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  • Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la

    méthode de pénalisation

    Thèse

    Ibrahima Dione

    Doctorat en Mathématiques Philosophiæ doctor (Ph.D.)

    Québec, Canada

    © Ibrahima Dione, 2013

  • Résumé

    Nous nous intéressons aux équations classiques de Stokes et de l’élasticité linéaire stationnaires, posées dans un domaine Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) de frontière ∂Ω courbe et régulière, associées à des conditions de glissement et de contact idéal, respectivement. L’approximation par éléments finis de tels problèmes est délicate en raison d’un paradoxe de type Babuška-Sapondžyan : les solutions dans des domaines polygonaux approchant le domaine à frontière courbe et régulière ne convergent pas vers la solution dans le domaine limite.

    L’objectif de cette thèse est d’explorer l’application de la méthode de pénalisation à ces condi- tions de glissement dans le but, notamment, de remédier à ce paradoxe. C’est une méthode classique et très répandue en pratique, car elle permet de travailler dans des espaces sans contraintes et d’éviter par exemple l’ajout de nouvelles inconnues comme dans la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

    La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude numérique en 2D de différents choix d’éléments finis et, surtout, de différents choix de l’approximation de la normale au bord du domaine. Avec la normale (discontinue) aux domaines polygonaux Ωh engendrés avec les maillages de Ω, les solutions par éléments finis ne semblent pas converger vers la solution exacte. En revanche, si on utilise des régularisations de la normale, des éléments finis isopa- ramétriques de degré 2 en vitesse (déplacement pour l’élasticité) ou une sous-intégration du terme de pénalisation, on observe une convergence, avec des taux optimaux dans certains cas.

    Dans une seconde partie, nous faisons une analyse théorique (en dimensions 2 et 3) de la convergence. Les estimations a priori obtenues permettent de dire que même avec la normale discontinue aux domaines polygonaux, l’approximation par éléments finis converge vers la solution exacte si le paramètre de pénalisation est choisi convenablement en fonction de la taille des éléments, démontrant ainsi que le paradoxe peut être évité avec la méthode de pénalisation.

    iii

  • Abstract

    We are interested in the classical stationary Stokes and linear elasticity equations posed in a bounded domain Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) with a curved and smooth boundary ∂Ω, associated with slip and ideal contact boundary conditions, respectively. The finite element approximation of such problems can present difficulties because of a Babuška-Sapondžyan’s like paradox: solutions in polygonal domains approaching the smooth domain do not converge to the solution in the limit domain.

    The objective of this thesis is to explore the application of the penalty method to these slip boundary conditions, in particular in order to overcome this paradox. The penalty method is a classic method widely used in practice because it allows to work in functional spaces without constraints and avoids adding new unknowns like with the Lagrange multiplier method.

    The first part of this thesis is devoted to the 2D numerical study of different finite elements choices and, most importantly, of different choices of the approximation of the normal vector to the boundary of the domain. With the (discontinuous) normal vector to polygonal domains Ωh generated with the meshing of Ω, the finite element solutions do not seem to converge to the exact solution. However, if we use a (continuous) regularization of the normal, isoparametric finite elements of degree 2 for the velocity (or the displacement for elasticity) or a reduced integration of the penalty term, convergence is obtained, with optimal rates in some cases.

    In a second part, we make a theoretical analysis (in dimensions 2 and 3) of the convergence. The a priori estimates obtained allow to say that even with the (discontinuous) normal vector to polygonal domains, the finite element approximation converges to the exact solution when the penalty parameter is selected appropriately in terms of the size of the elements, showing that the paradox can be circumvented with the penalty method.

    v

  • Table des matières

    Résumé iii

    Abstract v

    Table des matières vii

    Liste des tableaux ix

    Liste des figures xi

    Remerciements xvii

    Avant-propos xix

    Introduction 1 0.1 Résultats de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.2 Revue bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1 Stokes equations with penalized slip boundary conditions 19 1.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 The penalty method and its variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Finite element approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2 Finite element approximations of the Lamé system with penalized ideal contact boundary conditions 43 2.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Penalty method and convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5 Finite element approximation in the polygonal case : convergence analysis . . . 50 2.6 Finite element approximation in the case of a smooth curved boundary . . . . . 52 2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    3 Penalty - finite element approximation of Stokes equations with slip boun- dary conditions 63

    vii

  • 3.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 Penalty method and convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5 Finite-element approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 A priori estimates in terms of ε and h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.7 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    Conclusion 87

    Bibliographie 89

    viii

  • Liste des tableaux

    1.1 Errors using the geometric normal to the boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2 Errors using the geometric normal and a reduced integration (1-point Gauss qua-

    drature) of the boundary penalty term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3 Errors using the regularized normal based on arithmetic means . . . . . . . . . . . 32 1.4 Errors using the regularized normal based on weighted means . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Errors using the regularized normal based on integral weighted means . . . . . . . 33 1.6 Errors using a smooth continuous extension on ∂Ωh of the normal n to the true

    boundary ∂Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.1 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with the geometric normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    2.2 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with Geo- metric normal and reduced integration (1-point Gauss quadrature). . . . . . . . . . 58

    2.3 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with the regularized normal using arithmetic means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    2.4 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with the regularized normal using length means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    2.5 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with the regularized normal using integral means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    2.6 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with a smooth continuous extension of n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.1 Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = 10−2 h2/3 . . . . . . . . . . . . 80 3.2 Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = 10−2 h . . . . . . . . . . . . . 80 3.3 Errors with nh := n ◦Gh and ε(h) := h

    3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    ix

  • Liste des figures

    0.1 Les bords ∂Ω et ∂Ωh et leur normale n et nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Schéma de la stratégie adoptée pour l’analyse de convergence du problème de Stokes

    P ((u, p),f) = 0 par la méthode de pénalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.3 Triangulation linéaire du domaine Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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