approximation d'une fonction par des polynomes

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Développement limité de la fonction cos au V (0) 1 2 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1/1

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Développement limité de la fonction cosinus en 0

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Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

cos x = 1 + o(1)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

cos x = 1 −x2

2!+ o(x2)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!+ o(x4)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+ o(x6)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+

x8

8!+ o(x8)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+

x8

8!−

x10

10!+ o(x10)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+

x8

8!−

x10

10!+

x12

12!+ o(x12)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+

x8

8!−

x10

10!+

x12

12!−

x14

14!+ o(x14)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction cos au V (0)

Le développement limité de cos x à l’ordre 2n au

voisinage de 0 est :

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ o(x2n)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 1 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + o (1)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x + o (x)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+ o

(

x2)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ o

(

x3)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ o

(

x4)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ o

(

x5)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+

x6

6!+ o

(

x6)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+

x6

6!+

x7

7!+ o

(

x7)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+

x6

6!+

x7

7!+

x8

8!+ o

(

x8)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+

x6

6!+

x7

7!+

x8

8!+

x9

9!+ o

(

x9)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5+

x6

6!+

x7

7!+

x8

8!+

x9

9!+

x10

10!+ o(x10)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ex au V (0)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

Le développement limité de x 7−→ ex à l’ordre n au V (0) est :

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ · · ·+

xn

n!+ o (xn)

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 2 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 3 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→ ln (1 + x) au V (0)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

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Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1

Développement limité de la fonction x 7−→√

1 + x au V (0)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Tekaya Habib (IHEC de Sousse) www.everyoneweb.fr/exosmaths 4 / 1