OS, 11 avril 2006 243

Application: le cyclotron

• Premier accélérateur circulaire de protons– Deux boîtes métalliques (en forme de demi-cercles),

appelées « dés », dans lesquelles règne un champ Buniforme et constant

– Un champ électrique oscillant est appliqué entre les deux « dés »– Les protons ont un mouvement:

• rectiligne uniformément accéléré entre les deux « dés »• circulaire uniforme à l’intérieur de chaque « dé »

– Après chaque demi-tour le rayon R augmente,mais le temps T mis pour faire ce demi-tour est constant:

• Condition de fonctionnement:

premier cyclotron(4.5 pouces)construit parLawrence et

Livingston

R = mvqB

, T = Rv

= mqB

r E (t) =

r E 0 cos( t)

où = vR

=qBm

• B

E oscillant

inventé en 1932 par Ernest Lawrence

OS, 11 avril 2006 244

Découverte de l’électronet mesure de e/m

• Déflections d’un faisceau de tube cathodique:– par un champ électrique uniforme

– par un champ magnétique uniforme

mr a = q

r E

r a =

qm

r E = cste

trajectoire parabolique

d = 12

at2 =qE2m

L2

v02

mr a = q

r v

r B

trajectoire circulaired = R (1 cos ) R 2 /2

R2

LR( )

2

= L2

2R=

L2 qB2mv0

d

L

v0

E

d

L

v0

B•

d

RR

L

• Si on ajuste les champs E et Bpour avoir des déviations d égales:

v0 = E/B qm

= 2dL2

EB2

J. J. Thomson1856–1940

e/m mesuré par Thomson en 1897 découverte de l’électron

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Expérience de Millikan• Mesure de la vitesse limite de chute dans l’air

d’une gouttelette d’huile chargée (sans champ E):

Robert Millikan1868–1953

gouttelettesd’huile

gouttelettesd’huile

chargées

radiationionisante

source lumière

atomiseur

lunettemicroscope

plaquemétalliquechargée (+)

plaquemétalliquechargée (–)

vL = 29 gR2( huile air )/ (en utilisant la formule de Stokes)

détermination du rayon R de la gouttelette

• On fait remonter la goutteletteen appliquant un champ E

• On mesure à nouveau savitesse limite de chute mais enprésence d’un petit champ E:qE = 6 R v'L vL( )

connaissant E, v'L , vL (et donc R), on peut mesurer q

• Millikan montre que la chargeest quantifiée et mesure lacharge élémentaire en 1909(= charge de l’électron)

OS, 11 avril 2006 246

Quelques unités du système international (SI)

kg m2moment d’inertie I = mr2

kg m2 s 1moment cinétique L = r p

Nm = kg m2 s 2moment de force M = r F

rad s 2 = s 2accélération angulaire d /dt

m s 1vitesse v = dx/dt

rad s 1 = s 1vitesse angulaire = d /dt

rad = 1radianposition angulaire

W = J s 1 = kg m2 s 3

J = Nm = kg m2 s 2

N = kg m s 2

kg m s 1

kg

Hz = s 1 (= tour/s)

m s 2

m

s

Abréviation

Wattpuissance W/dt, Fv

Jouletravail W = Fdx, énergie mv2/2, …

Newtonforce F=dp/dt

quantité de mouvement p = mv

kilogrammemasse m

Hertzfréquence = /(2 )

accélération a = dv/dt

mètreposition x

secondetemps t

Nom de l’unité SIQuantité physiquea) Mécanique

OS, 11 avril 2006 247

Quelques unités du système international (SI)

1 eV = 1.602 10 19 Jélectron-Volténergie

1 e = 1.602 10 19 C

Abréviation et valeur en unité SI

charge élémentairecharge électrique

Nom de l’unité (pas SI !)Quantité physique

b) Electricité et magnétisme

N C 1 = V m 1 = kg m s 2 C 1champ électrique E=F/q

V = J C 1= kg m2 s 2 C 1Voltpotentiel électrique U=V/q

T = kg s 1 C 1Teslachamp magnétique B=F/(qv)=E/v

A = C s 1Ampèrecourant électrique i=dq/dt

C

Abréviation

Coulombcharge électrique q

Nom del’unité SI

Quantité physique

Potentiel électrique U = V/q:

Energie cinétique acquise par unecharge dans un champ électrique:

K2 K1 =r F

1

2

dr r = q

r E

1

2

dr r = q(U1 U2)

r F =

r V q

r E =

r (qU)

r E =

r U

électron-Volt = énergie cinétique acquise par une charge élémentairedans une différence de potentiel électrique de un Volt

OS, 11 avril 2006 248

Vers la découverte du noyau des atomesHistorique du début du 20ème siècle:

1895: découverte des rayons X (Roentgen)1896: découverte de la radioactivité (Becquerel)1897: découverte de l’électron (Thomson)1900: trois types différents de radioactivité connus: , , 1902: radioactivité émission d’électrons (Kaufman)1903: premier modèle de l’atome (Thomson)1908: radioactivité émission d’hélium (Rutherford)1909: expérience de diffusion de particules sur des

feuilles d’or (Rutherford, Marsden, Geiger), menant à des observations incompatibles avec le modèle de Thomson !1911: vision révolutionnaire de l’atome (Rutherford)

L’atome imaginé parThomson: une sortede « plum pudding »

boule uniformémentchargée (+), ~10 10 m

électrons (–)

noyau (+) très petit,~10 14 m au plus,

portant plus de 99.9%de la masse de l’atome

nuage d’électrons (–), ~10 10 m

L’atome contient doncessentiellement du « vide »

OS, 11 avril 2006 249

Ernest Rutherford1871–1937

Rétrodiffusionde Rutherford

It was quite the most incredible event that has ever happenedin my life. It was as incredible as if you fired a 15-inch shell

on a piece of tissue paper and it came back and hit you

• Résultats:– La plupart du temps la particule n’est

que très peu déviée en traversant la feuille(voir pas du tout)

– Elle a pourtant une probabilité non nullequ’elle rebondisse vers l’arrière !!

• Conclusion:– présence dans la matière de très petits objets chargés

plus massifs que les particules , donc autres que lesélectrons (m ~ 8000 me): les noyaux atomiques !

feuille métallique mince(Au, Ag, Cu, …), fixe

source (radium)

collimatée, fixe

microscope

écran scintillant(cristaux ZnS)

table rotativeentraînantécran et

microscope

vers pompeà vide

support fixe

Ausource K ~5 MeV

OS, 11 avril 2006 250

Limite sur la taille des noyaux• Modèle:

– on peut ignorer la présence des électrons, car me << m et la particule n’est (presque) pas déviée lors des collisions sur les électrons

– la seule interaction est la force de Coulomb entre le noyau de chargepositive Ze et la particule de charge positive ze (=2e)

– on suppose que le noyau est une boule de rayon R uniformément chargée

• Force et énergie potentielle en fonction de la distance r entre lenoyau et la particule :

F(r) = Cr/R3 si r < RC/r2 si r > R

où C = Zze2

4 0

V(r) = F(r)dr = Cr2/(2R3) + A si r < RC/r + B si r > R

V( ) = 0 B = 0V(R) = C/R = C/(2R) + A A = 3C/(2R)

1/r2

r

r

F(r)

R

1/r

point de rebroussement

r

V(r)

R

E• Comme il existe un point de rebroussement:

E 5 MeV R < Z 0.86 10 15 m( )

E < Vmax = V(0) = A R < 32

Zze2

4 0 E

Au tableau

OS, 11 avril 2006 251

Diffusion coulombienne– diffusion élastique d’une masse ponctuelle m de charge ze (particule )

sur une masse ponctuelle M de charge Ze (noyau), sous l’effet de la seuleforce de Coulomb répulsive

– on travaille avec les coordonnées relatives; l’origine O est placée sur lenoyau et on considère la diffusion d’une particule relative de masseréduite µ et d’énergie mécanique E > 0:

– la trajectoire est une hyperbole, avec un axe de symétrie u, et le momentcinétique est conservé (car la force est centrale):

Au tableau

= angle de diffusion

axe de symétriede la trajectoirehyperbolique

b = paramètre d’impact

b

x

u

O

(t)v(t)

vitesse = và t =

vitesse = và t = –

y

µ = mMm +M

, E = 12µv2

L = µr2 ˙ = µv b d (t)

dt=

v br(t)2 dt

r(t)2 =dv b

2 + =