A N N A L E S

DE

CHIMIE ET DE PHYSIQUE,

Par MM. GAY-LUSSAC et AKAGO.

: »

T O M E TRENTE-NEUVIÈME.

A PARIS, Chez CROCHARD, Libraire, cloître Saint-Benoît, n° i 6 ;

près la rue des Mathurins.

1828.

MÉMOIRE ( I ) sur la Détermination de la surface

courbe des ondes lumineuses dans un milieu

dont Vélasticité est différente suivant les trois

directions principales, c'est-à-dire celles où la

force produite par Vélasticité a lieu dans la

direction même du déplacement des molécules

de ce milieu.

PAR M . AMPÈRE.

QUAND on suppose que la lumière passe d'un milieu cristallisé dans un autre quH'est également, c'est de la connaissance de la surface courbe de Tonde lumineuse, tant dans le milieu dont elle sort que dans le milieu où elle entre, qu'on déduit la direction de chacun des deux rayons réfractés dans laquelle se divise en général cha­cun des deux rayons incidens, qui peuvent suivre la même direction dans le premier milieu ; on y parvient aisément au moyen d'une construction donnée par Huygens pour le cas particulier où le rayon sort d'un milieu dont l'élasticité est la même en tous sens, et entre dans un milieu dont deux des trois élasticités princi-

(i) Nous nous sommes imposé depuis long-temps la règle de n'insérer dans ces Annales ni des Mémoires de mathéma­tiques pures, ni même des Mémoires de physique renfer­mant des calculs trop compliqués. Nous fesons aujourd'hui une exception en faveur du Mémoire de M. Ampère, parce qu'il complètef sous le rapport analytique, le beau travail que Fresnel a publié sur l'importante question de la double réfraction.

T . xxxix. 8

pales sont égales entre elles. Alors la surface de Tonde lumineuse est sphériqiue dans le premier milieu, et se compose, dans le second, de l'assemblage d'une sur­face sphérique et de celle d'un ellipsoïde de révolution. On sait que Laplace démontra, seulement pour ce der­nier cas, que celte construction résultait, dans l'hypo­thèse de l'émission, du principe de la moindre action -, son calcul ne s'appliquait qu'au cas de l'ellipsoïde, puisqu'il y employait l'équation de l'ellipse génératrice ; mais, dans une Note que je lus en 1814 à l'Académie, je donnai une démonstration générale de cette même construction, étendue à tous les milieux cristallisés. J'y partais encore du principe delà moindre action dans l'hypothèse de l'émission , mais on sait que tous les cal­culs fondés dans cette hypothèse surce principe se tra­duisent immédiatement dans le système des ondes par le simple renversement de l'expression de la vitesse. On peut donc considérer la démonstration générale dont je parle, de la construction d'Huygens étendue à tous les milieux possibles , comme suffisant pour donner la di­rection des deux rayons réfractés, correspondant à cha­cun des d!eux rayons incidens qui peuvent "suivre une direction donnée, lorsque le milieu d'où la lumière sort n'a pas ses trois élasticités principales égales entre elles. Mais il faut, pour en faire usage, connaître les surfaces courbes des ondes lumineuses, tant dans ce milieu que dans celui où la lumière enti^. Dans l'admirable Mé­moire de Fresnel sur la double réfraction, imprimé dans le tome vu des Mémoires de VAcadémie, et où ce grand physicien a fondé sur des bases désormais inébranlables la vraie théorie de la lumière, il s'est

( n 5 )

occupé de la détermination de la surface courbe des ondes lumineuses dans un milieu quelconque. Voici, à t:et égards les résultats de son travail :

En représentant par a% c a trois constantes pro­portionnelles aux trois élasticités principales du milieu, par x, y^ z les trois coordonnées d'un point quel­conque de la surface de l'onde rapportée aux directions de ces élasticités principales prises pour axes, par m la dérivée de z en faisant varier x seul, et par irsa dérivée en ne faisant varier que y9 enfin parV la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent au point dont les coordonnées sont x, y, z, en sorte que, comme l'observe Fresnel ,

z — m x — ny " — r , .

il démontre, à la page i32 de son Mémoire, qu'on a , pour déterminer l'équation

d'où il conclut avec raison qu'en substituant la valeur de tirée de cette équation en fonction de m et QQ/i dans l'équation

(z—mx—nyy — v%(i +m2 + n*)9

on aurait, en y regardant m et n comme des constantes, l'équation commune à tous les plans tangens à la sur­

face de l 'onde; et qu'en éliminant m et n entre cette équation et ses deux dérivées partielles obtenues , Tune en ne faisant varier que m, et l'autre en ne faisant varier que n , on aurait entre x^y, z l'équation de la surface cherchée.

Croyant que cette élimination exigeait des calculs trop compliqués pour pouvoir être exécutée , Fresnel forme une autre équation des trois entre lesquelles il s'agissait d'éliminer m et n ; mais il n'en fait pas non plus usage pour arriver à l'équation cherchée en x9 y, il détermine celle-ci en supposant qu'elle ne peut être que du quatrième degré , en calculant les équations des intersections de la surface de l'onde avec les trois plans coordonnés, et en prenant l'équation du quatrième degré qui satisfait à la condition que la surface qu'elle exprimé passe par ces intersections. L'auteur reconnaît que cette marche ne donne aucune certitude que cette équation soit celle de la surface de l 'onde, puisque rien ne prouve que l'équation de cette surface ne soit que du quatrième degré c'est pourquoi il dit qu'il s'est assuré, par des calculs tellement longs et fastidieux qu'il n'a pas cru devoir les transcrire dans son Mémoire , qu'en partant de l'équation du quatrième degré entre . r , y , z9 on vérifie la combinaison des trois équations entre x, y, z, my h, dont je viens de parler.

Si c'était l'équation qui représente tous lès plans tan-glnsqui eut été vérifiée ainsi, on pourrait regarder l'équa­tion entre x, y , z, comme suffisamment démontrée à posteriori y mais comme ce n'est qu'une combinaison arbitraire de cette équation et de ses deux dérivées par­tielles, prises l'une par rapport/a m , l'autre relati­vement à n , qui l a été, cette preuve de l'exactitude de l'équation obtenue pour la surface de l'onde me paraît tout-à-fait incomplète ; cependant cette équation est exacte, et même assez facile à obtenir directement; c'est à quoi je suis parvenu en mettant sous la forme la

( "7 ) plus commode pour le calcul l'équation commune aux plans tangens de la surface de Tonde, et en prenant les deux dérivées partielles de cette équation relativement aux deux quantités m et n, que j 'ai remplacées par p et par q y pour me conformer À l'usage général de désigner ainsi la dérivée de z prise en ne faisant varier que x, et celle qu'on obtient en faisant seulement varier j ' . En essayant diverses combinaisons de ces trois équations, j 'en ai trouvé qui rendent assez facile l'élimination que Fresne) avait cru exiger des calculs si longs qu'il était comme impossible de les exécuter. Ceux qui me sont néces­saires pour atteindre ce but présentent d'ailleurs une symétrie qui les rend faciles à suivre ; ils conduisent, en dernière analyse, précisément à l'équation du quatrième degré entre x , y9 z, donnée par Fresnel pour la sur­face courbe de Tonde lumineuse dans les milieux dont les trois élasticités principales sont différentes entre elles : en sorte que l'exactitude de cette équation ne peut plus * être siyette À aucune difficulté.

Tel est l'OMET du second paragraphe de ce Mémoire 5 dans le premier , j 'ai calculé l'équation commune à tous les plans tangens par un procédé qui m'a paru plus simple, ou du moins plus facile à suivre que celui qu'a employé Fresnel \ et dans le troisième, j 'ai démontré un théorème dont ce grand physicien fait usage, sans le démontrer directement, pour trouver l'équation de là surface de Tonde. Je m'étais proposé de reprendre, dans un quatrième paragraphe, la démonstrationd'Huy-gens généralisée pour toutes sortes de milieux ; de la simplifier et de l'exposer dans le système des ondes, en y introduisant la considération des plans suivant les-

quels on peut supposer que la lumière que l'on consi­

dère est polarisée; mais je n'ai pas eu~le temps d'achever

la rédaction de ce paragraphe , et c'est pourquoi on ne

le trouvera point ici.

§ IER. Recherche de VÉquation commune à tous les

plans tangens de la surface de tonde*

Soit i ° a la vitesse correspondante à un déplacement suivant l'axe O A de x , la force de l'élasticité suivant cet axe sera jx a 3 a pour un déplacement = a, portons a de O en a! et de O en a" sur les deux autres axes ; 2 ° b la vitesse correspondante à un déplacement suivant l'axe OB des , la force suivant cet axe sera f* £ a <r pour le déplacement c, portons b de O en b et de O en V sur les deux autres axes; 3° c la vitesse correspon­dante à un déplacement suivant l'axe O C des z, la force,

# suivant cet axe, sera f* c 2 <r pour le déplacement o por­tons c de O en c et de O en c' sur les deux autres axes.

D'après la loi de la propagation de la lumière dé­

couverte par Fresnel , une onde plane dans le plan

£ O C arrivera, dans une unité de temps, en & si ses

oscillations sont parallèles à 03, en c si elles le softt à

OC y et dans le cas où les oscillations seraient dans une

direction intermédiaire 5 l'onde plane se partagerait en

deux autres, dont l'une arriverait dans l'unité de temps

en b, l'autre en c. Les points a' et c' sont de même

ceux où arrivent, dans une unité de temps , les ondes

planes situées dans le plan AOC, soit qu'elles se par­

tagent en deux ou non , et les points a17 et b" ceux où

( "9 ) arrivent dans le même temps les ondes planes situées dan9 le plan A OB*

Les six points b , c, a', c', al\ b", sont donc tous sur la surface courbe de Tonde partant du point 0, surface qui touche toutes les positions qu'une onde plane quel­conque partie du point O occupe au bout f^me unité de temps.

Considérons cette onde quelconque dans le plan EOF perpendiculaire à OS, la vitesse, suivant OS, sera due à la composante de la force produite par un dé­placement (T dans le plan EOF, par exemple, suivant OE qui se trouve dans ce plan. Nommons a , p , f, les angles que forme O E avec les trois axes, ce déplace­ment pourra être remplacé par trois autres , savoir : ex cos a suivant OA, (T cos p suivant OB, <r cos 7 sui­vant OC, d'où résulteront dans les mêmes directions trois forces égales à p a1 ? cos a , p b* <r cos p , P c a <r cos 7 , en sorte que leur résultante

cos3 a cos2 P + c * cos3 7,

et que les trois cosinus des angles Ç, », z, que forme la direction R O de cette résultante avec les trois axes sont

|X(x a% cos a a3 cos a

(izo)

II suit de là qu'en nommant e l'angle que forme la direction de cette résultante avec la droite OE, on a

C08 8 = COS a COS Ç -f- COS P COS 71 -f- cos 7 cos Ç ;

ou

m pa (a a cos* a + b* cos* 3-f-ca cosa 7 ).

w —— La résultante étant décomposée en deux autres forces, l'une suivant EO. égale à R cos e , ou à p<x (a* cos 2 a + £* cos * p c 2 cos 9 7 ) , et l'autre perpendiculaire à E O et égale à R sin e y si la résultante est dans le plan R OE , la composante R sin * perpendiculaire à O E sera aussi dans ce plan, et par conséquent dirigée suivant OR perpendiculaire à l'onde plane ; elle ne contribuera donc en rien à la propagation de cette onde , propagation dont la vitesse due à la seule force R cos e = p a ( a 2 cos 2 a - j - b2 cos2 p -|- c* c o s a 7)> S E R A

V a 3 cos* a4- A* cos* p + c* cos3 7,

puisque les forces f*a a*, f i*^ produisent les vi­

tesses a, 6> c.

Dans ce cas , en prenant

OS = ^ a 3 cos* a -f- £* cos3 p -f- c a cos a 7 1 ,

et élevant en 5 le plan iSifefT perpendiculaire à OS, et par conséquent parallèle à E 0F> on aura la si­tuation de l'onde plane EOF an bout de l'unité de temps; ce plan S M T sera donc tangent à la surface courbe cherchée.

Si M eôt le point de contact, et que les coordon­nées de ce point soient xyy , z ; en nommant p et q les dérivées de z par rapport à x et à y , et JjT la perpen-

( i » o

diculaire OS abaissée de l'origine O sur le plan tan­

gent, perpendiculaire que Fresnel désignf dans son

Mémoire par la lettre qui a pour valeur

g— p x — q y ê

y/i+p>+q*J

et qui forme avec les trois axes des angles, que nous représenterons par Ç, *i, K, dont les cosinus sont

|—P —9 1

V*+P2+r' V*+P*+r] V i + / > A + 7 A '

on aura

W* *=AZm~Px~mtiy*yf — a* cos» a-4- * a cosa 3+c a cos» 7.

I l faut d'abord démontrer qu'il y a toujours deux di­rections , et qu'il n'y en a que deux à donner à un plan EOS passant par la direction donnée OS, pour que la résultante produite par le déplacement OE soit dans le plan EOS»

Il faut pour cela que les trois droites OS, OE, OR, dont les angles avec les trois axes ont respectivement pour cosinus

P <t l

cosot , cosp , cos 7}

' a* cos a b* cos p c* cos 7

soient tontes trois perpendiculaires à une même droite.

Si nous représentons par >, y-, v, les angles que cette

( droite forme avec le^ trois axes, nous aurons, par le

théorème de JLagrange,

cos \ : cosft : cosv : V(B* R— c a) cos p cos v : (C*—A*) cosa cos 7 (A*—B3 ) cosa cos p ;

et comme la droite, dont les angles sont Ç, »»» e s t à la fois perpendiculaire sur cette droite, et sur celle dont les angles sont a , p , 7, on a par le même théorème ,

cos ? : COSÏJ: cos Ç:: [(c9~-tf9) cos9 7— (A 7 —£ 9 )cos 2 p]cosa.

[ ( a *_£a) CQs9a— (£9—c9) cos9 7}cosp: [(£ 9—c 9) cos9 p —

(c 9 —a 9 ) cos9 a )] cos 7.

Mais les deux équations

W % C3 a 9 cos9 a -f- B% cos9 p-f- c 8 cos3 7, 1 = cos9 a-f-cos 9 p + ^os 9 7

donnent

AT9 — a 9 = ( c 9 — A2) cos9 7 — ( À1 —- £ 9 ) cos9 p , J5T9 — B 9 = ( a 9 — B * ) cos9 a — (B2 — c3) cos9 7, W* —.c 9 = (£ 9 —c 9 ) cos2 p —(c 9 —tf 2 ) cos9 a,

d'où il suit que

cos Ç : COS>Î :cosÇ ( T V 2 — û 2 ) c o s « : (/F 2—£ 9)cos B

(W*—c9)cos7$

et comme on peut diviser lés deux termes de chaque rapport par une même quantité sans en changer la valeur,

/ , - cos % cos N cos Ç cosaicosp : 0 0 8 : 7 : : — — — : - — : • • :

R ' W * — a 9 W* — B7 T V 2 — c 2 ?

mais cos a cos Ç -f - cos p cos / cos 7 cos Ç = o ;

on a donc •cos9 Ç COS9

A cos2 Ç W 2 ^ 7 r

WI — B * * * R V * — C > ~ ~ 0 >

C 1*3 ) c'est-à-dire

. ( AT»—&»)( JF*—c*) cos» 54. (IF8—tf3) (IF3—.c8) cos2 n ( ^ - F L 3 ) ( ^ - . J Î ) C O S J Ç = 3 0 ,

ou «TJ—[(A»+c») cos'I+Cû^+c'Jcos'iî+Cfl'+^^cos'Ç] IF»

4-£A c 2 cos2 % tf3 c 2 cas2 TQ 2 cos3 Ç = o,

cette équation donnera deux valeurs de I F 3 , auxquelles répondront celles des cosinus des angles a , p, 7, com­pris entre la direction de l'oscillation et les trois axes, en mettant, au lieu de cos Ç, cos v , cos ç, leurs valeurs en p et en q, et en faisant pour abréger,

celles des trois cosinus cherchés deviendront

cos a = c o s ? V '+/>A+<7* ^ g

cos P _ COS» V L + P O - Y » 9

cos 7 ^cosÇ \Zi + PA4-y*—. 1

Les mêmes substitutions changeront l'équation en I F

en celle-ci ( ,

(l+P%JH*) JF* 4 —[(^ 2 4-c 3 )^ 2 +(a 3 +c 3 )9 2 +a 2 +i 2 J / F 2 + Z>» c 3 # 3 -J-a 3 c 3 <jra 4 -Û 3 £ 3 E=2 o ,

mais

Vi+p'+q*' donc

(*— pX — qy)^[a*+b*+(b*+C*)p* + (a*+C*)ç*-] (*—par—gr),4"(j+A?3''H'3) (tf2£3-KacA/A24-02c3<72) = o. '

( « 4 ) Potir résoudre plus facilement l'équation

(z — p$^qy)ï—[(c2+b2)p>+(a*+c*)q2 + a*+b*] (z—par—qy)*=—(p*^*+i)(b 2 c 2 p 2 +a 2 c*+a 2 b*),

je fais c*p2+a2q*+a*z=sA7

b2p*+c2q2 + b2z=zB> ce qui donne

(c'+b2)p2+{a2+ù2)q2+a2+b2 = A-+-B, j 5 _ ( c a — b*)q*

(p2+q*+\)(b2c2p2+a2c*q2+a2b2)^- ^— — ' • m .

[^*4*»(c»-~ b*)g2]=zAB+ ^—b7^ [Ba2—Ab2— b2

a2(c*^b2)q2'\==AB+(: q% [b2(a2-c2)p2^2(c2-b2]q*

—a2 (c*— *'*) y 8 ] ;=^£+(a>—•£ a ) {a2—ù2)p2q2,

ainsi

( z—par—qy) * — px—* qy)2 =—AB— (c*—b*) (a2—c2 )p*q7'y

ce qui donne [d]

s= i[(c2+b2) p2+(a2+c2)<j2+a2+b2±L

Telle est l'équation commune à tous les plans tangens.

§ I I . Recherche de l'équation de la courbe de Fonde.

Soit x=x' \/c2—b2 tfa2—c2, z=z' ^a*—b\ et p' et q' les deux dérivées de z' par rapport à x' et y\ on aura

pdx' \/c a—b**\rqdy' 2 — c*=pdx-\-qdy=dz =

dz' \/a*—6*=p'dx' \/a* — b*+q'dy' Va*—**,

a i n s i p = ~ - — — ? = 7 7 J ,

donc

i 6 . 2 — px—qy—{z!— p'**--qff) \fa*—b\

2 ° . . ( c 2 + ^ ) p ' + ( a 3 + c » ) y 2 + û a + ^ =

3°.- (c*—*• ) p 2 + C ô a — C M î 2 + fla—*2 = (* a — ô 2 ) ( / / a + ? " 4 - 0 ,

4°. (c a —è a ) ( û a — c a j ^ a £ a = (aa—b*)*p'2q'*.

Ces valeurs, substituées dans l'équation [^T|, don­

nent , en supprimant le facteur commun a 2 — £ a , celle-

ci [tf]

en faisant, pour abréger,

Il existe entre ces trois constantes une relation qu'on trouve ainsi

( 1*6 ) gh+i _ (g»+c 3) (c*+b*) + {a%—c*) (ca—b*) _ g+h ~~ ( a a + c 3 ) (c3—6 a) - f ( c 2 +ô a ) (a 3—c a) —

c*+c* (a'+b* ) + a 3 6* — Ç4+c3 (a 3 +£a )— g» C4-f-c2 (a 3—£ 3) — a 2 Z>3 —pfef-c2 (a 2—ô 3) + a 3 6 3

2 c 3 (a 3—6 3)

Il faudrait faire les mêmes substitutions dans les deux équations qu'on obtiendrait en faisant varier alterna­tivement p et q seulement; mais comme p et q ne dif­fèrent de pr et de q' que par des coëfficiens constans, on obtiendra plus facilement les mêmes équations en faisant varier p' et q' seulement dans l'équation [2?]. Si Ton fait ce calcul en supprimant les accens pour abréger, sauf à remplacer ensuite

oc x,y el z par — ; — ^ et V c 3 — 6 3 V û 3 - C 3 y / ^ Z ^ T

on aura

( - j - ' + f ' - g ' 1 » . < * - i « - s r ) l } '

ou

x

et

*{z-px—qy) 1 ? ~ 2 J ;

OU

on lire de ces valeurs

( "7 )

px4-qx=s T-—-—-r L p ^ P ' ^ P ^ r +

VÈTCT J ' c'est-à-dire '

( p ' + g ' + ' ) )— bp* g ' )

mais

( ' + p ' + ? ' ) '—4P ' g ' 1

Vi+i'-f»?') '—4/»*?* J '

en ajoutant celte équation à la précédente, il vient

Pour éliminer p elq9 on déduit des valeurs que nous venons de trouver pour x, y, z

x

» Veto. J

= ' i A i ' + / > ' + g' Ì

et l'on en conclut

, 4 . 2 ^ 4 . ^ — ^ 4

eic. *

En ajoutant ces trois équations, on a

a(z—jwr-

parce que k ( g + A ) -**gh — i.

En réduisant au même dénominateur, et en se rap­pelant que

a(z—pj?—<7y)' =gp*+hq2+k±. \/etc.

on trouve

( "9 ) xy ,xz ,JTZ »

pi p ? v / ( i + p ? + * ' ) ' - 4 p ' * ' -

O r

^ s i — ( ^ _ a f e + f i + ^ i U =

2(z—pX—qjT) \ \Pq P 9 I S

(g+k)pq . ay-r-yg*-r-gr*

2(2—par—gr) z—px—qy

et par conséquent

( g + M p ? - y + g a o + B T » " —• —————— UJ

2 ( Z — — q j r ) z—px—qy

z—px—qy 7

qu'on peut écrire ainsi

d'où

*y pq

= a ( « - y L g r ) [ ( )P-*1( X*+1**+PS* ) ].

et

l(Z—pX—qy) Z—pX—qy *

(z—px) (x+pz)+q7 xz z—px—qy 9

on a donc

T . xxxix. 9

( i3o )

OU

xz v ; p

y . - ^ œ - — ! J{k-h)q± ! £ l i _ V ' , . * < * - / « - 2 r ) l . - - y ^ T J

*{z—px—qy) l ^ J et

{h—h) g _ px(y+qz)+pyz Hz—px—qjr) z—px—qy

_ ( *—gr ) t r + y * ) Px—27"

on a donc

. i ( / - A ) q =yz ( i - q'+f ) + ^ ( z ' - j ' ) , ou ^

q

Maintenant il est bien aisé d'éliminer p ét q-, en fai-

T,

pour abréger, '

_•+/>'—?' jrz

xz p

xjr • W on a

rp-T=*q,

( I3I )

d'où l'on tire

rP-*q=Tt Fq — ip = U, (F'-Vp-TF+zU,

ainsi

(V%—t\) Up)=*TUF+ a r » + 2 ^ , et à cause de Tq-\-Up — i,

7* + *72 •— + TU V - f 4 = o.

Or, comme k est plus petit que h et g, on doit

écrire

y*

h *A~K(G-*)

on a donc / J '

r 2 * 2 " t* x 2 * 2

;— 1-^0* ou

( i3a )

qu'on peut écrire ainsi

x'tz'—y'y+y'Çz1—*»)'—z»(x,4-<)")'—(z'—y'Xz'—JC»)

(*'+.R')+4*'.R * a"+(A-*MZ'-R')+(S-%A(*J-

(^+A) Z ' (A:'+R J H-K^)^ J +KS:-*) , J^î(S'+A)'^-

I(*—*)(£—*) ( « H ^ + K * - * ) te+*) ( * ' - * ' ) +

i te-*) te+A) ( « ' - R M H te-*) te+A)=o. Les termes du sixième degré se détruisent, car ils

donnent x*à*—% x*y2z2—y4*3—x2z*—y*z*+ * x*z*+zxy* z*+y*z*—a:4/3—x2jr*+ 4 xy\z* =o

•t identiquement , il reste i (h—h) (2 x*z*— j ^ f — a r J z » — j - s z 1 + ^ * + a : S X , ) + î te—*) ( « r 4 * 1 — 2 x ' y 1 — x J z > — j ' Z'4-ar'jr'-j-j'*)4-i (g+A) ( 2 x 'z ' - r - 2 y'z'-j-z*—x*z*—y*z*-\-xy*)+

Î ( ^ - * ) ( f f - * - ^ - g - A X R J -

! ( * - * ) ( * - * ) ( $ + * ) = < > , ou

; (A—*) (x'z '—x'j 1 —^ a z '4-a:*)4-

f te—*) (y'z'—xy—x'z'+a*)+

Î te+A) ( « , * , - h y * , + « , j r , + « 4 ) — i (A A) gX*-'- (£-*) **' +

ï ( A - A ) t e - A ) t e + A ) = o ;

c'est-à-dire ,

HFT -* )^+Tte -* ) j*+ÎTE+A)z*+

( i33 >

K*—*) « T * 1 — * ) * r * — * * ' +

qui se réduit à

(h-k) « 4 + i f e - * ) j r 4 + {g+h) Z* +

gy'z'-^-hx'z' + kxy1— i

Xhr-k)gx'—ï(g—k-)hy*—\(g+h) kz' + Kh-k)(g-k){g+h) = o;

i

mais

donnent

B / , , , « 4 — a a t a - | - a a c a — & a c a — ^ - ^ c 3 — a a £ a + & a c a

F (A—A:)=R -«— >—: • (a>—c*)(a>—b>) (a*—c 3)(a 3—6 a) '

lx^t aïciJraïb*—6aça—¿4—gaç>^aca+ga^a^4 T t * ~ J — 7 : (c a—ô a) (a a—ô a) ; —

c a)

, ttac3+fla63-c*- f>aca+a»cA4-ç4-fla&»> &»ç»

( C »_£') (a a—c a) •

En substituant ces valeurs dans l'équation ci-dessus r

X2 y2

en y remplaçant x2 par ~—— , j ^ 3 par a , par

( 'H ) z1

~ — — y et en la multipliant par

(c a—*•) (¿»—0») (a3—ft») ,

elle devient

( c a + i a ) / » z 3 4 - ( a 2 + c 2 ) x » z A 4 - ( a 2 - | - i ^ —

a * ( c M - £ 3 ) x a _ i < a 2 4 - c ^ = o ,

c'est-à-dire

( j : 3 4 - j a + z s ) (a 3 o: 3 +A 2 j 3 +c 3 2»)—a a (c 3 4 -A 3 ) .r 3—

^ ( a ' + c 8 ) ^ » — c 3 ( a 3 + £ 2 ) z*+a*b*c*=zo,

équation qui est précisément celle qu'a donnée Fresnel.

§ I I I e ; Démonstration £ un Théorème dû à Fresnel, et dont il s*est servi pour déterminer la vitesse de la lumière suivant les rayons vecteurs de la surface de Vonde.

Un des résultats les plus remarquables contenus dans le Mémoire de Fresnel, est une sorte de construction géométrique, par. laquelle il rend indépendante de la considération des plans tangens la détermination de la surface de l'onde, en faisant dépendre les longueurs des deux rayons vecteurs, relatifs aux deux nappes de la sur­face , qui sont dirigés dans le même sens suivant une même droite seulement, de la situation de cette droite. C'est, en effet, la manière la plus directe de déterminer la surface de l'onde, de donner une idée nette de sa forme \ et comme les longueurs de ces rayons vecteurs repré­sentent réellement, ainsi que le démontré Fresnel, les vitesses de ce qu'on doit appeler les rayons de lumière suivant leurs directions , c'es»t à ces longueurs que se

- ( i35 )

rapporte la démonstration de la construction de Huy-gens , appliquée à toutes les sortes de milieux dont j 'a i parlé au commencement de ce Mémoire. J'ai cru qu'il pouvait ^tre utile de présenter cette construction sous la forme d'un théorème , dans l'énoncé duquel on ne fît point entrer la considération des diverses élasticités du milieu, mais seulement les vitesses des rayons suivant les différentes droites passant par le point d'où l'on suppose qu'émane la lumière. Alors il suffit, pour traduire ce théorème dans, le système de l'émis­sion , de remplacer l'expression de longueurs propor­tionnelles aux vitesses delà lumière, suivant ces droites, par celles-ci \ longueurs réciproquement proportion­nelles aux vitesses de la lumière, suivant les mêmes droites; mais alors il faut commencer par rendre indé­pendante de là considération des élasticités la définition des trois directions que j 'ai désignées jusqu'à présent sous le nom de directions des trois élasticités princi­pales , et que Fresnel désigne ordinairement sous celui dû axes de la surface de ï élasticité. Pour cela , je rappellerai quelques faits qu'on peut regarder comme des données des expériences, et en particulier de celles de Fresnel sur la topaze, sait que l'axe unique du cristal d'Jslande, autour duquel tous les phénoiuèues lumineux sont exactement les mêmes dans tous les seiis, présente ces deux propriétés, i° que le rayon qui Je parcourt a toujours la même vitesse, quel que sph sefn plan de polarisation*, i° que la lumière n'éprouve aucun changement de direction lorsqu'elle entre dans le cristal, ou en soi;t, par une face,, perpendiculaire à cet axe dans une direction qui soit elle-même perpen-

diculaire à cette face , et par conséquent parallèle à l'axe. On sait aussi que toute droite perpendiculaire à cet axe n'offre que la dernière de^cés deux propriétés , mais que le rayon qui la parcourt est réellement com­posé de deux rayons polarisés à angles droits dans des directions déterminées, dont les vitesses sont différentes, puisque le rayon se divise en deux autres lorsque sort du cristal par une face oblique, après avoir parcouru une de ces droites. Dans les cristaux où les lois de la double réfraction sont plus compliquées, et qu'on désigne ordinairement sous le nom de cristaux à deux axes optiques, ces deux propriétés ne sont jamais réunies pour un même axe , mais se présentent sépa­rément dans deux espèces d'axes très-différentes l'une de l'aufre.

La première propriété, celle de n'admettre qu'une seule vitesse dans tout rayon qui parcourt un axe de la première espèce, se retrouve seulement dans deux direc­tions formant entre elles un angle variable. Ces deux directions sont ce qu'on nomme les axes optiques du cristal, et je continuerai à les désigner sous ce nom. La vitesse unique de la lumière dans chacun des axes optiques est la même pour tous deux ; c'est une quantité dont la considération est très - importante, et que je nommerai la vitesse moyenne ; j e la désignerai par c. La seconde propriété n'existe pas pour ces axes, la lumière entrant dans le cristal ou en sortant par une face perpendiculaire à l'un d'eux dans une direction qui .soit elle-même perpendiculaire à cette face, et par conséquent parallèle à l 'axe, se divise constamment en deux rayons polarisés à angles droits. On peut voir ,

( i 3 7 )

dans le Mémoire de Fresnel , la cause de cejte division d'un rayon qui semble unique, parce que les deux rayons dont il est réellement composé ont la même vitesse , et ne différent que parce qu'ils sont polarisés suivant deux plans différens ; mais cette seconde pro­priété que le cristal d'Islande présente, et pour son axe, et pour toute droite perpendiculaire à cet axe, a lieu pour les cristaux à deux axes optiques dans trois direc­tions rectangulaires entre elles, qui sont celles des trois axes de la surface d'élasticité de Fresnel , et que , pour éviter, autant qu'il est possible, les dénominations qui n'ont de sens que dans le système des vibrations, j ' ap­pellerai les axes de cristallisation. La lumière entre dans le cristal et elle en sort par les faces perpendicu­laires à ces axes , dans des directions qui leur sont parallèles , sans éprouver aucun changement de direc­tion ; mais elle a , suivant chacun d'eux, deux vitesses différentes , car elle se divise en deux rayons polarisés à angles droits, suivant deux directions différentes, lors-qu'après avoir parcouru dans le cristal un de ces axes, elle en sort par une face oblique.

C'est sur l'un de ces trois axes que les deux vitesses dont est susceptible la lumière qui le parcourt, sont la plus grande et la plus petite de toutes les vitesses qu'elle peut avoir dans le cristal} je le nommerai l 'axe prin­cipal de cristallisation , et je désignerai par a la vitesse maximum, et par b la vitesse minimum, qui ont lieu suivant cet axe.

Sa direction est perpendiculaire au plan des deux axes optiques.

Les deux autres axes de cristallisation sont dans ce

C i38 )

dernier p k , et divisent en deux parties égales les quatre ANCRES formés par les deux directions des axes optiques.

Les deux vitesses dont la lumière qui parcourt ces deux axes de cristallisation est susceptible , sont pour l'un d'eux la vitesse maximum a, et la vitesse moyenne pour l 'autre, la vitesse minimum i , et la vitesse moyenne c. Ces préliminaires posés, le théo­rème dont j 'a i parlé au commencement de ce paragraphe peut s'énoncer ainsi :

Si l'on porte , sur chacun des trois axes de cristalli­sation de part et d'autre du point O d'où la lumière s'émane , deux longueurs proportionnelles à celles des trois vitesses a, b, c, dont la lumière n'est pas sus­ceptible suivant cet axe , c'est-à-dire , en représentant ces longueurs par LES mêmes lettres que les vitesses aux­quelles elles sont proportionnelles , deux longueurs OC, OC égales à c sur l'axe moyen, où la lumière est susceptible des deux vitesses a et b-, deux longueurs OB, OB' égales à b sur l'axe de cristallisation où ont lieu les deux vitesses a et c, et deux longueurs OA,OAf

égales à a sur l'axe où la lumière prend les deux vitesses A et c , on pourra construire sur les trois droites AA'~ %a, BB'— 2 b , CC'= 2 c , ainsi déter­minées, et qui ont toutes trois leurs milieux au point O, un ellipsoïde dont elles soient les trois axes -, alors, pour avoir les deux vitesses dont la lumière est susceptible, suivant une droite quelconque passant par le point O , il faudra mener par ce point un plan perpendiculaire à la droite; il formera dans l'ellipsoïde une section ellip­tique , dont les deux axes représenteront les deux

( L 3 9 ) vitesses de la lumière suivant le rayon, c 'est-à-dire qu'ils seront à ces vitesses dans le même rapport que les longueurs des axes a, b, c de l'ellipsoïde le sont

v aux vitesses , deux sur chacun des axes, que nous avons désignées par les mêmes lettres. On voit qu'en suppo­sant ce théorème démontré , il suffit pour construire la surface de l'onde de porter sur la direction de chaque rayon, de part et d'autre du point O, les longueurs des deux axes de la section faite dans l'ellipsoïde par le plan mené par le point O perpendiculairement à la di­rection de ce rayon. Il ne paraît pas que Fresnel ait jamais songé à démontrer complètement ce théorème sur lequel repose la construction que je viens d'expli­quer. Il dit', à la page i36 de son Mémoire, qu'après être parvenu à l'équation de la surface de l'onde, en déter­minant d'abord l'intersection de cette surface avec les trois plans coordonnés, il avait ensuite remarqué que la surface résultant de cette construction présentait le même caractère, ce qui le conduisit., par un calcul très r

simple qu'il donne à la page suivante , à en déduire précisément l'équation que la considération des inter­sections lui avait donnée ; et comme il vérifia , ainsi qu'on l'a vu plus haut, que cette équation satisfaisait à une des combinaisons des trois équations entre oc,y, z , p, q, qui contenaient l'équation de la surface de L'onde , il en conclut que les valeurs des vitesses données par cette construction étaient exactes. Outre que cette marche était tout-à-fait indirecte , elle ne pouvait êlre con­cluante qu'en supposant l'exactitude de l'équation de la surface de l'onde qui , comme nous l'avons déjà di t , ne pouvait pas être regardée comme complètement démon-

( i4oiO

tree. Aujourd'hui qu'elle Test par le calcul des deux

premiers paragraphes de ce Mémoire, il est facile d'eu

déduire directement la démonstration du théorème et

de la construction qui en résulte.

D'abord, en nommant Wl* vitesse suivante le rayon

recteur mené du point O au point de la surface de l'onde,,

dont les coordonnés sont x, y , z , vitesse qui est repré­

sentée par la longueur de ce rayon , et en désignant

par X , v , les angles de sa direction avec les axes de

cristallisati$h, on a

x = WcosX, jt= TFcosp, z = J ^ c o s v 5

et en substituant ces valeurs dans l'équation de la sur­

face de Tonde entre y , z ; on trouve

( a* cos 3 X + b2 cos3 p+ c 3 cos3 v ) — [ ( b 2 + à2 )

a2 cos3 X - f - ( a 2 4 - c 3) b2 cos3 p + (a2+b2) c2 cos 3 v ] W2 +

a2 b2c2 = o r

qu'on peut regarder, ainsi que le remarque Fresnel,

comme l'équation polaire de la surface de l'onde.

Nommons t, u, or, les coordonnés d'un point quel­

conque de la section faite dans la surface de l'ellip­

soïde , dont l'équation est

r , u2^ ,

d'où c2t2 , c2u2

c2=z U v2. a* ^ b3 1

Par le plan perpendiculaire à la droite W qui forme

avec les trois axes les angles X > p , v , ce plan ayant pour

équation

t cos X -f- u cos p + v cos V =çz o ,

b>(a2 — c*) a2{b2—c2)

Si l'on multiplie ces deux fractions en haut et en

bas , la première par t a , la seconde par a 3 , et qu'on

ajoute ensuite leurs deux numérateurs et leurs deux dé­

nominateurs, on aura une nouvelle fraction égale aux

deux précédentes, qui sera

on aura entre t, u, t> ces deux équations, et en désignant par r le demi-diamètre de la section elliptique, qui est la distance du centre O de l'ellipsoïde au point dont t, u , v sont les coordonnées,

RA=T* + LAA + M»,

ce qui donne

c* . à3—c* r 3 — c a = * H r u' .

Pour que le demi-diamètre r devienne un des demi-axes de cette section, il faut que sa valeur soit un maximum ou un minimum, ce qui donne

b2 ( a 3 — c*)tdt=—a* (b2 — c a )udu, et

t dt + u du v dv = o ; mais .

, cosX , cos/x . dv= dt- — - du,

C05V COSV

ainsi

( t cos v — v cos X ) d t = — ( ucos v — y cos/* ) du ;

on a donc v v

COSV — - C O S \ COS V COStt t u

( M»;) t2 COS V-j-tt2 COS V V ( t COS À-^I* COS fA ) T a COS V

d'où il suit que

T> ,. ( à*—C3 ) R3 COS V COS V COS A = M

* à1 {r2—C3) et que

P (£2—C3 ) r2 COS V COS V - r - - COS № = ^—-1

de là

I> COSV (A*—c*) R3 COS V c2 ( RA—A2 ) COS V 7 _

COSA a 3 ( r 3 —^ 3 ) COSA « a ( r a c a ) COS X =

C 3 COS V

â2 COS A

R3—A2

C 3 COS V

I>„COSV {b*—c2) R2 COS V C2(R2—£2)CÔSV R

2 —C 3

COSP. *? (R2—C3) COSP ~ 0*(RA—C ÇOSP"*» C O S P ' R2—£2

£ 2 COS p,

u_b* (R2—A2) COS FT ~A _ ¿3 f~ a 3 { r a —£ 2 ) cosX~

R2 — A2

et par conséquent

YT'COSX £ 2 COS FA C 2 COSv

r*—a1 ' r2 — b2 ' R2 — •<

Ces trois quantités sont donc entre elles comme les

cosinus des angles A, P, 7 J que le demi-axë r fait avec

ceux de l'ellipsoïde, d'où il suit que ce demi-axe est

la direction de la force qui résulterait <Tun déplacement

opéré dans la direction dont les cosinus Sont

( I43 ) COS X COS f/. COS V

r 3 —a 3 * r 3 — £ 3 ' r 3 — c 3 "

Si nous nous rappelons maintenant que le demi-axe

de la section elliptique, demi-axe dont nous avons

désigné la longueur par r, est perpendiculaire à la droite

donnée qui fbrme, avec les mêmes axes, les angles

X 9 p , v , ce qui nous a fourni l'équation

t cos X 4- u cos p + ^ c o s v — 0 >

nous trouverons, pour l'équation qui détermine r ,

a 3 c o s 3 X 6 3 e o s 3 p c 3 cos 3 v

r 3 _ a 3 ' r3— 6 3 r 3 — c 2 ^ ~ ° ;

ou

( r 3 _ £ * ) ( r * _ c 3 ) a » c o s 3 X + ( r 3 — a 3 ) ( r 3 —c 3 ) £ 3 cos 3 p +

( r a — rt3)(r3—i3) c 3 c o s 3 v = o ,

c'est-à-dire

( a 3 cos3X+i3cos"p+c3cos3v)R4 — [(b2-\-c2) a3cos° X +

( a 3 + c 3 ) i 3 c o s 3 p + ( a 3 + 6 3 )c 3 cos 3 v ] r 3 + a 3 6 3 c 3 = o ,

parce que cos3 X + cos3 p cos 3 v = i .

Cette équation du quatrième degré en r étant identique

à l'équation du même degré en W que nous avons

trouvée plus hau t , il s'ensuit que les quatre valeurs

de r, égales et de signes contraires deux à deux, sont

égales à celles de W pour les mêmes valeurs de X ,

JF*, v , c'est-à-dire pour un même rayon-, ce qui est

précisément le théorème qu'il s'agissait jie démontrer.

Puisque l'ellipsoïde qui donne les deux vitesses de la

lumière suivant un rayon , par les deux axes de la sec­

tion diamétrale faite par un plan perpendiculaire à ce

rayon, a pour équation

(x'44.)

ses intersections avec les trois plans coordonnés sont

les ellipses qiî'on trouve en faisant successivement

dans cette équation

X—O , y = o, z = o,

ce qui donne, pour les équations de ces ellipses ,

Sur le plan des yz9 c2y2-\-b2z2— i 3 c 2 , = o ,

Sur le plan des xz, c2 x2+a* z2 — a2 c2 = o ,

Sur le plan des xy, b2x2-\-a2y2— a2 b2 = o.

En faisant de même successivement x=o, y—o, z=o,

dans l'équation de la surface de Tonde

(x2-{yr2+z2) (a2x2+b2y2+c2z2) — (i 3-J-c a) a2tc2

(a2+c*)b2y2—(a2+b2) c2z2+a2b2c2 = o,

on trouve que cette surface cpupe chacun des plans

coordonnés dans un cercle et une ellipse dont les équa­

tions sont

î* i J f ?*+z2—a2=o, pour le plan des r z , < . . , ' r r l b2y2+c2Z2— b2c2 = o,

1 1 J Cx*+Z*—è3=o, pour le plan des xz* i ' . r r ' ( a*x2+c2z2—a2c2=o,

i i J f — c 3 = o , pour le plan des xr, < , • i , * r r y ' l a2x2+b*y2—a2b2=o,

d'où il suit, pour chacun de ces plans , i ° que l'inter­

section elliptique de la surface de l'onde et celle de l'el­

lipsoïde sont la même ellipse, mais retournée de manière

que le grand axe d'une des intersections soit sur le petit

axe de l 'autre, et réciproquement ; 2° que l'intersection