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UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES
Annales de sujets d’examen
Volume 5 : Licence 3 Semestre 1
Volumes élaborés par la commission pédagogique de l’UFR d’économie
Avertissements : - Suite au changement de contrat quadriennal, l’intitulé, le contenu des cours, et par conséquent la nature des sujets d’examen ont parfois connu des modifications sensibles à partir de l’exercice universitaire 2010-2011. C’est pourquoi, dans certaines matières, vous ne trouverez dans les présents volumes que les sujets de l’année dernière. - D’autres matières ont également changé de semestre à l’occasion de la mise en œuvre du contrat quadriennal. C’est pourquoi pour une même matière, il est possible de trouver des sujets d’examen correspondant à des semestres de L différents. Dans les présents volumes d’annales, les matières sont réparties selon l’architecture du quadriennal actuel. - La thématique des projets tutorés est susceptible de changer chaque année. Les éventuels documents compilés dans ces volumes d’annales ne sont donc fournis qu’à titre indicatif. - D’autres documents pédagogiques du même ordre (sujets d’examens antérieurs, sujets et corrigés d’exercices de TD, d’interrogations de rattrapage) sont susceptibles de se trouver sur les EPI (Espaces Pédagogiques Interactifs) de vos différentes matières. Il est donc fortement recommandé de consulter régulièrement ces derniers : http://epi.univ-paris1.fr/55125523/0/fiche___pagelibre/&RH=n1sitesEPI&RF=RUB_U02 - Merci, enfin, de lire attentivement le règlement du contrôle des connaissances de l’UFR d’économie, situé en fin de volume.
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UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES
Annales de sujets d’examen Licence 3 S5 (premier semestre)
Table des matières : Macroéconomie : Croissance (sujets et corrigés, p. 5) Statistique Appliquée (sujets et éléments de correction, p. 40) Microéconomie appliquée [option] (sujets, p. 52) Règlement du contrôle des connaissances (p. 64)
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Université Paris 1 Panthéon�SorbonneMacroéconomie L3Cours de K. SchubertPartiel de janvier 2011
Question (8 points)
En quoi le progrès technique est-il un facteur essentiel de la croissance ? Peut-onpenser qu�il est exogène ? S�il ne l�est pas, comment l�analyse économique explique-t-ellel�apparition des innovations ?
Exercice 1 (7 points)
On considère une économie dans laquelle le stock de capital K et le stock de connais-sances technologiques A évoluent de la manière suivante :
_Kt = Yt � Ct_At = mYt
où Y et C sont respectivement la production et la consommation agrégées, et le coe¢ cientm une constante positive.La fonction de production est :
Yt = bK�t (AtL)
1�� ; b > 0; 0 < � < 1
L�emploi L est constant.Le taux d�épargne est constant et égal à s.
1) Interprétez le modèle. Pour cela, commentez chacune des équations et les hypothèsesqu�elles incorporent, puis indiquez s�il s�agit d�un modèle de croissance à la Solow ou d�unmodèle de croissance endogène, en justi�ant votre réponse.
2) On dé�nit la variable z = K=A. Montrez que le taux de croissance gK du capi-tal, d�une part, et celui gA du stock de connaissances, de l�autre, peuvent s�exprimer enfonction de z et des paramètres et données du problème.
3) Représentez sur le même schéma les deux taux de croissance gK et gA en fonctionde z. Pour cela, étudiez si chacun de ces taux est une fonction croissante ou décroissante,et convexe ou concave de z:
4) Montrez que l�économie représentée par ce modèle admet un sentier de croissanceéquilibrée de long terme. Indiquez comment ce sentier est déterminé. Calculez les valeursstationnaires de z et du taux de croissance de l�économie (on notera ces valeurs z� et g�).Commentez : quels sont les déterminants de la croissance à long terme ? En utilisant leschéma de la question précédente, montrez par un raisonnement graphique que le pointstationnaire est stable. Interprétez la trajectoire de croissance lorsque l�économie partd�un niveau bas de z.
5) Quel est le taux d�intérêt réel dans cette économie ? Donnez son expression enfonction de z:Interprétez.
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6) On suppose qu�il existe deux pays, le Nord et le Sud, décrits par le modèle précédent.Le Nord et le Sud ont la même technologie, la même population et le même taux d�épargne,mais des niveaux initiaux di¤érents de capital physique et de connaissances technologiques: le Nord a initialement à la fois plus de capital physique et plus de capital technologique(KN
0 > KS0 et A
N0 > A
S0 ). Le capital physique est mobile d�un pays à l�autre. Partant de
la situation initiale, comment est déterminée son allocation entre les deux pays ?
7) Pourquoi est-il possible que le capital se déplace du Sud vers le Nord ? Commentez.
Exercice 2 (5 points)
On considère une économie à la Solow sans progrès technique dans laquelle le taux decroissance démographique est donné par :
_LtLt= n+
�
kt
où Lt représente la population, kt le capital par tête, et n et � sont des paramètrespositifs Le taux d�épargne de l�économie, s > 0, est exogène et constant. Il n�y a pasde dépréciation du capital. La fonction de production est Yt = F (Kt; Lt) où F est unefonction à rendements d�échelle constants possédant les propriétés habituelles.
1) Représenter graphiquement le taux de croissance démographique en fonction du capitalpar tête et commenter la spéci�cation adoptée. Quel phénomène démographique cettespéci�cation cherche-t-elle à reproduire ?
2) Ecrire l�équation d�accumulation du capital par tête. E¤ectuer la représentationgraphique de cette équation, en adaptant la représentation habituelle du modèle de Solow.Existe-t-il un état stationnaire ? Commenter.
3) Etudier graphiquement la stabilité du ou des états stationnaires et commenter. Que sepasse-t-il quand il n�existe pas d�état stationnaire ?
4) Que se passe-t-il si n = 0 ?
5) On considère maintenant le cas d�une fonction de production AK : Yt = AKt avec A >ns: Ecrire l�équation d�accumulation du capital par tête. Existe-t-il un état stationnaire ?Si oui, est-il stable ? Si non, comment se comporte cette économie ? Commenter.
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Macroéconomie L3Partiel de janvier 2011Corrigé des exercices
Exercice 1
Le modèle :
_Kt = Yt � Ct_At = mYt; m > 0
Yt = bK�t (AtL)
1�� ; b > 0; 0 < � < 1; L > 0 constant
Ct = (1� s)Yt
1) Interprétation du modèle.
� Equation d�accumulation du capital standard avec taux de dépréciation du capitalnul.
� A chaque date, production de connaissances proportionnelle à la production de biensi.e. le stock de connaissances à une date t donnée est proportionnel à la productioncumulée entre 0 et t : learning by doing;
� Fonction de production de biens Cobb-Douglas à rendements d�échelle constants etprogrès technique portant sur le travail, neutre au sens de Harrod.
� Modèle de croissance endogène : le rendement conjoint des 2 facteurs accumulablesK et A dans la production est constant.
2) On dé�nit la variable z = K=A. Taux de croissance du capital et du stock deconnaissances :
gK;t =_Kt
Kt
=Yt � CtKt
=sYtKt
=sbK�
t (AtL)1��
Kt
= sbK��1t (AtL)
1�� = sbL1��z��1t
gA;t =_AtAt=mYtAt
=mbK�
t (AtL)1��
At= mbK�
t A��t L
1�� = mbL1��z�t
3)
dgKdz
= (�� 1)sbL1��z��2 < 0; d2gKdz2
= (�� 2)(�� 1)sbL1��z��3 > 0
dgAdz
= �mbL1��z��1 > 0;d2gAdz2
= (�� 1)�mbL1��z��2 < 0
gK est donc une fonction décroissante et convexe de z; tandis que gA est une fonctioncroissante et concave de z: Cf. schéma.
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z
gA
gK
z�
g�
��--
4) La di¤érentiation logarithmique de la fonction de production par rapport au tempsdonne :
_YtYt= �
_Kt
Kt
+ (1� �)_AtAt
S�il existe un sentier de croissance équilibrée de long terme le long duquel production etstock de capital croissent au même taux gK constant, alors l�expression précédente montreque le stock de connaissance croît aussi au même taux : gA = gK : On note ce taux g�: Lepoint stationnaire est obtenu à l�intersection des 2 courbes sur le schéma précédent. On a
gK = gA () sbL1��z��1 = mbL1��z� () z� =s
m
Alorsg� = sbL1��z���1 = sbL1��
� sm
���1= s�m1��bL1��
Le taux de croissance de long terme est une fonction croissante du taux d�épargne, duparamètre m représentant l�e¢ cacité du learning by doing, de la PGF b et de la taille dela population L (e¤et d�échelle).Le point stationnaire est stable. On voit sur le schéma que si z < z� alors gK > gA
: le stock de capital croît plus vite que le stock de connaissances, ce qui fait augmenterz = K=A: On se rapproche alors de z�: Raisonnement symétrique si z > z�:Une économie partant d�un niveau bas de z est une économie dans laquelle initialement
le stock de connaissances est élevé mais qui manque de capital physique pour produire.Ce type d�économie, dans la transition vers le sentier de croissance équilibrée où K etA croissent au même taux, doit accumuler relativement plus de capital physique que deconnaissances.
5) Le taux d�intérêt réel est la productivité marginale du capital :
rt = �bK��1t (AtL)
1�� = �bL1��z��1t
C�est une fonction décroissante de z: En e¤et, plus z est faible plus le stock de capitalphysique est peu abondant relativement au stock de connaissances et plus l�économie doiten accumuler, ce qui est rendu possible par un taux d�intérêt élevé.
6) Il existe deux pays, le Nord et le Sud, ayant la même technologie, la même populationet le même taux d�épargne, mais des niveaux initiaux di¤érents de capital physique et deconnaissances technologiques : le Nord a initialement à la fois plus de capital physique etplus de capital technologique (KN
0 > KS0 et A
N0 > A
S0 ). Le capital physique est mobile
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d�un pays à l�autre. Son allocation entre les deux pays est déterminée par les valeursrespectives du taux d�intérêt réel dans les deux pays : le capital se déplace vers le paysqui le rémunère le plus. Les mouvements de capital entraînent l�égalisation à long termedes taux d�intérêt au niveau
r� = �bL1��z���1 = �bL1���ms
�1��7) Initialement, on a
rN0 = �bL1��(zN0 )
��1 et rS0 = �bL1��(zS0 )
��1
Le pays qui a le taux d�intérêt le plus élevé est celui qui a le z le plus faible, et c�est versce pays que va se diriger le capital physique. Ce qui compte ce n�est donc pas le niveauabsolu de K et A dans les deux pays, mais le niveau relatif z = K=A: On sait que le Norda initialement à la fois plus de capital physique et un plus grand stock de connaissancestechnologiques que le Sud, mais ceci ne dit rien sur les niveaux relatifs zN0 et z
S0 : Si z
N0 <
zS0 ; on aura rN0 > r
S0 et le capital physique se déplacera du Sud vers le Nord.
Exercice 2 (5 points)
Economie à la Solow sans progrès technique dans laquelle le taux de croissance démo-graphique est donné par :
_LtLt= n+
�
kt1) Cette spéci�cation du taux de croissance démographique modélise (grossièrement) une¤et de type transition démographique : plus les agents sont riches (capital par tête kélevé) plus la croissance démographique est faible. Quand k devient très grand le tauxde croissance démographique se stabilise à un niveau constant n: Quand k tend vers 0 ilest in�ni (pas plausible ; il faudrait borner cet e¤et). C�est l�inverse d�un e¤et malthusiendans lequel le taux de croissance démographique serait une fonction croissante du revenupar tête.
-
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k
_LL
n
2) Equation d�accumulation du capital, en l�absence de dépréciation :
_Kt = sF (Kt; Lt)
D�où l�équation d�accumulation du capital par tête kt = Kt=Lt :
_kt =_KtLt �Kt
_LtL2t
=sF (Kt; Lt)
Lt�_LtLt
Kt
Lt= sf(kt)� nkt � �
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Représentation graphique de cette équation :
-
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- -- ���ktk�2k�1
sf(kt)
�
nkt + �, n élevébnkt + � nkt + �, n faible
Pour � donné, on voit graphiquement qu�en fonction de la valeur de n il existe 2(pour n faible), 1 (pour une valeur unique de n intermédiaire) ou 0 (pour n élevé) étatsstationnaires.1
3) Dans le cas où il existe 2 états stationnaires, on voit graphiquement que celui corre-spondant au capital par tête le plus élevé k�2 est stable tandis que l�autre est instable.Dans le cas où il n�existe pas d�état stationnaire, quelque soit le niveau initial du
capital par tête la croissance démographique est trop élevée (l�e¤et de dilution est tropfort par rapport à l�épargne par tête), le capital par tête diminue et l�économie s�e¤ondreà long terme, avec k ! 0 et L!1 (de nouveau, très peu plausible).
4) Si n = 0, il existe un état stationnaire unique k� déterminé par f(k�) = �=s: On peutmontrer graphiquement qu�il est instable. Si k0 < k� (économie initialement pauvre, àla forte croissance démographique) l�e¤et de dilution est toujours trop fort par rapport àl�épargne et l�économie s�e¤ondre à long terme. Si k0 > k� c�est l�inverse : k croît de façonperpétuelle tandis que le taux de croissance démographique tend vers 0 (la population serenouvelle juste).
5) Dans le cas d�une fonction de production AK Yt = AKt avec A > ns; l�équation
d�accumulation du capital par tête devient
_kt = (sA� n) kt � �
1Remarque : on peut calculer en fonction de � le taux n limite pour lequel l�état stationnaire estunique. On obtient pour une fonction de production Cobb-Douglas f(k) = k� :
bn(�) = �s��(1� �)1���1��
� 1�
C�est une fonction décroissante de �:
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-
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- -�kt
(sA� n)kt
�
Il existe un état stationnaire unique, instable (cf. graphique). Si le capital par têteinitial est plus faible que le capital par tête stationnaire, l�économie s�e¤ondre à long terme.Dans le cas contraire, le capital par tête croît perpétuellement, son taux de croissance delong terme tendant vers sA� n:
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Université Paris 1 Panthéon�SorbonneMacroéconomie L3Cours de K. SchubertPartiel de janvier 2010
Question (8 points)
Sous quelle forme les modèles de croissance récents incorporent-ils les idées ou encore la connais-sance, et pourquoi le font-ils ? Quelles sont les propriétés caractérisant les idées en tant que bienéconomique, et quelles sont les implications de ces propriétés pour la croissance ?
Exercice 1 : la stagnation malthusienne (7 points)
On considère une économie agricole dont la fonction de production est
Yt = AtT�L1��t ; 0 < � < 1:
Yt est la production agricole à l�instant t; Lt l�emploi dans l�agriculture, assimilé à la population, Tle stock de terre, disponible en quantité �xe et normalisé à 1 dans la suite de l�exercice, et At le stockde connaissances de l�économie.
1) Le stock de connaissances est constant au cours du temps et la population évolue au taux n T 0;exogène et constant : _Lt=Lt = n. Donnez l�expression du niveau du revenu par tête yt = Yt=Lt etcelle de son taux de croissance. Que se passe-t-il à long terme dans cette économie ? Expliquez.
2) La population croît toujours au taux n mais le stock de connaissances évolue maintenant au coursdu temps de la façon suivante :
_At = �L t A�t ; � > 0; 0 < < 1; � � 1:
a) Commentez cette spéci�cation. Que représentent les paramètres �; et � ? Vous expliquerezplus particulièrement la signi�cation des di¤érentes valeurs que peut prendre le paramètre � (� = 1;0 < � < 1; � < 0).b) Donnez l�expression du taux de croissance du stock de connaissances en fonction de la populationtotale et du stock de connaissances, et l�expression du taux de croissance du revenu par tête.c) A quelle(s) condition(s) existe-t-il un sentier de croissance équilibrée à taux constant ? Quel estalors, le long de ce sentier, le taux de croissance du revenu par tête ? Vous distinguerez dans laréponse les cas � = 1 et � 6= 1 et vous commenterez les di¤érences entre les sentiers de croissance delong terme obtenus dans les deux cas.
3) Le stock de connaissances est constant mais le taux de croissance démographique est fonction durevenu par tête :
_LtLt= n(yt); avec n0(yt) > 0; n00(yt) < 0; n(0) = n < 0; lim
yt!1n(yt) = n > 0:
a) Représentez graphiquement le taux de croissance démographique en fonction du revenu par tête.Vous noterez y� le revenu par tête pour lequel le taux de croissance démographique s�annule. Com-mentez la pertinence de la spéci�cation retenue.
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b) Ecrivez l�équation di¤érentielle représentant l�évolution au cours du temps du revenu par tête.Donnez une représentation graphique de cette équation dans le plan (yt; _yt=yt): Existe-t-il un étatstationnaire ? Si oui, étudiez graphiquement sa stabilité.c) Expliquez quelle sera l�évolution de l�économie à partir d�une situation initiale où la populationL0 est très faible, de sorte que y0 > y�. Que se passe-t-il à long terme ? Pourquoi peut-on quali�erla situation de long terme de cette économie de stagnation malthusienne ?4) Le taux de croissance démographique dépend du revenu par tête, et le stock de connaissances croîtà taux constant : _At=At = � > 0:a) Ecrivez l�équation di¤érentielle représentant l�évolution au cours du temps du revenu par tête.Donnez-en une représentation graphique dans le plan (yt; _yt=yt): Existe-t-il un état stationnaire ?b) Comparez le long terme de cette économie avec celui d�une économie identique sans accumulationde connaissances (voir la question 3). Commentez. A quelle condition l�accumulation de connais-sances permet-elle de sortir de la stagnation malthusienne ?
Exercice 2 : learning by doing et croissance (5 points)
1) On considère une économie dans laquelle M entreprises identiques (indicées par i) ont chacune lafonction de production suivante :
Yit = K1��it (AtLi)
�
où Yit est la production de l�entreprise i à l�instant t; Kit son stock de capital productif, Li l�emploisupposé constant. At représente le progrès technique, avec
At =MXi=1
Kit = Kt
où Kt est le stock de capital agrégé.a) Commentez les hypothèses sous-jacentes à cette formulation du progrès technique.b) Donnez l�expression de la fonction de production macroéconomique. Commentez, en discutant enparticulier des rendements d�échelle aux niveaux microéconomique et macroéconomique.2) On admet que le comportement des consommateurs conduit à la relation suivante donnant le tauxde croissance de la consommation :
_CtCt= �(rt � �)
où r est le taux d�intérêt réel, � représente l�élasticité de substitution intertemporelle de la consom-mation et � le taux de préférence pour le présent des consommateurs.a) Calculez les productivités marginales sociale et privée du capital physique. Sont-elles décrois-santes ? constantes ? Comparez-les et commentez.b) Que valent les taux de croissance à l�optimum social (gopt) et à l�équilibre concurrentiel (geq) ?Comparez-les.c) Que valent les taux d�épargne de l�économie, à l�optimum social (sopt) et à l�équilibre concurrentiel(seq) ? Comparez-les.3) On choisit � = 1 et � = 5 %. On étalonne le modèle de sorte qu�il fournisse, à l�équilibreconcurrentiel, geq = 3 %, req = 5 % et seq = 20 %.a) Déduisez-en successivement la valeur du taux de préférence pour le présent �; celle du facteurd�échelle AL� et celle de la part du capital dans la production 1� �:b) Calculez en�n les grandeurs correspondantes à l�optimum social, ropt, gopt et sopt. Ces valeursvous semblent-elles plausibles ? Discutez de la pertinence du modèle à la lumière de ces résultats.
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Macroéconomie L3Partiel de janvier 2010Eléments de corrigé
Question
Modèles de croissance récents : endogénéisation du progrès technique. La connaissance est unbien produit intentionnellement à l�aide de ressources (matérielles et humaines).Connaissance, idée : bien économique particulier, non rival mais potentiellement exclusif (modal-
ités de l�exclusion : secret, protection par le brevet, droit d�auteur).Fonction de production des biens (privés) associés aux idées :
� coût �xe très élevé
� coûts variables négligeables
� coût moyen toujours supérieur au coût marginal
� prix élevé même si coût marginal faible
� rendements croissants
� concurrence imparfaite
Exercice 1 : la stagnation malthusienne
On considère une économie agricole dont la fonction de production est
Yt = AtT�L1��t ; 0 < � < 1:
Yt est la production agricole à l�instant t; Lt l�emploi dans l�agriculture, assimilé à la population, Tle stock de terre, disponible en quantité �xe et normalisé à 1 dans la suite de l�exercice, et At le stockde connaissances de l�économie.
1) Le stock de connaissances est constant au cours du temps et la population évolue au taux n T 0;exogène et constant : _Lt=Lt = n.Le revenu par tête est
yt =YtLt= AL��t
et son taux de croissance vaut :_ytyt= ��n:
Si le taux de croissance démographique est positif, le revenu par tête diminue à taux constant et tendà long terme vers 0. Ceci provient du fait que la terre est disponible en quantité �xe tandis que lapopulation croît. Si le taux de croissance démographique est négatif en revanche, le revenu par têteaugmente à taux constant. Aucun des deux cas n�est convaincant : il manque à ce modèle un lienentre la croissance de la population et le revenu par tête.
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2) La population croît toujours au taux n mais le stock de connaissances évolue maintenant au coursdu temps de la façon suivante :
_At = �L t A�t ; � > 0; 0 < � 1; � � 1:
a) La production de connaissances _At est d�autant plus importante que la population est grande. Si = 1; la productivité du travail dans la production de connaissances est constante, alors qu�elle estdécroissante si 6= 1; ce qui semble plus pertinent.
� représente l�e¢ cacité du processus de production de connaissances.� mesure l�impact du stock de connaissances existant sur la production de nouvelles connais-
sances. � = 1 est le cas envisagé par Romer. La production de connaissances augmente avec le stockde connaissances car � > 0 (e¤et standing on shoulders). En outre, le taux de croissance du stockde connaissances est indépendant du niveau de ce stock car � = 1 ; autrement dit, la productivitédu stock de connaissances dans la production de connaissances est constante. Dans le cas 0 < � < 1l�e¤et standing on shoulders est présent, mais la productivité du stock de connaissances dans la pro-duction de connaissances est décroissante. Dans le cas � < 0; la production de connaissances est unefonction décroissante du stock de connaissances. E¤et d�épuisement des opportunités technologiques(�shing out).b) Taux de croissance du stock de connaissances et du revenu par tête :
_AtAt
= �L t A��1t
_ytyt
=_AtAt� �n:
c) Dans le cas � = 1; _At=At = �L t et il existe un sentier de croissance équilibrée à taux constant siet seulement si Lt est constant, c�est-à-dire si et seulement si le taux de croissance démographiqueest nul. Dans ce cas, le taux de croissance du revenu par tête est
_ytyt=
_AtAt= �L :
Il est toujours positif, fonction de la taille de la population (e¤et d�échelle) et de l�e¢ cacité duprocessus de production de connaissances.Dans le cas � 6= 1; il existe un SCE à taux constant si et seulement si �L t A
��1t est constant,
c�est-à-dire si et seulement si le taux de croissance de cette grandeur est nul :
_LtLt+ (�� 1)
_AtAt= 0
i.e._AtAt=
1� �n
dont on déduit_ytyt=
�
1� �� �
�n:
Pour que le taux de croissance du revenu par tête soit positif, il faut que et � soient su¢ sammentélevés (productivité du travail et du stock de connaissances dans la production de connaissances pastrop décroissantes).
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3) Le stock de connaissances est constant mais le taux de croissance démographique est fonction durevenu par tête :
_LtLt= n(yt); avec n0(yt) > 0; n00(yt) < 0; n(0) = n < 0; lim
yt!1n(yt) = n > 0:
a) Représentation graphique du taux de croissance démographique en fonction du revenu par tête :
6
-
n(y)
n
n
yy�
Cette formulation indique que le taux de croissance démographique est une fonction croissantedu revenu par tête ; il est négatif quand celui-ci est très faible, inférieur au niveau y� qui permet toutjuste à la population de se renouveler, puis devient positif quand le revenu par tête excède y� ; il nepeut cependant pas croître indé�niment : il existe un maximum biologique n: A y� correspond, parla fonction de production, une population L� :
L� =
�A
y�
� 1�
:
b) Le taux de croissance du revenu par tête est :
_ytyt= ��n(y):
6
-
_ytyt
��n
��n
yy�
L�état stationnaire est y�: On voit graphiquement qu�il est stable : si yt < y�; _yt=yt > 0 et ytaugmente ; c�est l�inverse si yt > y�:.c) On part d�une situation initiale dans laquelle la population L0 est très faible. La fonction de pro-duction indique alors que le revenu par tête est élevé. S�il est supérieur à y�; on a simultanément unecroissance démographique positive et une baisse du revenu par tête, jusqu�à ce que l�économie con-verge vers l�état stationnaire (y�; L�): C�est la stagnation malthusienne : la croissance démographiqueassociée à une technologie dépendant d�un facteur �xe maintient l�économie dans une trappe.
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4) Le taux de croissance démographique dépend du revenu par tête, et le stock de connaissances croîtà taux constant : _At=At = � > 0: Le taux de croissance du revenu par tête est alors :
_ytyt= �� �n(y):
On distingue deux cas très di¤érents (voir �gure) : �� �n(y) > 0 8y , �� �n > 0 et �� �n < 0:Dans le premier cas, le taux de croissance du revenu par tête est toujours positif, et il tend à longterme vers � � �n: L�accroissement du stock de connaissances se fait à un rythme su¢ sant pourque l�économie sorte de la trappe malthusienne. Dans le second cas, l�accroissement du stock deconnaissances permet juste de déplacer l�état stationnaire au niveau y�� > y� :
_ytyt= 0, n(y��) =
�
�:
A l�état stationnaire, la croissance démographique est maintenant positive.
6
-
_ytyt
��n
��n
�� �n
�� �n
yy� by
cas �� �n < 0 6
-
��n
��n
�� �n
�� �n
yy�
cas �� �n � 0
Exercice 2 : learning by doing et croissance
1) On considère une économie dans laquelle M entreprises identiques (indicées par i) ont chacune lafonction de production suivante :
Yit = K1��it (AtLi)
�
où Yit est la production de l�entreprise i à l�instant t; Kit son stock de capital productif, Li l�emploisupposé constant. At représente le progrès technique, avec
At = a1�
MXi=1
Kit = a1�Kt
où Kt est le stock de capital agrégé et a un paramètre positif.a) Formulation du progrès technique : learning by doing à la Arrow.
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b) Fonction de production macroéconomique :
Yt =
MXi=1
Yit =
MXi=1
K1��it (AtLi)
� =
MXi=1
�Kt
M
�1�� �a1�Kt
L
M
��= aL�Kt:
Les rendements d�échelle sont constants au niveau microéconomique et croissants au niveau macroé-conomique, en raison de l�externalité.
2) On admet que le comportement des consommateurs conduit à la relation suivante donnant le tauxde croissance de la consommation :
_CtCt= �(rt � �)
où r est le taux d�intérêt réel, � représente l�élasticité de substitution intertemporelle de la consom-mation et � le taux de préférence pour le présent des consommateurs.a) La productivité marginale sociale du capital physique est Pms = @Yt
@Kt= aL�: Elle est constante.
La productivité marginale privée vaut :
Pmp =@Yit@Kit
= (1� �)K��it (AtLi)
� = (1� �)
�Kt
M
��� �At
L
M
��= (1� �)K��
t (AtL)� :
Elle est décroissante. Ex post cependant, on a At = a1�Kt et
Pmp = (1� �)aL�:
La productivité marginale privée est inférieure à la productivité marginale soiale, car l�externalitén�est pas prise en compte par le marché et les entreprises sous-estiment donc le rendement de leurinvestissement.b) Taux de croissance à l�optimum social :
gopt = �(ropt � �) = �(Pms� � � �) = �(aL� � � � �):
Taux de croissance à l�équilibre concurrentiel :
geq = �(req � �) = �(Pmp� �) = �((1� �)aL� � � � �):
geq < gopt:
L�équilibre concurrentiel est sous-optimal.c) Taux d�épargne de l�économie :
s =_K + �K
Y=
_K + �K
K
K
Y=g + �
aL�:
On a donc
sopt =gopt + �
aL�=�(aL� � �) + (1� �)�
aL�
seq =geq + �
aL�=�((1� �)aL� � �) + (1� �)�
aL�:
seq < sopt:
5
Page 18
3) On choisit � = 1 et � = 5 %. On étalonne le modèle de sorte qu�il fournisse, à l�équilibreconcurrentiel, geq = 3 %, req = 5 % et seq = 20 %.a) On a alors
� = req �geq�= 0; 05� 0; 03 = 0; 02 = 2 %
aL� =geq + �
seq=0; 08
0; 2= 0; 4
1� � =req + �
AL�=0; 1
0; 4= 0; 25:
b) Grandeurs correspondantes à l�optimum social :
ropt = aL� � � = 0; 4� 0; 05 = 0; 35 = 35 %gopt = �(ropt � �) = 0; 35� 0; 02 = 0; 33 = 33 %
sopt =gopt + �
aL�=0; 38
0; 4= 0; 95 = 95 %
soit des valeurs manifestement irréalistes. L�externalité est beaucoup trop forte dans ce modèle ; elleinduit un écart entre équilibre concurrentiel et optimum social beaucoup trop grand.
6
Page 19
Université Paris 1 Panthéon�SorbonneMacroéconomie L3 (Magistère, MOSEF, MASS)
Partiel de janvier 2009
Question (8 points)
Que sont les politiques de croissance et en quoi les théories de la croissance endogène leurdonnent-elles des fondements ?
Exercice 1 : modèle de Solow avec migration (8 points)
0) Question préliminaire.Rappelez quel est l�impact de long terme du taux de croissance de la population dans le
modèle de Solow. Quel e¤et une augmentation de ce taux de croissance a-t-elle à long termesur le niveau du revenu par tête, son taux de croissance, les niveaux du salaire réel et du tauxd�intérêt réel ?
On considère une économie à la Solow ouverte à l�immigration en provenance du reste dumonde. La population totale de cette économie à la date t est Lt, et son taux de croissance estdonné par
_LtLt= n+mt
où n exogène et constant est le taux de croissance démographique, et mt = Mt=Lt est letaux d�immigration, Mt désignant le �ux instantané de migrants. On suppose ce �ux positif :l�économie considérée est riche par rapport au reste du monde, et est donc un pays d�accueil. Onsuppose que chaque migrant arrive dans le pays considéré avec un capital �k donné et constant.It désigne l�investissement brut, Yt = F (Kt; Lt) la fonction de production (à rendements
d�échelle constants), Ct la consommation globale. L�évolution du capital global est décrite parla relation
_Kt = F (Kt; Lt)� �Kt � Ct + �kMt
où � est le taux de dépréciation du capital. Il n�y a pas de progrès technique.
1) Le seul capital accumulé dans le pays provient ainsi de l�épargne locale ou des apports desmigrants. Cette hypothèse vous semble-t-elle réaliste ? Discutez les hypothèses faites en matièrede mobilité du travail et du capital.
2) On note f(k) la fonction de production par tête et on suppose que l�épargne nationale estune proportion s du revenu. Déduisez-en l�évolution du capital par tête.
3) On suppose que le taux de migration est constant. Comment la présence des migrationsa¤ecte-t-elle _k ? Discutez et interprétez selon la position du capital par tête courant kt parrapport à �k:
4) Représentez le diagramme de Solow dans le plan�k; _k
�. Vous représenterez à la fois la courbe
correspondant au cas sans migration, c�est-à-dire le diagramme de Solow habituel, et la courbe
Page 20
correspondant au cas avec migration. Comment le nouveau point stationnaire se situe-t-il parrapport au point stationnaire sans migrations ? Quel est l�e¤et des migrations sur le capitalpar tête de long terme ? Est-il identique à ce qui se passerait s�il n�y avait pas de migrationset si le taux de croissance de la population était n +m ? Quelles en sont les conséquences enmatière de revenu par tête ? Interprétez.
5) La fonction d�immigration est maintenant
m(kt) =
�0 si kt < �k�(kt � �k); avec 0 < � si kt < �k
Expliquez comment cette spéci�cation décrit la décision de migrer, ou non, des travailleurs dureste du monde. Reprenez alors toute l�analyse de la question 4.
6) Discutez en conclusion la manière dont ce modèle décrit l�impact des migrations sur lasituation des travailleurs nationaux. Quels mécanismes vous semblent absents du modèle ?
Exercice 2 : accumulation de connaissances et croissance (4 points)
On considère une économie dont la fonction de production agrégée de bien �nal est :
Yt = F (Kt; AtLY t) = K�t (AtLY t)
1��; 0 < � < 1 (1)
où Kt est le stock de capital, LY t l�emploi dans la production du bien �nal et At le stock deconnaissances, à l�instant t: La population totale est Lt = LY t + LAt; où LAt désigne l�emploidans l�activité de recherche, productrice de connaissances. Le taux de dépréciation du capitalest � > 0 et le taux de croissance de la population n � 0:L�évolution du stock de connaissances au cours du temps est donnée par :
_At = �LAtA�t ; � > 0; � � 1 (2)
1) Commenter l�équation (2) dans les cas (a) � = 1; (b) 0 < � < 1 et (c) � < 0:
2) On note � = LAtLtla part des chercheurs dans la population totale, avec 0 � � � 1; et on
suppose que � est constant au cours du temps. Donner l�expression du revenu par tête yt = YtLt
en fonction de �; du capital par tête et du stock de connaissances, puis l�expression du taux decroissance du stock de connaissances, que l�on notera gAt; en fonction de �; de la populationtotale et du stock de connaissances.
3) On se place dans le cas � = 1: Que vaut le taux de croissance du stock de connaissances ? Aquelle condition existe-t-il un sentier de croissance équilibrée à taux constant ? Quel est alors,le long de ce sentier, le taux de croissance du revenu par tête ?
4) On se place maintenant dans le cas � 6= 1: Mêmes questions.5) Commenter les di¤érences entre les sentiers de croissance de long terme obtenus dans les deuxcas. Quels sont les déterminants de la croissance ? Quel rôle joue � sur le taux de croissanceet sur le niveau du produit par tête de long terme ?
2
Page 21
Partiel de janvier 2009Eléments de corrigé
Question
Les politiques de croissance sont des politiques structurelles. Cf agenda de Lisbonne...Les théories de la croissance endogène mettent l�accent sur des mécanismes essentiels pour
la croissance : éducation, innovation, apprentissage.... et sur le fait qu�ils peuvent in�uencerle taux de croissance de long terme. Elles montrent aussi que le fonctionnement spontané del�économie n�est pas satisfaisant (externalités, concurrence imparfaite...) Elles servent donc debase à la dé�nition de politiques de croissance.Il faut ensuite donner des exemples.
Exercice 1 : modèle de Solow avec migrations
0) Question préliminaire.Dans le modèle de Solow sans progrès technique, le capital par tête et le produit (le revenu)
par tête sont constants à long terme. Avec progrès technique exogène (portant sur le travail),ils croissent au taux de progrès technique . Le taux de croissance de la population n�a doncaucun e¤et sur le taux de croissance de long terme du produit par tête.En revanche, il a une in�uence négative sur le capital par tête. La croissance de la population
impose d�équiper en capital les nouveaux entrants sur le marché du travail. A taux d�épargnedonnée, cela conduit à une baisse du capital par tête de long terme et donc à une baisse dusalaire réel, mais à une hausse du taux d�intérêt réel. On parle d�e¤et de dilution.Formellement, le capital par tête de long terme k�S est déterminé par
f(k�S)
k�S=n+ �
s
Comme la productivité moyenne est décroissante, k�S est d�autant plus faible que le taux decroissance de la population est élevé. Une augmentation de ce taux de croissance diminue doncle revenu par tête de long terme. Le salaire réel et le taux d�intérêt réel de long terme valentrespectivement
w�S = f(k�S)� k�Sf 0(k�S)r�S = f 0(k�S)
Le premier diminue quand n augmente (formellement, @w�S=@n = �k�Sf 00(k�S)@k�S=@n), tandisque le second augmente quand n augmente.
1) Les hypothèses sont qu�il n�y a pas de mobilité internationale des capitaux, hormis le fait queles migrants arrivent dans le pays d�accueil avec leur capital, mais qu�il y a parfaite mobilitédu travail. Peu réaliste. On considère souvent que le capital est plus mobile que le travail.Remarque : on devrait aussi distinguer la mobilité du capital �nancier (c�est-à-dire l�existenced�un marché �nancier international) et la mobilité du capital physique.
2) Evolution du capital en niveau (en omettant l�indice temporel) :
_K = sF (K;L)� �K + �kM
Page 22
Evolution du capital par tête :
_k =_K
L�_L
Lk = sf(k)� (n+m+ �)k +m�k
3) On suppose que le taux de migration m est constant.
_k = sf(k)� (n+ �)k +m��k � k
�Si k < �k; la présence de migrations augmente _k: C�est intuitif : les migrants arrivent avec uncapital par tête supérieur au capital par tête du pays d�accueil. Peu réaliste : on voit mal alorspourquoi l�immigration aurait lieu vers un pays d�accueil moins riche que le pays d�origine desmigrants (�k étant une estimation du capital par tête dans ce dernier). Si k > �k; la présence demigrations diminue _k:
4) On suppose a priori que le niveau de capital �k que les immigrés peuvent apporter est inférieurà celui qu�atteindrait à long terme le pays d�accueil en l�absence de migrations.Plusieurs représentations graphiques sont possibles.On peut raisonner sur le diagramme de Solow synthétique, en traçant les trois courbes
suggérées dans l�énoncé :_k���Solow n
= sf(k)� (n+ �)k
_k���Solow n+m
= sf(k)� (n+m+ �)k
_k���migr
= sf(k)� (n+ �)k +m��k � k
�= sf(k)� (n+m+ �)k +m�k
= _k���Solow n
+m��k � k
�= _k
���Solow n+m
+m�k
Ceci permet de situer les di¤érentes courbes, pour chaque niveau de k, sur la �gure 1.
-
6
k��S �k k� k�S k
_k
_k���Solow n
_k���migr
_k���Solow n+m
Figure 1
2 Page 23
La valeur stationnaire k� du capital par tête dans le modèle avec migrations est inférieure àcelle, k�S, du modèle de Solow sans migrations, mais supérieure à celle, k
��S , du modèle de Solow
sans migrations mais avec un taux de croissance démographique égal à m+ n.Les migrations augmentent le taux de croissance démographique et accroissent donc le
phénomène de dilution : il faut équiper en capital les migrants. Mais cet e¤et de dilution estamoindri par le fait que les migrants apportent du capital. Il ne disparaît pas parce que lesmigrants apportent un capital inférieur à celui que �nit par atteindre le pays développé.On peut aussi mener l�analyse sur la �gure 2, plus détaillée, qui distingue l�épargne sf(k)
de l�impact de la démographie et de la dépréciation, (n+ �)k dans le modèle de Solow habituel,�(n+m+ �)k �m�k
�dans le modèle avec migrations, (n +m + �)k dans le modèle de Solow
avec un taux de croissance démographique de n+m:Dès lors que �k < k�S, comme on l�a supposé, le point stationnaire k
� se situe à gauche dupoint stationnaire sans migrations k�S (k
� < k�S) La migration diminue le capital par tête delong terme, par rapport au cas sans migration. En revanche, k� > k��S ; le capital par tête delong terme du cas où il n�y a pas de migrations et où le taux de croissance de la population estn+m. La raison en est que les agents qui naissent dans le pays �arrivent�avec un capital nul,tandis que les migrants arrivent avec un capital positif �k: L�e¤et de dilution est donc moinsimportant. Ces résultats se transposent directement en termes de revenu par tête de long terme.
6
-
sf(k)
(n+ �)k
k
(n+m+ �)k �m�k
�m�k
�k k� k�S
(n+m+ �)k
k��S
Figure 2
En�n, on peut mener l�analyse sur la �gure 3. Pour construire cette �gure, on considère quel�épargne par tête en cas de migrations est l�épargne domestique sf(k) plus l�épargne apportéepar les immigrants m�k:
3 Page 24
-
6
sf(k)
sf(k) +m�k
(n+ �)k(n+m+ �)k
k�k�Sk��SFigure 3
Il est mons facile de voir sur cette dernière représentation que k� < k�S , �k < k�S:
5) La fonction d�immigration est maintenant
m(kt) =
�0 si kt < �k�(kt � �k); avec 0 < � si kt > �k
Cette spéci�cation permet de traduire le fait que l�immigration n�a lieu que si le capital partête est plus élevé dans le pays d�accueil que dans le pays d�origine. L�immigration est d�autantplus importante que l�écart est grand.Les niveaux de salaire peuvent justi�er ce mécanisme. Si les deux pays ont la même fonction
de production, un capital par tête plus élevé implique un salaire plus élevé. Les travailleursmigrent si le salaire est plus élevé dans le pays d�accueil, c�est-à-dire si le capital par tête y estplus élevé. On peut considérer que �k représente a priori le capital par tête moyen dans le paysde départ, qui détermine le niveau des salaires, mais qu�il représente aussi le niveau de capitalapporté en moyenne par chaque migrant.L�évolution du capital par tête est alors :
_k = sf(k)� (n+ �)k �m(k)(k � �k)
=
�sf(k)� (n+ �)k si k < �ksf(k)� (n+ �)k � �(k � �k)2; si k > �k
De nouveau, on peut donner plusieurs représentations de ce modèle.
4 Page 25
-
6
k
_k
Figure 4
-
6
k�Sk��k k
sf(k)
(n+ �)k(n+ �)k + �(k � �k)2
Figure 5
On a toujours k� < k�S:
6) Dans ce problème les migrations ont toujours un e¤et négatif sur les travailleurs du paysd�accueil. Bien d�autres e¤ets peuvent jouer dans un sens positif. Les migrations peuvent setraduire par l�arrivée de catégories de travailleurs qui font défaut dans le pays d�accueil. Ellespeuvent compenser une tendance à la baisse de la population. Pour des motifs qui ne sont passeulement économiques, une telle baisse n�est sans doute pas souhaitable. L�arrivée de migrantsjeunes peut aussi faciliter le �nancement des retraites, mais cet e¤et positif n�est a priori quetemporaire.
Exercice 2 : accumulation de connaissances et croissance
Fonction de production agrégée de bien �nal :
Yt = F (Kt; AtLY t) = K�t (AtLY t)
1��; 0 < � < 1
Evolution du stock de connaissances :
_At = �LAtA�t ; � > 0; � � 1
5 Page 26
La production de connaissances _At augmente avec le nombre de chercheurs. � représentel�e¢ cacité de la recherche. � mesure l�impact du stock de connaissances existant sur la produc-tion de nouvelles connaissances.
1) (a) � = 1 : cas envisagé par Romer. La production de connaissances augmente avec le stockde connaissances car � > 0 (e¤et standing on shoulders). En outre, le taux de croissance dustock de connaissances est indépendant du niveau de ce stock car � = 1 ; autrement dit, laproductivité du stock de connaissances dans la production de connaissances est constante.(b) 0 < � < 1 : e¤et standing on shoulders, mais la productivité du stock de connaissances
dans la production de connaissances est décroissante.(c) � < 0 : la production de connaissances est une fonction décroissante du stock de
connaissances. E¤et d�épuisement des opportunités technologiques (�shing out).
2) � = LAtLtpart des chercheurs dans la population totale, supposée constante au cours du temps.
Revenu par tête :
yt =YtLt=K�t (At(1� �)Lt)1��
Lt= k�t (At(1� �))1��
Taux de croissance du revenu par tête :
gyt = �gkt + (1� �)gAt
Taux de croissance du stock de connaissances :
gAt = �LAtA��1t = ��LtA
��1t
3) Cas � = 1:gAt = ��Lt
D�après cette expression, il existe un sentier de croissance équilibrée à taux constant si lapopulation est constante (Lt = L; n = 0). Alors, le long de ce sentier, on a gA = ��L;gkt = gyt = gy et
gy = gA = ��L
4) Cas � 6= 1: Il existe un sentier de croissance équilibrée à taux constant si gAt est constant,c�est-à-dire si LtA
��1t est constant au cours du temps, c�est-à-dire encore si _Lt
Lt+ (�� 1)gA = 0:
Alors,gy = gA =
n
1� �5) Cas � = 1 : les déterminants de la croissance sont la productivité de la recherche �; la partdu travail consacré à la recherche � et la taille de la population L (e¤et de taille ou d�échelle,empiriquement contestable).Cas � 6= 1 : les déterminants de la croissance sont le taux de croissance de la population
et non plus son niveau (plus d�e¤et d�échelle) et le paramètre � mesurant l�impact du stock deconnaissances existant sur la production de nouvelles connaissances. Plus � est élevé (c�est-à-dire proche de 1), plus il est facile d�innover et donc plus le taux de croissance est élevé. �n�a pas d�in�uence sur le taux de croissance de long terme. Une hausse de � augmente bien àcourt terme la production de connaissances, mais comme � < 1 la productivité de ces nouvellesconnaissances est plus faible. A long terme, les deux e¤ets se compensent.En�n, une augmentation de � toutes choses égales par ailleurs provoque une baisse du niveau
du produit par tête, car moins de travail est consacré à la production.
6 Page 27
Université de Paris IMacroéconomie L3 : la croissance
IUP, Magistère, MASSPartiel de janvier 2006
Question (7 points)
Portée et limites du modèle de Solow.
Exercice 1 : progrès technique biaisé (4 points)
On considère une économie dans laquelle la fonction de production est une CES :
Y = F (K;L) =haK1� 1
� + (1� a) (AL)1�1�
i 1
1� 1� ;
où Y est la production, K le stock de capital L l�emploi et A le progrès technique, exogène.
1) Commentez la forme de la fonction de production. Que représentent les paramètres a et� ? Que peut-on dire du progrès technique ?
2) Calculez les productivités marginales du capital et du travail. Si l�on suppose que laconcurrence est parfaite, que vaut le prix relatif du travail par rapport au capital ? Commentvarie-t-il quand l�abondance relative de travail L=K augmente ? Interprétez.
3) On dira que le progrès technique est biaisé en faveur du travail s�il augmente la productiv-ité marginale du travail davantage que celle du capital (c�est-à-dire le prix relatif du travail parrapport au capital), toutes choses égales par ailleurs. Discutez du biais du progrès techniquedans ce modèle, en fonction de la substituabilité des facteurs de production. Commentez.
Exercice 2 : croissance par innovation et par imitation (9 points)
On considère une économie dans laquelle l�emploi total L; constant, peut être consacré à laproduction (LY ) ou à la recherche (LA) :
L = LY + LA
On note A =LALla part de l�emploi dans la recherche dans l�emploi total.
La fonction de production est très simple :
Y = ALY
où A est le stock de connaissances technologiques.L�équation d�accumulation des connaissances s�écrit :
_A = �LAA; � > 0
1) Réécrivez les deux équations précédentes en utilisant A et interprétez le modèle. Quereprésente � ?
Page 28
2) On suppose tout d�abord que A est constant. Quel est le taux de croissance du produitpar tête y dans cette économie ?
3) On suppose maintenant qu�à une certaine date � l�économie décide de consacrer davantagede ressources à la recherche : A augmente. Que devient le taux de croissance du produit partête ? Que devient, à l�instant � ; le niveau du produit par tête ? Représentez graphiquementlnAt en fonction du temps t et ln yt en fonction du temps t; en indiquant ce qui se produit àl�instant � : Commentez.
4) On s�intéresse maintenant non plus à un seul pays mais à deux pays, 1 et 2. Ces deuxpays sont supposés de même taille (même L). Les parts de l�emploi dans la recherche dans lesdeux pays sont notées A;1 et A;2 =
LA;2L; et on fait l�hypothèse A;1 > A;2:
Les fonctions de production des deux pays sont identiques :
Y1 = A1LY;1; Y2 = A2LY;2
Le pays 1 est le �leader technologique� : c�est dans ce pays que l�activité d�innovation alieu. Le pays 2 est suiveur ; il n�innove pas mais imite les technologies mises au point dans lepays 1. On a donc A1 > A2 8t. Les équations d�accumulation des connaissances des deux payssont alors di¤érentes :
_A1 = �LA;1A1; _A2 = �
�A1A2
��LA;2A2; � > 0; 0 < � < 1
Comment peut-on interpréter le terme ��A1A2
��dans l�équation d�accumulation des con-
naissances du pays 2 ? Représentez graphiquement ce terme en fonction de A1=A2; l�écarttechnologique entre les deux pays.
5) Que valent les taux de croissance du produit par tête dans les deux pays ? Représentezgraphiquement ces taux de croissance en fonction de l�écart ttechnologique.
6) Que vaut le taux de croissance de l�écart technologique ? On suppose qu�initialementl�écart technologique est très important. Comment va-t-il évoluer au cours du temps ? Pourquoiva-t-il converger vers une valeur stationnaire, et quelle est-elle ?
7) Donnez l�expression du niveau du revenu par tête dans les deux pays, puis du rapportde ces revenus par tête en fonction de l�écart technologique. Le leader technologique a-t-ilforcément un revenu par tête plus élevé que le suiveur ? Commentez.
2 Page 29
Partiel de janvier 2006Corrigé des exercices
Exercice 1 : progrès technique biaisé
Fonction de production CES :
Y = F (K;L) =haK1� 1
� + (1� a) (AL)1�1�
i 1
1� 1�
1) C�est une fonction à facteurs substituables. a est un paramètre positif de part du capital,� est l�élasticité de substitution du capital au travail, constante comme l�indique le nom de lafonction. Les rendements d�échelle sont constants. Le progrès technique A porte sur le travail.
2) Productivités marginales du capital et du travail :
@F
@K= a
�Y
K
� 1�
et@F
@L= (1� a)A1� 1
�
�Y
L
� 1�
Si la concurrence est parfaite le prix relatif du travail par rapport au capital est égal aurapport des productivités marginales :
w
u=@F=@L
@F=@K=1� aaA1�
1�
�L
K
�� 1�
Le prix relatif du travail par rapport au capital est décroissant par rapport à l�abondancerelative du travail L
K: E¤et de substitution
3) Le progrès technique est biaisé en faveur du travail s�il augmente la productivité marginaledu travail davantage que celle du capital, toutes choses égales par ailleurs. Dans ce modèle :
� si � > 1 une augmentation de A augmente @F=@L@F=@K
: Donc si K et L sont très substituables,un PT portant sur le travail est aussi biaisé en faveur du travail ;
� si � < 1 c�est l�inverse ;
� si � = 1 (cas Cobb-Douglas), pas de biais.
Exercice 2 : croissance par innovation et par imitation
L�emploi total L; constant, peut être consacré à la production ou à la recherche : L =LY +LA. A =
LALest la part de l�emploi dans la recherche dans l�emploi total, et donc 1� A
la part de l�emploi dans la production.
1) Fonction de production :
Y = ALY = A(1� A)L
Equation d�accumulation des connaissances technologiques :
_A = �LAA = � ALA; � > 0
Page 30
� représente l�e¢ cacité de la recherche. A A donné, plus � est élevé plus un nombre donné LAde chercheurs produit une quantité importante de connaissances technologiques.Dans ce modèle (sans capital physique), le moteur de la croissance est le progrès technique,
endogène. Accumulation des connaissances à la Romer 1991.
2) On suppose que A est constant. Produit par tête :
y =Y
L= A(1� A)
Taux de croissance du produit par tête :
_y
y=
_A
A= � AL
Ce taux est constant. Il est d�autant plus élevé que la recherche est e¢ cace, que la part dutravail consacrée à la recherche est grande et que la taille du pays est grande (e¤et d�échelle).
3) A la date � l�économie décide de consacrer davantage de ressources à la recherche : A augmente. Le taux de croissance du produit par tête, qui est une fonction linéaire de A; augmente également. Le niveau du produit par tête est y = A(1 � A): A l�instant � ildiminue donc (saut vers le bas), puis il croît à un taux plus élevé que précédemment. Doncl�accroissement des ressources consacrées à la recherche provoque à la fois un e¤et de niveaunégatif (dû à la baisse des ressources en travail consacrées à la production) et un e¤et de tauxpositif (dû à l�accélération du progrès technique) sur le produit par tête. Formellement, on a :
_A
A= � AL, At = A0e
� ALt , lnAt = lnA0 + � ALt
etyt = At(1� A), ln yt = lnAt + ln(1� A) = lnA0 + ln(1� A) + � ALt
-
6
!!!!
!!!!
t0 �
lnAt
lnA0
########
-
6
!!!!
!!!!
t�0
ln yt
lnA0 + ln(1� A)########
4) On considère deux pays, 1 et 2 de même taille (même L). Parts de l�emploi dans larecherche dans les deux pays : A;1 et A;2 avec A;1 > A;2:
2 Page 31
Fonctions de production :
Y1 = A1LY;1 = A1(1� A;1)L; Y2 = A2LY;2 = A2(1� A;2)L
Le pays 1 est le �leader technologique� : il innove. Le pays 2 est suiveur : il imite lestechnologies mises au point dans le pays 1. On a donc A1 > A2 8t. Equations d�accumulationdes connaissances :
_A1 = �LA;1A1 = � A;1LA1; _A2 = �
�A1A2
�� A;2LA2; � > 0; 0 < � < 1
Le terme ��A1A2
��représente l�e¢ cacité de l�imitation dans le pays 2. L�hypothèse sous-
jacente est que plus l�écart technologique A1=A2 est grand plus cette e¢ cacité est importante.
-
6
A1=A2
��A1A2
��
�
1
5) Taux de croissance du produit par tête :
_y1y1=
_A1A1
= � A;1L;_y2y2=
_A2A2
= �
�A1A2
�� A;2L
_y1y1est constant au cours du temps tandis que _y2
y2ne l�est pas. Il est d�autant plus élevé que
l�écart technologique est grand.
-
6
A1A2
� A;1L
� A;2L
1
_y1y1
_y2y2
�A1A2
��6) Le taux de croissance de l�écart technologique est
_A1A1�_A2A2
= � A;1L� ��A1A2
�� A;2L = � A;1L
1�
�A1A2
�� A;2 A;1
!
Si initialement l�écart technologique est très important (A1=A2 � 1), le membre de droite del�équation ci-dessus est négatif et le taux de croissance de l�écart technologiqe aussi : l�écart
3 Page 32
technologique diminue. Cette diminution se poursuit jusqu�à ce que le taux de croissance del�écart soit nul. L�écart technologique atteint alors une valeur stationnaire :�
A1A2
��=
� A;1 A;2
� 1�
> 1
Plus la part du travail consacrée à la recherche dans le pays 1 est élevée par rapport à la partdu travail consacrée à l�imitation dans le pays 2, plus l�écart technologique stationnaire de longterme est grand.
7) Niveau du revenu par tête :
y1 = A1(1� A;1); y2 = A2(1� A;2)
Rapport des revenus par tête des deux pays :
y1y2=A1A2
1� A;11� A;2
Le leader technologique a donc un revenu par tête plus élevé que le suiveur ssi A1A2>
1� A;21� A;1
c�est-à-dire ssi l�écart technologique est plus grand que l�inverse du rapport des parts de travailconsacrées à la production dans les 2 pays. Or ceci n�est pas nécessairement vrai.En particulier, à l�état stationnaire, le leader a un revenu par tête plus élevé que le suiveur
ssi� A;1 A;2
� 1�>
1� A;21� A;1
i.e. A;1(1� A;1)� > A;2(1� A;2)�: On peut en déduire une condition surles valeurs respectives de A;1 et A;2 pour que le leader ait un revenu par tête plus élevé que lesuiveur à l�état stationnaire, mais ce n�est pas demandé. Le point important et contre-intuitifest que le revenu par tête du leader n�est pas forcément plus élevé ; consacrer beaucoup deressources à l�innovation a un e¤et positif sur le taux de croissance, mais aussi un e¤et négatifsur le niveau du revenu puisque ça implique de consacrer moins de ressources à la production.
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Université de Paris I3ème année de sciences économiques
Macroéconomie 3 (économétrie, magistère, MASS)Partiel de mai 2005
QUESTIONS (4 points chacune ; il sera tenu compte de la clarté et de la rigueur del�exposition bien davantage que de sa longueur.)
1. Expliquer la méthodologie de la comptabilité de la croissance. Quels en sont les principauxenseignements ?
2. En quoi l�accumulation de capital humain est-elle un facteur de croissance ?
EXERCICE (12 points)
I. Le tableau suivant donne pour la France la consommation et la FBCF en volume et leursprix, en 1978 et 2003 (source : INSEE, comptes nationaux).
1978 2003consommation (milliards d�euros 1995) 486,2 762,3FBCF (milliards d�euros 1995) 160,7 276,3prix conso.(base 100 en 1995) 38,5 112,1prix FBCF (base 100 en 1995) 48,8 108,1
Calculer les taux de croissance annuels moyens de la consommation et de la FBCF envolume, et le taux de croissance annuel moyen du prix relatif de la FBCF par rapport à laconsommation. Qu�observe-t-on ?Les comptes nationaux montrent par ailleurs que le taux d�épargne est resté approximative-
ment stable sur la période 1978-2003. Cet exercice propose un modèle de croissance susceptiblede reproduire ces faits stylisés, communs à l�ensemble des pays de l�OCDE.
II. On considère une économie dans laquelle existent deux secteurs, un secteur de productiond�un bien de consommation (indicé par c) et un secteur de production d�un bien d�investissement(indicé par i). Les fonctions de production s�écrivent respectivement dans ces deux secteurs :
Ct = B (Kct )� L1��t
It = A Kit
où A et B sont des paramètres positifs, � un paramètre compris entre 0 et 1, Kct le stock de
capital utilisé dans la production de bien de consommation, Kit le stock de capital utilisé dans
la production de bien d�investissement, Ct l�o¤re de bien de consommation, It l�o¤re de biend�investissement et Lt la population employée à l�instant t:
1. Interpréter ces fonctions de production et les écrire en grandeurs par tête (notées avec deslettres minuscules).
2. On note Kt le stock de capital total. Le taux de dépréciation du capital est � > 0 et le tauxde croissance de la population n > 0: Ecrire l�équation d�accumulation du capital par tête.
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3. On choisit le bien de consommation comme numéraire et on note pt le prix relatif du biend�investissement. La concurrence est parfaite, le capital parfaitement mobile entre les deuxsecteurs. On note wt le taux de salaire nominal et ut le coût d�usage nominal du capital. Ecrirele programme des entreprises des deux secteurs et donner les conditions d�optimalité décrivantles demandes optimales de facteurs.
4. En déduire une équation reliant le prix relatif du bien d�investissement et le capital par têteoptimal dans le secteur du bien de consommation.
5. On note gk le taux de croissance du capital par tête utilisé dans le secteur du bien deconsommation. Quelle relation (déduite de la question précédente) lie le taux de croissance duprix relatif du bien d�investissement et gk ?
6. On note gc le taux de croissance de la consommation par tête. D�après la fonction deproduction du bien de consommation, quelle relation lie gc et gk ? Commenter, en référenceaux faits stylisés mis en évidence en I.
7. On admet que le coût d�usage nominal du capital vaut :
ut = pt
�rt + � �
_ptpt
�où rt est le taux d�intérêt nominal. Que vaut le taux d�intérêt, en fonction du taux de croissancedu prix du bien d�investissement et des paramètres ?
8. On admet que le comportement des consommateurs conduit à la relation suivante donnantle taux de croissance de la consommation par tête :
gc = �(rt � n� �)
où � est l�élasticité de substitution intertemporelle de la consommation et � le taux d�actualisation.Trouver alors une seconde relation liant gk et gc: En déduire les valeurs respectives de gk et gcet commenter.
9. A quelle condition, que l�on interprétera, les deux taux de croissance sont-ils positifs ? Onsupposera dans la suite cette condition véri�ée.
10. On admet sans le démontrer que le capital par tête total kt et ses composantes kct et kit
croissent dès l�instant initial au même taux gk. Que valent alors à tout instant le rapport kit=kt(on utilisera l�équation d�accumulation du capital par tête) et le rapport kct=kt ou, autrementdit, comment s�e¤ectue le partage du capital entre les deux secteurs ? (On supposera véri�éela condition sur les paramètres qui assure que les deux rapports sont compris entre 0 et 1.)
11. Donner l�expression de l�investissement par tête it; la consommation par tête ct; le prixrelatif de l�investissement pt et l�investissement par tête en valeur ptit, en fonction de gk;desparamètres du modèle et du stock de capital par tête initial k0.
12. On dé�nit le taux d�épargne par st =ptit
ct+ptit: En utilisant la question précédente, montrer
que l�on a :
st =�(gk + n+ �)
A� (1� �)(gk + n+ �)Commenter.
13. Comment varient gc; gk et _pt=pt quand � augmente ? Etudier et interpréter le cas particulier� = 1:
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Macroéconomie 3 (économétrie, magistère, MASS)Partiel de mai 2005, corrigé de l�exercice
I. Le taux de croissance annuel moyen de la grandeur x entre 1978 et 2003 est dé�ni par :
TCAM =
�x2003x1978
� 125
� 1
On obtient les valeurs suivantes (le TCAM du prix relatif de la FBCF par rapport à la con-sommation étant la di¤érence entre le TCAM du prix de la FBCF et celui du prix de laconsommation) :
TCAM (%)consommation 1,82
FBCF 2,19prix conso. 4,38prix FBCF 3,23prix relatif -1,15
On observe que les taux de croissance de la consommation et de la FBCF en volume sontdi¤érents, le second étant sensiblement plus élevé que le premier, et que le prix relatif diminueau cours du temps.
II.1. La fonction de production dans le secteur du bien de consommation est une Cobb-Douglasà rendements d�échelle constants, et rendement marginal du capital décroissant. La fonctionde production dans le secteur du bien d�investissement est une fonction à rendement marginaldu capital constant, de type AK. La condition qui permet une croissance illimitée n�est doncremplie que dans le secteur du bien d�investissement.En grandeurs par tête, les fonctions de production s�écrivent :
ct = B (kct )�
it = Akit
2. On a Kt = Kct +K
it et donc en grandeurs par tête :
kt = kct + k
it
L�équation d�accumulation du capital s�écrit _Kt = It� �Kt; et donc en grandeurs par tête :
_kt = it � (n+ �)kt = Akit � (n+ �)kt
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3. Programme des entreprises du secteur du bien de consommation (en grandeurs par tête) :
max�c = ct � wt � utkct = B (kct )� � wt � utkct
Conditions du premier ordre : égalités des productivités marginales des facteurs et de leursrémunérations, soit : �
�B (kct )��1 = ut
(1� �)B (kct )� = wt
Programme des entreprises du secteur du bien d�investissement :
max�i = ptit � utkit = Aptkit � utkitCondition du premier ordre :
Apt = ut
4. On déduit des conditions du premier ordre portant sur le capital l�équation suivante, parélimination de ut :
�B (kct )��1 = Apt
5. Soit gk le taux de croissance du capital par tête utilisé dans le secteur du bien de consom-mation. La di¤érentiation logarithmique de l�équation précédente donne :
_ptpt= (�� 1)gk
Donc si gk est positif, le prix relatif du bien d�investissement par rapport au bien de consom-mation diminue (car � < 1), ce qui correspond à l�un des faits que l�on cherche à reproduire.6. Soit gc le taux de croissance de la consommation par tête. La di¤érentiation logarithmiquede la fonction de production du bien de consommation donne :
gc = �gk
Donc gc est inférieur à gk (toujours car � < 1), ce qui correspond au deuxième fait que l�oncherche à reproduire.
7. Le coût d�usage nominal du capital est ut = pt�rt + � � _pt
pt
�; mais on a également ut = Apt:
On déduit de ces deux relations le taux d�intérêt nominal :
rt = A� � +_ptpt
8. On a :
gc = �(rt � n� �)
= �
�A� � � n� �+ _pt
pt
�= � (A� � � n� �+ (�� 1)gk)= ��(1� �)gk + �(A� � � n� �)
2
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soit une deuxième équation liant gk et gc: On déduit de ces deux équations :
gk =�
�+ �(1� �)(A� � � n� �)
gc =��
�+ �(1� �)(A� � � n� �)
9. Ces deux taux de croissance sont positifs si et seulement si :
A� � > n+ �On suppose dans la suite cette condition véri�ée. Elle signi�e que la productivité marginalenette du capital dans le secteur du bien d�investissement doit être su¢ samment grande parrapport à la somme du taux de croissance démographique et du taux d�actualisation, c�est-à-dire l�impatience des agents.10. k; kc et ki croissent à tout instant au même taux gk (on ne le démontre pas ici mais onl�admet). L�équation d�accumulation du capital par tête donne alors :
_ktkt= A
kitkt� (n+ �), kit
kt=gk + n+ �
A
On en déduit :kctkt= 1� k
it
kt= 1� gk + n+ �
A
11.
it = Akit = Akitktkt = A
gk + n+ �
Ak0e
gkt = (gk + n+ �)k0egkt
ct = B (kct )� = B
�kctkt
��k�t = B
�1� gk + n+ �
A
��k�0 e
�gkt
pt =�B
A(kct )
��1 =�B
A
�1� gk + n+ �
A
���1k��10 e(��1)gkt
ptit =�B
A
�1� gk + n+ �
A
���1(gk + n+ �)k
�0 e�gkt
La consommation par tête ct et l�investissement par tête nominal ptit croissent au mêmetaux �gk:12. Taux d�épargne :
st =ptit
ct + ptit
=�BA
�1� gk+n+�
A
���1(gk + n+ �)k
�0 e�gkt
B�1� gk+n+�
A
��k�0 e
�gkt + �BA
�1� gk+n+�
A
���1(gk + n+ �)k�0 e
�gkt
=�A(gk + n+ �)�
1� gk+n+�A
�+ �
A(gk + n+ �)
=�(gk + n+ �)
A� (1� �)(gk + n+ �)
3
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Le taux d�épargne est donc constant, ce qui correspond au 3ème fait stylisé.
13.@gc@�
=�2
(�+ �(1� �))2 (A� � � n� �) > 0
@gk@�
= � �(1� �)(�+ �(1� �))2 (A� � � n� �) T 0, � T 1
@( _pt=pt)
@�=
�
(�+ �(1� �))2 (A� � � n� �) > 0
Quand � augmente, les taux de croissance de la consommation et du prix relatif de l�investissementaugmentent, tandis que le sens de variation du taux de croissance du capital dépend de la valeurpar rapport à 1 de l�élasticité de substitution intertemporelle de la consommation.Dans le cas particulier où � = 1; on a un rendement marginal du capital constant dans les
deux secteurs, _pt=pt = 0; gc = gk = �(A� ��n� �); s = gk+n+�A
: La productivité marginale ducapital dans le secteur du bien de consommation, B; n�intervient pas du tout. On retrouve lemodèle AK habituel.
4
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UNIVERSITÉ PARIS 1 PANTHÉON-SORBONNE, UFR 02
Licence 3 Économie Durée : 2 heuresStatistiques Appliquées Examen de 2nde session, 28 juin 2011
QCM (10 pts)
Le première partie de cet examen consiste en une série de 5 questions à choix multiple. Pourchaque question, 4 réponses possibles sont proposées. Une seule de ces 4 réponses est correcte.Pour chaque question, choisir la réponse correcte rapporte 2 points. Choisir une réponseincorrecte (ou donner plusieur réponses) retranche un demi point. Ne pas choisir de ré-ponse ne rapporte ni ne retranche aucun point. Le total des points obtenus à ce QCM nepourra pas être négatif.
1 - Un estimateur µ̂ d’un paramètre inconnu µ est convergent. Cela implique
a) Uniquement qu’il est forcément sans biais
b) Uniquement qu’il est forcément de variance minimale
c) Ni forcément l’un, ni forcément l’autre
d) Forcément les deux
2 - On dispose d’un échantillon de N = 9 observations issues d’une loi normaleN (µ,σ2) où µet σ2 sont des paramètres inconnus. La moyenne des observations est X̄ = 1.25, et la varianceempirique (non corrigée) est de S̃2 = 4. Un test de H0 : µ = 0 contre H1 : µ > 0 aura commeconclusion :
a) H0 est rejeté au seuil α = 1%
b) H0 est rejeté au seuil α = 5%, mais pas au seuil α = 1%
c) H0 est rejeté au seuil α = 10%, mais pas au seuil α = 5%
d) H0 n’est pas rejeté au seuil α = 10%
3 - On dispose d’un échantillon de N observations X1 . . . Xn d’une variable aléatoire discrètede paramètre λ dont la fonction de densité est
f (k) = Pr (X = k) =
{λk
k!e−λ si k ∈ N
0 sinon
L’estimateur de maximum de vraisemblance de λ sera :
a) λ̂ = X̄n
b) λ̂ = 1/X̄n
c) λ̂ = 1N−1
∑Ni=1
(Xi − X̄n
)2d) λ̂ = k/X̄n
1Page 40
4 - On souhaite construire un intervalle de confiance bilatéral à 95 % pour l’espérance inconnueµ d’une loi normaleN (µ,σ2) dont la variance σ2 est connue et égale à 1. On se demande quelleest la taille N de l’échantillon qu’on doit collecter. Parmi les valeurs suivantes de N , quelle estla valeur minimale qui assure que la largeur de cet intervalle de confiance sera plus petit que0.2 ?
a) N = 200
b) N = 300
c) N = 400
d) N = 500
5 - Un étudiant choisit une réponse au hasard à chacune des 5 questions de ce QCM. Quelle estl’espérance du nombre de points total qu’il va obtenir au QCM ?
a) 0,625
b) 0,842
c) 1,218
d) 1,417
Questions de cours1 - Un estimateur du maximum de vraisemblance est toujours sans biais, mais n’est pas forcé- (1,5 pts)ment convergent. Est-ce exact ?
2 - Lorsqu’on effectue un test de niveau α quelconque et qu’on ne rejette pas H0, cela veut-il (1 pts)dire que H1 est fausse ?
3 - Si vous disposez de deux estimateurs sans biais et convergents pour un paramètre d’intérêt, (1,5 pts)cela veut-il dire que vous avez tout intérêt à choisir l’estimateur dont le calcul est le plus simple,car le choix entre ces deux estimateurs n’impactera pas la qualité de votre estimation ?
Exercice (6 pts)
La durée d’attente dans un centre d’appel peut être modélisée comme une loi exponentiellede paramètre λ dont la densité est
fX (x) =
{λe−λx si x ≥ 0
0 sinon
Vous observez un échantillon de taille n = 15 temps d’attente dont la moyenne empirique estXn = 10
3. On rappelle qu’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ a
pour espérance 1λ
a) Écrivez les fonctions de vraisemblance et de log-vraisemblance pour cet échantillon.
b) Trouvez l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ, et donnez la valeur correspon-dante pour notre échantillon (on supposera que la condition du second ordre est vérifiée).
2Page 41
c) On veut tester H0 : λ = λ0 contre H1 : λ = λ1, avec λ1 > λ0. En vous servant du Lemmede Neyman-Pearson, montrez que le test de plus puissant de notre jeu d’hypothèses mèneà une région de rejet du type Xn ≤ c où c est une constante (on ne demande pas decalculer c pour le moment). Expliquer en une ou deux phrases en quoi la forme de cetterégion de rejet « a du sens ».
d) On peut montrer que, si X suit une exponentielle de paramètre λ, alors 2λ∑n
i=1Xi suitune loi du χ2 à 2n degrés de liberté. Utilisez ce fait pour tester H0 : λ = 0.2 contreH1 : λ = 0.4 au niveau α = 0.01 dans notre échantillon.NB : cette question peut être résolue même si vous n’avez pas répondu aux questions pré-cédentes (mais utilisez quand même les indication données dans leurs énoncés...).
La distribution normale N (0,1)
Pr[X ≤ x] = Φ(x) =
∫ x
−∞
1√2π
e−y2/2 dy; Φ(−x) = 1− Φ(x)
x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.99983.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
3Page 42
La distribution t de Student
Pr[T ≤ t] =
∫ t
−∞
Γ((r + 1)/2)√πr Γ(r/2)
1
(1 + x2/r)(r+1)/2dx
Pr[T ≤ −t] = 1− Pr[T ≤ t]
Pr[T ≤ t]r 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995
1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.6572 1.886 2.920 4.303 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.528 2.84521 1.323 1.721 2.080 2.518 2.83122 1.321 1.717 2.074 2.508 2.81923 1.319 1.714 2.069 2.500 2.80724 1.318 1.711 2.064 2.492 2.79725 1.316 1.708 2.060 2.485 2.78726 1.315 1.706 2.056 2.479 2.77927 1.314 1.703 2.052 2.473 2.77128 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 1.311 1.699 2.045 2.462 2.75630 1.310 1.697 2.042 2.457 2.75040 1.303 1.684 2.021 2.423 2.70450 1.299 1.676 2.009 2.403 2.67875 1.293 1.665 1.992 2.377 2.643
100 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626200 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601500 1.283 1.648 1.965 2.334 2.586
1000 1.282 1.646 1.962 2.330 2.581∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
4Page 43
UNIVERSITÉ PARIS 1 PANTHÉON-SORBONNE, UFR 02
Licence 3 Économie Durée : 2 heuresStatistiques Appliquées Examen Partiel, 11 janvier 2011
Veuillez justifier soigneusement vos réponses
Questions de cours1 - Après avoir précisé les notion de risque de première espèce et de puissance pour une procé- (1,5 pts)dure de test, énoncez le lemme de Neyman-Pearson.
2 - Quelle est la différence entre convergence en probabilité et convergence en loi ? Donnez un (1,5 pts)exemple de chaque.
3 - Un estimateur sans biais est-il toujours préférable à un estimateur biaisé ? Expliquez pour- (1 pts)quoi.
4 - Comme une probabilité doit toujours être comprise entre 0 et 1, la même chose doit être (1 pts)vraie d’une densité de probabilité. Est-ce exact ? Justifiez votre réponse.
ExercicesExercice 1 (4 pts)On considère une suite {Zn} de variables aléatoires telles que Zn =
∑ni=1 Yi, où les Yi sont des
variables aléatoires indépendantes issues d’une loi de Poisson de paramètre λ. On rappelle quesi X ∼ P (λ), alors E [X] = Var (X) = λ
1. Calculez E[Zn
n
]et Var
(Zn
n
)2. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Chebychev, montrez que Zn
n
p−→ λ
3. Aurait-on pu montrer plus simplement que Zn
n
p−→ λ ?
Exercice 2 (7 pts)Vous faites régulièrement la queue au stand des sandwiches au centre Panthéon avant le cours deStatistiques. À chaque fois, vous avez noté le nombre Xi de personnes servies dans un intervallede 10 minutes. Au bout de 12 semaines, vous avez obtenu un échantillon X1 . . . X12 dont lamoyenne empirique est X12 = 6,5 et la moyenne des carrés est 1
12
∑12i=1X
2i = 47,8. Vous
pensez que le nombre de personnes servies dans un intervalle de 10 minutes suit une loi dePoisson de paramètre λ. Pour les propriétés de cette loi, on consultera l’énoncé de l’exercice 1.
1. Donnez l’estimateur de la méthode des moments de λ en vous basant sur la moyenneempirique.
2. Trouvez un autre estimateur de la méthode des moments de λ en vous basant sur les in-formations de l’énoncé. Est-il numériquement identique à celui de la question 1 ? Est-ceun problème ?
1Page 44
À chaque fois que vous faisiez la queue au stand des sandwiches, vous avez remarqué qu’unde vos amis était à 5 places devant vous dans la queue. Vous avez noté à chaque fois le temps Tiqui s’est écoulé entre le moment où il a été servi et celui où vous avez été servi. Votre bouquinde statistique vous indique que la durée écoulée jusqu’à la kème occurrence (NB : on a ici k = 5)d’un événement Poisson de paramètre λ est une variable aléatoire dont la fonction de densité est
fT (t) =
{tk−1
(k−1)!λke−λt si t ≥ 0
0 sinon
3. Donnez les fonctions de vraisemblance et de log-vraisemblance d’un échantillon T1 . . . Tn.4. Donnez l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ, et calculez sa valeur observée
lorsque T 12 = 0,84 (NB : le 0,84 correspond à 84 % de l’unité de temps qui est ici de 10minutes. La « vraie » durée moyenne est de 8,4 minutes).
5. Montrez que le test le plus puissant de H0 : λ = 6 contre H1 : λ = 5 va avoir une régionde rejet de la forme T n ≥ c où c est une constante (on ne demande pas de calculer c).
Exercice 3 (4 pts)Vous disposez de deux échantillons X1 . . . Xnx et Z1 . . . Znz (nx et nz peuvent être différents)issus de lois normales indépendantes : Xi ∼ N (µx,σ
2x) ; Zi ∼ N (µz,σ
2z). Les variances σ2
x etσ2z sont connues.
1. Donnez la distribution de Xnx − Znz, et construisez un test de H0 : µx = µz contreH1 : µx > µz se basant sur Xnx − Znz au niveau α = 5% (vous trouverez un extrait dela table d’une N (0,1) en bas de cette page). Que concluez-vous si nx = 40, nz = 80,Xnx = 1,5, Znz = 1, σ2
x = 1 et σ2z = 4 ?
2. Exprimez la puissance du test en fonction de µx − µz (on notera Φ (x) la probabilitéqu’une variable aléatoire suivant une loi normale centrée-réduite soit inférieure ou égaleà x). Comment varie la puissance en fonction des variances des deux échantillons ?
DE (bonus) (2 pts)
Indiquez rapidement ce qu’illustre le code R suivant, et décrivez le graphique qu’il produit
n=5000moy=rep(NA,n) # On crée un vecteur vide de taille nx=runif(n) # On tire dans une U(0,1)for (i in 1:n) {
moy[i]=mean(x[1:i])}
plot(moy,type="l")
La distribution normale N (0,1) : Pr[X ≤ x] = Φ(x) ; Φ(−x) = 1− Φ(x)x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2Page 45
Éléments de correction du partiel
Questions de cours1 - Dans une procédure de test, le risque de première espèce, noté α, correspond àla probabilité de rejeter l’hypothèse nulle alors que cette dernière est vraie : α =Pr (rejet de H0|H0 vraie). La puissance, au contraire, est la probabilité de rejeter H0
lorsque cette dernière est fausse : puissance = Pr (rejet de H0|H0 fausse). C’est égale-ment 1− β où β est le risque de seconde espèce : β = Pr (non rejet deH0|H0 fausse).
Le lemme de Neyman-Pearson indique que la région de rejet L0
L1≤ k où L0 est la
vraisemblance de l’échantillon sous H0 et L1 est la vraisemblance de l’échantillon sousH1 permet d’obtenir la procédure de test la plus puissante pour tout niveau α dans le casoù les deux hypothèses sont des hypothèses simples.
2 - On dit qu’une séquence {Xn} de variables aléatoires converge en probabilité versune variable aléatoire Y (Xn
p−→ Y ) si limn→∞ Pr (|Xn − Y | > ε) = 0 ∀ε > 0 ; c’est-à-dire que Xn tend à devenir identique à Y lorsque n grandit.
On dit qu’une séquence {Xn} de variables aléatoires converge en loi vers une va-riable aléatoire Y (Xn
L−→ Y ) si limn→∞ Fn (x) = F (y) où Fn (x) est la fonction derépartition de Xn et F (y) est la fonction de répartition de Y . En d’autres termes, Xn
tend à se comporter de plus en plus comme Y lorsque n augmente (il tend à avoir lamême distribution), sans pour autant devenir identique à Y comme dans le cas de laconvergence en probabilité.
La loi des grands nombre indique que la moyenne empirique d’un échantillon iidd’une distribution donnée converge en probabilité vers l’espérance de cette distribution(Xn
p−→ E [X]). Le théorème Central-Limite quant à lui dit que Xn−E[X]σ√n
L−→ N (0,1)
où σ est l’écart-type de la distribution ; c’est-à-dire que la distribution de la moyenneempirique, une fois centrée et réduite, va avoir une distribution qui se rapprochera deplus en plus de celle d’une variable aléatoire Normale centrée-réduite.
3 - Non, car il faut également considérer la variance de l’estimateur. On peut préférerun estimateur biaisé à un estimateur sans biais si ce dernier a une variance sensiblementplus forte (et donc une précision sensiblement moins grande) que l’estimateur biaisé.L’Erreur Quadratique Moyenne est une façon de faire un arbitrage biais/variance.Une évocation de la convergence comme critère de qualité d’un estimateur rapporte éga-lement les points.
4 - Non, une densité de probabilité doit simplement être positive ou nulle, et intégrer à1 sur le support de la variable aléatoire. On peut parfaitement avoir une densité de pro-
1
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babilité plus grande que 1. Par exemple, le densité de probabilité d’une U(0,1
2
)est de 2.
ExercicesExercice 1On a Zn =
∑ni=1 Yi, Yi ∼ P (λ) et donc E [Yi] = Var (Yi) = λ
1. On remarque que Znn
= Y n. Il s’ensuit que E[Znn
]= λ et que Var
(Znn
)= λ
n
2. L’inégalité Bienaymé-Chebychev nous dit que pour toute v.a. X d’espérance etde variance finies,
Pr (|X −E [X]| ≥ ε) ≤ Var (X)
ε2, ∀ε > 0
En l’appliquant à Znn
, on obtient
Pr
(∣∣∣∣Znn − λ∣∣∣∣ ≥ ε
)≤ λ
nε2, ∀ε > 0
En passant à la limite, on a
limn→∞
Pr
(∣∣∣∣Znn − λ∣∣∣∣ ≥ ε
)≤ lim
n→∞
λ
nε2, ∀ε > 0
et donc
limn→∞
Pr
(∣∣∣∣Znn − λ∣∣∣∣ ≥ ε
)= 0, ∀ε > 0
Ce qui implique que Znn
p−→ λ
3. On aurait pu également remarquer que limn→∞E[Znn
]= λ et que limn→∞Var
(Znn
)=
0, ces conditions étant suffisantes pour que Znn
p−→ λ
Exercice 2On a Xi ∼ P (λ), n = 12, X12 = 6,5 et 1
12
∑12i=1X
2i = 47,8
1. L’énoncé de l’exercice 1 indique que E [Xi] = λ. On peut donc égaliser le pre-mier moment empirique Xn au premier moment théorique E [Xi] pour obtenirnotre estimation de λ. On a donc λ̂ = X12 = 6,5.
2. L’énoncé de l’exercice 1 indique également que Var (Xi)λ. On peut donc égale-ment égaliser les second moments centrés pour construire notre estimateur de λ.Le second moment empirique centré est donné par S̃2
n = 1n
∑ni=1
(Xi −Xn
)2. On
peut remarquer que :
2
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1
n
n∑i=1
(Xi −Xn
)2=
1
n
n∑i=1
(X2i +X
2
n − 2XiXn
)=
1
n
n∑i=1
X2i +
1
n
n∑i=1
X2
n −2
n
n∑i=1
XiXn
=1
n
n∑i=1
X2i +X
2
n − 2X2
n
=1
n
n∑i=1
X2i −X
2
n
Et donc, dans notre cas, on obtient S̃2n = 47,8− 6,52 = 5,55
Notre seconde estimation de λ par la méthode des moments est donc λ̂ = 5,55
Les deux estimations obtenues ne sont pas numériquement identiques, mais onsait par les propriétés des estimateurs issus de la méthode des moments qu’ellessont toutes deux des réalisations d’estimateurs convergents. Donc l’un n’est pasmeilleur que l’autre en ce sens.
Les temps d’attente Ti sont de densité
fT (t) =
{tk−1
(k−1)!λke−λt si t ≥ 0
0 sinon
avec k = 5
3. La fonction de vraisemblance pour notre échantillon s’écrit comme la densitéjointe des données, c’est-à-dire comme le produit des densités individuelles :
L (λ|T1 . . . Tn) =n∏i=1
(T k−1i
(k − 1)!λke−λTi
)La fonction de log-vraisemblance est simplement le logarithme de la fonction devraisemblance :
LL (λ|T1 . . . Tn) = ln (L (λ|T1 . . . Tn))
=n∑i=1
ln
(T k−1i
(k − 1)!λke−λTi
)= (k − 1)
n∑i=1
ln (Ti)− n ln ((k − 1)!) + nk ln (λ)− λn∑i=1
Ti
4. Pour trouver l’estimateur du maximum de vraisemblance, on dérive la fonction delog-vraisemblance de l’échantillon par rapport à λ, puis on l’annule. On a
∂LL (λ|T1 . . . Tn)
∂λ=nk
λ−
n∑i=1
Ti
3
Page 48
En l’annulant et en résolvant pour λ, on obtient :
λ̂ =nk∑ni=1 Ti
=k
T n
Notre estimation est donc λ̂ = 50,84
= 5,95
Bonus si on vérifie la condition du second ordre, c’est-à-dire que
∂2LL (λ|T1 . . . Tn)
∂λ2= −nk
λ< 0
5. Le lemme de Neyman-Pearson dit que, lorsqu’on souhaite tester une hypothèsesimple H0 : θ = θ0 contre une autre hypothèse simple H1 : θ = θ1, alors la règlede décision où on rejette H0 si
L (θ0|X1 . . . Xn)
L (θ1|X1 . . . Xn)≤ h
permet d’obtenir le test uniformément plus puissant à tout niveau α de notre jeud’hypothèses.[NB, dans le cours j’ai donné cette formule avec un k au lieu d’unh.] Cette condition est équivalente à
LL (θ0|X1 . . . Xn)− LL (θ1|X1 . . . Xn) ≤ ln (h)
Dans notre cas, cela se traduit par
LL (λ0|T1 . . . Tn)− LL (λ1|T1 . . . Tn) ≤ ln (h)
avec λ0 = 6 et λ1 = 5
En soustrayant les deux log-vraisemblances, les éléments qui ne dépendent pas deλ s’annulent, et on obtient :
nk ln (λ0)− λ0n∑i=1
Ti − nk ln (λ1) + λ1
n∑i=1
Ti ≤ ln (h)
nk ln
(λ0λ1
)+ (λ1 − λ0)
n∑i=1
Ti ≤ ln (h)
n∑i=1
Ti ≥ln (h)− nk ln
(λ0λ1
)λ1 − λ0
T n =1
n
n∑i=1
Ti ≥ln (h)− nk ln
(λ0λ1
)n (λ1 − λ0)
Où on inverse le signe de l’inégalité car, dans notre cas, λ1 − λ0 < 0, et oùln(h)−nk ln
(λ0λ1
)n(λ1−λ0) est la constante c.
Exercice 3On a : Xi ∼ N (µx,σ
2x) et Zi ∼ N (µz,σ
2z). où σ2
x et σ2z sont connues.
4
Page 49
1. On a Xnx ∼ N(µn,
σ2x
nx
)et Znz ∼ N
(µn,
σ2z
nz
).
Donc,(Xnx − Znz
)∼ N
(µx − µz,σ
2x
nx+ σ2
z
nz
)On obtient donc une statistique
pivotale pour µx − µz :(Xnx − Znz
)− (µx − µz)√
σ2x
nx+ σ2
z
nz
∼ N (0,1)
Nos hypothèses de test peuvent se ré-écrire :H0 : µx−µz = 0 etH1 : µx−µz > 0.Donc, sous H0, (
Xnx − Znz
)√σ2x
nx+ σ2
z
nz
H0∼ N (0,1)
Au vu de notre hypothèse alternative, la région de rejet va correspondre aux va-leurs élevées de notre statistique de test. La valeur critique va être le 95ème per-centile de la N (0,1), c’est-à-dire 1,645 (NB : 1,64 ou 1,65 sont également cor-rects vu la table). On va donc rejeter H0 si la valeur observée de notre statistiqueest supérieure à 1,645.
Avec les valeurs numériques données, la statistique observée est de 1,826, et doncon décide de rejeter H0 au niveau α = 0,05
2. La puissance d’un test peut se définir comme la probabilité de rejeter H0 lorsqueH0 est fausse. Dans notre cas, on a :
Puissance = Pr
(Xnx − Znz
)√σ2x
nx+ σ2
z
nz
> 1,645|µx − µz > 0
= Pr
(Xnx − Znz
)− (µx − µz)√
σ2x
nx+ σ2
z
nz
> 1,645− (µx − µz)√σ2x
nx+ σ2
z
nz
|µx − µz > 0
Pour toutes valeurs données de µx et µz telles que µx − µz > 0, on a(Xnx−Znz)−(µx−µz)√
σ2xnx
+σ2znz
∼ N (0,1)
La puissance peut donc s’écrire :
Puissance = 1− Φ
1,645− (µx − µz)√σ2x
nx+ σ2
z
nz
On constate que la puissance va augmenter lorsque les variances σ2
x et σ2z dimi-
nuent.
DELe code illustre la loi des grands nombre, c’est-à-dire la convergence en probabilité
de la moyenne empirique vers l’espérance de la loi. On l’illustre ici sur des échantillons
5
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de taille 1. . . 5000 tirés d’une uniforme entre 0 et 1, et dont l’espérance est 12. Pour
chaque échantillon on calcule la moyenne que l’on sauve en tant qu’élément d’un vec-teur de taille 5000. Enfin, on trace la figure reliant ces moyennes empiriques. On doitobtenir une courbe s’éloignant de moins en moins de 0,5. Le graphique est donc du typesuivant :
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
Index
moy
6
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Université de Paris ILicence d’Economie
Cours de Microéconomie (Catherine Sofer et J-P Tropeano)Première session
Lundi 17 septembre 2011Durée: 3 heures
Exercice 1Un consommateur a une fonction d’utilité indirecte v de la forme (1):
v(p1, p2, R) = A(p1, p2)R
où la fonction d’utilité directe s’écrit u(q1, q2), où p1, p2 sont les prix unitaires re-spectifs des biens q1 et q2, R représente le revenu du consommateur et A une fonctionquelconque de p1, p2.
1. Donner la définition de la fonction v dans le cas général. Comment l’obtient-on lorsque la fonction d’utilité correspondante u est connue ? Donner ses propriétésgénérales. (1,5 pt).
2. Quelle est la fonction de dépense correspondant à la forme générale (1)? Montrerqu’elle peut se mettre sous la forme e(p1, p2, u) = B(p1, p2)u. (0,5 pt)
3. Montrer que la fonction d’utilité indirecte correspondant à la fonction d’utilitéu(q1, q2) = min{q1, q2} est bien de la forme (1). Montrer que la fonction u est homogènede degré 1. Quelles sont les fonctions A(p1, p2) et B(p1, p2) dans ce cas ? (2 pt)
4. Calculer en fonction de A les fonctions de demande hicksiennes, puis marshal-liennes dans le cas général de la forme (1). Quelle(s) propriété(s) utilisez-vous ? Endéduire que, pour ce type de fonction, la part du budget consacrée à chaque bien estindépendante du revenu. Vérifier cette propriété dans le cas particulier de la fonctionu(q1, q2) = min{q1, q2}.(2 pt)
Exercice 2Le tableau suivant donne deux observations A et B pour un consommateur de sa
demande de biens q1, q2 , avec des prix des biens, p1 et p2. Montrer que ces observationsne sont pas compatibles avec la théorie des préférences révélées. (1 pt)
Observations p1 p2 q1 q2A 2 4 2 4B 6 3 4 2
Exercice 3On considère la fonction de Von Neumann suivante: u(x) = αx−βx2. Les paramètres
α et β sont positifs et l’on suppose la fonction croissante (cela revient à resteindre xpour s’assurer que u′(x) ≥ 0).
1
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1. Calculer l’espérance d’utilité de la loterie qui donne un gain a avec probabilitép et le gain b avec probabilité 1 − b. En déduire qu’un agent comparant les loteries àl’aide du critère d’espérance d’utilité avec la fonction u(x) compare aussi les loteriesavec un critère espérance-variance. (1 point)
2. Calculer l’indice absolu d’aversion pour le risque pour la fonction u(x). L’agenta-t-il de l’aversion pour le risque? Comment varie cet indice si x augmente. Commenterce résultat. (2 points)
3. Sans faire de calcul, êtes-vous capable de dire si un accroissement du revenu setraduira par une baisse ou une hausse de la demande d’assurance d’un agent dont lespréférences sont représentées par la fonction u(x)? (1 point)
Exercice 4On considère un agent dont les préférences peuvent être représentées par une fonc-
tion de Von-Neumann croissante et concave. L’agent dispose initialement d’un revenuégal à R. Deux placement sont à sa disposition. Un premier placement sans risque nerapporte rien (1 euro pour un euro placé). Un deuxième placement rapporte, pour uneuro placé, e1 euros avec probabilité p1, e2 euros avec probabilité p2 et e3 euros avecprobabilité p3 (p1 + p2 + p3 = 1). En vous appuyant sur un résultat du cours, vousrépondrez aux deux questiosn suivantes:
1. Donner une condition suffisante pour que l’agent investisse un montant non nuldans le deuxième placement. (1 point)
2. Donner une condition suffisante pour que l’agent investisse un montant nul dansle premier placement (1 point).
Exercice 5Soit un consommateur dont les préférences sont représentées par la fonction d’utilité
suivante:U(L,C) = C.L
où l’on note L le temps de loisir et C la quantité du bien de consommation. Un agentdispose de T heures qu’il peut répartir librement entre travail et loisir. On note wle salaire horaire. Le prix du bien de consommation est égal à 1. L’agent ne disposed’aucun revenu autre que le revenu de son travail.
1. Déterminer le Taux Marginal de Substitution consommation-loisir. En déduirele salaire de réserve. (1, 5 point)
2. Déterminer l’offre de travail de l’agent. Cette offre dépend-elle de w? Expliquezce résultat. (2, 5 points)
Question de coursLa dualité dans le cadre de l’équilibre d’utilisation des facteurs du producteur (3pts)
2
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Université de Paris ILicence d�Economie
Cours de Microéconomie (Catherine Sofer et J-P Tropeano)Deuxième sessionJeudi 23 juin 2011Durée: 2 heures
Exercice 1Soit une fonction de production y = f(x1; x2). On dit que le facteur de production
x1 est inférieur si la demande conditionnelle pour ce facteur décroît lorsque le niveaude production augmente. On a donc @x1(p1;p2;y)
@y< 0, où p1; p2 représentent les prix
unitaires des facteurs x1 et x2 respectivement et y le niveau de production.
1. Représentez ce cas sur un graphique comportant plusieurs isoquantes et imaginezdes exemples. (1,5 pt)2. Montrez que si la production s�e¤ectue à rendements d�échelle constants, aucun
facteur ne peut être inférieur. Expliquez. (0,5 pt)3. Montrez que si le coût marginal décroît quand le prix d�un facteur augmente, ce
facteur est nécessairement inférieur. Expliquez. (1,5 pt).
Exercice 2On considère un consommateur de fonction d�utilité : u1(q1; z1) = q1z1:
1. A quelle catégorie la fonction d�utilité appartient-elle ? Tracez quelques courbesd�indi¤érence. Sont-elles convexes? Quelle(s) autre(s) propriétés possèdent-elles ? (1pt)2. Les prix unitaires respectifs des deux biens sont pq et pz. Le consommateur
dispose d�un revenu R :a. Exprimer en fonction de R, pq et pz les demandes marshalliennes du consomma-
teur (1 pt)b. Déterminer sa fonction d�utilité indirecte et sa fonction de dépense (1 pt)c. Calculer ses demandes hicksiennes, puis retrouver en utilisant deux méthodes
di¤érentes les demandes marshalliennes du a)(1,5 pt)
Exercice 3Soit un consommateur dont les préférences sont représentées par la fonction d�utilité
suivante:U(L;C) = C:L
où l�on note L le temps de loisir et C la quantité du bien de consommation. Un agentdispose de T heures qu�il peut répartir librement entre travail et loisir. On note wle salaire horaire. Le prix du bien de consommation est égal à 1. L�agent ne disposed�aucun revenu autre que le revenu de son travail.
1. Déterminer le Taux Marginal de Substitution consommation-loisir. (1 point)
1Page 54
2. Déterminer l�o¤re de travail de l�agent. Cette o¤re dépend-elle de w? Expliquezce résultat. (4 points)
Questions de cours1. La dualité dans le cadre de l�équilibre d�utilisation des facteurs du producteur
(2 pts)2. L�impact d�un accroissement du revenu sur la demande d�assurance (5 points))
2Page 55
Université de Paris ILicence d�Economie
Cours de Microéconomie (Catherine Sofer et J-P Tropeano)Deuxième session
Mardi 7 septembre 2010Durée: 2 heures
Exercice 1Un individu dispose d�une richesseW: Il possède une voiture et fait face à un risque
d�accident qui entraîne un dommage monétaire estimé à D avec D � W . La proba-bilité d�accident est égale à p. La fonction d�utilité de Von Neumann de cet individuest notée u(x) = ln x. Une compagnie d�assurance propose un contrat d�assurancecaractérisé par une indemnité I � 0 versée en cas d�accident et par une prime P égaleà p:I: L�individu peut choisir le montant d�indemnité qu�il souhaite.
1. Quelle est l�attitude vis-à-vis du risque de cet agent? (2 pts)2. Ecrire le programme qui permet de déterminer le choix optimal d�assurance I
e¤ectué par l�individu. Déterminer ce choix optimal. Commenter. (3 pts)
Exercice 21. On considère un consommateur de fonction d�utilité : u1(q1; z1) = (q1)
12 +z1. On
suppose que le prix unitaires du bien z1 est �xé et égal à 1, le prix unitaire du bien q1,noté p, restant variable. Soit R1 le revenu du consommateur, supposé exogène.a. A quelle catégorie la fonction d�utilité appartient-elle ? Tracez quelques courbes
d�indi¤érence. Sont-elles convexes? Montrez que TMSqz = 1
2(q1)12. Quelle autre pro-
priété spéci�que à ce type de fonction d�utilité en déduisez-vous? (1,5 pt).b. Après avoir précisé son programme, calculez les demandes marshalliennes du
consommateur. Montrez en particulier que la demande de bien q1 est indépendante durevenu du consommateur. Commentez ce résultat. (1 pt)c. Dé�nissez, en général, puis précisez ici de quelles variables dépend la fonction
d�utilité indirecte. Calculez-la ici. Donnez ensuite l�expression de la fonction de dépensedu consommateur. (1 pt)d. Quelles sont les demandes hicksiennes du consommateur ? Pour la demande
hicksienne en bien z1, on procédera par substitution. Véri�ez l�identité de Roy pour lademande en bien q1. La représenter graphiquement en fonction de p. (1,5 pt)e. Quelle est la quantité de bien q1 achetée par le consommateur pour un prix
p = 12? A partir de la réponse à la question d, donnez la représentation graphique du
surplus du consommateur pour un prix p = 12. (0,5 pt)
f. Supposons que le prix p augmente pour devenir p = 1. Donnez, dans le casgénéral, l�expression de la variation équivalente et de la variation compensatrice corre-spondant à ce changement de prix. Les calculer ici et les comparer. Le résultat voussurprend-il ? (1,5 pt).
1Page 56
Exercice 3Con�rmez ou in�rmez à l�aide d�une discussion approfondie et détaillée, appuyée si
nécessaire de représentations graphiques, chacune des a¢ rmations suivantes :1. L�élasticité de substitution d�une fonction de production à rendements d�échelle
constants utilisant deux facteurs est toujours égale à 1. (0,5 pt)2. Une entreprise a deux établissements produisant le même bien y. La fonction de
coût dans le premier est : c1(y1) = (y1)2. Celle du second est c2(y2) = y2. La fonction
de coût de l�entreprise est dans ce cas c(y) = (y1)2 + y2 avec y = y1 + y2. (1 pt)3. Pour certaines technologies de production, il est possible d�observer à la fois une
productivité marginale décroissante de l�un des facteurs de production et des rende-ments d�échelle croissants. (0,5 pt)4. Une entreprise a une fonction de production y = x1x2. Si le coût minimum
de production pour un prix des facteurs de p1 = p2 = 1 est de 4, alors le niveau deproduction y = 4. (1 pt)
Question de coursQuel est l�e¤et d�une augmentation du salaire réel sur l�o¤re de travail? Vous
discuterez à la fois les aspects théoriques et empiriques de cette question. (5 points)
2Page 57
Université de Paris I
Licence d’Economie
Cours de Microéconomie
Examen partielLundi 25 janvier 2010Durée: 3 heures
Exercice 1
Un ménage comprend un seul individu. Sa fonction de production domestique estdonnée par : y = f(h, x) = min{h, x}, où y est la quantité d’un bien domestiqueagrégé produite à partir de la fonction de production f , h représente le temps de tra-vail domestique et x la quantité agrégée de biens marchands, de prix unitaire égal àpx, utilisés dans la production domestique. Soit w le taux de salaire de l’individu(e)s’il/elle travaille sur le marché.
1. Représentez graphiquement une isoquante de niveau y = cste, ainsi que, surcette isoquante, l’équilibre correspondant à l’utilisation optimale des facteurs (0,5 pt).
2. Déterminez les demandes conditionnelles de facteurs, ainsi que la fonction decoût du ménage. Le lemme de Shephard permet-il ici de retrouver les demandes con-ditionnelles des deux facteurs ? (1 pt)
3. Quelle est la nature des rendements d’échelle de la production ? En supposantque le ménage puisse écouler le bien domestique qu’il produit au prix p sur un marchéconcurrentiel et cherche à maximiser le profit qu’il en tire, les demandes notionnellesde facteurs et la fonction d’offre de bien domestique par le ménage, dont on donnerala définition générale (pour les trois fonctions), sont-elles définies ici ? Expliquez lanature du problème. (1,5 pt)
4. Le rapport dans lequel les facteurs seront utilisés à l’équilibre de production duménage dépend-il de leur prix ? Quelle est l’élasticité de substitution correspondantà cette technologie de production ? Ce type de fonction vous paraît-il ici fournir unoutil adapté à son objet, en particulier au regard de ce que vous savez de l’évolution del’allocation du temps entre travail domestique et travail marchand au cours du XXèmesiècle ? (1 pt)
Exercice 2
On considère un consommateur de fonction d’utilité : u(q, z) = q.z.
1. A quelle catégorie la fonction d’utilité appartient-elle ? Tracez quelques courbesd’indifférence. Sont-elles convexes ? Quelle(s) autre(s) propriétés possèdent-elles ? (1pt)
2. Les prix unitaires respectifs des deux biens sont pq et pz. Le consommateurdispose d’un revenu R :
a) Exprimer en fonction de R, pq et pz les demandes marshalliennes du consom-mateur (1 pt)
b) Déterminer sa fonction d’utilité indirecte et sa fonction de dépense (1 pt)
1
Page 58
c) Calculer ses demandes hicksiennes, puis retrouver en utilisant deux méthodesdifférentes les demandes marshalliennes du a) (1 pt)
Exercice 3
Un individu, de richesse initiale W , fait face à un risque de maladie pouvant en-traîner une perte monétaire de montant S ≤ W . La probabilité que cette maladiesurvienne est égale à 1
2. La fonction d’utilité de Von Neumann de l’agent est notée
u(x) = −e−αx avec α > 0. Une compagnie d’assurance propose par ailleurs un contratd’assurance caractérisé par une indemnité I ≥ 0 versée en cas de maladie et par uneprime P égale à 2
3I.
1. Quelle est l’attitude vis-à-vis du risque de cet agent? (1 pt)2. Ecrire le programme qui permet de déterminer le choix optimal d’assurance I
effectué par l’individu. Déterminer ce choix optimal d’assurance. Commenter. (3 pts)
On suppose à présent que l’agent perçoit mal la vraie probabilité de maladie et pensequ’il sera malade avec probabilité 2
3. La vraie probabilité de maladie reste égale à 1
2. On
dit alors que l’agent est pessimiste. La compagnie d’assurance connaît la vraie proba-bilité 1
2. Cette compagnie d’assurance propose le même contrat que précédemment.
3. Déterminer le choix optimal d’assurance de l’agent. (1 pt)4. L’agent choisit-il une assurance totale? Ce résultat est-il surprenant? (1 pt)
Questions
1. Les applications empiriques de la théorie de la consommation : quel type dedonnées utilise-t-on ? Que cherche-t-on à mesurer ? Qu’en déduit-on ? Donnez desexemples. (3 pts)
2. Quels sont les avantages et les inconvénients d’un transfert du type "impôtnégatif" ? (4 pts)
2
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Université de Paris I- Panthéon- Sorbonne UFR 02 _____________________ Session de septembre 2008
LICENCE L3
MICROECONOMIE
I – On considère un premier consommateur de fonction d’utilité : u1(q1,z1) = q1z1
1) A quelle catégorie la fonction d’utilité appartient-elle ? Tracez quelques courbes d’indifférence. Sont-elles convexes ? Quelle(s) autre(s) propriétés possèdent-elles ? (1 pt)
2) Les prix unitaires respectifs des deux biens sont pq et pz. Le consommateur dispose d’un
revenu R : a) Exprimer en fonction de R, pq et pz les demandes marshalliennes du consommateur
(1 pt) b) Déterminer sa fonction d’utilité indirecte et sa fonction de dépense (2 pt) c) Calculer ses demandes hicksiennes, puis retrouver en utilisant deux méthodes
différentes les demandes marshalliennes du a)(2 pt)
On considère maintenant un deuxième consommateur et une économie d’échange entre les deuxconsommateurs. Le second consommateur a la même fonction d’utilité : u2(q2,z2) = q2z2. Les biens
q et z sont supposés disponibles dans l‘économie en quantité totale q = 3 et z = 1. 3) Représentez la boîte d’Edgeworth correspondante, puis à l’intérieur de la boîte l’allocation
(q1=2; z1=1/3) et (q2=1; z2=2/3). Cette allocation est-elle optimale ?(1pt)
4) Caractérisez la courbe des contrats, c’est à dire le lieu de optimum de Pareto de cette économie, puis montrez que son équation peut s’écrire z1 = 1/2q1 et tracez la dans la boîte. (2
pt) 5) Les consommateurs 1 et 2 disposent initialement de l’allocation des biens donnée au 3).
Exprimer en fonction de pq et pz le revenu de chacun des consommateurs. Déterminez
l’ équilibre général de cette économie (on utilisera les demandes calculées au 1) et vérifiez dans ce cas le premier théorème de l’économie du bien-être, que l’on énoncera. (2 pts).
II – Une entreprise a deux établissements. La fonction de coût dans le premier est : c1(y1)=y1
2. Celle
du second est c2(y2)=y22. Quelle est la fonction de coût de l’entreprise ? (1,5 pt)
III– Confirmez ou infirmez à l’aide d’une discussion approfondie et détaillée, appuyée si possible de représentations graphiques, chacune des affirmations suivantes :
1) Pour certaines technologies de production, il est possible d’observer à la fois une productivité marginale décroissante de l’un des facteurs de production et des rendements d’échelle croissants. (1 pt)
2) L’élasticité de substitution d’une fonction de production à rendements d’échelle constants utilisant deux facteurs est toujours égale à 1. (1 pt)
3) Dans le modèle principal/agent, l’optimum premier est inaccessible en raison de la contrainte d’incitation à l’effort. (1 pt)
4) Le tableau suivant donne deux observations pour un consommateur de sa demande de biens q1, q2 , avec des prix des biens, p1 et p2. Ces observations sont compatibles avec la théorie
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des préférences révélées. (1,5 pt)
IV – Offre de travail et trappe à pauvreté (3 pts)
Obs p1 p2 q1 q2
A 2 4 2 4 B 6 3 4 2
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Université de Paris I- Panthéon- Sorbonne UFR 02 _____________________ Session de janvier 2008
LICENCE L3
MICROECONOMIE
I – On considère un premier consommateur de fonction d’utilité : u1(q1,z1) = q1z1
1) A quelle catégorie la fonction d’utilité appartient-elle ? Tracez quelques courbes d’indifférence. Sont-elles convexes ? Quelle(s) autre(s) propriétés possèdent-elles ? (1 pt)
2) Les prix unitaires respectifs des deux biens sont pq et pz. Le consommateur dispose d’un
revenu R : a) Exprimer en fonction de R, pq et pz les demandes marshalliennes du consommateur
(1 pt) b) Déterminer sa fonction d’utilité indirecte et sa fonction de dépense (1 pt) c) Calculer ses demandes hicksiennes, puis retrouver en utilisant deux méthodes
différentes les demandes marshalliennes du a)(1 pt)
On considère maintenant un deuxième consommateur et une économie d’échange entre les deuxconsommateurs. Le second consommateur a la même fonction d’utilité : u2(q2,z2) = q2z2. Les biens
q et z sont supposés disponibles dans l‘économie en quantité totale q = 2 et z = 1. 3) Représentez la boîte d’Edgeworth correspondante, puis à l’intérieur de la boîte l’allocation
(q1=1; z1=1/4) et (q2=1; z2=3/4). Cette allocation est-elle optimale ?(1pt)
4) Caractérisez la courbe des contrats, c’est à dire le lieu de optimum de Pareto de cette économie, puis montrez que son équation peut s’écrire z1 = 1/2q1 et tracez la dans la boîte. (1
pt) 5) Les consommateurs 1 et 2 disposent initialement de l’allocation des biens donnée au 3).
Exprimer en fonction de pq et pz le revenu de chacun des consommateurs. Déterminez
l’ équilibre général de cette économie (on utilisera les demandes calculées au 1) et vérifiez dans ce cas le premier théorème de l’économie du bien-être, que l’on énoncera. (2 pts).
On revient au seul premier consommateur dont la fonction d’utilité a été définie plus haut : u1(q1,z1)
= q1z1
6) Expliquez pourquoi cette fonction d’utilité représente les mêmes préférences (ordinales) que la fonction d’utilité : v1(q1,z1) = ln(q1) +ln(z1) (0,5 pt)
7) Dans le plan (q1,z1), tracer la courbe d’indifférence correspondant à un niveau d’utilité v1 =
0. Expliquez pourquoi cette courbe d’indifférence pourrait être celle d’un consommateur placé en situation d’incertitude, dans laquelle les gains (q1,z1) surviennent avec la même
probabilité de ½ et muni d’une fonction d’utilité VNM dont on donnera la définition générale, puis dont on donnera une expression précise possible dans ce cas particulier. Compte tenu de l’expression précédente, quelle est l’attitude de ce dernier envers le risque ? (1, 5 pt)
8) Quelle est l’espérance de gain de la loterie {(q1=2, z1= 1/2) ;(p1=p2=1/2)} ? De la loterie
{(q1=1/2, z1= 2) ;(p1=p2=1/2)} ? Tracez sur la figure la courbe d’iso-espérance de gain
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correspondante pour cette même valeur des probabilités. Quel est le revenu certain équivalent pour le consommateur aux deux loteries précédentes s’il est muni de la fonction d’utilité VNM du 7)? (1 pt)
9) Le consommateur a la possibilité, en faisant un effort, d’accroître la probabilité d’un plus grand gain (q1). De p1=p2=1/2, les probabilités avec effort deviennent : p1 (q1) = 2/3 et p2(z1) = 1- p1 = 1/3. La fonction d’utilité sur les gains définissant une fonction VNM du
consommateur passe de u(q) = ln(q) à ue(q) = ln(q/K) avec K>1, où ue(q) est la fonction d’utilité avec effort. Ecrire dans chaque cas (avec et sans effort) l’expression d’une courbe d’indifférence relative à l’espérance d’utilité du consommateur et la représenter graphiquement, toujours dans le plan (q1,z1) (1 pt).
10) Donnez l’équation et représenter l’allure générale de l’intersection des courbes d’indifférence avec et sans effort. Où se situent les loteries constituant des incitations à l’effort pour le consommateur ? Expliquez en détail ce résultat (1 pt).
NB La dernière partie (à partir de la question 6)) peut être traitée indépendamment de ce qui précède. II – Confirmez ou infirmez à l’aide d’une discussion approfondie et détaillée, appuyée si possible de représentations graphiques, chacune des affirmations suivantes :
1) Pour certaines technologies de production, il est possible d’observer à la fois une productivité marginale décroissante de l’un des facteurs de production et des rendements d’échelle croissants. (0,5 pt)
2) L’élasticité de substitution d’une fonction de production à rendements d’échelle constants utilisant deux facteurs est toujours égale à 1. (0,5 pt)
3) Une augmentation du taux marginal d’imposition sur le revenu, en réduisant le taux de salaire net, décourage toujours l’offre de travail et appauvrit le pays. (0,5 pt)
4) Dans le modèle principal/agent, l’optimum premier est inaccessible en raison de la contrainte d’incitation à l’effort. (0,5 pt)
5) Le phénomène de « trappe à pauvreté » provient de ce que, pour les individus bénéficiant d’une aide sociale soumise à un plafond de revenu, tout peut se passer, au voisinage du plafond, comme si le revenu de leur travail était assujetti à un impôt à taux élevé, pouvant atteindre ou même parfois dépasser 100%, décourageant ainsi leur offre de travail. (0,5 pt)
6) Le tableau suivant donne deux observations pour un consommateur de sa demande de biens q1, q2 , avec des prix des biens, p1 et p2. Ces observations sont compatibles avec la théorie
des préférences révélées. (0,5 pt)
7) Une entreprise a deux établissements produisant le même bien y. La fonction de coût dans le premier est : c1(y1 = y1
2. Celle du second est c2(y2) = y22. La fonction de coût de
l’entreprise est dans ce cas c(y) = y12 + y2
2 avec y = y1 + y2 . (1 pt)
III – Les élasticités de demande des biens : définitions, propriétés et utilisation empirique. (3 pts)
Obs p1 p2 q1 q2
A 2 4 2 4 B 6 3 4 2
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REGLEMENT DE CONTROLE DES CONNAISSANCES
LICENCE Economie et Gestion, Mention Economie (VET 0211-0221-023L)
I. GENERALITES
1. La licence est constituée de 6 semestres d’enseignement. Chaque semestre comporte 2 unités d’enseignement. Le nombre de crédits affectés à un semestre est de 30 pour l’ensemble des UE de ce semestre. Chaque enseignement et unité d’enseignement est affecté d’un coefficient. L’échelle des coefficients et des crédits est identique.
2. Pour chaque semestre d’enseignement, l’examen comporte deux sessions. II. INSCRIPTIONS
1. L’inscription administrative est annuelle (conformément aux dispositions nationales).
2. L’inscription pédagogique est faite en début d’année universitaire pour les deux semestres, avec possibilité de modifications au plus tard dans les deux semaines qui suivent le début du semestre d’enseignement.
3. Inscription par transfert :
La prise en compte du parcours réalisé par l’étudiant dans un établissement d’origine est réglée par la commission d’équivalence nommée par le directeur de l’UFR. Il ne peut y avoir de transfert en cours de DEUG sauf dérogation prononcée sur avis favorable de la commission des transferts de l’UFR. Les demandes de transfert en vue de l’entrée en L3 peuvent être acceptées dans la limite de la capacité d’accueil sur avis favorable de la commission des transferts de l’UFR. Les demandes de transfert liées à un changement d’orientation sont examinées par la commission « d’équivalence » de l’UFR.
4. Inscription par validation d’acquis (décret du 23 août 1985), validation des acquis de
l’expérience (décret du 24 avril 2002) ou validation d’études supérieures accomplies en France ou à l’étranger (décret du 16 avril 2002) : La validation d’enseignement se fait par U.E. entières ou par éléments constitutifs d’U.E., sous la forme de dispenses, sans attribution d’une note. Les crédits ECTS correspondants sont acquis. En revanche, ces U.E. ou EC n’entrent pas dans le calcul de la compensation. La validation est prononcée par la commission / jury de validation compétente de l’UFR.
5. Le nombre d’inscriptions sur l’ensemble du cycle de licence est fixé selon les modalités
suivantes : - pour les deux premières années d’études : un redoublement de droit. Le Président de
l’université garde la possibilité d’accorder une ou plusieurs inscriptions supplémentaires dans le cas de situations particulières.
- pour la troisième année d’études : un redoublement de droit. Le Président de l’université garde la possibilité d’accorder une ou plusieurs inscriptions supplémentaires dans le cas de situations particulières.
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- pour les années d’étude à accès sélectif, le redoublement n’est pas de droit. Il est subordonné à un avis favorable du jury.
III. PROGRESSION
1. Un étudiant auquel ne manque qu’un semestre peut s’inscrire dans l’année suivante. Dans ces conditions, un étudiant peut s’inscrire simultanément dans deux années d’études consécutives de la même formation. Toutefois, un étudiant ne peut s’inscrire en L3 s’il n’a pas validé les semestres 1 et 2 de L1.
Les étudiants qui n’ont validé qu’un semestre d’enseignement seront convoqués à un entretien d’orientation. Dans le cadre du plan licence un programme adapté de réussite en licence leur sera proposé. Ce programme pourra comporter un tutorat spécifique et une préparation à l’entrée dans l’année suivante. Des dispositions du même ordre pourront être prises pour les étudiants de L3 en situation de redoublement. 2. Les étudiants qui ont validé l’année L1 de la licence de Droit parcours Economie, de la licence de Géographie parcours Economie ou de la licence d’Histoire parcours Economie peuvent s’inscrire en Licence 2 Economie ; les étudiants qui ont validé l’année L2 de la licence de Droit parcours Economie, de la licence de Géographie parcours Economie ou de la licence d’Histoire parcours Economie peuvent s’inscrire en Licence 3 Economie
IV. EXAMENS
1. La première session d’examen est organisée aussitôt après la fin des enseignements. 2. La seconde session a lieu deux mois au moins après la 1ère session, sauf mise en place d’un
dispositif pédagogique de soutien. Elle ne peut être organisée moins d’une semaine après la diffusion des résultats des examens.
3. La note attribuée dans chaque matière à la deuxième session se substitue à celle obtenue lors de la première session.
V. MODALITES DE CONTROLE DES CONNAISSANCES
1. L’appréciation des connaissances et des aptitudes dans les U.E. constitutives d’un semestre résulte à la fois : - d’un contrôle continu, - d’épreuves écrites anonymes, - de projets tutorés, - d’un rapport de stage ou d’un travail écrit d’initiation à la recherche, - d’examens oraux.
2. Sur dérogation, le contrôle des connaissances et des aptitudes des étudiants engagés dans la
vie professionnelle ou dans l’impossibilité absolue d’assister aux travaux dirigés et aux conférences de méthode et qui en ont été dispensés est effectué sous la forme d’examens terminaux écrits et oraux pour l’ensemble des matières faisant l’objet de contrôle continu ou pour une ou plusieurs matières faisant l’objet de contrôle continu.
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3. L’assiduité aux travaux dirigés et conférences de méthode est obligatoire. Il ne peut être toléré plus de trois absences motivées par semestre.
La limitation ci-dessus n’est pas applicable en cas de maladie de longue durée, de grossesse ou de handicap.
4. Dans les matières faisant l’objet d’une épreuve terminale et d’un contrôle continu, la part du contrôle continu dans la note finale est de 50%. Le contrôle continu doit comprendre plusieurs notes.
5. Les épreuves écrites organisées dans le cadre des travaux dirigés (« partiels ») bénéficient
des mêmes conditions de correction et d’anonymat que les épreuves écrites visées au paragraphe 1.
VI. NOTATION DES EPREUVES
A. Notes, coefficients et crédits
La notation des épreuves et les modalités de contrôle des aptitudes et des connaissances sont les suivantes1 :
SEMESTRE 1 (DEUG 1 S1) Intitulé des UE et des ECUE Modalités Coefficients=
Crédits
Semestre 1
UE n° 1 : enseignements généraux 1 13 Introduction générale à l'Economie Problèmes économiques contemporains Comptabilité d’entreprise
CC+Ex CC+Ex CC+Ex
5 4 4
UE n° 2 : méthodologie et préprofessionnalisation 1 17 Statistiques et Informatique 1 dont préparation du (C2I) Mathématiques 1 + direction d’études pour les étudiants dispensés de TD Langues Découverte (option)
CC+Ex Ex CC+Ex Ex CC+Ex CC+Ex
5 5 3 4
SEMESTRE 2 (DEUG 1 S2)
1 Légende des tableaux : CC + Ex « Contrôle continu plus examen final » CC « Contrôle continu seulement »
(examen terminal pour les salariés) Ex « Examen final » seulement, sans CC PT « Projet tutoré »
(avec éventuellement un CC et un Ex) R Rapport de stage TIR Travail d’initiation à la recherche VAL Travail donnant lieu à une validation (les résultats peuvent être ABI/VAL/NVAL)
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4
Semestre 2 Modalités Coefficients= Crédits
UE n° 1 : enseignements généraux 2 16 Théories économiques comparées : prix et répartition Microéconomie Comptabilité nationale
CC+Ex CC+Ex CC+Ex
5 5 6
UE n° 2 : méthodologie et préprofessionnalisation 2 45,5 14 Projet tutoré Langues C2I + culture générale et expression Découverte : gestion
PT CC+Ex CC+Ex CC+Ex
5 3 2 4
SEMESTRE 3 (DEUG 2 S1)
Semestre 3 UE n° 1 : enseignements généraux 3 18 Macroéconomie Economie monétaire et financière Economie du budget, de la fiscalité et de la protection sociale
CC+Ex CC+Ex CC+Ex
6 6 6
UE n° 2 : enseignements complémentaires 1 97,5 12 Mathématiques 2 Langues Terminologie économique anglaise Option Découverte/Mineure (choix annuel)
CC+Ex CC+Ex CC+Ex CC+Ex
5 2 1 4
SEMESTRE 4 (DEUG 2 S2)
Semestre 4 Modalités Coefficients= Crédits
UE n° 1 : enseignements généraux 4 16 Microéconomie : interactions et coordination Economie et politiques européennes Théories économiques comparées : accumulation, crises et régulation. Statistiques 2
CC+Ex CC+Ex CC+Ex CC+Ex
4 4 4 4
UE n° 2 : méthodologie et préprofessionnalisation 3 14 Projet tutoré Option Langues Découverte/Mineure : même spécialité qu’en S3.
PT CC+Ex CC+Ex CC+Ex
5 3 2 4
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5
SEMESTRE 5 Intitulé des UE et des enseignements Modalités Coefficients
= Crédits
Semestre 5 UE n° 1 : enseignements généraux 5 15 Macroéconomie : croissance Statistique 3 Commerce international 1 (cours en français ou anglais)
CC+Ex CC+Ex CC+Ex
5 5 5
UE n° 2 : enseignements complémentaires 2 15 Une langue 3 options
CC+Ex Ex ou CC+Ex
3 3x4
SEMESTRE 6
Semestre 6 Modalités Coefficients
= Crédits
UE n° 1 : enseignements généraux 6 15 Histoire de la pensée économique Relations monétaires internationales Théorie des organisations et des marchés
5 5 5
UE n° 2 : méthodologie et préprofessionnalisation 4 15 Langues Introduction à l’économétrie 1 option Travail de fin d’études :
• Dossier • Stage • Module de préprofessionnalisation / préparation IUFM†
CC+Ex CC+Ex Ex ou CC+Ex TIR R VAL
2 4 4 5
B. Bonifications
1. Les matières donnant lieu à bonification sont notées sur 20. Ne sont comptabilisés au titre du bonus que les points au-dessus de la moyenne.
2. Les étudiants ayant choisi de suivre un enseignement donnant lieu à bonification peuvent
bénéficier d’une majoration maximale de 0,5 point sur la moyenne coefficientée du semestre.
3. Les enseignements d’activités physiques et sportives ou les enseignements des activités
culturelles sont proposés au titre des bonifications dans toutes les formations de licence
† Ce module est offert par le CIPCEA. Les cours, d’un volume de 60 heures, s’organisent tout au long de l’année (deux semestres), s’y ajoute un stage en établissement scolaire de cinq demi-journées. La validation du module ne donne pas lieu à une note, mais permet d’obtenir des points supplémentaires au concours d’entrée à l’IUFM (professeur des écoles). La validation du module reposant sur l’assiduité, il n’est pas possible de s’inscrire après le début des cours.
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quant ils ne figurent pas parmi les enseignements obligatoires ou optionnels du programme de la formation.
VII. CAPITALISATION ET COMPENSATION
1. Conformément à l’article 27 de l’arrêté du 23 avril 2002, les crédits, unités d’enseignement et diplômes peuvent être acquis par réussite à l’examen ou par compensation.
2. Unités d’enseignements :
Conformément à l’article 25 de l’arrêté du 23 avril 2002, les unités d’enseignement sont définitivement acquises et capitalisables dès lors que l’étudiant y a obtenu la moyenne. L’acquisition d’une unité d’enseignement entraîne délivrance des crédits correspondant à cette unité. Une unité d’enseignement ne peut être obtenue si l’étudiant ne se présente pas à une épreuve.
3. Sont capitalisables les éléments constitutifs d’unité d’enseignement pour lesquels l’étudiant a obtenu la moyenne, dans les UE non validées. Les crédits qui leur sont attachés sont acquis par l’étudiant.
4. Semestre :
Le semestre d’enseignement est validé si l’étudiant y a obtenu la moyenne. L’acquisition d’un semestre entraîne délivrance des crédits correspondants.
5. Compensation annuelle La compensation annuelle est de droit pour les étudiants ayant obtenu la moyenne arithmétique sur l’ensemble des deux semestres de l’année. Les étudiants défaillants ne peuvent bénéficier de cette disposition.
6. Compensation « exceptionnelle » pour les étudiants ayant obtenu la moyenne arithmétique pour les semestres S1, S2, S3, et S4.
Les étudiants ayant validé séparément leurs deux semestres de L2 mais un seul semestre de L1 peuvent bénéficier, par décision du jury, de la validation de ce semestre par une modalité de compensation exceptionnelle s’ils ont la moyenne arithmétique sur les quatre premiers semestres de leur parcours de licence.
7. Pour le calcul de la moyenne, il est tenu compte des coefficients attribués à chaque épreuve.
8. Disposition particulière (le cas échéant) :
Le règlement d’une formation peut fixer des « notes plancher » pour certains enseignements ou groupes d’enseignements. Dans le cas où l’étudiant obtient une note inférieure à la note plancher, l’unité d’enseignement ne peut être validée, - la compensation au sein du semestre ne peut être effectuée Cette disposition n’est toutefois applicable qu’aux formations à accès sélectif où elle existait antérieurement à la réforme LMD.
9. La compensation ne peut avoir lieu que si toutes les épreuves ont été effectivement passées. 10. Validation des périodes d’études effectuées à l’étranger :
Lorsque le projet a été accepté par le responsable pédagogique et que l’étudiant a obtenu la validation de sa période d’études par l’établissement étranger, il bénéficie des crédits
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européens correspondant à cette période d’études sur la base de 30 crédits pour l’ensemble des unités d’enseignement d’un semestre.
VIII. OBTENTION DES DIPLOMES
A. Diplôme intermédiaire DEUG
1. Sans demande expresse de l’étudiant, le jury délibère systématiquement, à l’issue des quatre premiers semestres du cycle L, en vue de la délivrance du DEUG.
2. Pour obtenir le DEUG, l’étudiant doit avoir validé, d’une part les 2 semestres de L1 et
d’autre part les 2 semestres de L2.
3. En cas d’obtention, le diplôme est systématiquement édité.
B. Diplôme final de licence
Pour obtenir la licence en Economie et Gestion, mention Economie, l’étudiant doit avoir validé chacun des semestres de licence. Le diplôme de licence est accompagné d’un supplément au diplôme décrivant la formation suivie ainsi que les compétences et les connaissances acquises.
C. Mentions
La validation du diplôme (DEUG ou Licence) est assortie des mentions suivantes : - Passable, lorsque la moyenne générale est égale ou supérieure à 10/20 - Assez bien, lorsque la moyenne générale est égale ou supérieure à 12/20 - Bien, lorsque la moyenne générale est égale ou supérieure à 14/20 - Très bien, lorsque la moyenne générale est égale ou supérieure à 16/20
Pour le DEUG, la mention prend pour référence les notes des semestres 1, 2, 3 et 4. Pour la licence, la mention prend pour référence les notes des semestres 5 et 6.
IX. JURY
1. Le jury comprend les enseignants qui ont participé à la notation des épreuves. Il statue souverainement sur les résultats de contrôle des connaissances et décide du résultat définitif en vue de la validation du semestre, des unités d’enseignement ou enseignements, et attribue, suivant le cas, le grade de licence ou le titre de DEUG. Il peut décerner des points de jury.
2. Le président du jury est désigné par le président de l’Université ou, sur délégation, par le
directeur de l’UFR responsable de la formation.
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X. REORIENTATION
Tout étudiant peut demander une réorientation à l’issue du premier semestre de licence. La commission de réorientation examine les demandes des étudiants et se prononce sur les matières pouvant être validées et sur les obligations d’études dans le cadre du nouveau cursus.
1. En cours de licence, des réorientations sont possibles en usant des passerelles prévues pour
l’accès aux différentes formations.
2. L’étudiant qui change de filière au sein de l’Université Paris 1 conserve les unités et les enseignements capitalisés qu’il a validés lorsque ceux-ci figurent au programme de la nouvelle filière avec le même régime de contrôle des connaissances.
XI. REGIMES SPECIAUX
1. Les étudiants handicapés ont droit, sur leur demande, au bénéfice des dispositions prévues par la réglementation, telles que le tiers temps.
2. Des dispositions particulières sont arrêtées pour les étudiants suivant un enseignement à
distance.
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