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  • Analyse numérique 3 : évolution

    Gabriel TURINICI

    cours 2010-2011

    Responsable cours : Gabriel TURINICI

    Responsable TD : Gabriel TURINICI, Alessandra IACOBUCCI

    Responsable des TP : Julien SALOMON

    Volume horaire 20H cours + 14H TD + 6H TP

    Semestre 6

    Contrôle des connaissances : NF = 0,3PR + 0.7E (E = Examen , PR= Projet)

    Objectif de l’enseignement : analyse numérique des problèmes d’évolution

    Site www : (utilisateur : “numeriqueM1” pass : “evolution”) Aller à http://www.ceremade.dauphine.fr/~turinici/ ensuite aller

    sur “Cours” ensuite choisir le votre.

    1

  • Table des matières

    1 Exemples d’équations d’évolution : épidémiologie, trafic, dif- fusion de chaleur, finances 5

    2 Équations différentielles ordinaires (EDO) 6 2.1 Existence et unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2.1 Définition de 4 schémas : . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Erreur, consistance et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3.1 Erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.2 Consistance et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.4 Stabilité et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1 Zéro-stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.3 Stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.5 Méthodes d’ordre supérieur : Runge-Kutta . . . . . . . . . . . 14 2.5.1 Construction de methodes d’ordre 2 (explicites) . . . . 15 2.5.2 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.6 Pas de temps adaptatif pour R-K . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7 Systèmes d’EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.7.1 Stabilité d’un système : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7.2 Systèmes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.8 Application en épidémiologie : modèle SIR . . . . . . . . . . . 19 2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.9.1 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.9.2 Erreur de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.9.3 Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.9.4 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9.5 Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2

  • 2.9.6 Systèmes d’EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3 Équations différentielles stochastiques (EDS) 25 3.1 Rappels : mouvement brownien, martingales, intégrales et pro-

    cessus stochastiques, formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Formules d’Ito -Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3.2.1 Rappels : Taylor sous forme intégrale . . . . . . . . . . 29 3.2.2 Formules d’Ito -Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.3 Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.1 Euler-Maruyama et Milshtein . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.2 Schémas implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.4 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6 Application au delta-hedging des options et équation de Black&

    Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6.1 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6.2 Portefeuille auto-financé . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.6.3 Valorisation des options par delta hedging, équation de

    Black& Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6.4 Valorisation des options par probabilité risque-neutre . 36

    3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7.1 EDS : solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    4 Lois de conservation et équations hyperboliques 42 4.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4.2.1 Résolution d’un problème hyperbolique par la méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4.3 Problème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3.1 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.4 Généralités sur les différences finies . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.4.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.5 Schémas numériques (FTCS, Lax, upwind, stabilité) . . . . . . 52 4.5.1 Le schéma FTCS (Forward Time Centered Space) . . . 52 4.5.2 Le schéma de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.5.3 Le schéma ”upwind” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5.4 Schémas d’ordre deux : Lax-Wendroff . . . . . . . . . . 56

    4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    3

  • 5 Équations aux dérivées partielles (EDP), équation de la cha- leur 60 5.1 Motivation : évaluation d’options par Black & Scholes . . . . . 60 5.2 Rappels sur les EDP : espaces fonctionnels, formulation varia-

    tionnelle, lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2.4 Lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    5.3 Formulations variationnelles (Galerkin) pour la discrétisation des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3.2 Mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.3.3 Illustration : interpolation P 1 pour fonctions C2 . . . . 68

    5.4 Différences finies pour des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4.1 Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4.2 Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4.3 Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4.4 Retour à Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4

  • Chapitre 1

    Exemples d’équations d’évolution : épidémiologie, trafic, diffusion de chaleur, finances

    5

  • Chapitre 2

    Équations différentielles ordinaires (EDO)

    Soit I un intervalle ouvert inclus dans

  • pour tout t ∈ Bt et X1, X2 ∈ Bx. Alors le problème de Cauchy admet une solution locale unique : X(t) : (t0 − ε, t0 + ε) −→ R (ε > 0). De plus, X(t) est C1.

    Théorème 2 (Cauchy-Lipschitz variante globale) Sous les mêmes hy- pothèses que le théorème 1,si L est la même pour tout Rx (rayon de la boule), alors une solution globale existe et est unique.

    Variante : il y a existence et unicité globale également si on peut trouver une fonction continue α : R→ R+ telle que

    |f(t,X1)− f(t,X2)| ≤ α(t)|X1 −X2|.

    Exemples 1/ f(t,X) = rX avec r ∈ R constante. Alors |f(t,X1)−f(t,X2)| = |r| · |X1− X2| donc nous obtenons existence globale ; 2/ f(t,X) = 5

    X−3 . Un calcul immédiat nous donne |f(t,X1) − f(t,X2)| = 5

    |(X1−3)(X2−3)| · |X1 − X2| donc nous obtenons existence locale pour L > 5

    |(X0−3)(X0−3)| dans un voisinage de tout point (t0, X0 6= 3). Par contre comme 5

    |(X0−3)(X0−3)| n’est pas borné autour de X0 = 3 le thm. d’existence globale n’est pas applicable.

    2.2 Schémas numériques

    Si la solution du problème de Cauchy existe, elle est unique (cf théorème précédent). Pour trouver la solution on l’approche à l’aide de schémas. L’ap- proximation se fait sur [0, T ] par N points.

    Notations : - l’équation à résoudre Ẋ(t) = f(t,X(t))

    - h = T

    N , tn = n · h, ∀n ≤ N

    - Xn = X(tn) ; On notera par Un une approximation de Xn et fn = f(tn, Un) ;

    Comment calculer les Un ? Par exemple en partant de la formule suivante :

    X(tn+1) = X(tn) +

    tn+1∫ tn

    f(s,X(s))ds.

    Un schéma à un pas est donné par la formule :

    Un+1 = Un + hφ(tn, Un, f, h) (2.2)

    7

  • Chaque fonction φ donne un autre schéma numérique. Sauf quand il est explictement mentionné (cf. exercices ci-dessous), on supposera que (2.2) admet toujours une solution unique Un+1.

    2.2.1 Définition de 4 schémas :

    Nous allons expliciter quelques schémas pour f1(t,X) = rX et f2(t,X) =

    rX2. Nous rappelons que pour f1 la solution X(t) de ˙X(t) = f1(t,X(t)) est

    X(t) = ertX0 alors que pour f2 la solution Y (t) de ˙Y (t) = f2(t, Y (t)) est Y (t) = Y0

    1−rtY0 . – Euler explicite (EE) :{

    Un+1 = Un + hf(tn, Un) = Un + hfn U0 = X(0)

    Justification : la formulation intégrale approximation par une méthode des rectangles. Exemples : pour f1 : Un+1 = Un + hrUn = (1 + rh)Un ; pour f2 : Un+1 = Un + hrU

    2 n = (1 + rhUn)Un.

    – Euler implicite (EI) :{ Un+1 = Un + hfn+1 U0 = X(0)

    Exemples : pour f1 : Un+1 = Un + hrUn+1 donc Un+1 = Un

    1−rh ; pour f2 : Un+1 = Un+hrU

    2 n+1 donc Un+1 est solution de rhU

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