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Approche du calcul des probabilités parl’imaginaire des élèves :

de l’oxymore à la pertinence

Fabienne Gléba (1) et Sylviane R. Schwer (2)

Groupe IREM Mathématiques et citoyenneté

(1) Collège de Lattre de Tassigny ; Le Perreux-sur-Marne(2) LIPN, UMR 7030, CNRS & Université Paris 13

APMEP : journée de la régionale Ile de France, 23 novembre 2019

Fabienne Gléba et Sylviane R. Schwer Hasard

Les probabilités et statistiques dans les programmes du cycle 4

Thème B : organisation et gestion des données, fonctionsles élèves apprennent à utiliser une représentation adaptée de

données pour en faire une interprétation critique. Ils abordentles notions d’incertitudes et de hasard, afin de construire unecitoyenneté critique et rationnelle.

Attendus de fin de cycle


Les probabilités et statistiques dans les programmes du cycle 4

repères de progressivitédès le début sont abordées des questions relatives au hasard,afin d’interroger les représentations initiales des élèves (jeux,. . . ), en suscitant des débats.Introduction et consolidation du vocabulaire : expériencealéatoire, issue, probabilité.Calcul des probabilités équiprobablesLien avec la statistique : expérience aléatoire sur tableurEn 4e, interprétation fréquentiste pour approcher probabilitéinconnue et dépasser le modèle équiprobable


Les probabilités et statistiques dans les programmes de secondegénérale et technologique

Objectifshistoire des mathématiques : cadre pour dégager leséléments de la mathématisation du hasard.Le problème des partis, du duc de Toscane, les travaux deLeibniz sur le jeu de dés.Utiliser l’information chiffrée et statistique descriptiveModéliser le hasard, calculer des probabilités

Ensemble (univers des issus)Probabilité d’un événementdénombrement à l’aide d’un tableau ou d’un arbre

échantillonnage


Les probabilités et statistiques dans les programmes de spécialité

en premièreOn reste dans le discret (fini)

introduction des probabibiltés conditionnellesformalisation de la notion d’indépendanceformaliser la notion de variable aléatoireintroduire les notions d’espérance, de variance et d’écarttype d’une v. a.

en terminaleOn reste toujours dans le discret, étude du schéma deBernoulli et des grands nombres.En complémentaire : lois à densité ; statistiques à deuxvariables quantitatives


Préliminaires

faire prendre conscience aux élèves que l’on aborde undomaine nouveau des mathématiques

lié à un domaine non rationnelune riche histoire mais récente par rapport aux nombres età la géométrie, en rapport avec l’émergence de ce quiconduira aux siècles des lumières.

lié à la notion de hasardimprévisible ou imprévunon explicable ou non expliquéPropriété du réel ou insuffisance (actuelle et provisoire) dela science à en rendre compte.


Objectifs

La compréhension est un cas particulier du malentendu.Witgenstein

photographier les représentations initiales des élèvesmise en place d’une démarche d’investigation scientifiqueà travers un regard critique par la quantification possibledu hasardfonder rigoureusement le vocabulaire

chi va piano va sano e va lontanoUne démarche en trois phases :

représentation à priori (cycle 3 ou début 5e)expérimentation (cycle 3 ou début 5e)institutionalisation


Une démarche spiralée en classe de 5e I

première phase : récréationplusieurs fins de séances (10-15 mn) non successives,après la Toussaint,

1 le questionnaire, et bilan de Q1 à la demandeémergence du terme hasard (et le pif) et de la « mémoiredu hasard ».

2 écrire individuellement un deux termes ou expressionsassociés

3 retour sur le champ lexical de la classe selon les débatsinspiration : G. Pons, « Autour du mot hasard », APMEP 198, Probabilitésau collège

différents classements : +positif/négatif/neutre ,jeu/événement

4 une définition par ilôt du mot hasard par écrit5 lecture et traitement des définitions pour obtenir la

définition de la classe, conforme à la classe.

Travail sur les conditions expérimentales (conditions dontnature des objets) ; lien avec les langues.


Q1 : en lançant un dé, qu’est-ce qui est le plus facile à obtenir : un2 ou un 6?

Deux types de réponses :dû au hasard je ne sais pas (46 %) ou aucun des deux (11 %)des causes mécaniques c’est le 2 qui l’emporte (3 contre 1)


Hasard : étymologie

Emprunté à l’arabeaz-zahr via esp. azar « coup défavorable aux dés »

zahr fleur, une des figures d’une faceyazara jouer aux dés

yazar groupe de joueurs de désh ajouté au m. fr sur les mots étrangersLe Littré (1872-77) : d’après Guillaume de Tyr, le hasard estune sorte de jeu de dés trouvé pendant le siège d’un châteaude Syrie nommé Hasart.Les premiers jeux de dés : on en trouve chez les Etrusques, enInde, chez les Romains et les Grecs. Les plus anciens en Irak(début 3e mill. av. E. C.), amélioration des astragales à 4 faces(osselets).


Hasard : usages

1150 hasart : jeu de dés1200 hasart : un certain coup au jeu de hasard

début XIIIe s. sens figuré : mauvais coupXVe s hazard : risque, danger

début XVIe s. hazart : cas, événement fortuit1532 hasart (adv, chez Villon) : fortuitement, par hasard

vers 1570 hasard : cause attribuée aux faits dont on ignore lacause réelle

Lexique de l’ancien français (Godefroy, 1901)


Hasard : usages

Montmort (1713) Essay d’analyse sur les jeux de hazard

Hasard peut êtrepetit (rarement), grand, pur, heureux, malheureux et leurssuperlatifs singulier et pluriel

On peuts’y soumettre, s’y risquer, s’y exposer, le tromper , le corriger,les risquer


Une démarche spiralée en classe de 5e II

seconde phase : jeter le hasard ou expérimentation par lejeu de dé

une ou seux séances proches entière entre Noël etvacances d’hiver

1 deux jeux de hasard, recherche s’ils sont équitables ou nonavec des dés à disposition et papiers/crayons avecnarration de recherche (eux 30 mn, vous 10 mn) et retourcollectif : hasard, pas ou pas que

2 faire ou finir les tableaux de relevéscorriger les tableaux et expressions mathématiques desrésultats

Travail sur les conditions expérimentales (conditions dontnature des objets) ; lien avec le français.


deux jeux sur le pair et l’impair : équitables ou non?

jeu des produits

À chaque partie, on lance deux dés et on multiplie les chiffresobtenus. Le joueur 1 gagne si le produit est impair. Le joueur 2gagne si le produit est pair.Choisis-tu d’être le joueur 1 ou bien le joueur 2?

jeu des sommes

À chaque partie, on lance deux dés et on additionne les chiffresobtenus. Le joueur 1 gagne si le produit est impair. Le joueur 2gagne si la somme est paire.Choisis-tu d’être le joueur 1 ou bien le joueur 2?


Une démarche spiralée en classe de 5e III

troisième phase : institutionnalisationune pré-institutionnalisation :

rituels ou questions flash : établissement du vocabulairedes événements sur une échelle des probabilités qualitative(cf. documents ressources) ; boites à événementslien entre le vocabulaire temporel courant et celui desprobabilitésquantification avec les pourcentages fractionnaires (num :0, 25, 50, 75, 100) puis les fractions

institutionnalisation


Echelle de probabilités : du qualitatif au quantitatif


le temps est un enfant qui joue au trictrac. Ce royaume est celuid’un enfant (Héraclite).

jamais rarement quelquefois kif kif souvent très souvent toujoursimpossible improbable peu probable équitable probable très probable certain

0% 25% 50% %75 %1000 1

412

34 1

On observera des termes repères (ponctuels) et des termesdécrivant des intervalles (aspect itératif).


Conclusions avant d’aller plus loin

un long temps indispensable pour permettre à certainsélèves de se détacher de leur conviction et de passer de« pur hasard »à « ce n’est pas que du hasard » sanspénaliser les autres.des moments très agréables avec les élèves

moments attendus, récréatifs car après avoir fait autrechoseéchanges intellectuels richescompétences transversalles nombreuses : gestion dedébats ; aspects historiquesréinvestissement naturel du vocabulaire : changement derapport prof/élèves (maniement pertinent du second degré)

aisance dans le calcul des probabilités, donc grand gain detemps sur le coursles deux premières phases peuvent se faire en cycle 3


Les jeux de hasard dans la société

Dès l’antiquité : dès en Mésopotamie, Etrusques, Grecs,Romains.Prohibition des jeux publics et privés à Rome sauf sportifs.Les philosophes arabes du Moyen-Age : le jeu est un artAu XVIIe et XVIIIe s., on joue dans toute l’EuropeLa France de Louis XIV est folle de jeu.Plusieurs ordonnances de police au XVIIe et XVIIIe pourinterdire les jeux d’argent et de hasard, jugés contraires àla morale et dangereux pour la société (ruine des familles).Interdictions contournées par la noblesse, la monarchieDepuis 1836, les activités de jeux d’argent et de hasardsont prohibées en FranceLoterie utilisée pour combler des déficits ou financer unouvrage.


les fameux problèmes posés par des joueurs célèbres sur les dès

Le probème du Duc de Toscane pour GaliléeLe prince de Toscane avait remarqué que, bien qu’il y ait autantde façons d’écrire 9 et 10 comme somme de 3 nombrescompris entre 1 et 6, on obtient plus souvent un total de 10lorsqu’on lance 3 dés.

problème du Le chevalier de Méré pour PascalQuel est l’événement le plus probable entre :

1 Obtenir au moins un 6 en lançant quatre fois un dé2 Obtenir au moins un double 6 en lançant vingt-quatre fois

deux dés

Le probème du duc de Roannez pour Leibnizsur le nombres de faces dans les lancers de dés : dénombrerles faces de n dés faisant ou ne faisant pas apparaitre uncertaint caractère (par exemple le 6)


histoire des mathématiques(1613-1623) : Galilée : Sopra Le Scoperte dei Dadi1654 : Pascal : la géométrie du hasard1654-60 : Pascal, Fermat : correspondance1657 : Christian Huygens : de Ratiociniis in Ludo Aleae1663 : Jérôme Cardan : Liber de ludo aleae1676 - 1678 : Leibniz : textes sur les jeux1708-13 : Pierre Raymond de Montmort : Essay d’analysesur les jeux de hazard1713 (post-mortem) : Jacob Bernoulli : Ars Conjectandi1718 : Abraham de Moivre : The doctrine of Chances1792 : Encyclopédie méthodique, dictionnaire des jeux,faisant suite au tome III des Mathématiques


Leibniz (1646 Leibzig -1716 Hanovre)

étude de lettres classiques, mathématiques, chimie, droit(thése, avocat, conseiller à la chancellerie de Mayence)Trilingue : allemand, latin, français1672-1676, mission diplomatique auprès de Louis XIV, pourpréserver la paix entre la France et l’Allemagne. Vaste réseaud’échange entre intellectuels (plus de1100 correspondants).

1676, rencontre Spinoza à la Haye et rentre en Allemagne,Colbert lui ayant refusé une pension.

devient bibliothécaire au service de la maison de Hanovre.connu comme philosophe, géologue, philologue,géographe, linguiste, sinologue, logicien, juriste,métaphysicien, généalogiste, politique, mathématicien,diplomate, bibliothécaire et un peu courtisan.


Leibniz et les mathématiques

1666, Dissertatio de Arte combinatoria : construire unsystème universel de raisonnement, précurseur de Boole,de Morgan1673 : reçoit une pascaline qu’il améliore, élu à la RoyalSociety de Londres.1684, calcul différentiel et intégral, infinitésimal (conflitavec Newton) en lien avec le Système de monades et del’harmonie préétablie1686 : dynamique, fondée sur la conservation de la force1703 (CRAS) : les principes du calcul binaire1705, Nouveaux essais sur l’entendement humain, donneune classification des nombres : il distingue entier, l rompu,sourd et transcendant.


Leibniz et le jeu

Pour Pascal, le jeu est de l’ordre du divertissement, pour (se)détourner/éloigner d’un problème.

lettre à Jean BernouilliLes hommes sont en général plus ingénieux dans lesdivertissements que dans les affaires sérieuses, et remportentplus de succès dans les actions qui procurent le plus de plaisir.

Les jeux de hasardDes préoccupations juridiques conduisent Leibniz à s’interrogersur ce qui fait qu’un jeu est juste.Son but est d’étudier les jeux dans cette optique et d’enproposer des versions nouvelles plus équitables

C’est à Paris (1672-6) que Leibniz travaille sur les jeux (plus de21 articles)


Le quinquenove

règle du jeuSe joue à deux joueurs et deux dés, le banquier et sonadversaire.

1 le banquier lance les dés :s’il fait un doublet ou si la somme des deux dès est 3 ou 11,le banquier gagnesi la somme est 5 ou 9, c’est l’adversaire qui gagnedans les autres cas, le banquier relance

2 dans les lancers qui suivent :si la somme est 5 ou 9, c’est l’adversaire qui gagnepour gagner, le banquier doit refaire la somme obtenue lapremière foisdans les autres cas, il rejoue


Le quinquenove très à la mode à Paris.

Leibniz et le quinquenoveC’est une question curieuse et même utile parmi les joueurs si l’avantagedans le jeu qui s’appelle quinquenove est du c‘ oté de celui qui joue ou non.Elle est curieuse par ce qu’il faut faire quelques raisonnements assezplaisants pour la déterminer ; et elle est utile (. . . ) par ce qu’elle peut servird’essai pour estimer les degrés de probabilité en des matières plusimportantes.

L’intérêt pour nousLeibniz s’est trompé en modélisant l’univers des issues,mais son raisonnement est correctL’expérience acquise par les élèves leur permettent defaire eux même ou de comprendre la démarche de Leibniz,Peut s’étudier à tout niveauPossibilité de simulation, de programmation


Leibniz : l’exemple introductif du quinquenove

« Prenons un exemple. Deux personnes jouent au dés : l’ungagnera s’il a huit points, l’autre s’il en a cinq. Il s’agit de savoirpour lequel des deux il faudrait plutôt parier. »


Leibniz et le quinquenove


Références

autour du hasard- Questionnaire de J. VERDIER : APMEP brochure 484- Activité autour du mot hasard : G. PONS, : "Probabilités aucollège : ne pas laisser l’enseignement des probabilités auhasard". APMEP brochure 198

Leibniz et le jeu- S. de MORA-CHARLES, quelques jeux de hazard selonLeibniz, HISTORIA MATHEMATICA 19 (1992), 125-157,https : //core.ac.uk/download/pdf/82354133.pdf- Vincent LEROUX, Le jeu dans la pensée de Leibniz, (2015)Master 2 de philosophie des sciences, université Paris Diderothttps : //www .academia.edu/23855035/Sur_les_jeux_chez_Leibniz


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