Fiche de coursAngles orientés

Tekaya Habib

IHEC de sousse

5 décembre 2009

Angle inscrit- Angle au centre

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

bB

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

bB

bM

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

bB

bM

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

Ab

bB

b

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

Ab

bB

b

M

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

bB

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

bB

+T

Définition

On dit qu’un angleest inscrit dans uncercle lorsque sonsommet appartient àce cercle et ses côtésrecoupent ce cercle ;l’un des côtéspouvant être tangentau cercle.

�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit �AMB�AOB, est l’angle aucentre associé àl’angle inscrit T̂AB

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C Théorème

Soit C un cercle de centre O dansle plan orienté dans le sens direct.

Pour tous points distincts A,Bet M du cercle C on a :á(−→OA,

−→OB

)≡ 2

á(−→MA,

−→MB

)[2π]

Si la droite (AT ) est tangenteau cercle C en A, alorsá(−→OA,

−→OB

)≡ 2

á(−→AT ,

−→AB

)[2π]

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

α≡á(−→MA,

−→MB

)[2π]

b B

bM

2α

α

Théorème

Soit C un cercle de centre O dansle plan orienté dans le sens direct.

Pour tous points distincts A,Bet M du cercle C on a :á(−→OA,

−→OB

)≡ 2

á(−→MA,

−→MB

)[2π]

Si la droite (AT ) est tangenteau cercle C en A, alorsá(−→OA,

−→OB

)≡ 2

á(−→AT ,

−→AB

)[2π]

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

α≡á(−→MA,

−→MB

)[2π]

b

bB

b

M2α

α

Théorème

Soit C un cercle de centre O dansle plan orienté dans le sens direct.

Pour tous points distincts A,Bet M du cercle C on a :á(−→OA,

−→OB

)≡ 2

á(−→MA,

−→MB

)[2π]

Si la droite (AT ) est tangenteau cercle C en A, alorsá(−→OA,

−→OB

)≡ 2

á(−→AT ,

−→AB

)[2π]

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

α≡á(−→MA,

−→MB

)[2π]

b B

+T

2α

α

Théorème

Soit C un cercle de centre O dansle plan orienté dans le sens direct.

Pour tous points distincts A,Bet M du cercle C on a :á(−→OA,

−→OB

)≡ 2

á(−→MA,

−→MB

)[2π]

Si la droite (AT ) est tangenteau cercle C en A, alorsá(−→OA,

−→OB

)≡ 2

á(−→AT ,

−→AB

)[2π]

Angle inscrit- Angle au centre

Propriété

Dans le plan orienté dans lesens direct, soient A,B,M et Nquatre points distincts d’uncercle C .• Si M et N appartiennent à l’arcorienté �AB, alors :á(−→MA,

−→MB

)≡

á(−→NA,

−→NB

)[2π]

• Si M appartient à l’arc �AB et Nappartient à l’arc �BA, alors :á(−→MA,

−→MB

)≡

á(−→NA,

−→NB

)+π[2π]

bO

C

b

A

b

B

bM

bN

Angle inscrit- Angle au centre

Propriété

Dans le plan orienté dans lesens direct, soient A,B,M et Nquatre points distincts d’uncercle C .• Si M et N appartiennent à l’arcorienté �AB, alors :á(−→MA,

−→MB

)≡

á(−→NA,

−→NB

)[2π]

• Si M appartient à l’arc �AB et Nappartient à l’arc �BA, alors :á(−→MA,

−→MB

)≡

á(−→NA,

−→NB

)+π[2π]

bO

C

b

A

b

B

bM

bN

Angle inscrit- Angle au centre

Propriété

Dans le plan orienté dans lesens direct, soient A,B,M et Nquatre points distincts d’uncercle C .• Si M et N appartiennent à l’arcorienté �AB, alors :á(−→MA,

−→MB

)≡

á(−→NA,

−→NB

)[2π]

• Si M appartient à l’arc �AB et Nappartient à l’arc �BA, alors :á(−→MA,

−→MB

)≡

á(−→NA,

−→NB

)+π[2π]

bO

C

b

A

b

B

bN

b

M

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

bB

bcT

bM

Propriété

Dans le plan orienté dans lesens direct, soient A,B et Mtrois points distincts d’uncercle C .Soit (AT ) la demi-droitetangente à C au point A. SiM appartient à l’arc �BA Alors:á(−→MA,

−→MB

)≡

á(−→AT ,

−→AB

)[2π]

Angle inscrit- Angle au centre

bO

C

b

A

bB

bcT

bM

Propriété

Dans le plan orienté dans lesens direct, soient A,B et Mtrois points distincts d’uncercle C .Soit (AT ) la demi-droitetangente à C au point A. SiM appartient à l’arc �BA Alors:á(−→MA,

−→MB

)≡

á(−→AT ,

−→AB

)[2π]

Lieux géométriques

Propriété

• E =

{M ∈P ;

á(−→MA,

−→MA

)≡ 0[2π]

}= (AB)\ [AB]

• F =

{M ∈P ;

á(−→MA,

−→MA

)≡π[2π]

}= [AB]\{A,B}

bcA bcB

Lieux géométriques

Propriété

• E =

{M ∈P ;

á(−→MA,

−→MA

)≡ 0[2π]

}= (AB)\ [AB]

• F =

{M ∈P ;

á(−→MA,

−→MA

)≡π[2π]

}= [AB]\{A,B}

bcA bcB

Lieux géométriques

Théorème

Soient A et B deux pointsdistincts du plan orientédans le sens direct,θ 6= kπ,k ∈Z et T un pointdu plan tel queá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

Il existe un unique cercle C

passant par A et B ettangent à (AT ) en A.L’ensemble des points M tels

queá(−→MA,

−→MB

)≡ θ[2π] est

l’un des deux arcs orientés�AB ou �BA privé des pointsA et B.

b A

bB

Lieux géométriques

Théorème

Soient A et B deux pointsdistincts du plan orientédans le sens direct,θ 6= kπ,k ∈Z et T un pointdu plan tel queá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

Il existe un unique cercle C

passant par A et B ettangent à (AT ) en A.L’ensemble des points M tels

queá(−→MA,

−→MB

)≡ θ[2π] est

l’un des deux arcs orientés�AB ou �BA privé des pointsA et B.

T

θ

b A

bB

Lieux géométriques

Théorème

Soient A et B deux pointsdistincts du plan orientédans le sens direct,θ 6= kπ,k ∈Z et T un pointdu plan tel queá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

Il existe un unique cercle C

passant par A et B ettangent à (AT ) en A.L’ensemble des points M tels

queá(−→MA,

−→MB

)≡ θ[2π] est

l’un des deux arcs orientés�AB ou �BA privé des pointsA et B.

T

θ

bO

C

b A

bB

Lieux géométriques

Théorème

Soient A et B deux pointsdistincts du plan orientédans le sens direct,θ 6= kπ,k ∈Z et T un pointdu plan tel queá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

Il existe un unique cercle C

passant par A et B ettangent à (AT ) en A.L’ensemble des points M tels

queá(−→MA,

−→MB

)≡ θ[2π] est

l’un des deux arcs orientés�AB ou �BA privé des pointsA et B.

T

θ

bO

C

b A

bB

Lieux géométriques

Théorème

Soient A et B deux pointsdistincts du plan orientédans le sens direct,θ 6= kπ,k ∈Z et T un pointdu plan tel queá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

Il existe un unique cercle C

passant par A et B ettangent à (AT ) en A.L’ensemble des points M tels

queá(−→MA,

−→MB

)≡ θ[2π] est

l’un des deux arcs orientés�AB ou �BA privé des pointsA et B.

T

θ

bO

C

b A

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

g

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

g

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

g

Construction du cercle C

Les étapes de construction ducercle C passant par A et B ettangent à la droite (AT ) telle

que :á(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π] sont :

• Construire ∆ la médiatrice de[AB].• Construire la demi-droite [AT )

vérifiantá(−→AT ,

−→AB

)≡ θ[2π].

• Tracer ∆′ la perpendiculaire à(AT ) en A.• C est le cercle de centre Opoint d’intersection de ∆ et ∆′, etde rayon OA.

bO

c

bA

bB

g

bH

Construction de l’arc{M ∈P /à(−→MA,−→MB)≡ π

4 [2π]}

• On construit la médiatrice ∆ de[AB]• On construit la demi-droite

[AT ) telle queá(−→AT ,

−→AB

)≡

π

4 [2π]

•On construit la droite ∆′ per-

pendiculaire à (AT ) et passantpar A.∆∩∆

′ = {O}, où O est le centredu cercle C et de rayon OA.•L’ensemble cherché est l’arc�AB situé dans le demi-plan defrontière (AB) ne contenant pas[AT ) privé des points A et B.( enrouge sur la figure).

bA b B

Construction de l’arc{M ∈P /à(−→MA,−→MB)≡ π

4 [2π]}

• On construit la médiatrice ∆ de[AB]• On construit la demi-droite

[AT ) telle queá(−→AT ,

−→AB

)≡

π

4 [2π]

•On construit la droite ∆′ per-

pendiculaire à (AT ) et passantpar A.∆∩∆

′ = {O}, où O est le centredu cercle C et de rayon OA.•L’ensemble cherché est l’arc�AB situé dans le demi-plan defrontière (AB) ne contenant pas[AT ) privé des points A et B.( enrouge sur la figure).

bA b B

∆

Construction de l’arc{M ∈P /à(−→MA,−→MB)≡ π

4 [2π]}

• On construit la médiatrice ∆ de[AB]• On construit la demi-droite

[AT ) telle queá(−→AT ,

−→AB

)≡

π

4 [2π]

•On construit la droite ∆′ per-

pendiculaire à (AT ) et passantpar A.∆∩∆

′ = {O}, où O est le centredu cercle C et de rayon OA.•L’ensemble cherché est l’arc�AB situé dans le demi-plan defrontière (AB) ne contenant pas[AT ) privé des points A et B.( enrouge sur la figure).

bA b B

bT

π

4

∆

Construction de l’arc{M ∈P /à(−→MA,−→MB)≡ π

4 [2π]}

• On construit la médiatrice ∆ de[AB]• On construit la demi-droite

[AT ) telle queá(−→AT ,

−→AB

)≡

π

4 [2π]

•On construit la droite ∆′ per-

pendiculaire à (AT ) et passantpar A.∆∩∆

′ = {O}, où O est le centredu cercle C et de rayon OA.•L’ensemble cherché est l’arc�AB situé dans le demi-plan defrontière (AB) ne contenant pas[AT ) privé des points A et B.( enrouge sur la figure).

bA b B

bT

π

4

b O

∆

∆′

Construction de l’arc{M ∈P /à(−→MA,−→MB)≡ π

4 [2π]}

• On construit la médiatrice ∆ de[AB]• On construit la demi-droite

[AT ) telle queá(−→AT ,

−→AB

)≡

π

4 [2π]

•On construit la droite ∆′ per-

pendiculaire à (AT ) et passantpar A.∆∩∆

′ = {O}, où O est le centredu cercle C et de rayon OA.•L’ensemble cherché est l’arc�AB situé dans le demi-plan defrontière (AB) ne contenant pas[AT ) privé des points A et B.( enrouge sur la figure).

bA b B

bT

π

4

b O

C

∆

∆′

Construction de l’arc{M ∈P /à(−→MA,−→MB)≡ π

4 [2π]}

• On construit la médiatrice ∆ de[AB]• On construit la demi-droite

[AT ) telle queá(−→AT ,

−→AB

)≡

π

4 [2π]

•On construit la droite ∆′ per-

pendiculaire à (AT ) et passantpar A.∆∩∆

′ = {O}, où O est le centredu cercle C et de rayon OA.•L’ensemble cherché est l’arc�AB situé dans le demi-plan defrontière (AB) ne contenant pas[AT ) privé des points A et B.( enrouge sur la figure).

bA b B

bT

π

4

b O

C

∆

∆′