Ptolemee.10 Elle trahirait le souci, commun aux premiers essais de physique mathematique, de ne demander a l'experience que ce qui est tout juste necessaire pour amorcer la serie des deductions.

Fonds National Belge de la Recherche Scientifique

';Le texte latin se lit: "Sit enim speculum planum quod AG+aut in recta sibi, oculus autem B . . .etc." Voir apparat critique de Schmidt.

Dans le texte "enim," erreur manifeste du traducteur: nous adoptons la conjecture de Schmidt: "ergo." I Dans le texte, "si autem signum H excidat a

speculo"; litteralement: si le point H s'en va du miroir, c-i-d. la cire qui recouvre ce point. Cfr. traduction de Schmidt en regard du texte.

10 Opt. Ptol. ed. cit., p. 62, I.30 sqq. Ptolemee decrit un appareil permettant de mesurer les angles de r6flexion du rayon visuel pour des angles d'incidence pris de o i go degres.