annales demi-finales du 23e bombyx

Annales du 21e Bombyx

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♣ LIVRE 1

Quarts de finale 9 décembre 2010

♦ LIVRE 2

Demi-finales 11 février 2011

♥ LIVRE 3

Finale 12 mai 2011

Association Rallye Bombyx - � Place Jules Ferry - 34190 GANGES - � 04 67 73 81 01 - � [email protected] - site http://rallye-bombyx.asso-web.com

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Publication placée sous le patronage de l’Inspection Pédagogique Régionale de

mathématiques de l’Académie de Montpellier, de l’IREM et de la Régionale APMEP de Montpellier

Comité de rédaction

Yvonne BOULOC Priscilla SECHOY

Philippe LAVILLEDIEU Jean-Marie SCHADECK

Jean VERSAC

Professeurs de Mathématiques - Académie de Montpellier

Création

Association Association Association Association Rallye Bombyx Collège Louise Michel

Place Jules Ferry

34190 GANGES

Renseignements pratiques

Brochure gratuite disponible sur le site de la compétition à partir de septembre 2011 http://rallye-bombyx.asso-web.com

livre 2

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Demi-finales - 11 février 2011

♣ Barème et Règlement II.1 Le Club des Partenaires II.2

♦ Les énoncés II.3

♥ Les réponses II.11

♠ Les corrigés II.13

EEEEFFFF x UÉÅuçå Association Rallye Bombyx - � Place Jules Ferry - 34190 GANGES - � 04 67 73 81 01 - � [email protected] - site http://rallye-bombyx.asso-web.com

I.1

BARÈME

N° Problème 1 2 3 4 Question facultative

Points 101 102 103 104 50 total / 460

Précisions pour les problèmes avec plusieurs réponses et dont la résolution est partiellement exacte

Catégorie CM2

Problème 3 20 pour une seule face bien coloriée

Problème 1 Aucun point pour une résolution partielle. 5e

Problème 3 20 pour une seule réponse exacte

4e

Problème 4 20 pour une seule réponse exacte

Problème 1 10 pour 1 réponse exacte ; 20 pour 2 rép. 3e Générale

Problème 3 10 pour 1 réponse exacte ; 20 pour 2 rép.

Pour une application aisée du § "Classement des participants" du règlement, les élèves se voient attribuer un nombre de points x compris entre 0 et 460

� Pour chacun des problèmes, si l’élève a donné exactement la (ou toutes les) réponse(s) indiquée(s) sur le bulletin corrigé à l’exclusion de toute autre réponse : le nombre de points attribué appartient à { 50 ; 101 ; 102 ; 103 ; 104 }. � Pour un problème avec plusieurs réponses possibles, si l’élève n’a donné qu’une partie des réponses indiquées sur le bulletin corrigé à l’exclusion de toute autre réponse : le nombre de points attribué suit les indications du tableau ci-dessus. � Reporter sur le bulletin-réponse de l’élève, dans la case grisée “ Points ” le nombre x obtenu comme indiqué ci-dessus. � Classer les candidats en rangeant les bulletins-réponse par catégorie et par ordre décroissant des points.

RÈGLEMENT DU 23e Bombyx (Extraits)

Fiche technique du 23e rallye math. Bombyx

Le 23e rallye math. Bombyx, organisé par l'Association Rallye Bombyx (Ganges - Hérault), est ouvert à tous les élèves des collèges, aux élèves de 3e dérogatoire, de seconde professionnelle ou première année de CAP des lycées professionnels de l'académie de Montpellier et du Bassin méditerranéen, ainsi qu'aux élèves de CM2 des secteurs scolaires des collèges participant à la compétition. Les concurrents sont répartis en sept catégories avec des épreuves adaptées à chacune d’elles : � CM2 ; � 6e ; � 5e ; 4e ; 3e ; � 2de Pro. ou 1re année de CAP ; � 3e Dérogatoire & 3e DP6.

Déroulement du 23e rallye math. Bombyx

♦ QUARTS DE FINALE : Ils se dérouleront le jeudi 9 décembre dans chaque établissement. L'épreuve dure une heure, et consiste à résoudre quatre problèmes. Les participants devront, pour chaque problème, indiquer la ou les réponse(s) sur le bulletin prévu à cet effet. Au problème 1 sont attribués 101 points, au problème 2 ce sont 102 points, etc. ; une réponse approchée peut se voir attribuer une partie des points. Au sein de chaque établissement, 50% (environ) des participants sont qualifiés pour la demi-finale par le correspondant du rallye.

♦ DEMI-FINALES : L'épreuve consiste en la résolution de quatre problèmes et d'une question facultative destinée à départager les concurrents et à laquelle sont attribués 50 points. Elle dure quatre-vingt-dix minutes. Elle se déroulera le vendredi 11 février dans chaque établissement. Aucune qualification n'est faite au niveau de l'établissement. Le jury établit la liste des qualifiés pour la finale officielle constituée des élèves les mieux placés, et la liste des qualifiés pour la finale de repêchage constituée d'au plus deux élèves par établissement, choisis parmi les meilleurs de chaque établissement qui ne sont pas déjà qualifiés pour la finale officielle, afin d'assurer à chacun d'eux une représentation en finale par un minimum de deux candidats. ♦ FINALE ET FINALE DE REPÊCHAGE : Elles consistent en la résolution de quatre problèmes, d'une question facultative destinée à départager les concurrents et d’une question subsidiaire. L’épreuve dure quatre-vingt-dix minutes et se déroulera au Collège Louise Michel de Ganges le jeudi 12 mai, de 10h30 à 12h. La finale de repêchage permet au premier de chaque catégorie de gagner sa place en finale officielle avec la pleine conservation de ses points les épreuves étant identiques en finale de repêchage et en finale officielle.

Classement des participants au 23e rallye math. Bombyx

À l'issue de chaque phase, les candidats sont départagés : 1) par le nombre de points, 2) en cas d'égalité, les candidats sont déclarés ex æquo sauf pour les trois premiers du classement académique en finale officielle qui sont départagés par la question subsidiaire puis éventuellement l’âge avec ordre de priorité aux plus jeunes. Il y a deux classements pour les finalistes : d’une part celui des élèves de notre seule académie, d’autre part un classement international en prenant tous les finalistes de l’Académie et du Bassin méditerranéen.

Les prix du 23e rallye math. Bombyx

Tous les concurrents en quarts de finale, en demi-finales puis en finales reçoivent un lot et un diplôme. En finale officielle et pour le seul classement académique les douze premiers de chaque catégorie reçoivent un prix conséquent ; ce classement académique donne lieu à la désignation des lauréats des Thalès : les trois premiers de chaque catégorie qui se voient ainsi remettre un diplôme spécifique. Le classement international donne lieu à la désignation des deux premiers candidats de chaque catégorie où ont concouru des élèves hors académie ; ces lauréats du Bombyx méditerranéen se voient également attribuer des prix spécifiques. La remise des prix et des diplômes aura lieu lors de la Cérémonie des Thalès, au Collège Louise Michel de Ganges, le jeudi 12 mai de 14h45 à 15h45, à l’issue de la finale qui a lieu le matin même.. Les concurrents acceptent le présent règlement et les délibérations du jury dont les décisions sont sans appel.

I.2

du Bombyx

Association Rallye Bombyx Collège Louise MICHEL

Place Jules Ferry 34190 GANGES

www.cijm.org

www.alpepapier.com

L' Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques, l' I.R.E.M. de Montpellier, le Comité International de Jeux Mathématiques pour leur soutien moral.

Le Rectorat de l’académie de Montpellier, la Régionale A.P.M.E.P. de Montpellier, les Conseils Généraux du Gard, de l’Hérault, et de Lozère, les Communes de AGONÈS, BRISSAC, CAUSSE DE LA SELLE, GANGES, LAROQUE, MAS DE LONDRES, ST BAUZILLE DE PUTOIS, ST MARTIN DE LONDRES, SUMÈNE, CASIO, Math en Main, Alp’papier, Art Culture Lecture – Éditions du Kangourou, le Foyer OCCE34 du collège Louise Michel pour leur soutien financier.

* au 30 juin 2010

Le club* des partenaires

I.3

23e Bombyx Demi-finale CM2

Énoncés

DépartementsDépartementsDépartementsDépartements

PROBLÈME 1 : Lavande et oliviers dans le 84

Marius et Mireille habitent dans le Vaucluse (84) au milieu d’un domaine planté d’oliviers et de lavandes. Marius a confectionné des petits flacons d’eau de toilette à la lavande qui sentent bon le Midi ! Mireille, quant à elle, a

fait des petits bocaux d’olives. Mireille s’amuse à peser ces flacons tous

identiques, et ces bocaux tous de même poids : à chaque fois, il y a équilibre.

Pour la seconde pesée, elle a posé un poids de 75 g à côté du bocal. Quelle est la masse (ou, si tu préfères, le poids) d’un bocal ?

PROBLÈME 2 : Chez l’oncle Marcel dans le 76

L’oncle Marcel habite en Seine-Maritime (76). Il navigue sur la Seine en péniche : son métier consiste à transporter des céréales. Ces derniers jours, il est parti du port de Rouen, a effectué un 1er trajet de 53 km, ensuite il a effectué un 2e trajet de 79 km, puis un 3e de 27 km, et enfin un 4e de 9 km. Le problème c’est qu’il a très bien pu livrer ici du blé, ici de l’orge, là remplir une cale avec du seigle… et qu’il n’a pas forcément parcouru ces kilomètres en se déplaçant dans le même sens sur la Seine. Au terme de ces quatre trajets, Marcel est au maximum à 168 km de Rouen ! À combien de kilomètres de Rouen est-il au minimum ? PROBLÈME 3 : Chez papy et mamie dans le 78

Marius et Mireille ont passé quelques jours chez papy Pierre et mamie Geneviève à St-Germain-en-Laye dans les Yvelines (78). Ils ont fait une escapade à Paris, toute une journée ! C’était une grand première pour Marius

et Mireille ! Papy Pierre, prof. de math. à la Sorbonne leur a fait visité le grand amphi : cela les a beaucoup impressionnés ! Ils ont visité le Panthéon et admiré la capitale depuis son toit. À deux pas de là, à la Librairie des Math., Pierre leur a acheté un petit livre Le labyrinthe maléfique (Éd. Pôle)… Voici une énigme tirée de ce livre : Une pyramide a quatre faces qui sont des triangles. Chaque face est peinte à l’aide de trois couleurs : gris clair, gris foncé, noir. On s’est arrangé pour que deux parties peintes de la même couleur puissent éventuellement se toucher par un sommet (un point) mais jamais par un côté (un segment).

La pyramide sans peinture La pyramide peinte Si on met cette pyramide à plat, voilà ce qu’on obtient :

Complète le coloriage (respecte bien les couleurs : gris clair, gris foncé, noir). PROBLÈME 4 : Rangement des départements !

Marius a écrit en toutes lettres les nombres de 1 à 19, puis il les a rangés dans l’ordre alphabétique. Le premier est cinq (05 Hautes-Alpes) et le deuxième est deux (02 Aisne). Tu remarques que deux est bien rangé, puisqu’il est en deuxième place. Peux-tu, toi aussi, trouver d’autres nombres bien rangés entre un et dix-neuf ?

TSVP

75 g

I.4

QUESTION FACULTATIVE : Mireille dans le 84

Mireille a sorti la vaisselle de sa maman sur la grande table de la cuisine : il y a des bols, des assiettes, des cuillères et deux carafes. Elle a aussi mis sur la table sa très belle balance de Roberval, avec deux plateaux.

Avec cette balance elle a fait quatre pesées : à chaque fois, il y a équilibre.

Pour la pesée 4, Mireille a posé dans le plateau de gauche une assiette, combien de cuillères doit-elle poser dans le plateau de droite pour obtenir l’équilibre ? Indication : cherche dans un premier temps combien il faut de cuillères pour équilibrer un bol, en te servant des pesées 1 et 2.

1

2

3

4 ?

I.5

23e Bombyx Demi-finale 6e

Énoncés

PROBLÈME 1 : La famille Septime

Monsieur et Madame Septime ont sept enfants qui sont, curieusement, tous nés un 7 juillet. Chaque année, pour leur anniversaire, chacun d’eux a un gâteau comportant autant de bougies qu’il a d’années. Cette année, Philippe, le plus jeune, se souvient qu’il y a cinq ans, il y avait au total, deux fois moins de bougies que cette année. Combien de bougies seront-elles allumées cette année ? PROBLÈME 2 : L’horloge du village

L’horloge du village sonne tous les quarts d’heure de façon très particulière. À chaque heure et quart, elle sonne 1 coup, comme à 10 h 15. À chaque heure et demie, elle sonne 2 coups, comme à 10 h 30. À chaque heure trois quarts, elle sonne 3 coups, comme à 10 h 45. À chaque heure exacte, elle sonne 4 coups plus autant de coups que le nombre affiché sur l’horloge, comme 4 + 10 = 14 coups à 10 h ou 4 + 1 = 5 coups à 13 h ou 4 + 12 = 16 coups à minuit. Un élève du collège qui est demi-pensionnaire, arrive en moyenne à 8 h 20 le matin et il quitte le collège à 17 h 05. Combien de coups un demi-pensionnaire inattentif en cours a-t-il entendus à l’horloge du village, pendant sa journée au collège ?

PROBLÈME 3 : De la chance aux billes

Philippe a gagné 90 billes en dix jours de façon très régulière. Un nouvel élève arrive et il est aussi chanceux que lui, même davantage car il va gagner 14 billes par jour. Dans combien de jours en auront-ils gagnées le même nombre ? PROBLÈME 4 : La télécabine

Une télécabine est constituée d’un certain nombre de cabines qui tournent sans cesse sur un câble qui est un circuit fermé, comme le montre le schéma ci-contre. Elles sont rangées dans l’ordre de la n° 1 à la dernière. Au même instant, la cabine n° 98 se trouve en face de la cabine n° 105, alors que la cabine n° 230 se trouve en face de la cabine n° 241. Combien cette télécabine compte-t-elle de cabines ? QUESTION FACULTATIVE : La même télécabine

Une autre télécabine, de même principe que le précédent, compte 250 cabines. La n° 98 se trouve en face de la n° 105. En face de quelle cabine, au même instant, se trouve la n° 241 ?

98 105

230241

I.6


Énoncés PROBLÈME 1 : Figures de nombres

Le nombre dans le cercle est la somme des deux nombres dans les carrés de chaque côté. Trouver les nombres x, y et z. (Ces trois nombres sont des nombres entiers) PROBLÈME 2 : Petit escargot

Petit escargot est dans un puits de 30 mètres de profondeur. Le jour, il monte de 2,5 mètres et la nuit, il glisse de 1,5 mètre. Après 7 jours de labeur, il se repose le huitième jour. Combien de temps mettra-t-il pour sortir du puits?

PROBLÈME 3 : La cigale et la fourmi

Cent jours d’été durant, une fourmi récolte Onze grains du matin au soir, plus désinvolte La cigale en ramasse trois, rimant des vers Pour plaire à la fourmi pendant les nuits d’hiver. Sachant qu’à leur pitance, il suffit de deux grains Pour chacune et par jour, qu’il soit beau ou venteux, Pendant combien de jours la cigale aura faim, La fourmi prêtant ce qu’elle peut ? (Définition de pitance : ratio d’un repas ; nourriture)

Pour une année : 1) Combien de grains la fourmi peut-elle prêter à la cigale ? 2) Pendant combien de jours la cigale n’aura-t-elle pas de quoi

manger ? PROBLÈME 4 : Le flocon de Von Koch (1904)

Pour obtenir le flocon de Von Koch (mathématicien suédois, 1870-1924), on part d’un triangle équilatéral et on remplace chaque côté de la figure par quatre autres segments dont la longueur de chacun est égale au tiers du segment remplacé. La figure ci-dessus montre les trois premières étapes, l’étape de départ étant le triangle équilatéral.

Combien de côtés possède le flocon à l’étape quatre ? QUESTION FACULTATIVE : Le flocon de Von Koch

Quel est le périmètre du flocon à l’étape 3, si la longueur d’un côté du triangle équilatéral vaut 27 cm.

8 25 17

x 19 y

21

z

24

I.7


Énoncés

PROBLÈME 1 : Les nombres de Laurie

Laurie écrit des nombres entiers de quatre chiffres qui utilisent les quatre chiffres : 1, 2 3 et 4, chacun d’eux étant écrit une seule fois par nombre, comme 2 143. Combien y a-t-il de possibilités ? PROBLÈME 2 : Les bonbons de Bernard

À la sortie du collège, Bernard va au magasin acheter des bonbons et il est très gourmand. Il y en a de plusieurs sortes, rangés dans des bocaux différents. Bernard prend 2 bonbons dans le premier bocal, 4 bonbons dans le deuxième bocal, 6 dans le troisième et ainsi de suite. Quand il s’est servi dans le dernier bocal, il revient en arrière et reprend dans les autres bocaux autant de bonbons qu’il en avait pris lors du premier passage. Il a finalement 98 bonbons. Combien y a-t-il de sortes de bonbons ? PROBLÈME 3 : Le cri de Tarzan

Pour sauver Jane, Tarzan pousse son célèbre cri, puis traverse la forêt en s’agrippant de liane en liane. Les petites lianes lui permettent de faire des bonds de 4,5 m et les grandes lianes des bonds de 8 m. Il a ainsi parcouru 413 m en utilisant 63 lianes. Combien a-t-il utilisé de grandes lianes ?

PROBLÈME 4 : Un jus de fruits très frais

a) Philippe se sert du jus de fruits dans un verre cylindrique de 5 cm de rayon. Il y ajoute trois glaçons identiques et il attend patiemment que tous les glaçons soient entièrement fondus pour savourer son jus de fruits. La hauteur de liquide dans le verre s’est alors élevée de 0,5 cm. L’eau augmente son volume d’un cinquième en se transformant en glace. Quel était le volume d’un glaçon ? Donner la réponse en cm3 ; prendre obligatoirement 3,14 pour valeur approchée de ππππ.

b) Philippe se sert un autre jus de fruits dans le même verre que le précédent. il y ajoute encore trois glaçons qui sont maintenant des cubes de 4 cm d’arête et il attend encore que tous les glaçons soient entièrement fondus pour boire. Quelle est la hauteur supplémentaire de liquide dans le verre ? Donner la réponse arrondie au cm près.

Rappels : Volume d’un cylindre = 3,14 × r × r × h (aire du disque × hauteur) Volume du cube = c × c × c

r = rayon ; h = hauteur ; c = côté. QUESTION FACULTATIVE : D’autres nombres de Laurie

Laurie écrit des nombres entiers de quatre chiffres qui utilisent les quatre chiffres : 1, 2, 3 et 4 chacun d’eux pouvant être utilisé une ou plusieurs fois, comme 1421. Combien y a-t-il de possibilités ?

I.8

23e Bombyx Demi-finale 3egénérale

Énoncés PROBLÈME 1 : Les jolies Menteuses

Marie-Renée, Ghislaine et Samia sont trois amies qui aiment parler, ce qui est bien naturel ; mais comme chacun sait, les humains ne disent pas toujours la vérité... Ainsi, Ghislaine déclare que « Marie-Renée ou Samia ment(ent) ». Marie-Renée avance que « Samia et Ghislaine ne disent pas la vérité ». Enfin, Samia prétend que « Ghislaine et Marie-Renée mentent toutes les deux ». Dans les assertions précédentes, certaine(s) mente(nt) et d’autre(s) non ! Qui ment ? Qui ne ment pas ? PROBLÈME 2 : Un demi cercle

Les côtés de l'angle droit mesurent 8 cm et 15cm. Le centre du demi cercle est sur le côté de 8 cm Quelle est la mesure du rayon du demi cercle?

Aide : La figure ci-contre peut être utile !

PROBLÈME 3 : Trois cercles

Les cotés du triangle mesurent 7 cm, 9 cm et 11 cm. Les cercles centrés sur les trois sommets sont tangents entre eux. Quels sont leurs rayons?

PROBLÈME 4 : Point intérieur à un triangle

Les dimensions d’un triangle sont 12 m, 17 m et 25 m, son aire mesure 90 m². Un point intérieur au triangle est situé à 3 m du côté de 25 m et à 4 m du côté de 17 m. À quelle distance est-il du côté de 12 m? On donnera la valeur exacte sous forme fractionnaire.

QUESTION FACULTATIVE : Autre point intérieur au triangle

C’est le même triangle qu’au problème 4. On considère le point O, point d’intersection des trois bissectrices du triangle. Combien mesure la distance OE ? On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible .

I.9

23e Bombyx Demi-finale 3eDérogatoire & 3eDP6

Énoncés

PROBLÈME 1 : Les jeunes peintres Trois enfants peignent le mur de l’école en quatre heures. Combien de temps auraient mis deux enfants travaillant dans les mêmes conditions ? Exprimer le résultat en minutes.

PROBLÈME 2 : Le fermier Un fermier teste des poules génétiquement modifiées. Dans son poulailler, une poule sur 5 a des plumes bleues, 3 poules sur 7 ont des dents et il y a autant de poules avec des dents sans plumes bleues que de poules sans dents ni plumes bleues. Quelle est la proportion de poules qui ont des dents et des plumes bleues ? Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

PROBLÈME 3 : Le plombier Combien faut-il de tuyaux de 10 cm de diamètre intérieur pour fournir le même débit qu’un tuyau de 60 cm de diamètre intérieur si l’eau circule à la même vitesse dans tous les tuyaux ? Rappel : Aire d’un disque : π r² où r est le rayon du disque ; π ≈ 3,14. PROBLÈME 4 : La rencontre ! Les trois jeunes peintres, le plombier, le fermier et sa femme se retrouvent pour un pique-nique. En chemin, ils doivent traverser une rivière avec une barque si petite que seul un adulte peut y prendre place, ou bien deux enfants. Combien de passages de barque seront nécessaires pour que tout le monde traverse ? QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 1 Combien d’enfants travaillant dans les mêmes conditions faudrait-il pour que le travail soit terminé en 20 minutes ?

I.10

23e Bombyx Demi-finale 2depro et 1re année de CAP

Énoncés

Disciplines équestres…Disciplines équestres…Disciplines équestres…Disciplines équestres…

PROBLÈME 1 : Course

Lors d’une course de plat, le tiers des partants arrivent groupé en tête et les trois quarts du reste arrivent dans les 30 secondes qui suivent. Combien de chevaux reste-t-il encore derrière eux s’ils étaient 24 au départ ?

PROBLÈME 2 : Dressage

Julie, Laurie, Jeannot et Jojo doivent participer à une représentation de dressage. Pour le final, chacun choisit une figure différente. Les filles ne réussissent pas la cabriole, Jeannot n’a pas choisi la courbette, Jojo ne choisit la courbette que si Julie choisit la levade, Jeannot ne choisit la cabriole que si Julie termine par une croupade et le cheval de Laurie ne réussit pas encore les courbettes et la levade le terrorise. Quelle figure Jojo choisit-il pour son final ?

PROBLÈME 3 : Randonnée

Filou fait régulièrement le trajet entre son centre équestre et sa maison avec son cheval Nougat. Il a calculé qu’il met 10 minutes de moins lorsqu’il fait le trajet au trot (10 km/h) par rapport au même trajet au pas (6 km/h). Quelle est la distance qui sépare sa maison de son centre équestre ?

Rappel : t = dv

où v est la vitesse, d la distance et t la durée exprimées

dans des unités adéquates.

PROBLÈME 4 : Saut d’obstacle

Un drôle d’obstacle est construit entre deux murs [MU] et [RS] de hauteurs respectives 120 cm et 180 cm. Les barres [RM] et [US] se croisent en I. La hauteur minimum à sauter est alors notée h. Cathy et son poney Dadou ne sautent pas plus d’un mètre de haut, pourront-ils tenter de sauter cet obstacle ? Pour le savoir, on demande de calculer la hauteur minimum h à franchir.

QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 3

Si Filou avance à 20 km/h avec Nougat au galop, combien de temps gagne-t-il par rapport au même trajet au pas pour relier son centre équestre et sa maison ? Donner le résultat en minutes.

U

R

M S

I

h

I.11

23e Bombyx Demi-finale

Réponses

CATÉGORIE

CM2

PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 :

Masse d’un bocal d’olives en grammes Distance minimum de Rouen en km

2 2 5 8 PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :

Nombres bien rangés

huit et neuf

QUESTION FACULTATIVE : Nombre de cuillères 7

CATÉGORIE

6e


Nombre de bougies allumées cette année Nombre de coups

7 0 1 4 6 PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :

Nombre de jours Nombre de cabines

1 8 2 6 8

QUESTION FACULTATIVE : N°241 en face de N°2 1 2

CATÉGORIE

5e


Nombre de jours mis par l’escargot

3 3


Nombre de grains 3 7 0 Nombre de côtés à l’étape 4

Nombre de jours 3 0 7 6 8

QUESTION FACULTATIVE : Périmètre en cm 1 9 2 CATÉGORIE

4e


Nombre de possibilités Nombre de sortes de bonbons

2 4 7


Nombre de grandes lianes Volume en cm3 1 5, 7 3 7 Hauteur en cm ≈ 2

QUESTION FACULTATIVE : Nombre de possibilités 2 5 6

8 19 11

21

13

24

I.12

CATÉGORIE

3e


Qui ment ? Qui ne ment pas ? r, en cm

3, 7 5 Marie-Renée Samia Ghislaine


Les rayons en cm Distance en m au côté de 12 m

2, 5 4, 5 6, 5

3712

QUESTION FACULTATIVE : OE, en m 103

CATÉGORIE

3e Dérogatoire/DP6


Temps en minutes Proportion de poules avec dents et

3 6 0 plumes bleues

135


Nombre de petits tuyaux Nombre de traversées

3 6 1 5

QUESTION FACULTATIVE : Nombre d’enfants 3 6

CATÉGORIE

2de Pro/1re année CAP


Nombre de chevaux Figure choisie par Jojo

4

Une cabriole


Distance en km Hauteur minimum h en m

2, 5 0, 7 2

QUESTION FACULTATIVE : Temps gagné en min 1 7, 5

I.13

23e Bombyx Demi-finale CM2

Corrigés

DépartementsDépartementsDépartementsDépartements

PROBLÈME 1 : Lavande et oliviers dans le 84

Un bocal pèse autant que trois flacons, et dans la 2e pesée on voit que quatre flacons pèsent autant qu’un bocal plus 75 g. Donc un flacon pèse 75g. Trois flacons pèsent 225 g (75 × 3). La masse d’un bocal d’olives est de 225 grammes.

PROBLÈME 2 : Chez l’oncle Marcel dans le 76

On observe que 53 + 27 = 80. Donc si on veut minimiser la distance qui le sépare de son point de départ au port de Rouen, il faut qu’il ait fait 53 km dans un sens, puis 79 km en sens inverse, puis à nouveau 27 km dans l’autre sens : 80 – 79 = 1. Il est alors à 1 km de Rouen. Il fait alors les 9 km en changeant encore de sens de navigation sur la Seine : 9 – 1 = 8. Marcel est à 8 kilomètres au minimum de Rouen. PROBLÈME 3 : Chez papy et mamie dans le 78

La pyramide ci-contre est mise à plat de telle façon que la face arrière est le triangle A, et la face de dessous est le triangle B :

Triangle A Triangle B

On colorie alors les deux faces dans l’ordre des numéros ci-dessous, en remarquant les côtés communs (= qui se touchent) quand la pyramide est formée ; cela donne le coloriage ci-contre.

PROBLÈME 4 : Rangement des départements !

Marius a écrit : cinq ; deux ; dix ; dix-huit ; dix-neuf ; dix-sept ; douze ; huit ; neuf ; onze ; quatorze ; quatre ; quinze ; seize ; sept ; six ; treize ; trois ; un. Les autres nombres bien

rangés entre un et dix-neuf sont huit et neuf. QUESTION FACULTATIVE : Mireille dans le 84

Comme (1) un pot a la même masse que trois bols et une cuillère, deux pots pèsent autant que six bols et deux cuillères. L’énoncé indique d’autre part (2) que deux pots ont aussi la même masse que cinq bols et sept cuillères donc un bol pèse autant que cinq cuillères, trois bols que quinze cuillères et en réutilisant (1) un pot pèse autant que seize cuillères. Comme il faut trois bols pour équilibrer deux assiettes et une cuillère, quinze cuillères pèsent autant que deux assiettes et une cuillère donc quatorze cuillères que deux assiettes et sept cuillères équilibrent une assiette.

côté en commun

côté en commun

1

2

3

4

5

6

I.14


Corrigés

PROBLÈME 1 : La famille Septime

En cinq ans, chacun des sept enfants de la famille a 5 bougies de plus sur son gâteau, ce qui fait donc 35 bougies supplémentaires au total. Comme le nombre de bougies de cette année est le double de celui d’il y a cinq ans, c’est qu’il y avait 35 bougies en tout, il y a cinq ans. Cette année, 70 bougies seront allumées en tout. PROBLÈME 2 : L’horloge du village

De 9 h 15 à 16 h 15, l’horloge a sonné huit fois un coup. De 8 h 30 à 16 h 30, elle a sonné neuf fois deux coups. De 8 h 45 à 16 h 45, elle a sonné neuf fois trois coups. De 9 h à 17 h, elle a sonné neuf fois quatre coups, et il faut encore ajouter 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, et 5 coups supplémentaires. 8 + 18 + 27 + 36 + 9 + 10 + 11 + 12 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 146 L’horloge a sonné 146 coups.

PROBLÈME 3 : De la chance aux billes

Si Philippe a gagné régulièrement 90 billes en dix jours, c’est qu’il en gagne 10 par jour. Il en a déjà 90 à l’arrivée du nouveau. Le nouveau gagne 5 billes de plus que Philippe par jour. Il met 18 jours pour récupérer les 90 billes de retard. On appelle n le nombre de jours que l’on cherche. Ils auront le même nombre de billes dans 18 jours. PROBLÈME 4 : La télécabine

Entre la cabine 105 et la cabine 230, à droite sur le schéma, on compte 124 cabines. [En effet, 105 + 1 = 106, la 1re après 105 c’est la 106 ; la 124e après 105 c’est (105 + 124) la 229 ; et après il y a la 230]. Il doit donc y avoir 124 cabines entre la 241 et la 98. Il y en a 97 de 1 à 97, il en manque 27. Pour avoir la dernière cabine, il faut ajouter 241 et 27. Le nombre total de cabines est 268. QUESTION FACULTATIVE : La même télécabine

À gauche sur le schéma précédent, entre les deux cabines 98 et 241, il y a 106 cabines car il y en a 250 en tout (97 + 9). Il faut exactement le même nombre de cabines de l’autre côté. 105 + 106 + 1 = 212. La cabine n° 241 se trouve en face la n° 212.

I.15


Corrigés PROBLÈME 1 : Figures de nombres

Un peu fastidieux mais facile avec ces 3 nombres : 19, 21 et 24. Plus difficile avec d’autres nombres : il faut dans ce cas faire appel à de l’algèbre linéaire (des équations). Le raisonnement se base d’une part sur le fait que la somme des trois nombres dans les carrés est la moitié de la somme des trois nombres dans les cercles, d’autre part sur le fait que, en considérant deux côtés consécutifs du « triangle », on trouve facilement une relation entre y et z, et une autre entre x et y, la résolution du problème peut donc se ramener à celle d’une équation du 1er degré à une inconnue. x = 8, y = 11 et z = 13

PROBLÈME 2 : Petit escargot

Il mettra 33 jours : 8 jours pour monter de 7 mètres donc 32 jours pour les 28 premiers mètres puis un jour pour les deux derniers mètres. PROBLÈME 3 : La cigale et la fourmi

Récolte de la fourmi : 11 × 100 = 1 100. Récolte de la cigale : 3 × 100 = 300. Besoin annuel (fourmi ou cigale) : 2 × 365 = 730. 1) La fourmi peut donc prêter : 1 100 – 730 = 370 grains.

2) Après ce généreux don de la fourmi, il ne manquera plus à la

cigale que : 730 – 300 – 370 = 60 grains. Ces 60 grains correspondent à 60 : 2 = 30 jours de diète !

PROBLÈME 4 : Le flocon de Von Koch (1904)

À chaque étape le nombre de côtés est multiplié par 4. À l’étape 4, le nombre de côtés est : 3 × 4 × 4 × 4 × 4 = 3 × 16 × 16 = 768. QUESTION FACULTATIVE : Le flocon de Von Koch

À l’étape 3, le nombre de côtés est : 3 × 4 × 4 × 4 = 12 × 16 = 192. À chaque étape, la longueur d’un côté est divisée par 3. À l’étape 3, la longueur d’un côté est (en cm) : 27 : (3 × 3 × 3) = 1. Ainsi, le périmètre du flocon à l’étape 3 est de (en cm) : 192 cm. [On peut raisonner autrement en constatant que d’une étape à la suivante, le

périmètre est multiplié par 43 ou, si l’on préfère, rallongé d’un tiers.]

8 19 11

21

13

24

I.16


Corrigés PROBLÈME 1 : Les nombres de Laurie

Sans répéter les chiffres, Laurie peut écrire 1 234, 1 243, 1 324, 1342, 1423, 1432, ce qui fait six nombres commençant par « mille … ». Il y a autant de nombres avec 2 comme chiffre des unités de mille et autant avec 3 ou 4. Il y a 24 possibilités. PROBLÈME 2 : Les bonbons de Bernard

S’il y avait 4 bocaux, Bernard aurait 32 bonbons car : 2 + 4 + 6 + 8 + 6 + 4 + 2 = 32. (2 + 4 + 6 + ....) × 2 + n = 98 ; où n est le nombre de bonbons dans le dernier bocal. (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12) × 2 + 14 = 98. Il y a sept bocaux et donc aussi sept sortes de bonbons. PROBLÈME 3 : Le cri de Tarzan

Soit n le nombre de grandes lianes. Alors Tarzan a utilisé 63 – n petites lianes. 8 × n + 4,5 × (63 – n) = 413 8n + 4,5 × 63 – 4,5n = 413 8n – 4,5n + 283,5 = 413 3,5n = 129,5 donc n = 37. Tarzan a utilisé 37 grandes lianes (et 26 petites).

PROBLÈME 4 : Un jus de fruits très frais

a) Le volume de liquide supplémentaire mesure 39,25 cm3 car : 3,14 × 5 × 5 × 0,5 = 39,25. Si on ajoute un cinquième, on trouve le volume des trois glaçons. 39,25 + (39,25 : 5) = 47,1. Puis 47,1 : 3 = 15,7. Chaque glaçon a un volume de 15,7 cm3. b) Le volume d’un glaçon est de 64 cm3 car 4 × 4 × 4 = 64. Le volume des trois glaçons est donc de 192 cm3. Pour trouver le volume d’eau qui a donné ce volume de glace, il faut enlever un sixième, d’après le schéma ci-dessous.

192 – (192 : 6) = 160. Pour trouver la hauteur correspondante, il faut diviser ce volume par l’aire de la base du verre qui est un disque. 3,14 × 5 × 5 = 78,5 160 : 78,5 ≈ 2. La hauteur de liquide supplémentaire est d’environ 2 cm. QUESTION FACULTATIVE : D’autres nombres de Laurie

Laurie a écrit : 1 111, 1 112, 1 113 et 1 114, puis : 1 121, 1 122, 1 123 et 1 124, puis de 1131 à 1134 (4 nombres en tout), puis de 1141 à 1144 (encore 4 nombres), ce qui fait ainsi 16 nombres. Laurie a écrit autant de nombres entre 1 211 et 1 244, autant de 1 311 à 1 344 et encore autant de 1 411 à 1 444 ; 16 × 4 = 64. Comme il y a encore les mêmes possibilités avec les nombres ayant 2 pour chiffre des unités de mille, puis 3, puis 4, alors 64 × 4 = 256. Il y a 256 possibilités.

eau liquide eau gelee

I.17

23e Bombyx Demi-finale 3egénérale

Corrigés

PROBLÈME 1 : Les jolies Menteuses

MR dit (1) : S ment ET G ment G dit (2) : MR ment OU S ment S dit (3) : G ment ET MR ment

MR ne peut pas dire la vérité, car sinon (1) G ment ce qui signifie (2) que ni MR, ni S ne mentent donc S dit la vérité ce qui (3) contredit le fait que MR ne ment pas. Donc MR ment. S ne peut pas dire la vérité, car sinon (3) G ment ce qui (2) contredit le fait que MR ment. Donc S ment. Donc (3) l’une des deux G ou MR dit la vérité, et comme ce n’est pas MR, alors G ne ment pas, ce qui convient bien à (1) ainsi qu’à (2) (le ‘ou’ en math. est inclusif). Ghislaine ne ment pas, les deux autres si ! PROBLÈME 2 : Un demi cercle

1re méthode : avec les aires. Le th. de Pythagore donne l’hypo-ténuse du triangle ABD : 17 cm. Le double de l’aire de ce triangle rectangle est égal à 15 × 8 mais aussi à la somme des doubles des aires des deux triangles ADC et ACB : 15r et 17r 15r + 17r = 15 × 18 donc r = 3,75 cm.

2e méthode : avec Pythagore. Il y a sur la figure deux triangles identiques d’hypoténuse [AC], donc le petit triangle rectangle a ses côtés de l’angle droit qui mesurent 2 cm

et r. Le carré de son hypoténuse est à la fois égal à 4 + r² et à (8 – r)². Donc 4 + r² = 64 – 16r + r² puis 16r = 60 et r = 3,75 cm.

PROBLÈME 3 : Trois cercles

11 – x + 7 – x = 9 x = 4,5 cm. Les autres rayons mesurent 2,5 cm et 6,5 cm.

PROBLÈME 4 : Point intérieur à un triangle

On appelle x la distance du point intérieur au triangle au côté de 12 m.

On a: 32

× 25 + 42

× 17 + x2 ×12 = 90 ; d’où : x =

3712

m .

QUESTION FACULTATIVE : Autre point intérieur au triangle

On prouve facilement que OE = OF = OG. L’aire du triangle ABC est la somme des aires des trois triangles ABO, BOC et AOC, donc : AB × OE

2 +

AC × OE2

+ BC × OE

2 = 90

d’où OE = 90 × 2 : (AB + BC + AC) = 103

m.

r

r

A

B C D

I.18

23e Bombyx Demi-finale 3eDérogatoire & 3eDP6

Corrigés

PROBLÈME 1 : Les jeunes peintres Trois enfants peignent le mur de l’école en quatre heures, ce qui équivaut à 12 heures de travail. S’ils sont deux à se le partager, ils peindront 6 heures chacun soit 360 minutes.

PROBLÈME 2 : Le fermier

Avec dents Sans dents Total

Avec plumes bleues 3/7 – 2/5 =

1/35 Inutile de

calculer ceci. 1/5

Sans plumes bleues 2/5 2/5 4/5

Total 3/7 4/7 1 = 5/5 = 7/7

En gras, les données du problème. On en déduit immédiatement la ligne « sans plumes bleues ». 1/35 des poules ont des dents et des plumes bleues.

PROBLÈME 3 : Le plombier La section du gros tuyau doit correspondre à la somme des sections des petits tuyaux. La section du gros tuyau vaut 30² π soit 900 π. La section d’un petit tuyau vaut 5² π soit 25 π. 900 : 25 = 36. Il faut donc 36 petits tuyaux. PROBLÈME 4 : La rencontre ! Deux enfants traversent, l’un d’eux revient. Un premier adulte traverse, le second enfant revient. On réalise 3 fois cette série de 4 traversées (une fois pour chaque adulte). Cela fait 12 traversées. On termine par 3 derniers passages pour les 3 enfants (deux enfants traversent, l’un d’eux revient pour retraverser avec le dernier). 15 traversées seront donc nécessaires. QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 1 On a trouvé qu’il fallait 12 heures de travail pour peindre ce mur soit 720 minutes. 720 : 20 = 36. Le mur sera peint en 20 minutes par 36 enfants.

I.19

23e Bombyx Demi-finale 2depro et 1re année de CAP

Corrigés

Disciplines équestres…Disciplines équestres…Disciplines équestres…Disciplines équestres…

PROBLÈME 1 : Course

8 chevaux arrivent groupés en tête, il en reste alors 16 derrière. Les ¾ de 16 soit 12 autres chevaux arrivent dans les 30 secondes qui suivent. Il reste encore 4 chevaux qui ne sont pas arrivés.

PROBLÈME 2 : Dressage

Julie Laurie Jeannot Jojo Cabriole N N N Courbette N N Levade N N O N

Croupade N O N N En complétant la grille ci-dessus à l’aide des données du problème, on trouve directement que Laurie choisit la croupade. Comme Julie n’a pas choisi la croupade, on déduit que Jeannot choisit la levade. Julie doit alors forcément choisir la courbette et Jojo la cabriole. Jojo fera une cabriole pour son final.

PROBLÈME 3 : Randonnée

Soit d, la distance maison - centre équestre. On applique t = dv

lorsqu’il

marche au pas : t = d6.

Au trot, il met 10 min = 1/6 h de moins, donc : t – 16

= d10

. En

substituant l’expression de t dans cette équation, on obtient : d6 –

16 =

d10

soit d – 1

6 =

d10

puis 4 d = 10 et enfin : d = 2,5 km.

PROBLÈME 4 : Saut d’obstacle

On nomme O le point tel que OI = h. En appliquant le théorème de Thalès dans SUM, on obtient :

h1,20

= OSMS

= OS

MO + OS (1)

De même dans MRS : h

1,80 =

OMMS

= OM

MO + OS

On a donc h

1,20 +

h1,80

= OS + OMMO + OS

= 1

En résolvant l’équation, on obtient 3h = 1,2 × 1,8 puis h = 0,72 m.

QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 3

t = dv

. Si d = 2,5 km et v = 20 km/h alors le temps du parcours au galop

en minutes est égal à 60 × 2,520

= 7,5 minutes.

Le temps de son parcours au pas est égal à 60 × 2,56

= 25 minutes.

Il gagne donc 25 – 7,5 = 17,5 minutes.

annales demi-finales du 23e bombyx

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