applicazioni di modelli algebrici ai nuclei atomicigpco/scuola/terzo/fossion/fossion1.pdf · 1....

R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionINFN-Padova

Applicazioni di Modelli Algebrici ai Applicazioni di Modelli Algebrici ai Applicazioni di Modelli Algebrici ai Applicazioni di Modelli Algebrici ai Nuclei AtomiciNuclei AtomiciNuclei AtomiciNuclei Atomici

oggi

• Modello Collettivo

• Stati Coerenti (“il campo medio dell’ IBM”)

mercoledì

• Coesistenza di fase di forma

• Transizioni di fase di forma (soluzioni algebriche ai punti critici)

R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion

Magna GreciaMagna GreciaMagna GreciaMagna Grecia

PARTENZA DI UNA PERSONA AMATA – UCCIA DE SANTIS

(canzone popolare)

Bella io parto arrivederci addio

Dalle foglie mi si spezza il cuore

Le foglie di canna

Mi feriscono per te,

Per la tua bella signoria.

Il pianto mi ha trattenuto il passo,

La lingua mi ha ritirato la favella,

Così ci han condannato i tuoi,

Che io parta e tu rimanga.

PARTENZA DI UNA PERSONA AMATA – UCCIA DE SANTIS

(canzone popolare)

Bella io parto arrivederci addio

Attà fiddha mu spezzìzete i cardìa,

Ta fiddha calamènja

Me trapanìzon ghià sena,

Cittin òrian signorìa.

O clàma m’antartènezze ton pàsso,

I glòssa mu ìsire tin omilìa,

Itu mas cundànnezze ‘so spìti,

Ivò na taràsso ce isù na mìni.

Il Grecanico o il Griko

Dubbi sull’ origine• Greci antichi (2800 anni fa!)• Diaspora dei Greci dopo il sacco di Constantinopoli (1453 d.C)


----2222---- Modello Collettivo di Modello Collettivo di Modello Collettivo di Modello Collettivo di Bohr&MottelsonBohr&MottelsonBohr&MottelsonBohr&Mottelson


1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson

• Il nucleo è considerato come una goccia di materia nucleare molto densa, e che ha una forma specifica in equilibrio.

•Il carattere di una vibrazione nucleare dipende della forma in equilibrio. Ci sono due casi importanti:

- una vibrazione intorno ad una forma sferica (β=0)

- una vibrazione intorno ad una forma deformata (β>0)

Modi di vibrazione nucleare



Invece di descrivere un nucleo di massa A con i 3A(r) gradi di libertà di tutti i nucleoni presenti, èpossibile descrivere le proprietà collettive con un

insieme di parametri ridotti αλµ(r1,…,rA)

λ=0: compressione (solo ad alte energie)

λ=1: traslazione (non è una eccitazione intrinseca)

λ=2: vibrazione quadrupolare

λ=3: ottupolo

λ=4: esadecupolo...

λ=2 λ=3 λ=4



Vibrazione ottupolare

deformazione verso una forma di pera

Animazione dal sito web dell’ Università di Lund


21Y±

±

20Y

1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson5D oscillatore quadrupolare

22Y±

±

( )22 2 2 1 2 1 2 2 2 2, 0,ia D a a a aν µ µν

να θ − + − += = = =∑

Armoniche sferiche

XY

Z

(aλµ)=β,γ,θi

X’

Y’

Z’

LAB

(αλµ)

INTR.

Angoli Euler θi

Cambiamo il sistema di riferimento…

…per trovare un interpretazione per i parametri di deformazione


φ [0,2π]

θ [0,π]

Χ

Υ

Ζ ( )

( )

( ) ( )

0

0

0

5, 0 1 cos 3 sin

2 16

5, 1 cos 3sin

2 2 16

50 1 2cos

16

X

Y

Z

R R

R R

R R

πθ ϕ β γ γπ

π πθ ϕ β γ γπ

θ β γπ

= = = + − +

= = = + − −

= = +


1-21-1-12r z

11-22-1-1r y

-211-12-1r x

300°180°60°240°120°0°γ

rx

ry

rz

(1) β=0

Sferico, Rx=Ry=Rz

(3) β>0, γ=n*60°

Triassiale

Rx=Ry=Rz

(2) β>0 e γ=n*60° axial symmetric

/

Prolato

R1=R2<R3

oblato

R1<R2=R3

/ /


(1) β=0

Sferico

(3) β>0, γ=n*60°

triassiale


1-21-1-12r z

11-22-1-1r y

-211-12-1r x

300°180°60°240°120°0°γ

(2) β>0 e γ=n*60° axial symmetric

/

Asse di simmetria

rz ryrx rzry rx

Spazio dei parametri

β=0 o β>0, γ [0,60°]



Si puo scrivere l’Hamiltoniana in termini che dipendono dai parametri di deformazione (energia potenziale) e termini che dipendono dai derivati al tempo di questi parametri (energia cinetica).

L’Hamiltoniana di Bohr & Mottelson

Energia cinetica

Energia potenziale Con momento di inerzia

Alla fine, l’Hamiltoniana di Bohr & Mottelson

Rot. Vibr.

LAB Intrinseco



(1) Potenziale non dipendende da γ(γ-instabile)

Puoi separare l’Hamiltoniana in una parte che dipende da β...

… ed una parte che dipende da γ

(2) γ-stable (γ=kπ/3) simm. ass.

Soluzione dell’ Hamiltoniana di Bohr & Mottelson

Solo in questo caso l’Hamiltonianasi può solvere esattamente

es.1 V(β)=osc. harm.

es.2V(β)=buco quadro infinito=> Soluzione E(5) per punto critico di un transizione di fase di forma

Fig. from L. Fortunato

In tutti gli altri casi, l’Hamiltoniana NON si può solvere esattamente, abbiamo invece soluzioni approssimative

es. V(β)=buco quadro infinito=> Soluzione X(5)

/(2bis) Triassiale (γ=kπ/3)

Compendio di tutti le soluzioni algebriche: L. Fortunato, Eur. Phys. J. A26 (2005) 1-30.



Uno spettro d’eccitazione collettivo schematico

nβ numero di “quanti” di vibrazione,

nγ numero di “quanti” di rotazione

(β,γ)

Vibrazioni (eccitazioni intrinseche)

Rotazioni(non sono eccitazioni intrinseche)

(per nuclei deformati, β>0)



Vibrazioni tipo β(simmetria assiale)

Vibrazioni tipo γ(deformazione triassiale)

Di un nucleo sferico non si osservano dei rotazioni

Animazioni dall sito web dell’ Università di Lund


----2222---- Gli stati Gli stati Gli stati Gli stati bosonicibosonicibosonicibosonici coerenticoerenticoerenticoerenti


2. Stati Coerenti: definizione

Nel sistema di riferimento del laboratorio (LAB frame) possiamo definire un condensato di N bosoni, per lo stato fondamentale, capace di fare di deformarsi in modo quadrupolare con dei parametri α2µ analoghi ai parametri collettivi del modello di Bohr & Mottelson

( )2 2; 0N

N s dµ µ µµα α+ +∝ +∑

( )( )10 2 22

; ,

cos sin 0N

N

s d d d

β γ

β γ β γ+ + + +− +∝ + + +

20

21 2 1

22 2 2

cos

0

sin2

a

a

a a

αβ γ

β γ

−

−

== =

= =

J.N. Ginocchio & M.W. Kirson, Phys. Rev. Lett. 44 (1980) 1744.

A.E.L. Dieperinket al., Phys. Rev. Lett. 44 (1980) 1747.

A. Bohr & B.R. Mottelson, Phys. Scripta22 (1980) 468.

XY

Z

(aλµ)=β,γ,θi

X’

Y’

Z’

LAB

(αλµ)

INTR.

Angoli Euler θi


( )( )( )1

/ 220 2 22

; , cos1

s 0! 1

n1

iN

NN s dN

d dβ γ β γ ββ

γ+ + + +− += + + +

+normalizzazione

Calcolare l’effetto degli operatori b, b+

tramite derivazioni

2. Stati Coerenti: la normalizzazione

Come si fanno dei calcoli con gli Stati Coerenti?Esercizio: la normalizzazione

; , ; , 1N Nβ γ β γ =

( ){ }

( ){ }

1

0 2 2

† †0 2

† † † †0 2 2

2

cos si

cos sin

co

0

in

n

s s

0N

N

s d d d

s d d d

s d d d

β γ β γ

β γ β γ

β γ β γ

−

−

−

−

+ + +

∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂

+

=

+ +

( ){ }( ){ }† † † †

0 2 2

0 2 2cos s

cos in

n

s 0

i0N

N

s d d

s d

d

d dβ γ β

β

γ

β γ γ

−

−+ + +

+ + + { } { }2

2 12 121 cos 2 sin 0 02

.... ..N N

Nββ γ γ − −

= + +

{ } { } ( ) { } { }

( )

2

2

11... ...... ..0 1 0

1

.0 0

!

N NN

N

NN

N

β

β

−−= +

= +

Troviamo una formula di iterazione

Lo stato coerente ben normalizzato in β,γ


( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0,

ˆ ˆ ˆLLL

s s d d l l l l l l l ll l l l L

H E n n b b b bε ε υ + +′ ′ ′ ′

′ ′= + + + × ⋅ × +∑ % % L

† † †0

1ˆ ...2

H E b b u b b b bαβ α β αβγδ α β γ δαβ αβγδ

ε= + + +∑ ∑

( )( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ,CQF d dH n Q Q Q s d d s d dχ χ χµ µ µ µ

ε κ χ+ + += − ⋅ = + + ×% %

2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: L’Hamiltoniana

L’Hamiltoniana nell’ IBM

Conserva il numero dei bosoni N, è Hermitiana…

… ed ha momento angolare L=0

ns=N-nd

E0’+εnd( ) ( )2 2ˆ ˆQ Qκ− ⋅

Consistent Q-Formalism (stesso Q per energie ed EM transizioni)

L’Hamiltoniana più compatta che descrive i tre limiti U(5), SU(3) & O(6)

, ,( 1)

; ( 1)

l ml m l mb b

s s d dµµ µ

+−

−

= −

= = −

%

%%

Trucco per fare che gli operatori di annichilazione si trasformano

come armoniche sferiche

Siamo interessati all’ interazione quadrupolare-quadrupolare

Termini “one-body”

Termini “two-body”


2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: L’Hamiltoniana

Vibratore sferico

Rotore deformato con simmetria assiale

Rotore deformatoγ-instabile

×

L’Hamiltoniana nel “consistent Q-formalism”

Quale è la forma nucleare che corrisponde con i limiti diversi, e con ogni punto del triangolo di simmetria?

• Sui limiti:soluzioni algebriche per lo spettro e per le transizioni EM• Fuori dai limiti:solo calcoli numerici


3. 3. 3. 3. Stati Coerenti: Superficie d’Energia

( )( )2

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ

CQF d dH n Q Q

Q s d d s d d

χ χ

χµ µ µ µ

ε κ

χ+ + +

= − ⋅

= + + ×% %

( )( )( )1

0 2 2/ 2 22

1 1; , cos sin 0

! 1

N

NN s d d dN

β γ β γ β γβ

+ + + +− += + + +

+

Abbiamo un’ Hamiltoniana

Abbiamo uno stato coerente/intrinseco

Calcoliamo la superficie d’energia E(β,γ) (PES, Potential Energy Surface)

$ ( )† †

† † † † †2 2 1 1 0 0 1 1 2 2

† † † † †2 2 1 1 0 0 1 1 2 2

. 1m

d m mm

n d d d d

d d d d d d d d d d

d d d d d d d d d d

−

− − − − −

− − − −

= = −

= − + − +

= + + + +

∑% %

% % % % %

( ){ } { }

22 12 2 2 1

2cos 2 si ...n 0 0

2!.

1..

N

N

NN

N

ε ββ γ γβ

− − = +

+

2

2ˆ

1dn Nβε ε

β=

+( ) ( ) 121 ! 1

NN β

−− +

( ){ } ( ){ }† † †

0 0 2 2 2 22

.1

ˆ 0 0! 1

. ... .NN

d Nn d d d d d dN

εβ

− −= + ++

Prodotto scalare

( ){ } { } { } { } { } { }† † †2

0 0 2 2 2 2

... ..1

0 0 0 0 0 0! 1

... ... ... ... .N N N

N

N N N

d d d d d dN β − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +


2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: Superfecie d’Energia

( )( )2

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ

CQF d dH n Q Q

Q s d d s d d

χ χ

χµ µ µ µ

ε κ

χ+ + +

= − ⋅

= + + ×% %

( )†

2 2 1 1 0 0 1 1 2 2

ˆ ˆ. 1m

m mm

Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

−

− − − −

= −

= − + − +

∑

Calcolo della parte –κQ.Q

†, 1m mb b =

( )† †2 1 1 2

† †2 1 1 2

† † †2 1 1 2 2 2

1

d d d d

d d d d

d d d d d d

− −

= −

= −

% %

, ,( 1)

; ( 1)

l ml m l mb b

s s d dµµ µ

+−

−

= −

= = −

%

%%

Prodotto scalare

Tutti i termini “two-body”in “normal ordering”

Extra “one-body” terms

93 termini in totale !!!


( )

( )

( )( )

2 22

2 2

2 4 3 222

,

ˆ ˆˆ; . ;

5 1

1 1

1 2 24 cos3 4

7 71

CQF

d

d

E

N n Q Q N

N N

N N

β γ

βγ ε κ βγ

χ ββε κβ β

κ χ β χβ γ ββ

≡ −

+ += −

+ + −

− − + +

Energia dello stato fondamentale in funzione dei parametri di deformazione E(β,γ)

Parte sferica

Parte deformata

Dipendenza da γ (triassialità)

2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: Superficie d’Energia

In[18]:= $TextStyle= 8FontSize→ 14<;Hsph@n_, β_D = n∗β^2êH1+β^2L;Hdef@n_, β_, γ_, χ_D =

HnêH1+β^2L∗H5+H1+ χ^2L ∗β^2L +

n∗Hn−1L êH1+β^2L^2∗H2ê7∗χ^2∗β^4−4∗Sqrt@2ê7D∗χ∗β^3∗Cos@3∗γD+4∗β^2LL;

H@n_, β_, γ_, ε_, κ_, χ_D =

ε∗Hsph@n, βD −κ∗Hdef@n, β, γ, χD

Out[21]=nβ2 ε

1+ β2− κ

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjnH5+ β2 H1+ χ2LL

1+ β2+

H−1+nL nikjjjj4β2 + 2β4χ2

7−4$%%%%%2

7β3χ Cos@3γDy{

zzzzH1+ β2L2

y

{

zzzzzzzzzzzzzzz

Con l’aiuto di Matematica


2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: interpretazione geometrica dell’IBM

In[31]:= Plot@H@10, β,0,1,0,0D, 8β,0,3<,PlotLabel−> "ε=1,κ=0",AxesLabel→ 8"β","E"<D

0.5 1 1.5 2 2.5 3β

2

4

6

8

E ε=1,κ=0

In[33]:= ParametricPlot3D@8β∗Cos@γD, β∗Sin@γD, H@10, β,0,1,0,0D<,8β,0,3<, 8γ,0,Piê3<, ViewPoint→ 81, −2,2<,BoxRatios→ 81,1,1<,AxesLabel→ 8"β Cosγ","β Sinγ","E"<D

01

23

β Cosγ

0

1

2β Sinγ

024

6

8

E

1

2Sinγ

In[34]:= ContourPlot@H@10, Sqrt@x^2+y^2D, ArcTan@yêxD,1, 0,0D, 8x, 0.01, 2<, 8y,0.01,2<D;

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

Nucleo sferico vibratore

(ε>>,κ<<) limite U(5)

( )( )

( )( )

2 22

2 2

2 4 3 222

ˆ ˆ, ; . ;

5 1

1 1

1 2 24 cos3 4

7 71

CQF d

d

E N n Q Q N

N N

N N

β γ βγ ε κ βγ

χ ββε κβ β


≡ −

+ += −

+ + −

− − + +

βmin=0

.β

γ

β

γ [0,60°]

.


2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: interpretazione geometrica dell’ IBM

In[43]:= ParametricPlot3D@8β∗Cos@γD, β∗Sin@γD, H@10, β,0,0,1, −Sqrt@7Dê2D<,8β,0,3<, 8γ,0,Piê3<, ViewPoint→ 81, −2,2<,BoxRatios→ 81,1,1<,AxesLabel→ 8"β Cosγ","β Sinγ","E"<D

01

23

β Cosγ

0

1

2β Sinγ

−200

−150

−100

−50

E

0

1

2β Sinγ

In[61]:= ContourPlot@H@10,Sqrt@x^2+y^2D,ArcTan@yêxD,0, 1, −Sqrt@7Dê2D, 8x, 0.01, 2<, 8y, 0.01, 2<D;

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

Nucleo come rotatore limite SU(3)(ε<<,κ>>,χ= Sqrt[7]/2)

( )( )

( )( )

2 22

2 2

2 4 3 222

ˆ ˆˆ, ; . ;

5 1

1 1

1 2 24 cos3 4

7 71

CQF d

d

E N n Q Q N

N N

N N


χ ββε κβ β


≡ −

+ += −

+ + −

− − + +

In[62]:= ContourPlot@H@10, Sqrt@x^2+y^2D,ArcTan@yêxD,0, 1, Sqrt@7Dê2D, 8x, 0.01, 2<, 8y, 0.01,2<D;

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

+_

In[6]:= PlotAH@10, β,0,0, 1, −Sqrt@7Dê2D, 8β,0, 3<,

PlotLabel−> "ε=0,κ=1,χ=−è!!!!7

2",

AxesLabel→ 8"β","E"<E

0.5 1 1.5 2 2.5 3β

−200

−175

−150

−125

−100

−50E ε=0,κ=1,χ=

−è!!!7

2

prolateoblate

βmin= 2

χ=+Sqrt[7]/2)χ=-Sqrt[7]/2)

β

γ [0,60°].

βγ [0,60°] .



In[39]:= Plot@H@10, β,0,0,1,0D, 8β,0,3<,PlotLabel−> "ε=0,κ=1,χ=0",AxesLabel→ 8"β","E"<D

0.5 1 1.5 2 2.5 3β

−120−110−100

−80−70−60−50

E ε=0,κ=1,χ=0

In[40]:= ParametricPlot3D@8β∗Cos@γD, β∗Sin@γD, H@10, β, 0,0, 1,0D<,8β,0, 3<, 8γ, 0, Piê3<, ViewPoint→ 81, −2, 2<,BoxRatios→ 81, 1,1<,AxesLabel→ 8"β Cosγ", "β Sinγ","E"<D

01

23

β Cosγ

0

1

2β Sinγ

−120

−100

−80

−60

E

0

1

2β Sinγ

In[41]:= ContourPlot@H@10,Sqrt@x^2+y^2D, ArcTan@yêxD,0,1, 0D, 8x,0.01,2<, 8y,0.01, 2<D;

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

Nucleo come rotatore γ-instabile(ε<<,κ>>,χ=0)

( )( )

( )( )

2 22

2 2

2 4 3 222

ˆ ˆˆ, ; . ;

5 1

1 1

1 2 24 cos3 4

7 71

CQF d

d

E N n Q Q N

N N

N N


χ ββε κβ β


≡ −

+ += −

+ + −

− − + +

βmin=1

β

γ [0,60°]



Triangolo di simmetria dell’IBM

Transizioni di fase di forma

Figs. from R. Casten

X(5), E(5) nuove soluzioni algebriche per i punti critici dei transizioni di

fase di forma



Triangolo esteso di simmetria dell’IBM

Comprende il quarto limite SU(3) (deformazioni oblati),isomorfo con il limite SU(3) (deformazioni prolati)


2. 2. 2. 2. RiasuntoGli stati bosonici coerenti come legame fra il

modello collettivo e l’IBM

IBM (LAB)• sui limiti: soluzioni algebriche per lo spettro e per i decadimenti EM• fuori dai limiti: solo soluzioni numerici e a volte difficile di mettere gli stati eccitati in bande differenti• non c’è la nozione della forma nucleare

Mod. Collettivo (INTR.)• nucleo sferico o deformato• eccitazioni intrinseche (vibr. γ o β)• bande d’eccitazione rotazionali

Stati coerenti (INTR.)• con ogni Hamiltonianadell’IBM corrisponde una forma nucleare esplicita• possiamo descrivere ogni banda d’eccitazione con uno stato coerente differente

applicazioni di modelli algebrici ai nuclei atomicigpco/scuola/terzo/fossion/fossion1.pdf · 1....

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