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DÉMARCHE DE MODÉLISATION EN MATHÉMATIQUES 1Activité réalisée au cégep de Rimouski par Philippe Etchecopar et Céline Saint-Pierre. Produite par le Saut quantique.

ANNEXE A.1

LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES,INITIATION À LA MODÉLISATION1

Galilée, le père de la science moderne, a déclaré que « les mathématiques sont le langage dela nature ». Il voulait dire que les phénomènes naturels peuvent se décrire par des équationset que travailler sur ces équations, c'est observer, comprendre et prévoir ces phénomènes.Les mathématiques allaient fournir une gamme d'outils pour décrire une multitude dephénomènes différents et les représenter sous forme d'un modèle mathématique.

Un modèle mathématique est un ensemble d'équations décrivant le mieux possible lephénomène qu'il représente. Il se situe dans la démarche scientifique classique. C'est cequ'on appelle « la mathématisation des situations concrètes ».

D'abord, l'élaboration du modèle découle de l'observation objective du phénomène;Ensuite, le modèle, une fois élaboré, doit permettre de reproduire le phénomène etd'en rendre les résultats prédictibles;

Enfin, les résultats obtenus doivent être validés et critiqués pour permettre unerétroaction afin d'améliorer ou de préciser les limites du modèle.

Les étapes de la modélisation correspondent aux étapes classiques de toute démarchescientifique : observation, hypothèse, analyse, validation. Si cette démarche a d'abord été

proposée par Galilée, elle a été précisée quelques années après par Descartes et, surnomméela « méthode cartésienne », elle a été à la base du développement des sciences modernes.Voici comment Bruno Jarrosson, dans Invitation à la philosophie des sciences, décrit etcommente cette méthode2.

« Descartes définit une méthode en quatre points pour rechercher la vérité :• douter jusqu'à ce qu'une évidence puisse sortir de ce doute : Ne recevoir

jamais aucune chose pour vraie que je la connusse évidemment être telle;• diviser les difficultés autant qu'il est possible : Diviser chacune des

difficultés que j'examinerais en autant de parcelles qu'il se pourrait et qu'ilserait requis pour les mieux résoudre. Cette étape postule que le tout est lasomme des parties, ce qui constitue sans doute l'une des limites de la

1 Cette annexe est extraite des notes de cours de Philippe Etchecopar, Calcul différentiel et résolution de problèmesavec Mathematica et Maple (chapitre 5, p. 17 à 39), Ed. Le Griffon d’argile et Les Presses pédagogiques de l’Est,1999.2 JARROSSON, Bruno, Invitation à la philosophie des sciences, Le Seuil. 1992


méthode cartésienne. Il s'agit d'une méthode inverse de celle du syllogisme,qui va du général au particulier. Descartes est en rupture avec la scolastiquearistotélicienne;

• aller du plus simple au plus compliqué. Conduire par ordre mes pensées, encommençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître,pour monter peu à peu, comme par degrés, jusqu'à la connaissance des pluscomposés;

• vérifier que l'on n'a rien oublié : Faire partout des dénombrements si entierset des revues si générales que je fusse assuré de ne rien omettre. »

Dans la section qui suit, vous allez vous familiariser avec les étapes nécessaires pourdéterminer le modèle mathématique décrivant des phénomènes assez simples. Ici, cesphénomènes relèveront du « mouvement » et seront décrits grâce à la dérivée. Cettemodélisation de phénomènes permet de résoudre de nombreux problèmes relevant dedifférents domaines. Vous aurez à utiliser régulièrement cette méthode.

2.1 L'utilisation de la dérivée

La dérivée permet d'abord de traiter des phénomènes qui « varient ». Elle mesure, commenous l'avons vu, le taux de variation instantané de ces phénomènes, elle nous indique lesens de leurs variations, etc.

Elle permet aussi de déterminer quand les phénomènes passent par des maximums ou des

minimums.

Nous allons donc étudier des phénomènes qui se traitent ou bien par la connaissance deleurs taux de variation (les taux de variation liés) ou bien par les maximums ou lesminimums qu'ils atteignent (les problèmes d'optimisation).Nous allons commencer par définir les outils mathématiques, puis nous verrons commentles utiliser dans le cadre de la « mathématisation de situations concrètes ».


2.1.2 Les problèmes de taux de variation liés

Les problèmes qui nécessitent cet outil sont des problèmes où la connaissance duTaux de Variation Instantané (dérivée) apporte la solution. La fonction à dériver peutêtre une fonction régulière y = f(x), elle peut être une fonction implicite, ou elle peutêtre une fonction telle que sa dérivée peut faire intervenir d'autres variables ou desvariables intermédiaires. Ce sont ces deux derniers cas qui relèvent des « taux devariation liés » ou « dérivation composée ».

Méthode conseilléePour déterminer l'équation décrivant un phénomène basé sur les taux de variationliés, il faut :

1. Déterminer les taux de variation connus et inconnus du problème;2. Déterminer l'équation liant la variable dont on recherche le taux de

variation avec la variable dont le taux de variation est connu;3. Calculer les dérivées à partir de l’équation précédente.

L’équation obtenue est le « modèle mathématique » de la situation proposée dans cegenre de problèmes.

ExempleLe volume d'un ballon dépend du rayon. Si le rayon du ballon varie selon le temps,

comment le volume du ballon variera-t-il en fonction du temps?

Autrement dit, si V r( ) = 43

π.r3 et si r varie selon le temps selon un taux connu

dr

dt, comment évaluer

dV

dt?

Nous avons vu qu'il fallait alors utiliser la dérivation des fonctions composées :dV

dt= dV

dr× dr

dt(1)

Dans cette équation, dr

dt est une valeur connue et

dV

dr se calcule facilement à partir

de V r( ) = 43

π.r3 . On obtient alors le taux de variation recherché, dV

dt, soit :

dV

dt= 4πr2 dr

dt(2)

L’équation (2) est le modèle de ce genre de problème.


2.1.3 Les problèmes d'optimisation

Les problèmes d'optimisation sont des problèmes où l'on cherche à savoir à quellesconditions ou à quels moments un phénomène passera par un minimum ou unmaximum.

Nous avons vu que quand un phénomène décrit par une fonction y = f(x) passe par unmaximum ou un minimum, alors sa dérivée est nulle.

Méthode conseilléePour déterminer l'équation décrivant un phénomène basé sur l'optimisation, il faut :

1 Identifier la quantité que l'on cherche à optimiser;

2 Déterminer la fonction traduisant cette quantité : cette quantité estgénéralement la variable dépendante et il faut choisir la variableindépendante parmi les variables inconnues;

3 Dériver cette fonction, identifier les valeurs de la variable indépendante quiannulent cette dérivée et, par le test de la dérivée seconde, identifier lanature des extremums.

L’équation de la fonction, l’équation annulant sa dérivée et l’expression donnant lesigne de la dérivée seconde forment le « modèle mathématique » de la situationproposée dans ce genre de problèmes :

y = f x( )′f x( ) = 0

′′f x( )

ExempleConsidérons une compagnie qui produit et vend un certain objet.Le coût de production, en dollars, de x objets est C = 100 +1,02x ,

Les ventes de x objets rapportent R = 10x − 0,01x2 .

Définir les équations permettant de maximiser les bénéfices.

La fonction définissant les bénéfices est Bénéfices = Ventes - Coûts.Soit ici :

B x( ) = 10x − 0,01x2 −100 −1,02x

Soit :B x( ) = 8,98x − 0,01x2 −100 (1)

La seconde équation du modèle est celle permettant de déterminer les valeursannulant la dérivée :


′B x( ) = 8,98 − 0,02x = 0 (2)

La solution de cette équation est x = 449.La dérivée seconde est :

′′B 449( ) = −0,02 (3)

La dérivée seconde étant négative, les bénéfices passent par un maximum pourx = 449.

Les équations (1), (2) et (3) forment le modèle de cette situation.

RemarqueOn distingue les cas généraux suivants :

y = f(x) passe par un minimum pour x = a ′f a( ) = 0 et ′′f a( ) > 0

y = f(x) passe par un maximum pour x = a ′f a( ) = 0 et ′′f a( ) < 0

Dans les deux cas, les graphiques sont souvent intéressants à étudier.


2.2 La modélisation

Le phénomène à étudier vous est présenté en langage courant. Il faut résister à la tentationde vouloir trouver immédiatement une solution. Il faut au contraire procéder avec méthodeet suivre les étapes qui vous sont proposées et d'abord résumées sur le tableau ci-dessous :

Un protocole de laboratoire est établi

Les résultats sont interprétés

Le modèle peut être généralisé à des phénomènes apparentés

Les éléments cherchéssont exprimés

en fonction des éléments connus

Cycle de modélisation

Ces étapes de modélisation sont bien décrites et schématisées dans Calculus a graphing approach, de Finney, Thomas, Demana et Waits. Ce processus de modélisation découle des travaux du mathématicien George Polya, qui sont clairement présentés dans L'univers mathématique de Reuben et Hersh (page 275).

Modéliser un phénomène, c'est le traduire sous forme mathématique de façon à le rendre prévisible et à en donner une connaissance plus approfondie.

1o Observation 2o Mathématisation

3o Expérimentation4o Interprétation des résultats

• Faire un schéma et identifier les variables• Définir la problématique - Extraire les éléments connus et dégager ce que l'on recherche - Déterminer la nature du problème

• Établir les équations liant les variables et exprimer les fonctions principales

• Préparez un protocole de laboratoire afin d'identifier les calculs à faire, les simulations à effectuer et les graphiques à faire

• Énoncer les résultats obtenus en regard du problème• Commentez l'importance relative des paramètres et leur influence sur les résultats• Faire un rapport

• Effectuer les calculs• Faire une première représentation graphique du modèle• Simuler les paramètres afin de juger de leur importance dans le modèle


2.2.1 L'observation

Avant même de penser à la solution ou aux pistes de solutions, il faut bien observerles données du problème qui vous est proposé. Une bonne observation des donnéesdu problème inclut, au moins, les éléments suivants :

A) Énumérer les variables et dresser une figureIl faut d'abord esquisser une figure sur laquelle on identifie les données du problèmeou un plan de la situation décrite.Il faut ensuite énumérer toutes les variables, connues et inconnues ainsi que lesparamètres, paraissant dans l'énoncé ou découlant de la figure. Les paramètres sontles quantités considérées constantes dans le cadre du problème. Pour cela, il estnécessaire de lire très attentivement l'énoncé du problème et de bien observer la

figure.Il faut enfin, si cela s’applique au problème, indiquer les contraintes qui s’appliquentaux paramètres et aux variables.N'oubliez pas de vérifier la cohérence des unités utilisées.

B) Déterminer la problématique et poser une hypothèse sur la nature du problèmeIl faut d'abord préciser la question qui est posée, c'est-à-dire identifier la quantité qu'ilva falloir calculer, puis identifier toutes les données qui sont connues.Il faut ensuite identifier la nature du problème pour pouvoir en déduire la stratégie derésolution. Il s’agit alors, pour terminer cette étape d’observation, de poser unehypothèse sur la nature du problème rencontré. À ce stade, nous pouvons rencontrerdeux types majeurs de problèmes : les problèmes de Taux de Variation Liés et les

problèmes d'optimisation. Dans chacun de ces cas, il faudra alors utiliser la méthodecorrespondante, qui a été précisée à la section précédente.

2.2.2 La mathématisation du problème

A) Définir et mettre en forme des fonctions ou des équationsCette étape est cruciale. Il s'agit d'établir une ou plusieurs équations ou de définir uneou plusieurs fonctions décrivant le phénomène. Pour cela, la méthode à utiliserdépend de la nature du problème : taux de variation liés ou optimisation?Les équations ou les fonctions peuvent d'abord s'écrire « en langage courant » puis semettre sous forme mathématique en incluant les variables ou paramètres identifiés audébut.Éventuellement, il faut choisir parmi les variables, une variable indépendante etvérifier si certaines variables sont liées entre elles. Quand plusieurs paramètres sont

liés, il faut les exprimer en fonction d'un seul. L'étude d'une fonction à une variableimplique que tous les paramètres correspondent à des valeurs données dans l'énoncédu problème.


L'ensemble des équations ou fonctions ainsi obtenues forme le « modèle » lui-même.Les paramètres doivent, de préférence, paraître sous forme de valeurs algébriques. Ilsseront remplacés par leurs valeurs numériques à l'étape de l'expérimentation ou descalculs.Rappelons les modèles mathématiques correspondant aux deux catégories deproblèmes rencontrées.

OptimisationIl faut optimiser la fonctiony = f x( )

Taux de variation liés

Il faut évaluer dy

dt connaissant

dx

dt.

Modèley = f x( )

′f x( ) = 0

′′f x( )

Modèledy

dt= dy

dx

dx

dt

B) Rédiger un protocole de laboratoireLes logiciels de calcul symbolique sont d'une grande utilité dans le processus de

résolution de problèmes. Ils permettent d'abord d'effectuer les calculs nécessaires,puis de tracer les graphiques des fonctions représentant le phénomène étudié etsurtout, d'explorer les solutions beaucoup plus en profondeur en « simulant » lemodèle pour différentes valeurs des paramètres.Donc, il est nécessaire de rédiger un « protocole de laboratoire » qui indique ce quel'on compte faire avec un logiciel de calcul symbolique pour étudier le modèle :effectuer les calculs et déterminer des solutions, les représenter graphiquement, lesanalyser, simuler ce que seraient ces solutions pour différentes valeurs desparamètres et les interpréter en profondeur.Un protocole de laboratoire est donc une liste d'opérations à effectuer à l'aide d'unlogiciel de calcul symbolique pour compléter l'étude du problème.


À ce stade, il comprend au moins trois éléments :1. Les calculs : il est bon d'effectuer ou de valider les calculs algébriques

découlant du modèle et d'effectuer tous les calculs numériques nécessaires;2. Les représentations graphiques : les logiciels de calcul symbolique sont

particulièrement aptes à effectuer ce genre de travail;3. La simulation : il est intéressant de reprendre la fonction décrivant le

phénomène pour des valeurs différentes de paramètres inclus dans cettefonction.

2.2.3 Le traitement en laboratoire

Le travail en laboratoire d'informatique consiste à effectuer le protocole défini et

rédigé à l'étape précédente. Il est nécessaire de structurer les instructions selon lesconsignes données dans les premiers chapitres.

A) Effectuer les calculs, algébriques ou numériquesUne attention particulière doit être portée aux unités utilisée.

B) Dresser les graphiquesLe nom des variables propres aux axes doit être mentionné.

C) Effectuer les simulationsLes simulations se font généralement sur un graphique.

2.2.4 L'interprétation des résultats

L'interprétation des résultats consiste à :1. Énoncer les résultats obtenus en regard du contexte du problème;

2. Commenter l'influence relative des paramètres et leur influence sur lesrésultats;

2.2.5 Rédaction du rapport final

Le rapport final porte sur l’ensemble des étapes incluant le traitement en laboratoire.


RemarqueLa modélisation présentée ci-dessus présume l'utilisation des logiciels de calculssymboliques. Si on ne dispose pas d'un logiciel de ce type, les étapes sont un peusimplifiées et le modèle sera plus sommaire. La première étape, celle del'observation, est identique. Par contre, la seconde étape se limite à la

mathématisation, il n'est plus question d'un protocole de laboratoire. La troisièmeétape en sera une de « calcul » et non plus « d'expérimentation ». La dernière étapeest également identique, mais elle sera plus sommaire.

2.3 Des exemples

Nous allons appliquer cette méthode à différents problèmes relevant soit des taux de

variation liés, soit de l'optimisation. Dans chacun de ces deux cas, nous présenterons unexemple pouvant être traité sans recours à un logiciel de calcul symbolique et un exempletraité à l'aide de Mathematica ou de Maple.

Exemple 1 (sans Maple ou Mathematica)Considérons une échelle de longueur L m appuyée contre un mur et dont le pied glisse surle sol avec une vitesse Vs .

a) Déterminez le modèle mathématique permettant de définir la vitesse avec laquelle

le sommet de l'échelle glisse le long du mur en fonction de la vitesse avec laquelle

le pied de l'échelle glisse sur le sol;

b) Si L = 5 m, et Vs = 0,25 m / s , déterminez la vitesse avec laquelle le sommet de

l'échelle glisse le long du mur lorsque le pied de l'échelle est à 2 m du mur;


Solution1 Observation

a) Variables, paramètres et schéma

Variables

x : distance entre le pied del'échelle et le mur;

y : distance entre le sommet del'échelle et le sol;

Vm: vitesse avec laquelle le

sommet de l'échelle sedéplace sur le mur;

Paramètres

L : longueur de l'échelle;Vs : vitesse avec laquelle le

pied de l'échelle se déplacesur le sol;

Contraintes0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L

L2 = x2 + y2

Schéma

L

x

y

b) Problématique

1 Les quantités connues sont L = 5 m et dx

dt= Vs = 0,25 m / s .

La quantité recherchée est la vitesse avec laquelle se déplace le sommet de

l'échelle sur le mur, soit Vm = dy

dt x =2

2 La question porte sur le calcul d'un taux de variation dy

dt alors que nous

connaissons L et le taux de variation dx

dt. Il s'agit d'un problème de taux de

variation liés.


2 Mathématisation du problème

Il s'agit d'établir un lien entre les taux de variation dx

dt et

dy

dt. Pour établir ce lien,

nous constatons sur la figure que x et y sont liés par le théorème de Pythagore :

x2 + y2 = L2 (1)

x et y dépendent du temps. Nous pouvons dériver cette équation par rapport au

temps :

d x2( )dt

+d y2( )

dt=

d L2( )dt

Nous avons :

d x2( )dx

dx

dt+

d y2( )dy

dy

dt= 0

Soit :

2xdx

dt+ 2y

dy

dt= 0

En isolant dy

dt, nous obtenons :

dy

dt= − x

y

dx

dt(2)

L'équation (2) forme le modèle mathématique demandé.

3 CalculsRamenons la partie droite à la seule variable x, x et y étant liés selon (1) par :

y = L2 − x2 (3)

En reportant cette valeur dans (2), l'équation du modèle devient :

dy

dt= − x

L2 − x2

dx

dt(4)

Ici, nous avons L = 5 m, x = 2 et dx

dt= 0,25 m / s

En remplaçant ces valeurs dans l'équation (4), nous avons :dy

dt= − 2

25 − 4× 0,25 = − 0,5

21= −0,1091 m / s


4 Interprétation des résultatsOn constate que les vitesses de déplacement ne sont pas les mêmes. Le haut del'échelle glisse le long du mur vers le sol à une vitesse de 0,11 m / s lorsque le pied

de l'échelle est à 2 m du mur.

Exemple 2 (avec Maple ou Mathematica)Considérons un réservoir conique de h m de hauteur et dont le cercle du sommet a un

rayon de r m.

Le réservoir se remplit d'eau avec un débit constant de dV

dt= Dm3 par seconde où V

représente le volume de l'eau dans le réservoir.

1 Déterminez le modèle mathématique permettant de définir la vitesse avec laquelle

le niveau d'eau monte dans le réservoir;

2 Si le réservoir a une hauteur de 19 m et un rayon de 5 m et qu’il se remplit aurythme de 2 m3 / s , déterminez à quelle vitesse monte le niveau d’eau lorsque ce

dernier atteint une hauteur de 6 m.

3 Simulez le modèle selon un paramètre de votre choix. Commentez les résultats

obtenus.



a) Variables, paramètres et schéma

Variables

y : hauteur de l'eau;x : rayon supérieur de la

masse d'eau;

Paramètres

V : volume d'eau;h : hauteur du réservoir;r : rayon de la surface

supérieure;Db : débit de l'eau;

Contraintes0 ≤ x ≤ r, 0 ≤ y ≤ h

V = 13

πhr2 ;

Schéma

x

y

r

b) Problématique

1 Les quantités connues sont :

h = 10 m, r = 5 m et dV

dt= Db = 2 m3 / s car le débit est le taux de

variation du volume par rapport au temps.

La quantité recherchée est le taux d'ascension du niveau de l'eau, soit dy

dt et en

particulier dy

dt 6

2 La question porte sur le calcul d'un taux de variation dy

dt alors que nous

connaissons V y( ) et le débit Db qui est le taux de variation dV

dt. Il s'agit

d'un problème de taux de variation liés.


2 Mathématisation du problèmea) Équations représentant le problème

Il faut établir un lien entre le taux de variation dy

dt que l'on cherche et le taux de

variation dV

dt que l'on connaît. V représente le volume de l'eau et y, la hauteur de

l'eau dans le réservoir.Le volume V de l'eau est donné par le volume d'un cône de base circulaire derayon x et de hauteur y :

V = 13

πx2y (1)

Dans cette équation, x et y sont liés car ils dépendent des dimensions du cône.

Comme dx

dt n’est pas connu, il s'agit d'exprimer x en fonction de y et de le

remplacer dans (1).Selon la figure, le théorème des triangles semblables nous permet d'écrire :

x

y= r

h, soit x = r

hy .

En substituant x par cette valeur dans l'équation (1), nous avons :

V = πr2y3

3h2 (2)

Pour établir un lien entre le taux de variation Db = dV

dt et le taux de variation

dy

dt,

nous pouvons utiliser le théorème de la dérivée des fonctions composées :dV

dt= dV

dy

dy

dt(3)

L'équation (3) devient, en tenant compte de l'équation (2) :dV

dt= Db = 3πr2y2

3h2

dy

dt

En isolant dy

dt, nous obtenons finalement l'équation traduisant le modèle

demandé :dy

dt= Dbh

2

πr2y2 (4)

L'équation (4) forme le modèle mathématique demandé.

b) Protocole de laboratoire

Calculs

Nous devons déterminer dy

dt 6

avec h = 10 m, r = 5 m, Db = dV

dt= 2 m3 / s et

y = 6 m.


Les calculs sur la vitesse d'ascension dy

dt seront effectués à partir de la formule (4)

du modèle.

Graphique

L'équation (4) est celle du modèle recherché et la vitesse d'ascension dy

dt est

exprimée en fonction des paramètres Db , r et h que l'on connaît, et la hauteur de

l'eau y que l'on ne connaît pas. Nous allons donc représenter l'évolution de la

vitesse d'ascension dy

dt selon la hauteur atteinte par l'eau y qui sera la variable

indépendante.

Simulations

La vitesse d'ascension dy

dt est la fonction décrite par ce modèle et nous avons

choisi la hauteur y de l'eau comme variable indépendante. Mais la fonction dy

dtdépend aussi des paramètres Db , r et h. Il serait intéressant de mesurer l'impact de

ces différents paramètres sur la vitesse d'ascension de l'eau. Nous pouvons prendredifférentes valeurs du débit Db , ou différentes valeurs de r ou de h , ce qui

modifierait la forme du réservoir. Étudions l'impact du débit par des simulations.

Simulation 1

Pour y parvenir, représentons sur une même figure la fonction traduisant

l'évolution de la vitesse d'ascension dy

dt selon la hauteur atteinte y, et cela pour

différentes valeurs du débit Db .

Simulation 2

Il serait aussi intéressant d'étudier l'impact de la valeur du débit sur la vitessed'ascension à une hauteur précise, y = 6 m.Par ailleurs, vous pouvez simuler selon le débit, mais en donnant une valeurconstante à y.

3 ExpérimentationCette section représente le travail au laboratoire basé sur le protocole de la sectionprécédente.


a) Calculs

Pour calculer la vitesse d'ascension dy

dt selon les conditions indiquées, nous allons

utiliser l'équation (4). Pour cela, nous allons entrer les instructions ci-dessous :

Avec Maple, nous obtenons :

Vasc = 29π

= 0,07073553 m / s

b) Graphique

Pour représenter la variation de la fonction Vasc selon la variable indépendante y,nous allons entrer les instructions ci-dessous :



c) Simulations

Simulations de la vitesse d'ascension selon le débit

Représentons sur une même figure l'évolution de la vitesse d'ascension selon lahauteur atteinte y pour différentes valeurs du débit. Prenons une série de valeurslistedeb pour le débit.Entrons les instructions ci-dessous :


Avec Maple, nous obtenons la famille de courbes suivantes :

Simulations de la vitesse d'ascension à la hauteur y = 6 pour différentes valeurs du

débit.

Les vitesses d'ascension à la hauteur y = 6, Vasc 6( ), pour différents débits sont

calculées avec la commande de calcul répétitif seq(). Prenons une série de valeurslistedeb pour le débit. Représentons le résultat de cette simulation d'abord sous laforme d'un tableau indiquant la vitesse d'ascencion Vasc pour chaque valeur dudébit, puis représentons graphiquement ce résultat.

Entrons les instructions suivantes :


Nous obtenons les valeurs suivantes, ici avec Maple :

Soit, sur une figure :


On remarque que la croissance est linéaire, ce qui correspond bien à la forme de la

fonction dy

dt= Dbh

2

πr2y2 entre la vitesse d’ascension et le débit.

4 Interprétation des résultats

Le graphique nous indique qu'avec un débit constant dV

dt= 2 m3 / s , la vitesse

d'ascension est très rapide au début mais décroît très vite durant les deux premiersmètres. Par la suite, la vitesse décroît mais beaucoup plus lentement.

La première simulation indique que cette propriété se retrouve quel que soit le débit.La différence c'est qu'au départ, la vitesse d'ascension peut être très élevée selon ledébit, il suffit de regarder les unités de l'axe des ordonnées, mais elle se « stabilise » àpartir de 2 m. Il faudrait effectuer un « zoom » sur cette section pour mieux analyserles courbes correspondant aux différents débits.

La seconde simulation montre que pour y = 6 m, la variation de la vitesse d'ascensionselon le débit est linéaire. Cela correspond à la forme de l'équation du modèle.


Enfin, si h = 10 m , r = 5 m et Db = 2 m3 / s, la vitesse d’ascension de l’eau lorsque

y = 6 m sera :

Vasc = 29π

= 0,07073553 m / s

Exemple 3 (sans Maple ou Mathematica)Un enclos rectangulaire situé le long d'une rivière doit être clôturé sur ses trois autres

côtés. Pour cela, on dispose de P m de grillage.

1 Déterminez le modèle mathématique permettant de définir les dimensions de

l'enclos rectangulaire pour que les P m de grillage clôturent une surface

maximale;

2 Si P = 200 m , définissez les dimensions de l'enclos correspondant à une surface

maximale.


a) Variables et schéma

Variables

S : surface de l'enclos;L : longueur de l'enclos;

l : largeur de l'enclos;

Paramètre

P : longueur de la clôture;

ContraintesL ≥ 0, l ≥ 0

S = L.l;

Schéma

Sl

L

Rivière


b) Problématique

1 La quantité connue est P = 200 m .La quantité recherchée est la surface maximale S de l'enclos pouvant être

clôturée sur trois côtés avec P m de grillage;2 La question porte sur la recherche d'un maximum. Il s'agit d'un problème

d'optimisation.

2 Mathématisation du problèmeLa surface de l'enclos est donnée par :

S = L.lLa fonction définissant la surface dépend de deux variables et ne peut êtreimmédiatement utilisée pour répondre à la question. En effet, les deux variables sontici liées, car la longueur P de la clôture est donnée. Nous avons donc :

P = L + 2l (2)De cette équation, nous pouvons extraire la largeur de l'enclos en fonction de salongueur :

l = P − L

2(3)

L'équation (1) donnant la surface totale devient donc en remplaçant l par cettevaleur :

S = LP − L( )

2Soit :

S = LP − L2

2(4)

Ici, S L( ) est la fonction à optimiser.

La surface sera maximale lorsque sa dérivée première sera nulle (extremum) et sa

dérivée seconde négative (maximum). Soit :dS

dL= 0 et

d2S

dL2 > 0 (5)

Les équations (4) et (5) forment le modèle mathématique de la situation proposée.

3 CalculsNous avons P= 200 m.

Les équations du modèle deviennent :


S = 200L − L2

2dS

dL= 200 − 2L

2= 100 − L = 0

d2S

dL2 = −1

(6)

4 Interprétation des résultatsL'équation (4) indique que la surface est nulle lorsque L = P ou L = 0.

L'équation (6) indique que la surface sera maximale lorsque la longueur L de l'enclossera telle que L = 100.L'équation (3) indique que la largeur l de l'enclos sera alors l = 50.

La surface S sera donc S = 100 × 50 = 5000 m2 .


Exemple 4 (avec Maple ou Mathematica)Considérons un réservoir cylindrique en métal de volume V m3 , de hauteur de h m et dont

le cercle de base a un rayon de r m. Le réservoir est muni d'un couvercle de métal.

1 Déterminez le modèle mathématique permettant de définir les dimensions du

réservoir pour que sa surface métallique totale soit minimale pour une valeur

donnée du volume V;

2 Si V = 5 m3, définissez les dimensions du réservoir correspondant à une surface

minimale;

3 Simulez le modèle selon un paramètre de votre choix. Commentez les résultats

obtenus.


a) Variables et schéma

Variables

h : hauteur du réservoir;r : rayon de la surface de

base;S : surface totale du

réservoir;

Paramètre

V : volume du réservoir;

ContraintesV = πhr2 ;

Schéma

r

h


b) Problématique

1 La quantité connue est V = 5 m3.

La quantité recherchée est la surface minimale S du réservoir, côté, fond etcouvercle;

2 La question porte sur la recherche d'un minimum. Il s'agit d'un problèmed'optimisation.

2 Mathématisation du problèmea) Équations représentant le problème

La surface totale du réservoir est celle de la paroi verticale ajoutée à celles du fondet du couvercle. La surface de la paroi verticale est celle d'un rectangle de largeur

h et de longueur 2πr .La surface totale est donc :

S = 2πr2 + 2πrh (1)La fonction définissant la surface dépend de deux variables et ne peut êtreimmédiatement utilisée pour répondre à la question. En effet, les deux variablessont ici liées, car le volume V est donné. Nous avons donc :

V = πr2h (2)De cette équation, nous pouvons extraire la hauteur en fonction du rayon :

h = V

πr2 (3)

L'équation (1) donnant la surface totale devient donc, en remplaçant h par cettevaleur :

S = 2πr2 + 2πrV

πr2

Soit :

S = 2πr2 + 2V

r(4)

La surface sera minimale lorsque sa dérivée première sera nulle (extremum) et sadérivée seconde positive (minimum). Soit :

dS

dr= 0 et

d2S

dr2 > 0 (5)

Les équations (4) et (5) forment le modèle mathématique de la situation proposée.

b) Protocole de laboratoire

Calculs


La fonction à optimiser étant la surface S définie par S = 2πr2 + 2V

r, nous

devrons choisir r comme variable indépendante, puisque la valeur du volume V estdonnée.Comme il s'agit d'un problème d'optimisation, nous devrons effectuer les calculs

suivants :

1 Calcul de la dérivée dS

dr;

2 Résolution de l'équation dS

dr= 0

3 Détermination du signe de d2S

dr2 pour les racines de l'équation précédente.

Graphique

La fonction est la surface S et la variable indépendante est le rayon r. Nousreprésenterons donc le graphique de la fonction S r( ) .

Simulations

Le rayon r étant la variable indépendante, le seul paramètre est le volume V. Nouseffectuerons des simulations pour évaluer l'impact de V sur la surface S r( ) . Pour

cela, nous représenterons une famille de courbes correspondant à différentes

valeurs de V.

3 ExpérimentationCette section représente le rapport de laboratoire basé sur le protocole de la sectionprécédente.a) Calculs

Nous devons :

1 Calculer la dérivée dS

dr;

2 Résoudre l'équation dS

dr= 0 et obtenir la valeur du rayon correspondant à

la surface minimale;3 Déterminer le signe de la dérivée seconde;4 Déterminer la hauteur du réservoir.

Nous devons entrer les instructions ci-dessous :



Sp et Ss sont respectivement les dérivées première et seconde de la fonction S(r).


b) GraphiquePour représenter la variation de la fonction S r( )selon la variable indépendante r,

nous allons entrer les instructions ci-dessous :


S

r

c) Simulations

Simulations de la surface du réservoir selon son volume

Pour évaluer l'impact du volume sur la surface du réservoir, nous allonsreprésenter sur une même figure les graphiques de la fonction S r( ) pour

différentes valeurs du volume.

Entrons les instructions ci-dessous :


Avec Maple, nous obtenons la famille de courbes suivante :

4 Interprétation des résultatsLa surface est minimale lorsque le rayon vaut 0,927 m et la hauteur 1,853 m. La

surface vaut alors 16,187 m2.

Le graphique confirme ces valeurs et montre que pour un volume de 5 m3 lasurface grandit très vite lorsque le rayon tend vers 0 (le réservoir devient un tubeeffilé) et un peu moins vite lorsqu'il augmente (le réservoir devient un disque trèslarge).


Les simulations montrent que lorsque le volume varie, les dimensions changent,mais que la tendance reste la même, surtout lorsque le rayon augmente.

2.4 La modélisation en mathématiques

Nous venons de voir comment « mathématiser une situation », c'est-à-dire comment la

représenter sous forme d'un modèle mathématique.

Galilée, le fondateur de la science moderne, a dit que « les mathématiques sont le langagede la nature ». Il est le premier à avoir décrit un phénomène physique, la chute des corps, àl'aide d'une équation. Ce langage mathématique permet de prévoir quantitativement ledéroulement d'un phénomène. Il permet de passer de la description verbale d'un phénomèneà une description quantitative, comme le dit Giorgo Israël(1) . Si les équations représententfidèlement le phénomène, il devient alors possible d'expérimenter sur le phénomène par leseul biais des équations, de le reproduire et d'en prévoir le déroulement.

Cette utilisation du langage mathématique pour représenter, expérimenter ou prévoir unphénomène physique, c'est ce qu'on appelle le modéliser.

Pour leur part, dans « L'Univers mathématique », Reuben et Hersh présentent le principe dela modélisation mathématique de la façon suivante :

Un modèle mathématique est un ensemble complet et consistant d'équations

mathématiques qui sont destinées à correspondre à une autre entité, son prototype.

Le prototype peut être une entité physique, biologique, sociale, psychologique ou

conceptuelle, peut être même un autre modèle mathématique. Au mot « équation »,

on peut substituer « structure », car on ne travaille pas toujours avec un modèle

numérique.

Quelques-uns des objectifs pour lesquels on construit des modèles sont :

1 Obtenir des réponses sur ce qui va se passer dans le monde physique

2 Influer sur une expérimentation ou une observation ultérieure

3 Développer le progrès et la compréhension conceptuels

4 Aider l'axiomatisation de la situation physique

5 Développer les mathématiques et l'art de fabriquer des modèles mathématiques.

Avant d'indiquer les étapes nécessaires pour établir un modèle, il convient d'en indiquer leslimites. Le modèle est au phénomène ce que la carte est au territoire : c'est une copie

(2) ISRAEL, Giorgo, La mathématisation du réel, Le Seuil, 1996


simplifiée qui ne peut le reproduire exactement. Si ce que prédit le modèle ne coïncide pasavec l'observation du phénomène, c'est le modèle qui a tort! Quand on a défini un modèle,il faut donc le valider et en préciser les limites. Ainsi, dans le film L'erreur boréale, il estmentionné que les droits de coupe accordés chaque année aux compagnies forestières sontétablis à partir d'un modèle mathématique qui prévoit les quantités de bois disponibles pourles 130 prochaines années. Si le modèle dit que cette année, on peut couper tant de millionsde tonnes sans que cela affecte la regénération future, c'est parce que « les mathématiques »le disent. C'est évidemment un abus, car comme vous venez de le voir, les résultats obtenusd'un modèle dépendent des paramètres qu'on a bien voulu y mettre. En fait les multiplesapproximations d'un modèle par rapport à la réalité rendent ses résultats à long terme bien

discutables, surtout lorsqu'il y a un très grand nombre de paramètres (économiques,météorologiques, biologiques, etc.).

Reuben et Hersh précisent les limites des modèles mathématiques :

La compréhension du fait que les théories physiques peuvent changer ou êtremodifiées (mécanique classique contre mécanique relativiste, par exemple), qu'il peutexister des théories concurrentes, que les mathématiques disponibles peuvent ne pasêtre adaptées pour venir à bout d'une théorie au sens plus large, tout ceci a conduit àune acceptation pragmatique d'un modèle comme "une chose du moment", uneapproximation convenable pour un état de fait plutôt qu'une expression d'une vérité

éternelle. Un modèle peut être jugé bon ou mauvais, simpliste ou sophistiqué,esthétique ou laid, utile ou inutile, mais on est moins penché à l'étiqueter comme"vrai" ou "faux". La focalisation contemporaine sur les modèles plutôt que sur lesthéories a conduit à l'étude de la création des modèles comme un art en soi avec unediminution correspondante de l'intérêt pour la situation spécifique qui a étémodélisée.

Avec leur puissance de calcul, les ordinateurs sont particulièrement utiles pour établir unmodèle et simuler un phénomène. Mais ils en indiquent aussi les limites. C'est en effetgrâce à leur puissance de calcul que la théorie du chaos a pu établir que les modèles les plusprécis pouvaient être sensibles à d'infimes différences numériques dans les données de

calcul.

L'importance prise actuellement par la modélisation mathématique ne présume pas de laréponse au vieux débat : les mathématiques ont-elles une réalité ou ne sont-elles qu'unlangage?


ANNEXE A.2

EXEMPLE DE LABORATOIRE3

Le traitement par ordinateur

6.1 Les objectifsÀ la fin de cette section, vous devriez :• être familier avec la feuille de calcul;• maîtriser les opérations de base et les principales commandes de calcul algébrique;• avoir bien compris ce que sont les variables, les expressions et les fonctions;• pouvoir représenter le graphique d'une fonction sur des intervalles particuliers de son

domaine et de son image.

6.2 Les outils nécessaires

6.2.1 Les outils de base

Pour cette section, vous devez connaître les opérateurs et quelques commandes decalcul :1 Les opérateurs arithmétiques sont les symboles de l'addition, de la soustraction,

du produit, de la division et de la puissance. Les symboles sont identiques dansMaple et dans Mathematica. Portez une attention particulière à la multiplication etn'hésitez pas à utiliser le symbole *. N'oubliez pas que pour un logiciel de calculsymbolique, ab ne signifie pas le produit de a par b, mais une variable ab.

2 Quelques commandes de calcul algébrique de base comme :

3 Cette annexe est extraite des notes de cours de Philippe Etchecopar, Calcul différentiel et résolution de problèmesavec Mathématica et Maple (chapitre 5, p. 57 à 64), Ed. Le Griffon d’argile et Les Presses pédagogiques de l’Est,1999.


Mathematica Maple

Expand[] expand()

Simplify[] simplify()

N[] evalf()

• les éléments compris entre les crochets d'une commande dans le cas deMathematica, ou dans les parenthèses dans le cas de Maple, sont des arguments.Chaque commande a ses arguments obligatoires et aussi une série d'arguments

optionnels;

• les commandes N[A] ou evalf(A) permettent de calculer la valeur décimale dunombre A;

• il est également utile de connaître les options de ces commandes. Il suffit de seréférer aux guides d'accompagnement.

6.2.2 Les concepts de base : variables et fonctions

En mathématiques, il est important de bien distinguer les concepts comme la variable

indépendante, la variable dépendante et la fonction au sens mathématique du terme.Quand on écrit y = f x( ) = x2 + x +1

• x est la variable indépendante;• y est la variable dépendante;• f est la fonction.

En informatique, une variable est une quantité élémentaire ou paramètre que l'on a

« nommé » pour pouvoir l'utiliser plus facilement. Une expression est généralementune combinaison de variables. Nous pouvons aussi dire qu’une expression estl’image de la fonction.Chaque logiciel a son écriture spécifique pour définir une « expression » ou une« fonction ».


Mathematica Maple

Expression exp = x2+x exp := x2+x

Fonction f[x_]:=x2+x f:=x->x2+x

Dans ce qui précède, exp est une expression, tandis que f est une fonction.Les logiciels de calcul symbolique comportent surtout une banque de commandes quieffectuent une tâche précise.Consultez votre Guide pour bien comprendre les différences entre une expression,une variable et une fonction.

6.2.3 La résolution d’équations

Mathematica et Maple possèdent des commandes qui permettent de résoudre deséquations. Ces commandes possèdent des options selon la nature des équations.Nous définirons ici la commande de base.

Mathematica Maple

Les instructions précédentes permettent de résoudre l’équation x2 − 4x + 3 = 0 .

1 Vous remarquez que les instructions dans Mathematica et dans Maple seressemblent beaucoup. La commande est Solve[] ou solve() et elle inclutdeux arguments : l’équation à résoudre et l’inconnue;


2 Dans le cas de Mathematica, vous remarquez que le symbole d’égalité pourune équation est le signe « == ».

6.2.4 La représentation graphique

Une des grandes utilités des logiciels de calcul symbolique est de pouvoir représenterles graphiques des fonctions. Les commandes permettant de représenter ces fonctionsont de nombreuses options.Voici les commandes et les options essentielles :

Mathematica Maple

Plot[f[x],{x,a,b}] plot(f(x),x=a..b)

Plot[f[x],{x,a,b},PlotRange->{c,d}] plot(f(x),x=a..b,y=c..d)

Plot[f[x],{x,a,b},AspectRatio->Automatic] plot(f(x),x=a..b,scaling=constrained)

Plot[{f[x],g[x]},{x,a,b}] plot([f(x),g(x)],x=a..b)

1 Dans la première ligne, les commandes plot() et Plot[] sont présentées avecles deux arguments obligatoires : la fonction à représenter et le domaineutilisé;

2 L'option représentée dans la seconde ligne, dans Mathematica, PlotRange->{c,d}, comme dans Maple, y=c..d, est celle qui permet de définirl'intervalle de l'image de la fonction f;

3 Dans la troisième ligne les options utilisées donnent sur le graphique un

rapport de proportion égal à 1 entre l’axe des abscisses et celui desordonnées;

4 La quatrième ligne indique comment obtenir les graphiques de plusieursfonctions sur une même figure;

5 Dans chacun des cas, f et g sont définies comme des fonctions et non desexpressions.


6.2.5 La structuration des instructions

Quand on doit utiliser plusieurs instructions successives, il est nécessaire de respecterun certain ordre pour que le logiciel puisse bien les traiter.

1 Initialiser l'environnement. Il est conseillé de débuter par une commandequi efface tous les noms utilisés antérieurement pour éviter des confusions :restart; pour Maple et Clear[] pour Mathematica;

2 Nommer et initialiser les variables. Vous entrez les données du problème,c'est-à-dire les valeurs des variables données en hypothèse, les fonctions,etc;

3 Définir les fonctions ou les « expressions » qu'il faut soi-même définir àpartir des données;

4 Décrire le traitement de ce qui précède à l'aide des commandes du logicielpour résoudre le problème.

Comme exemple, prenons la définition et la représentation de la fonctioncorrespondant à la droite d'équation y = f x( ) = mx + b pour une valeur de l'ordonnée

à l'origine b et différentes valeurs de la pente m.

Mathematica Maple


Dans les deux cas :• m et b sont des paramètres;• x est une variable au sens mathématique;• f est une fonction;• Vous remarquez qu’avec Maple si la ligne d’une commande se termine par

« : », le résultat n’apparaît pas.Il est important de bien faire la différence, au sens informatique, entre une fonction,comme nous venons de le voir, et une expression.Consultez votre Guide, ou l'aide en ligne du logiciel, pour des explications plusdétaillées sur les variables, les fonctions et les expressions au sens informatique.

6.2.6 Le commentaire et le titrage

Vous devriez aussi pouvoir écrire les étapes de solutions ainsi que des« commentaires » dans les instructions pour en expliquer le sens, sans que cescommentaires apparaissent dans les résultats. Vous devriez également pouvoir« titrer » les réponses pour mieux les identifier.

Mathematica Maple

Description d'instructions

Pour qu'une description d'instructions nesoit pas interprétée comme uneinstruction, il faut écrire :

#Commentaire;

Description d'instructions

Pour qu'une description d'instructionsne soit pas interprétée comme uneinstruction, il faut écrire :

#Commentaire

Titrage

Pour faire apparaître un titre dans lesrésultats :

"Titre"

Titrage

Pour faire apparaître un titre dans lesrésultats :

"Titre";


6.2.7 Attention!!!

• Sauvegardez régulièrement votre travail (au moins toutes les 5 minutes) etn'oubliez pas de sauvegarder avant d'imprimer;

• Pour déclancher les calculs, appuyez sur la touche Retour (Maple) ou Entrée(Mathematica), tandis que pour passer d'une ligne à l'autre, appuyez sur la toucheMajuscule-Retour (Maple) ou Retour (Mathematica);

• Dans le cas de la commande plot() si vous voulez que le domaine de la fonctionf(x) aille de a à b et que l'image aille de c à d, écrivez :

plot(f(x),x=a..b,c..d)Avec Mathematica, vous devez écrire :

Plot[f[x],{x,a,b},PlotRange->{c,d}]

Pour avoir les mêmes échelles sur les deux axes, il suffit de prendre des longueurségales pour le domaine et l'image.N'oubliez pas que c'est à vous de choisir les bonnes valeurs!

• Toujours dans le cas de la commande plot(), si vous voulez représenter lesfonctions f(x) et g(x) sur un même graphique, écrivez :

plot([f(x),g(x)],x=a..b)Avec Mathematica, vous devez écrire :

Plot[{f[x],g[x]},{x,a,b}]

• Pour économiser du papier, avant d'imprimer, vous pouvez diminuer la taille desgraphiques. Il suffit de pointer la souris sur une des « poignées » du cadre dugraphique et de le « rétrécir » en tenant le bouton de la souris enfoncé.

• Le séparateur décimal est le point et non la virgule.

6.3 Les manipulations

Expérience 1 : Les calculs algébriques

Vous allez d'abord vous familiariser avec le calcul numérique, puis vous allez vousconfectionner un « aide-mémoire » sur quelques identités remarquables qui vousseront utiles.


Le calcul numérique

1 Soit la variable 2−n . En utilisant si nécessaire les commandes N[] ou evalf(),calculez la valeur de cette variable quand n varie de 0 à 10 par valeur entière.Concluez.Imprimez et conservez les résultats de ces calculs.

Le calcul algébrique

2 Calculez les développements des expressions suivantes avec les commandesExpand[] ou expand(), imprimez-les et conservez-les :a + b( )3, a + b( )4 , a + b( )5

a − b( )3, a − b( )4 , a − b( )5

À partir des résultats obtenus, entrevoyez-vous une loi qui vous permettrait deprévoir les développements de ces facteurs à des degrés supérieurs?

3 Mettez les expressions suivantes en facteurs avec les commandes Factor[] oufactor(), imprimez-les et conservez-les : a2 − b2 , a3 − b3, a4 − b4 , a5 − b5, a6 − b6

Expérience 2 : La représentation de fonctions

Il est important de « visualiser » l'allure générale des différents types de fonctions, debien définir leurs domaines et leurs champs ou images. Pour cela, il faut s'assurer queles valeurs où les intervalles intéressants sont utilisés et que tous les éléments

importants de la fonction seront bien en évidence sur le graphique obtenu.

Le domaine

1 Déterminez les domaines et images des fonctions suivantes, de façon que leurséléments importants y figurent. Validez ces réponses en représentant lesgraphiques de ces fonctions.

a) y = f x( ) = x −10 +10 b) y = f x( ) = 10x

x −10( ) x + 25( )c) y = f x( ) = 5

x+ 25 d) y = f x( ) = x −13


La droite

2 À la suite de l'exemple ci-dessus sur la définition et la représentation d'une droite,représentez les droites définies de la façon suivante :

a) La droite de pente 2 et d'ordonnée à l'origine -2;b) La droite de pente 0 et d'ordonnée à l'origine -2;

c) La droite de pente 12

et d'ordonnée à l'origine -2 et la droite parallèle

d'ordonnée à l'origine 2;

d) La droite de pente 12

et d'ordonnée à l'origine -2 et la droite perpendiculaire

d'ordonnée à l'origine 5.

La parabole3 Représentez la parabole y = ax2 pour des valeurs positives et négatives de a. Que

concluez-vous sur le rôle du signe de a?

4 Soit la parabole y = f x( ) = x2 . Représentez-la.

a) Que devient cette parabole si on ajoute une constante c à la partie droitepour obtenir y = f x( ) + c = x2 + c ? Pour répondre à cette question,

représentez la parabole y = x2 + c pour différentes valeurs de c.

b) Que devient cette parabole si on remplace la variable x par la variablex + d .? Pour répondre à cette question, représentez la paraboley = f x + d( ) = x + d( )2 pour différentes valeurs de d;

Commentez les résultats obtenus.La fonction h = 2−n

5 Représentez la fonction h = 2−n sur le domaine 0, 20[ ] . Comparez ce graphique

avec les valeurs obtenues à la réponse de la question 1 de l'expérience 1.


Expérience 3 : La validation et les corrigés

Vous allez utiliser les commandes montrées dans cette section pour compléter lecorrigé des exercices et problèmes de ce chapitre.

6.4 Les procédures

Procédure : La définition et la représentation d'une droite

Durant ce premier cours de calcul différentiel, nous aurons à établir les équationsd'une série de droites particulières. Dans cette première section, il s'agit de droites

passant par deux points donnés. Vous allez donc établir une première fois lesprocédures permettant d'obtenir l'équation de cette droite, connaissant deux points paroù elle passe.Comme vous allez définir d'autres procédures et qu'elles vous seront utiles dans vostravaux, ouvrez un dossier que vous intitulerez Librairie dans lequel vousconserverez vos procédures. Intitulez celle-ci Droite passant par deux points etdéposez-la dans ce dossier Librairie.

N'oubliez pas de commenter vos instructions.

La droite passant par deux points donnés

En vous basant sur la procédure permettant d'obtenir l'équation d'une droite sous

forme développée, établissez une procédure permettant de définir l'équation de ladroite passant par les points x1, y1( ) et x2 , y2( ) et de la représenter. Cette

procédure repose donc sur le calcul de la pente m et le calcul de l’ordonnée àl’origine b. Validez la procédure obtenue en déterminant l'équation de la droitepassant par les points −2,−1( ) et 2,6( ) et en la représentant sur un graphique.

6.5 L'exploration

Face à un problème, la démarche classique consiste à l'étudier, le résoudre, puis, souvent,en conclusion, à en proposer une représentation graphique. Avec les logiciels de calculsymbolique, la démarche est parfois un peu différente; on peut d'abord représenter leproblème, puis l'étudier sur le graphique obtenu et enfin, en tirer des conclusions que l'on

vérifie ou valide par calcul.Ainsi dans le cas d'une fonction, généralement, on l'étudie d'abord et on la représenteensuite. Avec les logiciels de calcul symbolique, la démarche peut être inversée : on trace lafonction, on étudie ses propriétés sur le graphique et on les vérifie par calcul.


Exploration 1 : La résolution graphique d'équations et d'inéquations

Vous pouvez, sur un graphique, déterminer les solutions d'une équation commef x( ) = g x( ). Il suffit d'effectuer des « zooms » de plus en plus proches du point

d'intersection en jouant avec l'intervalle du domaine et avec l'intervalle de l'image.La résolution de l'inéquation f x( ) > g x( ) revient à résoudre l'inéquation

f x( ) − g x( ) > 0 . Il s'agit alors de représenter la courbe de la fonction y = f x( ) − g x( )et de vérifier sur quels intervalles cette courbe est positive, donc au-dessus de l'axedes x, ou négative, donc au-dessous de l'axe des x.

Résolution d'équations1 Par une série de « zooms » sur l'intersection de la fonction y = f x( ) = x2 − 2 avec

l'axe des x, établissez la valeur de la racine positive de l'équation x2 − 2 = 0 avecune précision de quatre chiffres significatifs après la virgule.

a) Résolvez graphiquement l'équation x4 − 45x2 + 324 = 0;b) Résolvez graphiquement l'équation x2 +1 = x3 ;

Résolution d'inéquations

2 Déterminez graphiquement les solutions des inéquations suivantes :a) x2 − 4 ≥ 0 b) −x2 + 4 ≥ 0c) x2 − 6x + 5 ≤ 0 d) −x2 + 2x + 8 ≤ 0e) x2 + 2x − 8 ≤ 0f) Des résultats précédents, pourriez-vous énoncer une règle permettant de

déduire, en fonction de la variable x, le signe de la quantité ax2 + bx + c

selon les valeurs des constantes a, b et c?

Détermination de domaines

3 Par résolution graphique d'inéquation, indiquez le domaine des fonctionssuivantes :

a) y = f x( ) = x2 − 7x + 6 b) y = f x( ) = −x2 + 7x −10

c) y = f x( ) = x

x2 − 9d) y = f x( ) = x

9 − x2

Exploration 2 : La fonction valeur absolue

Pour étudier la fonction y = f x( ) = x2 − x − 2 , représentons-la sur un graphique,

ainsi que la fonction y = g x( ) = x2 − x − 2. Pour cela, utilisez les commandes

y = Abs[g x( )] avec Mathematica ou y = abs g x( )( ) avec Maple :


Mathematica Maple

f[x_]:=Abs[x^2-x-2]Plot[f[x],{x,a,b}]

f:=x->abs(x^2-x-2);plot(f,a..b)

Nous obtenons les graphiques ci-dessous :

Il est clair que la fonction y = f x( ) = x2 − x − 2 = g x( ) , où g x( ) = x2 − x − 2, est

toujours positive. Elle correspond à la fonction g(x) quand elle est positive et à lafonction −g x( ) quand elle est négative, c'est-à-dire entre -1 et 2.

Cela correspond bien à la définition de la valeur absolue :f x( ) = g x( ) si g x( ) ≥ 0

f x( ) = −g x( ) si g x( ) < 0

Représentation graphique

1 Représentez et imprimez le graphe de y = f x( ) = x − 4( ) x −1( ) x + 3( ). Sur ce

graphique, indiquez à la main ce que devrait être le graphique dey = g x( ) = x − 4( ) x −1( ) x + 3( ) .

Vérifiez.


Résolution d'équations et d'inéquations

2 Résolvez graphiquement les inéquations suivantes :a) x − 5 < 2 b) x + 2 <1

c) 2x − 5 <1 d) x + 2 >1

6.6 Les applications

Les échelles de température

Dans la plupart des pays, la température est mesurée dans des unités appeléesCelsius. Aux États-Unis, les unités utilisées sont les Farenheit.Sachant que la relation entre les deux systèmes d'unités est linéaire, que l'eau gèle

à 0 oC et 32 oF et qu'elle bout à 100 oC et 212 oF, établissez une fonction

représentant les unités F en fonction des unités C.Représentez le graphique de cette fonction et commentez-le.Selon le graphique, quelle température s'exprime par les mêmes unités dans lesdeux systèmes?Reprenez ces questions en établissant une fonction représentant les unités 0C en

fonction des unités 0F .

6.7 La librairieVotre librairie contient la procédure Droite par deux points.

annexe a.1 la mÉthode de rÉsolution de … · 1 cette annexe est extraite des notes de cours de...

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