analyse num©rique el hamly chap1.2011-12

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  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction

    1

    A.N. Mathematica : Chapitre 1 : Introduction

    Analyse dErreurs

    Mostafa El Hamly, Ing., Ph.D.

    Casablanca, version 2012

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 2

    Chapitre 1 : Plan

    Introduction : motivation ; solution analytique vs solution numrique

    Source derreurs

    Erreurs de modlisation

    Erreurs de donnes

    Erreur absolue et erreur relative

    Erreurs de reprsentation des nombres sur ordinateur

    Arithmtique flottante

    Erreurs de troncature

    Autres notions importantes...

    TPs sous Mathematica

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 3

    Analyse Numrique : Motivation

    Les cours de mathmatiques nous ont habitus fournir la rponse exacte ou analytique un problme donn.

    Par exemple : les quations du 2nd degr (+ 3me ou 4me degr), les intgrales admettant une primitive facile calculer, certaines quations diffrentielles.

    Cependant, beaucoup de problmes ne peuvent tre rsolus de manire exacte, en particulier dans le domaine du gnie.

    Par exemple : les quations polynomiales de degr 5 ou plus, les intgrales elliptiques, x2 Log(x) 4 Exp(4 x2) 3 = 0 Les quations diffrentielles en espace et en temps en

    mcanique des fluides, transfert de chaleur, etc.

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 4

    Solution analytique vs solution numrique

    Pour un grand nombre de problmes de gnie, le seul moyen de calculer la solution lorsquelle existe, est de lapproximer numriquement solution numrique

    Pour certains problmes, on peut avoir : une solution analytique (solution exacte) et une solution numrique (solution approche).

    Objectifs de ce cours : proposer des algorithmes pour calculer une solution approche, contrler les diverses sources derreurs propres lapproximation

    numrique,

    tenir compte du fait que plusieurs algorithmes peuvent tre utiliss pour rsoudre le mme problme.

    Lanalyse numrique est un domaine particulier des mathmatiques o linformatique joue un rle primordial.

    On fera un frquent emploi du logiciel Mathematica pour la partie "applications" de ce cours.

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 5

    Sources derreurs

    Une partie importante de lanalyse numrique consiste contenir les effets des erreurs introduites.

    Voici les quatre principales sources derreurs : 1. erreurs de modlisation,

    2. erreurs sur les donnes,

    3. erreurs dues la reprsentation des nombres sur ordinateur,

    4. erreurs de troncature ou de discrtisation.

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 6

    Erreurs de modlisation

    Elles proviennent de ltape de mathmatisation, i.e. la mise en quations.

    Pour rduire le degr de complexit dun phnomne physique, on est souvent amen simplifier le systme dquations, ce qui revient ngliger certaines composantes de la ralit physique. On commet l une erreur de modlisation.

    Celle-ci peut gnralement tre contrle par un choix convenable du modle mathmatique.

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 7

    Erreurs de donnes

    Elles sont lies limprcision des mesures physiques.

    Elles peuvent gnralement tre rduites en amliorant la prcision des mesures.

    Il est possible dtudier linfluence de ces erreurs sur le rsultat final, par exemple laide de la notion de conditionnement (Cf. plus loin).

    Note : Dans la suite de ce cours, nous ne nous intresserons ni aux erreurs de modlisation, ni celles sur les donnes.

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 8

    Erreur absolue et erreur relative

    Dfinition 1 : Soit x un nombre rel et xa une approximation de x.

    Lerreur absolue est dfinie par x = |x xa| Lerreur relative est dfinie par x/|x|

    En pratique, il est gnralement difficile de calculer x car on ne connat pas x mais xa.

    Dfinition 2 : Si x 0.5 10m alors le chiffre correspondant la mime puissance

    de 10 est dit significatif, et tous ceux sa gauche le sont aussi.

    Exemple : Si x = et xa = 3.1428, do x = 0.12 10

    2 < 0.5 102.

    Donc le chiffre des centimes est significatif, soit le chiffre 4 dans 3.1428 et on a en tout 3 chiffres significatifs (3.14).

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 9

    Erreur absolue et erreur relative : TP

    Exercice : Valeur de

    Sous Mathematica : Notebook : Erreurs_TP1.nb Notebook : Erreurs_TP2.nb

    Conclusion : Sous Mathematica, il faut toujours utiliser la constance Pi comme valeur de .

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 10

    Erreurs de reprsentation des nombres

    La structure interne des ordinateurs sappuie sur le systme binaire.

    Lunit dinformation ou bit prend la valeur 0 ou 1.

    On regroupe les bits en mots de longueur variable (8, 16, 32 ou 64 sont les plus courants).

    Lordinateur doit reprsenter les nombres dans un systme qui lui permette dexcuter les oprations souhaites.

    Or, sa capacit mmoire est finie par construction.

    Il est donc ncessaire de reprsenter les nombres rels sous forme approche.

    Cela entrane un certain nombre derreurs.

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 11

    Reprsentation en virgule flottante

    La notation la plus utilise est la reprsentation avec virgule flottante : un nombre x est cod sous la forme

    x fl(x) = m be , o b est la base de numration, m la mantisse et e lexposant.

    Les calculs internes sont gnralement effectus en base b = 2, mme si les rsultats affichs sont finalement traduits en base 10.

    La mantisse m est crite sous la forme dun nombre avec virgule fixe et possdant un nombre maximum de N chiffres significatifs :

    m = 0.d1d2...dN = [k=1, N] dk bk ,

    avec 0 dk b 1 et b-1 m < 1.

    Exemple : Si N = 4, on a fl() = 0.3142 101 en base b = 10.

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 12

    Reprsentation en virgule flottante

    Le fait dutiliser un nombre limit de bits pour reprsenter un nombre rel a des consquences importantes :

    Quelque soit le nombre de bits utiliss, il existe un plus petit et un plus grand nombre reprsentables.

    Il existe donc un intervalle fini hors duquel on a un dbordement ou un sous-dpassement.

    Exemple : 3.1415 < < 3.1416 lintrieur de cet intervalle fini, seul un nombre fini de nombres

    sont reprsentables exactement.

    Pour reprsenter les nombres rels on recourt gnralement : La troncature : on retranche les chiffres partir de la position N

    + 1.

    Larrondi : on ajoute 5 au (N + 1)ime chiffre de la mantisse avant deffectuer la troncature.

    La reprsentation en virgule flottante induit une erreur relative qui dpend du nombre de bits de la mantisse, de lutilisation de la troncature ou de larrondi, ainsi que du nombre x reprsenter.

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 13

    Reprsentation en virgule flottante

    Dfinition 3 : La prcision machine est la plus grande erreur relative commise en reprsentant un nombre rel sur ordinateur.

    En utilisant larrondi, on a : = b1N Remarques : En gnral, les oprations arithmtiques ne sont pas

    associatives.

    La proprit de distributivit de la multiplication nest pas toujours respecte en arithmtique flottante.

    La multiplication et la division sont des oprations relativement simples effectuer en arithmtique flottante, grce la loi des exposants.

    Par contre, il faut tre beaucoup plus prudent avec laddition et la soustraction.

    TP : Notebook : Prcision_TP1.nb

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 14

    Erreurs de troncature

    Il ne sagit plus ici des erreurs de troncature lies la reprsentation des nombres sur ordinateur, mais aux erreurs de troncature des mthodes numriques intervenant dans lintgration, la diffrentiation, etc.

    Elles constituent la principale catgorie derreurs. Toutes les mthodes numriques que nous considrerons dans ce cours auront des erreurs de troncature plus ou moins grandes.

    La plupart de ces mthodes numriques sont bases sur le dveloppement de Taylor.

    Ce dernier peut simplement scrire comme un problme dapproximation. Il sagit de trouver le polynme qui approxime le mieux possible une fonction donne au voisinage dun point.

    TP : Notebook Series_TP1.nb

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 15

    Autres notions importantes

    Problme bien pos

    Conditionnement (Cf. plus loin)

    Propagation derreurs : stabilit/instabilit

  • Dr. M. El Hamly : Analyse Numrique - Mathematica : Introduction 16

    Notes