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والبحث العلميوزارة التعليم العالي

BADJI MOKHTAR ANNABA-UNIVERSITY مختار عنابةجامعة باجي

UNIVERSITE BADJI MOKHTAR ANNABA

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIORAT

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

MEMOIRE

PRESENTE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MASTER

INTITULE

DOMAINE : SCIENCES ET TECHNOLOGIE

FILIERE : GENIE MECANIQUE

SPECIALITE : MECATRONIQUE

PRESENTE PAR : BOUCHAREB MOHAMED NACER

DIRECTEUR DU MEMOIRE : DR. RAMDANE YOUNES

DEVANT LE JURY

PR. LAOUAR. L (PRESEDENT) U.Badji Mokhtar Annaba

Dr. DIB. A (membre) U.Badji Mokhtar Annaba

Dr. BOUSAID.O (membre) U.Badji Mokhtar Annaba

Dr. YOUNES RAMDANE (encadreur) U.Badji Mokhtar Annaba

Année: 2016/2017

Analyse modale d’une poutre encastré-libre

I

Remerciements

Nous tenons à remercier tous ceux qui nous ont aidés à réaliser ce mémoire :

Je tiens à remercier en premier lieu mon encadreur Dr. RAMDANE YOUNES, pour

le temps qu’ils m’ont consacré, pour leur soutien, pour leurs immenses

connaissances et leur curiosité scientifique et surtout pour la confiance qu’ils m’ont

accordé même face aux équations les plus coriaces.

Je voudrais également remercier le laboratoire du Guelma qui travaille sur les

vibrations avec qui j’ai eu l’honneur de pouvoir collaborer et qui permet moi aussi

d’utiliser les matériels du laboratoire.

Je remercie également tous les enseignants du département de Génie Mécanique

et notre responsable du Master Mécatronique Mr.LAOUAR LAKHDER pour son

soutien.

En fin tous ceux qui nous ont aidé de près ou de loin à réaliser ce travail.

II

Dédicace

Nous dédions ce modeste travail à :

Mes très cher parents Monsieur et Madame BOUCHAREB qui ont aidés et

soutenue beaucoup pendant toute mon vie.

A mon très chers sœurs (FOUZIA, AICHA, KELTOUME, AMAL, FAHIMA,

SOUMIA) et mes frères adorés (NADIR, ATTEF, BOUDJEMA, RIDA.) et les

petits de la famille (SAIF EDINE, IYADE, CHIHAB, ANAS, NAJME EDINE et

ISAHAK). Et toutes mon amies et camarades de la promotion 2017.

Merci à tous mes amies et camarades de la promotion 2017. Pour l’ambiance

pendant les 3 années de mes études dans le département de génie mécanique

plus que des étudiants du Mécatroniques.

Je remercie Abdelli Youcef et Boulehbell Issam de m’avoir accueilli dans l’unité

de Ferroviaire.

Et enfin à tous ceux que nous aimons et tous ceux qui nous aiment.

Merci à tous

Résumé .

VI

Résumé :

L'étude des vibrations est un domaine qui se développe considérablement, mais reste très

complexe. Ce document présente l'étude de la réponse vibratoire d’une poutre en acier encastrée

à l’un de ses extrémités et libre à l’autre soumise à des excitations harmoniques. Un modèle

analytique non-linéaire de la poutre prenant en compte des conditions d’encastrement. La

détermination de la réponse dynamique est alors traitée par l’approche d'Euler Bernoulli. Des

résultats expérimentaux sont réalisés pour déterminer les modes propres de notre poutre par

trois méthodes d’excitations, des résultats expérimentaux sont comparés à les résultats

théoriques et la plus proche aux ces derniers c’est la meilleure mode utilisée.

. ملخص

VIII

ملخص

الوثيقة دراسة استجابة لذبذبات قضيب هذه دراسة االهتزاز هو مجال يتزايد بشكل كبير، ولكن ال يزال بالغ التعقيد. تقدم

مع القضيبتحليلي من النموذج الان أحد طرفيه وحر في الطرف اآلخر عن طريق الهزات التوافقية. منفوالذي مثبت

ك بعد ذلولر برنولي. انهج مبواسطة ثم تتم معالجتهاتحديد االستجابة الديناميكية يتم األخذ بعين االعتبار ظروف التثبيت.

ة تتم مقارنة النتائج التجريبي وسائل، بعدهاثالث بواسطة للقضيب الفوالذية خاصيتم تنفيذ النتائج التجريبية لتحديد طرق

وسيلة. أفضل لألخيرة هومع النتائج النظرية واألقرب

Abstrac .

VII

Abstract :

The study of vibrations is an domain which is developing considerably, but still very complex.

This document presents the study of the vibrational response of a recessed steel beam at one of

its ends and free at the other subject to harmonic excitations.An analytical model of the beam

taking into account the embedding conditions.The determination of the dynamic response is

then dealt with by Euler Bernoulli's approach. Experimental results are performed to determine

the own modes of our beam by three ways, experimental results are compared with theoretical

results and closest to the latté is the best way used.

Table des matières

Table des matières : Remerciement ………………………………….……………………………………….….......I

Dédicace……………………………………………………………………………..………...II

liste des figures……..………………………….…………………………..…………….........III

Liste des tableaux…………………………………………………………...…………....…....V

Résumé………………..………………………..………………………………..……………VI

Abstract……………………………………………………………………………………....VII

VIII…..….…………………………………………………………………………………ملخص

Notation………………………………………………………………………………...…… IX

Introduction générale………………………………………………………………………….X

Chapitre I : Généralité et synthèse bibliographique

I.1 Introduction ........................................................................................................................... 1

I.1.1 Poutre ............................................................................................................................. 2

I.1.2 Principe fondamental de la dynamique .......................................................................... 3

I.2 Vibration des poutres ............................................................................................................ 8

I.2.1 Vibrations longitudinales ............................................................................................... 9

I.2.2 Vibrations de flexion .................................................................................................... 10

I.2.3 Vibrations de torsion…………………………………………………………………..14

I.3 Modes propres de vibration de flexion d’une poutre………………………………………15

I.3.1 Modes et fréquences propres de vibration, cas encastrée-libre…………….................20

I.4 Equation classique des vibrations de flexion des poutres, équation d’Euler………….......22

I.5 Synthèse bibliographique………………………………………………………………….23

I.6 Conclusion………………………………………………………………………………...26

Chapitre II : Résolution de l’équation homogène, schéma modal, cas de la

. poutre encastrée- libre

7II.1 Introduction ..................................................................................................................... 27

II.2 Poutre d'Euler-Bernoulli………………………………………………………………….28

II.2.1 Méthode de Bernoulli-Euler…………………………………………………………32

II.2.2 Méthode de calcul……………………………………………………………………36

II.3 Application pour la poutre encastrée libre………………………………………………..37

II.3.1 Les vibrations des poutres encastrées libre en flexion………………………………39

II.3.2 Application pour notre étude poutre encastrée-libre………………………………...40

II.3 Conclusion………………………………………………………………………………..41

Table des matières

Chapitre III : Partie expérimentale

III.1 Introduction ..................................................................................................................... 42

III.2 Plan expérimental et matériels utilisés…………………………………………………. 43

III.2.1 Montage expérimentale………………………………...……………….……….43

III.2.2 Matériels d’acquisition des mesures…………………………………………….45

III.3 Traitements des résultats et discussion………………………………………………….49

III.3.1 Résultats expérimentaux………………………………………………..………....49

1-Résultats expérimentaux de l’excitateur sans amortissement……………………49

2- Résultats expérimentaux de l’excitateur avec amortissement…………………..50

3- Résultats expérimentaux de marteau de choc avec amortissement ……………..51

4 - Résultats expérimentaux de marteau de choc sans amortissement (SA) ……….52

5- Résultats expérimentaux : pour la tête impédance sans amortissement SA …….53

6- Résultats expérimentaux : pour la tête impédance avec amortissement ………….54

III.3.2- Comparaison des résultats ……………………………………………………….55

III.3.3 - Résultats obtenu par simulation sur Solidworks ………………………………..56

III.4 Conclusion……………………………………………………………………………... 58

Conclusion générale……………………………………...…. ………………………...…... 59

IV. Bibliographique………………………………………………….…… .………….…....61

Introduction générale .

X

Introduction générale

La mécatronique est la convergence de la mécanique et de l’électronique, elle associe à ces

deux éléments les notions d’informatiques nécessaires au contrôle et au traitement des

informations provenant des différents capteurs.

Les trois principales composantes de la mécatroniques étant :

-la partie opérative (l’ensemble cinématiqu²e avec ses actionneurs et ses capteurs- Mécanique et

Électronique).

-la partie commande (l’intelligence du système – Électronique et Informatique temps réel).

- la partie IHM Interface Homme /Machine (le pilotage du système – Informatique et

communication).

La mécatronique est en plein expansion, aussi bien au niveau des équipements industriels, qui des

composants et des processus de production.

La plupart des usines se composent des systèmes mécatronique, la surveillance vibratoire est

l’outil préventif primaire de maintenance. Pour répondre à des besoins de construction, de

conception et de maintenance industrielle de ces usines, elle repose sur l’utilisation des méthodes

de surveillance et de modèles simples afin de permettre l’analyse de façon rapide.

Parmi les méthodes de surveillance, l’analyse vibratoire qui est la technique la plus utilisée pour

réaliser une surveillance et un diagnostic fiable et pour détecter l’apparition et l’évolution de la

plupart des défauts mécanique.

Pour les modèles, ils sont classés en deux catégories principales qui sont des solides déformables

tridimensionnelles, avec des dimensions qui n’ont pas le même ordre de grandeur :

les structures minces dont une dimension l’épaisseur est très petite devant les deux autres,

et qui sont appelées plaques ou coques selon que leur surface moyenne est plane ou non.

Les structures élancés dont une dimension la longueur est très grandes devant les deux

autres, et qui sont appelées poutres ou arc selon que leur ligne moyenne est droite ou non.

L’étude des vibrations du 2ème type de ces structures qui sont les poutres, fait intervenir des

équations de modèle de base qui sont généralement la plus représentative des vibrations des

poutres lorsque toutes les hypothèses sont présentent.

Introduction générale .

XI

Ce travail consacré à ce sujet est divisé en trois chapitres :

Le premier chapitre consacré d’une part à des notions et définitions des hypothèses, et d’autre part

à la formulation et d’équation de base de relatives à la description du mouvement des vibrations

des poutres (longitudinale, flexion, torsion), et passe en revue les théories existantes par une étude

bibliographique sur le sujet.

le deuxième chapitre est consacré à l’étude de la résolution de l’équation homogène, schéma

modal, et représente un bref théorique sur les vibrations de poutre d’Euler-Bernoulli (méthode,

calcul, équations, condition limite) et la détermination des nombres d’onde et des fréquences et

modes propre du cas de la poutre encastrée- libre. L’étude comporte dans le chapitre II

l’application numérique pour poutre à étudier expérimentalement.

En fin, dans la troisième chapitre nous avons étudié les vibrations des poutres encastrée libre, elle

est encastrée à l’une de ses extrémités et libre sur l’autre. On a conduire l’analyse dynamique en

projection sur une base modale réduite, nous commençons par construire la base modale de la

structure pour trois type d’excitation : (marteau de choc, exciteur électromagnétique et exciteur

électromagnétique tête d’impédance) sans et avec amortissement. Les fréquences propres qui sont

déterminées pour but de faire la comparaison des valeurs numérique et expérimentales pour

trouver le meilleur type d’excitation.

Chapitre I Généralité et synthèse bibliographique

1

Chapitre I : Généralité et synthèse

bibliographique

I.1 Introduction :

Les vibrations dans un système mécanique résultent d’un transfert alternatif entre énergies

cinétique et potentielle qui, sans dissipation, perdure figure (I.1). En présence de dissipation, et

c’est le cas de tout système réel, les amplitudes du mouvement convergent jusqu’à l’équilibre

dynamique dans le cas d’un système forcé, jusqu’à l’équilibre statique dans le cas d’un système

libre.

Fig I.1 : Poutre non amortie

L’étude et l’analyse des vibrations (ou signaux) ont pris, au cours des dernières années, un essor

considérable en raison du développement de techniques de plus en plus sophistiquées et de besoins

les plus variés dans différents domaines : mécanique (transports, machines...), acoustique, optique,

transmissions, etc.

L’analyse vibratoire des poutres est d’une grande importance dans la conception de nombreux

systèmes mécaniques [1] ainsi que pour l’évaluation de leur performance. On peut citer par

exemple, les aubes de turbomachines, les pales des hélicoptères ou d’éoliennes mais également les

panneaux flexibles des satellites ….

Ce chapitre est dédié à une étude bibliographique sur les vibrations des poutres (encastrée-libre)

et un partie consacré d’une part aux notions et définition des hypothèses, et d’autre part à la

formulation mixte et en déplacement des équations d’Euler-Bernoulli relatives à la description des

vibrations de flexion des poutres.


2

I.1.1-Poutre :

On appelle poutre un solide engendré par une surface plane (Σ) qui peut être variable et dont le

centre de gravité G décrit un segment [AB], le plan de (Σ) restant perpendiculaire à cette courbe.

Il faut également que la longueur AB soit grande devant les dimensions des sections transverses

[2].

Une poutre est une membrure mince soumise à des charges transversales généralement

normales à son axe. La poutre est l'élément structural le plus répandu, puisqu'elle fait partie

intégrante de la plupart des ouvrages de construction ou des pièces machines. Une poutre est un

solide engendré par une aire plane S qui est déplacée dans l’espace de manière que durant son

mouvement, le centre de gravité G de la section S parcourt une ligne donnée L, et que l’aire se

maintienne constamment normale à cette surface. La ligne L est appelée fibre moyenne de la

poutre. Une poutre est caractérisée géométriquement par :

– une section S suffisamment massive,

– une longueur selon L grande devant les dimensions transversales,

– un rayon de courbure de L grand devant les dimensions transversales,

– un profil sans discontinuité.

La théorie élastique des poutres est basée sur celle des milieux curvilignes. Une position sur la

poutre sera caractérisée uniquement par l’abscisse curviligne l d’un point sur la fibre moyenne L

Fig I.2 : Plan Σ

Une poutre est donc un milieu continu ayant une dimension très grande par rapport aux deux

autres figures (I.2.1). Pour que la théorème du poutre soit applicable il faut que les sections droites

soient lentement variables ou constantes en fonction de l'abscisse curviligne , et que la plus grande

dimension de la section droite soit petite devant le rayon de courbure et la longueur de la poutre.


3

Fig I.2.1 : Représentation d’une poutre droite dans le repère (0, 1, 2, 3)

Ici, nous étudions la poutre encastrée libre ou poutre console figure (I.3) : C'est une poutre

encastrée dans un mur à une l'extrémité. L'extrémité encastrée ne bouge pas pendant la flexion,

tandis que l'autre extrémité est entièrement libre. On appelle aussi cette poutre, poutre en porte-à-

faux ou poutre encastrée à une extrémité [3].

Fig I.3: Poutre consol

I.1.2-Principe fondamental de la dynamique :

Voici une poutre encastrée libre [2]. Elle est de longueur L et chargée à une distance l de leur

encastrement.

{

𝐑𝐀𝐱 = 𝟎𝐑𝐀𝐲 − 𝐅 = 𝟎

𝐌𝐀𝐳 − 𝐅𝐥 = 𝟎

3 équations indépendantes linéaires, 3 inconnues : les réactions d’appui peuvent être calculés.

Poutre en flexion dans le plan (0, X0, Y0) Équation locale : ∀x ∈ ]0, l[ ρSv + EIv,x4 = 0

Avec des C.L. homogènes : {v(. , t) = 0 ou v,x(. , t) = 0

et {EIv,x2(. , t) = 0 ou

EIv,x3(. , t) = 0


4

a. Équations d’équilibre :

Soit une poutre droite orientée selon x et soumise à une force répartie donnée figure (I.4).

Soit une section droite d’abscisse x et une section infinitésimalement voisine d’abscisse x+dx.

Considérons la portion de poutre délimitée par ces deux sections droites [2].

Fig. I.4 : Equilibre d'une tranche infinitésimale de poutre

L’équation d’équilibre local d’une poutre droite est :

dN

dx= −n(x)

dV

dx= −q(x)

d2 M

dx2= q(x)

b. Flexion simple d’une poutre encastrée et chargée en son extrémité [2] :

Soit une poutre droite de longueur L encastrée à une extrémité (on parle de poutre encastrée

libre) et chargée ponctuellement à l’autre extrémité d’une force F comme indiqué à la figure (I.5).

L’étude se fait dans le cadre des hypothèses des différents cas de charge seront traités tableau (I).

Fig. I.5 : Cas d'étude d'une poutre droite simplement encastrée et chargée en son extrémité

Écriture de l'équilibre global : On vérifie que la poutre est bien isostatique (l’ajout d’un degré

de liberté la rend mobile). On est donc assuré que l’écriture du principe fondamental de la statique

va permettre de déterminer les 3 réactions d’appuis ROx,ROy et MOz définies sur la figure (I.5.1).

Fig. I.5.1 : Définition des réactions d'appuis

Fig. I.5.1 : Définition des réactions d'appuis

Il vient en écrivant le principe fondamental de la statique en O (pour le moment MOz) :


5

{

Rox = 0Roy − F = 0

Moz − FL = 0 Ou encore : {

Rox = 0Roy = F

Moz = FL

Écriture de l'équilibre local : On définit une abscisse curviligne s et l’on écrit l’équilibre d’un

tronçon de poutre pour chaque partie (ici, il n’y a qu’une partie) en précisant la convention adoptée,

voir figure (I.5.2).

Fig. I.5.2 : Définition des conventions pour l'écriture de l'équilibre local

L’équilibre du tronçon écrit en O (par exemple) fournit alors pour s [0, L] :

{N = 0

F + V = 0FL + M+ Vs = 0

Ou encore : {N(s) = 0 V(s) = −F M(s) = −F(L − s)

On vérifie la pertinence de ces résultats :

— l’effort tranchant V est constant sur le (seul) morceau qui n’est pas chargé ;

— la dérivée du moment M est égale à l’opposé de l’effort tranchant V (pour notre convention) ;

— le moment est linéaire (conséquence des deux points précédents) ;

— le moment est négatif (fibre supérieure tendue si F > 0, dans notre convention) ;

— le moment est nul à l’extrémité libre.

On récapitule ces résultats dans le schéma, figure (I.5.3).

Fig. I.5.3 : Synthèse du calcul des efforts intérieurs


6

Calcul des contraintes Le calcul donne :

σ11(s) =N(s)

S−M(s)

Iy =

F(L − s)

Iy

Calcul de la flèche :

M(s) = EI f 2(s) d’où par double intégration :

f(s) =1

E I(1

6Fs3 −

1

2FLs2 + c1s + c2)

On détermine les constantes d’intégrations c1 et c2 avec les conditions limites :

f(0) = 0 c1 = 0 , f 0(0) = 0 c2 = 0

Fig. I.6 : Allure de la déformée

Soit finalement :

f(s) =F

E I(1

6s3 −

1

2Ls2) , s ∈ [0, 𝐿]

En particulier, la flèche au bout (déflection) vaut : F(L) = −F𝐿3

3E I


7

Tab I : Equations de déformation des

différents cas de sollicitation de la poutre encastrée-libre


8

L'équation de la dérivée seconde de la déformée s’écrit : EI𝐺𝑍. 𝑦°° = Mf𝑍(𝑥)

Il faut deux intégrations successives pour déterminer l'équation y(x) de la déformée.

EIGZ. y°° = −F. x

EIGZF

. y° = −x2

2+ K1

EIGZF

. y = −x3

6+ K1. x + K2

avec K1 =L2

2 et K2 =

L3

3

𝑦𝐴 = −𝐹𝐿3

3𝐸𝐼𝐺𝑍

Le calcul des constantes K se fait en choisissant des conditions aux limites de zones :

En B : x = L et y°B = 0

x = L et yB = 0

(y° est l'équation de la tangente au point C)

I.2 Vibration des poutres :

Les hypothèses de condensation [4] pour les poutres consistent à effectuer un développement en

série de Taylor de ui(x1, x2, x3, t) par rapport à x2 et x3 :

𝑢𝑖(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) = 𝑢𝑖(𝑥1, 0,0, 𝑡) + 𝑥2 𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥2

(𝑥1, 0,0, 𝑡) + 𝑥3 𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥3

(𝑥1, 0,0, 𝑡) +𝑥22

2 𝜕2𝑢𝑖

𝜕𝑥22(𝑥1, 0,0, 𝑡)

+𝑥32

2 𝜕2𝑢𝑖

𝜕𝑥32(𝑥1, 0,0, 𝑡) + 𝑥2𝑥3

𝜕2𝑢𝑖𝜕𝑥2𝜕𝑥3

+⋯

La théorie des poutres minces consiste à négliger les termes du 2eme ordre et d’ordres supérieurs

dans ce développement :

𝑢𝑖(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 𝑢𝑖(𝑥1, 0,0, 𝑡) + 𝑥2 𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥2

(𝑥1, 0,0, 𝑡) + 𝑥3 𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥3

(𝑥1, 0,0, 𝑡)

On notera par la suite :

𝑢𝑖(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 𝑢𝑖0(𝑥1, 𝑡) + 𝑥2𝑢𝑖

2 (𝑥1, 𝑡) + 𝑥3 𝑢𝑖3(𝑥1, 𝑡)


9

Le déplacement dans chaque direction 1, 2 ou 3 se compose d'un mouvement d'ensemble (𝑢𝑖0) et

de deux rotations (x2u2i + x3u3i)

Fig. I.7 : Le déplacement dans les directions 1, 2, 3

La théorie des poutres minces suppose que les sections droites restent planes après la

déformation : c'est l'hypothèse de Bernoulli. L'ensemble du champ de déplacement est connu si les

déplacements et les rotations sont connus le long d'un axe moyen de la poutre : cet axe est appelé

axe neutre, ou fibre neutre. L'hypothèse de condensation, pour une poutre mince consiste à réduire

le milieu tridimensionnel en un milieu unidimensionnel équivalent. Les inconnues du problème

après condensation sont les neuves fonctions 𝑢10,𝑢2

0,𝑢30,𝑢1

2,𝑢22,𝑢3

2,𝑢13, 𝑢2

3, 𝑢33. Ces neuf fonctions

ne dépendent que d'une seule variable d'espace x1 et du temps t [4].

I.2.1- Vibrations longitudinales :

Pour les vibrations longitudinales, on suppose que les déplacements se font de façon privilégiée

le long de l'axe neutre de la poutre [4], ce qui correspond à une excitation dans l'axe de la poutre.

On peut alors simplifier le champ de déplacement général (éq1) en imposant :

{

𝑢1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 𝑢10(𝑥1, 𝑡)

𝑢2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 0

𝑢3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 0

La seule fonction inconnue 𝑢10(𝑥1, t) correspond au déplacement d'ensemble dans la direction 1

de chaque section droite. Ici, négliger l'effet de Poisson (contraction de la section droite) consécutif

à la déformation axiale. L'effet de Poisson correspond aux termes 𝑥2𝑢22 (x1, t) et 𝑥3𝑢3

3 (x1, t) de

(éq1).


10

I.2.2 Vibrations de flexion :

Champ de déplacement :

Pour l'étude du rayonnement acoustique de structures vibrantes, les vibrations de flexion sont

généralement les plus importantes, ce sont elles qui, dans la plupart des cas, font du bruit (les

vibrations longitudinales peuvent également produire un rayonnement acoustique par le biais de

l'effet de Poisson il faut alors le prendre en compte dans la modélisation).

En repartant de l'expression générale du champ de déplacement linéaire (sans les termes d'ordre

strictement supérieurs à 1), (éq1), on émet de nouvelles hypothèses en considérant l'excitation.

L'excitation est maintenant une force agissant dans le plan (1,2) qui va induire un déplacement

privilégié suivant l'axe 2. Le champ de déplacement pour la flexion des poutres est [4] :

{

𝑢1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 𝑥2𝑢12(𝑥1, 𝑡)

𝑢2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 𝑢20(𝑥1, 𝑡) ≡ 𝑤(𝑥1, 𝑡) … . … éq2

𝑢3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 0

Ce champ de déplacement (éq2) correspond aux hypothèses de Timoshenko. Deux fonctions

cinématiques sont inconnues : la flèche w et les rotations des sections droites u21. Plus simplement,

la description de Bernoulli fait l'hypothèse supplémentaire que les sections droites restent

perpendiculaires à l'axe neutre après la déformation, ce qui impose :

𝜕𝑤

𝜕𝑥1(𝑥1, 𝑡) = −

𝜕𝑢1𝜕𝑥2

(𝑥1, 𝑡)

Les hypothèses de Bernoulli conduisent au champ de déplacement :

{

𝑢1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ −𝑥2𝜕𝑤

𝜕𝑥1(𝑥1, 𝑡)

𝑢2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 𝑤(𝑥1, 𝑡) … . … éq3

𝑢3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 0

L'hypothèse de Bernoulli (dont le champ de déplacement ne possède plus qu'une fonction

inconnue : w) revient à négliger le cisaillement transversal ε12 des sections droites. Cette hypothèse

est légitime pour un matériau homogène et pour les premiers modes de vibration.


11

a. Fréquences et modes de vibration pour les CL homogènes simples :

Équation caractéristique : cos λl cosh λl +1 =0

λ1l =1,87510 ; λ2l = 4,69409 ; λ3l = 7,85473 Puis i >3 λil = (2i-1) π/2

Vi(x) =cos λix-ch λix - (cos λil+ch λil / sin λil + sh λil) (sin λix-sh λix)

b. Vibration de flexion- Cisaillement des poutres [5] :

Ces vibrations correspondent à des mouvements de la fibre neutre contenus dans le plan de la

section et à des rotations de la section autour d'axes situés dans le plan de la section.

∂T

∂s+ f − ρSu = 0 𝑇 = −

∂T

∂s− m

Dans lesquelles l'effort tranchant T, la densité linéique d'efforts transverses extérieurs f et le

déplacement transverse u correspondent aux composantes suivant la direction 1; le moment

fléchissant M et la densité linéique de moments extérieurs m correspondent aux composantes

autour de la direction 2.


12

Aux équations d'équilibre, pour l'obtention de la solution du problème, d'adjoindre les lois de

comportement de la poutre pour les sollicitations de flexion.

- cisaillement. Ces lois de comportement relient l'effort tranchant au cisaillement de la section et

le moment fléchissant à la rotation ω de celle-ci ; elles s'écrivent dans l'hypothèse de l'élasticité

linéaire en petites déformations :

𝑇 = 𝐺𝑆′ (∂u

∂s− w) M = EI

∂w

∂s

Dans lesquelles G désigne le module de cisaillement du matériau constitutif, S' et I la section

de cisaillement et l'inertie en flexion de la poutre. Afin d'obtenir l'équation différentielle régissant

le déplacement transverse de la fibre neutre, u, il convient d'éliminer les quantités T, M et ω

L'élimination de M, T et ω entre ces relations donne l'équation différentielle :

𝐸𝐼𝜕4𝑢

𝜕𝑠4− (𝑓 − 𝜌𝑆��) +

𝜕𝑚

𝜕𝑠+𝐸𝐼

𝐺𝑆′𝜕2

𝜕𝑠2(𝑓 − 𝜌𝑆��) = 0

Les trois premiers termes de l'équation précédente correspondent à la flexion de la section et le

dernier au cisaillement de celle-ci.

L'équation précédente est difficile à obtenir par la méthode directe d'identification des efforts

agissant sur la poutre et l'annulation de la résultante de ces efforts. Le principe des puissances

virtuelles montre ici toute sa généralité et sa puissance. Dans le cas où les déformations de

cisaillement sont négligées, la méthode directe reste applicable.

1- Solution exacte de la poutre console :

Les conditions aux limites, au nombre de 4, sont données par la nullité du déplacement et de la

rotation dans la section origine (s=0) et par la nullité des efforts, moment et effort tranchant, dans

la section d'extrémité (s=L) qui est supposée libre. Ces conditions s'expriment à l'aide des relations

suivantes [5] :

{∅(0) = 0∅′(0) = 0

, {T(L) = EI∅′′′(L) = 0M(L) = EI∅′′′(L) = 0

Les pulsations propres de vibration en flexion de la poutre sont alors données par :

𝑤1 = (1.875

𝐿)2

√𝐸𝐼

𝜌𝑆 , 𝑤2 = (

4.694

𝐿)2

√𝐸𝐼

𝜌𝑆 , 𝑤1 = (

7.855

𝐿)2

√𝐸𝐼

𝜌𝑆


13

Fig. I.8 : Racine de l'équation aux fréquences propres

Les trois premiers modes propres de vibration sont représentés sur la figure suivant :

Fig. I.9 : Modes propres de vibration en flexion

Le déplacement temporel en vibration libre est alors donné par

𝑢(𝑠, 𝑡) = ∅(𝑠)[𝐶 sin(𝑤𝑡) + 𝐷𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡)]

Le déplacement initial est donné par 𝑢(𝑠, 0) = 𝐷∅(𝑠)et la vitesse initiale par u(s, 0) = C∅(s) qui

permettent la détermination des constantes d’intégration C et D.

2- Solution approchée [5] :

Dans cet exemple on avait ramené par un choix, fait a priori, de la forme de la déformée en

flexion de la poutre son étude à celle d'un oscillateur simple à un degré de liberté. On avait alors

obtenu l'équation différentielle régissant le mouvement de cet oscillateur et calculé sa pulsation

propre sous une forme analogue à celle de la relation. La valeur obtenue pour le produit aL était

de 1.911. Cette valeur est à comparer à la valeur exacte obtenue ; l'écart est de moins de 2%. En

considérant d'autres alternatives pour la déformée de l'oscillateur simple équivalent, ou par

application de la méthode de Rayleigh, conduisaient à des valeurs de aL égales à 1.89, soit différant

de la valeur exacte de moins de 1%. L'excellente approximation obtenue par application de la

méthode de Rayleigh s'explique par la grande similitude entre le mode propre exact et la déformée

calculée par la méthode approchée


14

Fig. I.10 : Mode propre fondamental

Exact (trait plein) – méthode de Rayleigh (trait pointillé)

c. Equation générale des vibrations de flexion :

L'équation générale de la poutre en flexion soumise à une sollicitation extérieure s'écrit [5]:

𝐸𝐼𝜕4𝑢

𝜕𝑠4+ 𝜌𝑆�� = 𝑓(𝑠, 𝑡)

Sa solution est obtenue par décomposition sur la base des modes propres :

𝑢(𝑠, 𝑡) = ∑∅𝑛

∞

𝑛=1

(𝑠)𝑞𝑛(𝑡)

𝑓(𝑠, 𝑡) = ∑∅𝑛

∞

𝑛=1

(𝑠)𝑓𝑛(𝑡)

En reportant dans l'équation générale, on en déduit les équations différentielles que doivent

satisfaire les qn(t) :

𝑞��(𝑡) + 𝑤𝑛2𝑞𝑛(𝑡) = 𝑓𝑛(𝑡) , 𝑛 = 1,∞

I.2.3 Vibrations de torsion :

Champ de déplacement :

On suppose que l'excitation est un moment autour de l'axe 1 qui est aussi l'axe neutre de la poutre.

Le déplacement dominant dans la torsion est la rotation des sections droites. Si α(x1, t) est le

d’emplacement angulaire de la section droite d'abscisse x1, on utilise le champ de déplacement

simplifié suivant [5]:

{

𝑢1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 0

𝑢2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ −𝑥3𝛼(𝑥1, 𝑡) … . … éq4

𝑢3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑡) ≃ 𝑥2 𝛼(𝑥1, 𝑡)

La seule fonction cinématique inconnue est l'angle α(x1, t).


15

Fig. I.11 : poutre en torsion

I.3 Modes propres de vibration de flexion d’une poutre :

a. Équation différentielle des modes propres de vibration d’une poutre :

Une poutre élancée rectiligne d’axe x, de longueur L et de section droite d’aire S (hauteur h et

largeur b vérifiant h,b<<L fléchit sous l’action d’un chargement linéique transversal q(x) et prend

une déformée y(x). Pour des chargements modérés, induisant une déformée telle que le

déplacement transversal reste petit devant les dimensions transversales de la poutre : y(x) << b,h,

les sections droites restent droites (ne gauchissent pas) et tournent simplement l’une par rapport à

l’autre.

M(x) caractérisant le moment de flexion à l’abscisse x résultant du chargement q(x), écrivons, dans

cette hypothèse de flexion faible, l’équilibre mécanique d’un petit tronçon de longueur dx sous

l’action du moment M(x).

La force résultante F induite par ces contraintes et le moment de flexion résultant M sont donnés

par :

I= bh3/12 étant le moment quadratique (couramment appelé moment d’inertie de flexion) de la

section droite par rapport à l’axe de flexion z. F=0 traduit l’absence de force appliquée et la seconde

relation exprime la proportionnalité entre la courbure locale 1/R de la déformée et le moment de

flexion appliqué M et constitue l’équation différentielle de la déformée.

Dans l’hypothèse des petits déplacements envisagés ici, la courbure

1

𝑅=

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

(1 + (𝑑𝑦𝑑𝑥)2

)

3/2≈𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

L’équation différentielle de la déformée se réduit à : 𝐸𝐼𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −𝑀(𝑥)


16

Le signe - provient du fait que la déformée y(x) est repérée dans le référentiel x, y, z alors que le

moment de flexion M(x) est défini dans le trièdre de Frenet : tangente t, normale n et binormale r

avec t=x, r=-z et n=-y

Dans une section d’abscisse x le moment fléchissant est : M(x)=F (L-x)

L’intégration de l’équation différentielle 𝐸𝐼𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −𝐹 (𝐿 − 𝑥)

Avec les conditions aux limites imposées par l’encastrement y(0)=0 (pas de déplacement possible

au niveau de l’encastrement) et dx/dy (0)=0 (la poutre doit rester perpendiculaire à l’encastrement)

conduit à la déformée : 𝑦(𝑥) =𝛿

2(𝑥

𝐿)2

(3 −𝑥

𝐿) avec flèche d’extrémité donnée par 𝛿 =

𝐹𝐿3

3𝐸𝐼

Dans le trièdre de Frenet, écrivons l’équilibre mécanique du tronçon de longueur dx soumis au

chargement linéique q(x). L’équilibre des forces (nullité de la résultante) s’écrit :

−𝑉 + 𝑞𝑑𝑥 + 𝑉 + 𝑑𝑉 = 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑞(𝑥) = −𝑑𝑉

𝑑𝑥

L’équilibre des moments par rapport à l’origine du trièdre s’écrit :

−�� + (�� + 𝑑�� )𝑡 + �� + 𝑑�� = 0 Soit en projection sur l’axe z :

−M − (𝑉 + 𝑑𝑉)dx + 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0

Soit en négligeant le terme du second ordre dV/dx : 𝑉(𝑥) =𝑑𝑀

𝑑𝑥

En différentiant deux fois l’équation différentielle de la déformée 𝐸𝐼𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −𝑀(𝑥) écrite en

terme de moment fléchissant et en tenant compte des deux relations précédentes, l’équation s’écrit

finalement en terme de chargement linéique : 𝐸𝐼𝑑4𝑦

𝑑𝑥4= 𝑞(𝑥)

La masse linéique m(x) étant égale à ρS, la force d’inertie linéique q(x) induite par la vibration

sera: 𝑞(𝑥) = −𝑚(𝑥)𝛾(𝑥) = −𝜌𝑆𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 , 𝛾(𝑥) =

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 tant l’accélération induite par la vibration,

d’où l’équation différentielle des vibrations libres :

𝐸𝐼𝑑4𝑦

𝑑𝑥4= −𝜌𝑆

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4+𝜌𝑆

𝐸𝐼

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= 0

Compte tenu des hypothèses de flexion faible, la solution de cette équation ne sera acceptable que

dans la mesure où l’amplitude de vibration a reste petite devant l’épaisseur h : a << h


17

En posant 𝑘4 =𝜌𝑆𝑤2

𝐸𝐼 et en séparant les parties temporelles et spatiales y(x,t)=Y(x)exp(iwt)

l’équation différentielle donnant l’amplitude Y(x) de la déformée à la pulsation ω s’écrit : 𝑑4𝑌

𝑑𝑥4+

𝑘4𝑌 = 0. La solution de cette équation s’écrit sous la forme générale :

𝑌(𝑥) = 𝐴1 exp(𝑘1𝑥) + 𝐴2 exp(𝑘2𝑥) + 𝐴3 exp(𝑘3𝑥) + 𝐴4exp (𝑘4𝑥)

k1=k, k2=-k,k3=ik et k4=-ik étant les racines de l’équation 𝑘4 =𝜌𝑆𝑤2

𝐸𝐼 . 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑘 = (

𝜌𝑆𝑤2

𝐸𝐼)1/4

Elle s’écrit donc également sous la forme plus commode :

𝑌 = asin(𝑘𝑥) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) + 𝑐𝑠ℎ(𝑘𝑥) + 𝑑𝑐ℎ(𝑘𝑥)

Modes et fréquences propres :

Les valeurs admissibles de la quantité k valeurs seront données par les racines kiL=αi d’une

équation f(kL)=0, la fonction f étant elle-même définie par les 4 conditions aux limites nécessaires

pour déterminer les relations entre les 4 constantes d’intégration a,b,c,d.

Il en résulte que seule une série de pulsations discrètes ωi (fréquences propres de vibration) sera

autorisée, ces pulsations étant obtenues sous la forme générale :

𝜔𝑖 = 𝛼𝑖2√𝐸

𝜌

1

𝐿2√𝐼

𝑆 𝑣𝑖 =

1

2𝜋𝛼𝑖2√𝐸

𝜌

1

𝐿2√𝐼

𝑆 𝑘𝑖 =

𝛼𝑖𝐿

A chacune de ces fréquences sera associé un profil d’amplitude de déformée Y(ωi, x)=Yi(x) appelé

mode propre de vibration.

Les fréquences propres (fréquences de résonance) résultent dans ce modèle de la compétition entre

les forces d’inertie et les forces de rappel élastique. L’équation aux vibrations ne contient aucun

terme susceptible de limiter l’amplitude des oscillations de sorte que la solution en amplitude ne

sera définie qu’à une constante multiplicative arbitraire près.

Fréquences propres sont la combinaison d’un terme√𝐸

𝜌 caractérisant les propriétés intrinsèque du

matériau (élasticité E, inertie ρ) qui s’identifie à la vitesse de propagation du son dans la poutre et

d’un terme géométrique 1

𝐿2√𝐼

𝑆 qui caractérise la géométrie de la structure.


18

b. Modes propres de vibration d’une poutre encastrée élancée de section rectangulaire

Avec S=bh et I= bh3/12, les fréquences propres sont données par :

𝑣𝑖 =1

2𝜋√12𝛼𝑖2√𝐸

𝜌

ℎ

𝐿2 𝑘𝑖 =

12𝜌𝑤𝑖2

𝐸ℎ2

Et les modes propres par :

𝑌𝑖(𝑥) = asin(𝑘𝑖𝑥) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑖𝑥) + 𝑐𝑠ℎ(𝑘𝑖𝑥) + 𝑑𝑐ℎ(𝑘𝑖𝑥)

Dans le cas d’une poutre encastrée, les conditions aux limites sont :

Yi(0)=0=b+d Déplacement d’encastrement interdit

𝑑𝑌𝑖

𝑑𝑥(0) = 0 = 𝑎 + 𝑐 Rotation interdite à l′encastrement

𝑑𝑌𝑖

2

𝑑𝑥2(L) = 0 = 𝑘𝑖

2{− asin(𝑘𝑖𝐿) − 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑖𝐿) + 𝑐𝑠ℎ(𝑘𝑖𝐿) 𝑑𝑐ℎ(𝑘𝑖𝐿)}

𝐴𝑏𝑠𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 à 𝑙′𝑒𝑥𝑡𝑟é𝑚𝑖𝑡é − 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒

𝑑𝑌𝑖

3

𝑑𝑥3(L) = 0 = 𝑘𝑖

3{− acos(𝑘𝑖𝐿) + 𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑖𝐿) + 𝑐𝑐ℎ(𝑘𝑖𝐿) + 𝑑𝑠ℎ(𝑘𝑖𝐿)}

Absence d′effort tranchant à l′extrémité − libre

Avec : a, b, c, d sont solution du système linéaire

Ce système n’admet une solution a, b, c, d proportionnels à une constante arbitraire près que si

son déterminant est nul, soit l’équation aux pulsations propres définies par les conditions aux

limites : ch (kiL) cos (kiL)=-1

Les racines 𝛼𝑖 sont : 𝛼𝑖 = (2𝑖 + 1)𝜋

2 pour i>2

Au-delà du mode fondamental, les fréquences propres sont régulièrement espacées car

ch(kiL)cos(kiL)=1 s’écrit cos(kiL)=1/ch(kiL) avec 1/ch(kiL) décroissant très rapidement vers zéro

de sorte que l’équation aux fréquences propres se réduit à cos(kiL)=0.

L’équation Yi(x)=asin(kix)+bcos(kix)+csh(kix)+dch(kix) du mode propre d’ordre i s’écrit :


19

En notant 𝛿𝑖 = 𝑌𝑖(𝐿) = −2asin ((𝑘𝑖𝐿)𝑠ℎ(𝑘𝑖𝐿)

𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑖𝐿)−𝑠ℎ(𝑘𝑖𝐿) l’amplitude de la flèche à l’extrémité libre :

Mode fondamental :

𝑣0 =1

2𝜋√12𝛼02√𝐸

𝜌

ℎ

𝐿2 𝑘0 = (

𝜌𝑆𝑤02

𝐸𝐼)

1/4

=𝛼0𝐿

La figure suivante compare en coordonnées réduites (𝑦

𝛿,𝑥

𝐿) les déformées du mode statique sous

charge ponctuelle à l’extrémité libre et du mode fondamental de vibration libre (d’ordre 0)

Fig. I.12 : déformées du mode statique à l’extrémité libre et du mode fondamental de vibration

libre (d’ordre 0)

Modes d’ordre supérieur :

Le nombre de nœuds est égal à l’ordre du mode. La figure ci-dessous schématise l’allure des

premiers modes. Le mode fondamental est le plus facile à exciter. La théorie des modes propres

montre que la déformée statique peut être obtenue par la somme pondérée (les facteurs de

pondération étant fonction du chargement statique imposé) des déformées des différents modes

propres de vibration libre. Cependant, plus l’ordre du mode est élevé et plus faible est son

coefficient pondérateur.


20

Fig. I.13 : Les déformées des différents modes propres de vibration libre

I.3.1 Modes et fréquences propres de vibration, cas encastrée-libre :

Le calcul des modes et fréquences propres d’une poutre est très utilisés dans l’analyse vibratoire

de ces éléments de structure. Il permet de déterminer la réponse intrinsèque à la structure, c’est à

dire qui ne dépend pas des sollicitations extérieures, et qui définit le spectre des fréquences et

déformées (modes) qu’il faudra éviter de solliciter si l’on veut que la structure n’ait pas un

comportement critique. De plus, la résolution dans la base modale réduit considérablement la taille

du problème du fait des K et M-orthogonalités des modes propres.

Le calcul de modes propres est notamment utilise dans le domaine de l’analyse modale qui consiste

à exprimer le déplacement quelconque d’un structure dans la base, (infinie dans le cas des milieux

continus) formée par ses vecteurs propres. C’est une technique couramment employée au niveau

analytique aussi bien que dans les codes de calculs par éléments finis par exemple. La connaissance

de cette base modale permet également d’étudier la stabilité d’une structure soumise à une

excitation proportionnelle à un ou plusieurs modes propres.

Pour simplifier la résolution analytique, considérons un poutre de section constante, de matériau

constitutif possédant des propriétés également constantes, la solution du problème sous la forme

d’une fonction de l’espace en produit avec une harmonique de pulsation ω à déterminer :

u(x,t)= u(x)cos(ωt). L’équilibre de cette poutre s’écrit alors :

𝐸𝑆𝑑2𝑢(𝑥)

𝑑𝑥2+𝑤2 𝜌𝑆𝑢(𝑥) = 0

Ce qui se résout sans difficulté en posant une solution générale du type : u(x) = eαx. On en déduit

alors que l’argument est imaginaire pure et vaut 𝛼 = ±𝑖𝑤√𝜌

𝐸 .En posant 𝑐 = √

𝐸

𝜌

La célérité des ondes, le champ de déplacement est harmonique en espace et s’écrit :

𝑢(𝑥) = a sin(𝜆𝑥) + 𝑏 sin(𝜆𝑥) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜆 =𝑤

𝑐 la longueur d’onde


21

Considérons le cas encastré en x = 0 et libre en x = l. Les conditions aux limites associées

impliquent:

{𝑢(0) = 0 ⇒ 𝑏 = 0

𝑁(𝑙) = 0 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑙 = 0 ⇒ 𝜆𝑙 =𝜋

2± 𝑘𝜋 ⇔ 𝜆𝑘 = (2𝑘 − 1)

𝜋

2𝑙, 𝑘 ∈ 𝑁∗+

On en déduit immédiatement la pulsation propre de rang k et le vecteur propre associe. On

remarque que la pulsation propre de rang k est liée à cette pulsation λk par la célérité c des ondes

dans ce solide monodimensionnel : La solution s’exprime comme la somme de ces modes propres.

𝑤𝑘 = (2𝑘 − 1)𝜋

2𝑙 𝑐 avec 𝑐 = √

𝐸

𝜌

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝑢𝑘(𝑥) cos (𝑤𝑘

+∞

𝑘=1

𝑡) = ∑𝑎𝑘 sin ((2𝑘 − 1)𝜋

2𝑙𝑥)

+∞

𝑘=1

cos ((2𝑘 − 1)𝜋

2𝑙𝑐 𝑡)

Ou en utilisant les fonctions de Ducan

{

𝑠2(𝜆𝜉) = 𝑠𝑖𝑛(𝜆𝜉) + 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜆𝜉)

𝑐2(𝜆𝜉) = 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝜉) + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜆𝜉)

𝑠2(𝜆𝜉) = −𝑠𝑖𝑛(𝜆𝜉) + 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜆𝜉)

𝑐2(𝜆𝜉) = −𝑐𝑜𝑠(𝜆𝜉) + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜆𝜉)

→ 𝛹(𝑥) = 𝐵1𝑠1(𝜆𝜉)+ 𝐵2𝑐1(𝜆𝜉)+ 𝐵3𝑠2(𝜆𝜉)+ 𝐵4𝑐2(𝜆𝜉)

Les solutions sont alors connues. Traitons par exemple le cas encastre-libre. Les conditions aux

limites cinématiques permettent de résoudre :

En x=0 encastrement : 𝛹(0) = 0 𝑒𝑡 𝛹′(0) = 0 → 𝐵2 = 𝜆𝐵1 = 0

En x=1 bord libre : 𝛹′′(1) = 0 𝑒𝑡 𝛹′′′′ (1) = 0 → [

𝑠1(𝜆) 𝑐1(𝜆)

𝜆𝑐1(𝜆) 𝜆𝑠2(𝜆)] (𝐵3𝐵4) = (

0

0)

Pour cette dernière condition, la solution λ = 0 n’est pas acceptable, car le déplacement

correspondrait à un mouvement de corps rigide. Il faut donc avoir un déterminant nul pour ce

système, ce qui conduit à: 𝑆1(𝜆)𝑆2(𝜆) − 𝐶12(𝜆) = 0 ⇔ −𝑐𝑜𝑠 𝜆𝑙 =

1

cosh𝜆𝑙

Que l’on résout numériquement. On trouve la première solution λ1 = 1,8751 et ω21 = 12,36 EI/ml3.

Quelles que soient les conditions aux limites, on arrive à une équation de type semblable.


22

Fig. I.14: Traces des fonctions utilisées pour résoudre l’équation

I.4 Equation classique des vibrations de flexion des poutres, équation d’Euler :

Pour obtenir l’équation classique des vibrations de flexion des poutres, on introduit une

simplification supplémentaire en négligeant l’effet rotationnelle représenté par le deuxième terme

de l’équation de mouvement suivant [6] :

−𝜌𝑆𝜕2𝑊2

0

𝜕𝑡2+

𝜕

𝜕𝑥1(𝜌𝐼3

𝜕3𝑊20

𝜕𝑥1𝜕𝑡2) −

𝜕2

𝜕𝑥12 (

𝐼3𝑆1111

𝜕2𝑊20

𝜕𝑥12 ) = 0

Ce qui donne en remplaçant ( ) par E le module de Young du matériau dans la direction

longitudinale :

Condition aux limites :

Soit :

Soit :

Le mouvement vibratoire est alors décrit par des équations qui ne font plus apparaitre les

contraintes, ces derniers peuvent se calculer avec l’expression dès que l’on connait W20.

La quantité 𝜕

𝜕𝑥1(𝐸3𝐼3

𝜕2𝑊20

𝜕𝑥12 ) = 0 est homogène à une force on lui donne le nom d’effort tranchant

et la quantité est homogène à un moment on lui donne le nom de men moment

fléchissant.


23

I.5 Synthèse bibliographique :

Des nombreux travaux de recherche ont été réalisés dans le domaine de l’analyse modale.

H. SHEN et al [07] développe une procédure d'identification pour déterminer les caractéristiques

de fissure (emplacement et taille de la fissure) à partir de mesures dynamiques. Cette procédure

est basée en minimisant le "moyen-carré" ou le "max" mesure de la différence entre les données

de mesure (fréquences naturelles et formes de mode) et les données de prédictions obtenues à partir

du modèle de calcul. Des conditions nécessaires sont obtenues pour Les deux formulations. La

méthode est testée pour des dommages simulés sous la forme d'un côté ou des fissures symétriques

dans une poutre Bernoulli-Euler simplement soutenu. La sensibilité de la solution l'identification

des dommages aux valeurs des paramètres qui caractérisent le dommage est discutée.

N. CHIEN et al [08] Le but de cet article est de construire des lois de conservation pour la

statique et la dynamique des poutres non homogènes de Bernoulli-Euler. Pour dériver ces lois de

conservation, ils utilisèrent les méthodes d'action neutre (NA) nouvellement proposée, Lois de

conservation dans les systèmes mécaniques non homogènes et dissipatifs, Les lois de conservation

dérivées devraient être utiles pour caractériser des défauts concentrés, tels que des fissures et des

interfaces, de manière non homogène poutre. Une comparaison de ces deux méthodologies, avec

un exemple illustrant l'efficacité relative de la méthode de NA sur l'approche de Noether,

Également présenté.

M. LEVINSON [09] est développé une nouvelle théorie pour les poutres de section transversale

rectangulaire qui comprend la déformation des sections transversales. En satisfaisant les conditions

de cisaillement sur les surfaces latérales de la poutre sont assimilées à une paire d'équations de

mouvement couplées telles que aucun coefficient de cisaillement arbitraire n'est requis. Il est

montré que l'équation désaccouplée pour une nouvelle théorie autonome pour la statique et la

dynamique des poutres de rectangulaire. Dans le cas des vibrations libres, il a été démontré que la

théorie de la poutre de Timoshenko est équivalente à la nouvelle théorie à condition que le

Timochenko le coefficient de cisaillement ait une valeur de 5/6. C'est une valeur qui n'est pas

significativement différente de celle de diverses valeurs données dans la littérature pour la poutre

rectangulaire étroite. En outre, des exemples statiques typiques montrent que la nouvelle théorie

fournit des résultats bons ou meilleurs que la théorie de la poutre de Timoshenko par rapport à

ceux obtenus à partir de la théorie linéaire d’élasticité.

P. F. Rizos et al [10] est étudié le mesure des vibrations de flexion d’une poutre en porte-à-

faux avec une section transversale rectangulaire ayant une fissure de surface transversale s'étendant

uniformément le long de la largeur de la poutre et des résultats analytiques sont utilisés pour relier

les modes de vibration mesurés à l'emplacement de la fissure et la profondeur. A partir des


24

amplitudes mesurées à deux points de la structure qui vibrent à l'un de ses modes naturels, de la

fréquence de vibration respective et d'une solution analytique de la réponse dynamique,

l'emplacement de la fissure peut être trouvé et la profondeur peut être estimée avec la méthode

d'identification était basée sur l'hypothèse d'une fissure de surface transversale, S'étendant

uniformément sur la largeur de la structure. La fissure ouverte ne pose pas de limitation sévère

parce que des fissures sont attendues aux emplacements de haute statique et dynamique charges,

les charges statiques empêchant la fissure. La méthode s'applique aux systèmes structurels qui ont

des descriptions analytiques ou peut être modélisé au moyen de la méthode des éléments finis ou

d'une autre méthode pratique.

L’équation du mouvement et les conditions aux limites associées sont dérivées pour les vibrations

d’une poutre uniforme contenant une fissure de fatigue à un seul bord. La fissure de fatigue a été

introduite sous la forme du modèle dite de «craquage respiratoire» qui s'ouvre lorsque la contrainte

normale près de la pointe de fissure est positive. La réponse dynamique de l'équation bilinéaire

sous un l'excitation forcée concentrée est calculée à partir d'une analyse numérique. Un

comportement clairement non linéaire a été trouvé sur l'historique du temps et le spectre de

fréquence pour chaque mode de vibration. Les changements dans la dynamique le comportement

des structures craquées peut être utilisé pour déduire la taille et l'emplacement de la fissure.

Analyse de vibration d’une poutre simplement pris en charge avec plusieurs. La conclusion la plus

significative est que l'augmentation de la profondeur relative de fissure diminue les fréquences

naturelles. Y. C. CHU et al. [11].

Ömer Civalek et al. [12] a présenté une nouvelle approche pour obtenir des moments précis de

flexion et des déplacements. L’analyse de flexion des microtubules soumis à une uniformité des

charges distribuées et concentrées sont données. Une simulation numérique est effectuée pour

vérifier les prédictions analytiques et pour étudier la détérioration statique et le moment de flexion

pour différentes conditions aux limites. Le problème est analysé pour l'étude de la flexion des

microtubules. Les résultats numériques montrent que le paramètre non local a un effet important

sur le comportement Également utile pour fournir des solutions de vibration et de flambage des

microtubules en utilisant la théorie du poutre non local. Même si l'analyse présentée concerne

uniquement le boîtier de déformation statique linéaire, la statique non linéaire et la vibration des

microtubules basés sur la théorie de la poutre Timoshenko non local peut également être analysée

en utilisant la méthode numérique présentée dans cette étude.

La détection de la présence de fissures sur la surface du type de poutre l'élément structurel utilisant

la fréquence naturelle est présenté


25

Kaushar H. Barad et al [13]. Les deux premières fréquences naturelles de la poutre fissurée ont

été obtenues expérimentalement et utilisés pour la détection de l'emplacement et de la taille des

fissures. Les endroits et la taille des fissures détectés sont comparés aux résultats réels et a été jugé

en bon accord. En outre, l'effet de l'emplacement de la fissure et de la profondeur de fissure sur la

fréquence naturelle est présenté. En utilisant cette approche, la détection des dommages peut être

effectuée en utilisant la fréquence naturelle. La méthode actuelle pour détecter l'emplacement et

la taille des fissures est rapide et efficace. La fissure avec un plus grand rapport de profondeur de

fissure (a / h) donne des réductions plus importantes de la fréquence naturelle que celle du plus

petit ratio de fissure. Par conséquent, la précision des résultats s'améliore à mesure que la

profondeur de fissure augmente.

A. Labuschagne et al [14] est considéré trois modèles pour une poutre en porte-à-faux basé sur

trois lignes par différentes théories : Euler-Bernoulli, Timoshenko et élasticité bidimensionnelle.

Ils utilisent les fréquences propres et les modes comme un critère, ils ont trouvé que la théorie de

Timoshenko est proche de la théorie bidimensionnelle pour des modes d'importance pratique, mais

que l'applicabilité de la théorie Euler-Bernoulli est limitée. Les résultats montrent que le modèle

de Timoshenko est remarquablement précis par rapport au modèle bidimensionnel, à condition que

la demande soit une pour laquelle la théorie de la poutre est destinée. Cependant, la comparaison

à un modèle tridimensionnel mais comme mentionné précédemment, une comparaison d'un

modèle bidimensionnel avec un modèle tridimensionnel est indiquée. Ils prévoient qu'une

comparaison des valeurs propres et des fonctions propres sera réalisable.

Luca Luschi et al [15] est étudié les propriétés de flexion des poutres avec perforations

rectangulaires périodiques. À partir de l'équation standard de la poutre d'Euler-Bernoulli, des

expressions analytiques compactes pour la rigidité de flexion équivalente dans des sections

remplies et perforées sont développées et utilisées pour calculer les fréquences de résonance de la

poutre perforée. Les résultats sont en accord avec les simulations FEM pour la plupart des

conceptions pratiques, tant que les effets de contraintes de cisaillement peuvent être considéré

comme négligeables. Tandis que les résultats présentés impliquent uniquement des fréquences de

résonance, le modèle peut également être utilisé pour évaluer la statique La déviation et les

constantes élastiques statiques des poutres perforées.

Salvatore Caddemi et al. [16] a utilisé La rigidité supplémentaire de la matrice de rigidité

élémentaires de poutre pour dériver un linéaire homogène élément fini à poutre élastique.

L'assemblage de la matrice de rigidité totale obtenue permet d'analyser l'effet de la fissure

caractéristique sur les premières fréquences de résonance de la poutre. La solution d'un problème

inverse a été effectuée en utilisant cette information et a permis d'évaluer l'effet du bruit sur la

profondeur de fissure prédite. Ils ont trouvé que la méthode proposée peut être utilisé pour


26

concevoir un système intelligent pour la détection des fissures dans les poutres. La performance

de cette méthode est élevée pour de grandes valeurs de ratio de fissure et faible bruit.

Mahdi Heydari et al [17] Dans cet article, la vibration flexible forcée d’une poutre fissurée est

étudiée en utilisant un modèle bilinéaire continu pour le champ de déplacement. Les effets de la

déformation du cisaillement et de l'inertie rotative sont pris en considération maquette de vibration

fixable forcée d’une poutre de Timoshenko avec une ouverture le fissure de bord est étudié dans

cette recherche en utilisant un bilinéaire continu modèle pour le champ de déplacement .La

contrainte et les champs de stress sont calculés par dérivation directe du champ de déplacement et

utilisant le modèle de matériau élastique linéaire. Ensuite, l'équation différentielle partielle du

mouvement pour une distribution de force générale a été obtenue. Par utilisant le principe de

Hamilton Les diagrammes de réponses ont été comparés aux résultats des éléments finis et un

excellent accord a été observé. Ils ont également comparés les résultats à celles de la poutre Euler

et Bernoulli pour montrer l'importance d'utiliser le modèle Timoshenko dans le cas de poutres

courtes. Les résultats ont également été utilisés pour étudier l'effet des sur les diagrammes de

réponse en fréquence. L'étude présentée peut être utilisée dans la détection des fissures des

algorithmes afin d'identifier l'emplacement et la taille de la fissure.

I.6 Conclusion :

Ce chapitre a introduit, pour des vibrations des poutres, l’approche mathématique se base sur

une manipulation de l’équation de mouvement. Une fonction des conditions limites particulières

permet d’isoler des quantités recherchées.

Dans cette partie, nous avons fait une synthèse des travaux consacrés à la dynamique des systèmes

et particulièrement l’identification des paramètres caractérisant le comportement dynamique des

structures mécaniques d’une poutre encastrée-libre.

Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés aux définitions et à la présentation de

l’analyse dynamique d’une poutre (le principe fondamental de la dynamique) ainsi que l’équation

d’équilibre, en mettant l’accent sur la poutre encastrée-libre.

Ensuite, à partir de précédent nous avons étudié une vision générale sur les vibrations des poutres

et il permet de déterminer la réponse intrinsèque à la structure (mode et fréquence). Le travail

présenté dans le chapitre suivant donnera plus de détail sur le sujet avec un exemple mathématique

et apportera un complément à ces méthodes.

Chapitre II : Résolution de l’équation homogène, schéma modal

27

Chapitre II :

Résolution de l’équation homogène,

schéma modal, cas de la poutre encastrée-

libre

II.1 Introduction :

La formulation du problèmes des vibration de flexion des poutres à montrer l’existence de

deux modèles de base, le modèles de Timoshenko qui tient compte de l’inertie rotationnelle

de l’effet de cisaillement transversal, et le modèle d’Euler-Bernoulli qui néglige l’effet de

cisaillement et conduit après élimination de l’inertie rotationnelle à l’équation d’Euler-

Bernoulli qui est l’équation la plus représentative des vibrations de flexion des poutres lorsque

toutes les hypothèses simplificatrices sont présentent. Ce chapitre comporte une étude sur le

modèle d’Euler-Bernoulli et ces équations et la résolution de l’équation homogène, cas de la

poutre encastrée- libre.


28

II.2 Poutre d'Euler-Bernoulli :

Le modèle d’Euler-Bernoulli voit le jour au 18e siècle avec Daniel Bernoulli (1700-1782)

qui formula pour la première fois l’équation différentielle de mouvement d’une poutre

[18]. Ce modèle inclut l’énergie de déformation par flexion et l’énergie cinétique due

au déplacement latéral. Euler y apporta de nombreuses améliorations par ses travaux sur

l’élasticité. Aussi appelée théorie classique des poutres, le modèle d’Euler- Bernoulli reste

le plus commun de par sa simplicité et fournit des approximations acceptables à de nombreux

problèmes d’ingénierie. Cependant, il tend à légèrement surestimer les fréquences naturelles et

se limite, pour l’essentiel, au cas des poutres minces.

Le modèle d'Euler-Bernoulli est l'équivalent du modèle de Love-Kirchoff. La théorie

d’Euler-Bernoulli est utilisée quand le rapport longueur sur diamètre équivalent est supérieur à

vingt. D’après les hypothèses d’Euler-Bernoulli [19], la déformation due cisaillement

transversale n’est pas prise en compte, en plus toute section droite reste plane et perpendiculaire

à la ligne moyenne après déformation. Dans notre cas la théorie d’Euler-Bernoulli est utilisée à

la flexion sur une poutre encastrée libre.

La théorie classique des poutres développée par Euler-Bernoulli est employée seulement

pour les poutres minces car cette théorie néglige l’effet du cisaillement transversal et les

contraintes naturelles.

L’équation de Bernoulli-Euler ci-dessous représente une modèle de bas des vibrations de

flexion des poutres toutes lorsque les hypothèses simplificatrices sont respectées [20], c’est

celui que nous allons d’écrire en premier lieu avec a notation poutre homogène de section

constante avec :

W20 ≡W, E1

≡ E , I3≡I , x1 ≡x El= constante ρS=constante

Les conditions aux limites dans le cas de la poutre encastrée en x=0 et libre en x=l se

traduisent par :

et


29

En séparant W(x,t) en deux fonction w(x,t)=T(t).A(x) et en remplaçant dans l’équation de

mouvement il vient :

On peut donc écrire :

La première de ces deux équations est une équation différentielle ordinaire du 2ème ordre sa

solution peut être écrite sous la forme : T(t)=d1sinwt+d2coswt Ou d1 et d2 sont déterminées par

les conditions initiales.

Avec :

a est appelée nombre d’onde et la relation ( ) relation de dispersion.

L’introduction des conditions aux limites dans la solution spatiale va permettre déterminer a et

par la suite les fréquences propres w.

La forme spatiale présente une solution en deux termes l’un sinusoïdale et l’autre hyperbolique

A(x) =C1 sin(x) + C2 cos (ax) +C3 sinh (ax) +C4 cosh (ax)

En introduisant les conditions limites dans cette équation il vient:


30

En remplaçant C3 et C4 par leurs valeurs dans les deux dernières équations et en écrivant le

système sous forme matricielle on obtient :

La solution non triviale qui annule le déterminant est : cos (al) cosh(al) + 1 =0

C'est l’équation aux fréquences, elle peut s'écrire sous la forme :

. cos (a l) + (1 /cosh(al))=0

Et peut-être approximée pour al >> 1 par cos (al) = 0 ie 𝒂𝒏𝒍 = 𝝅(𝒏+𝟏

𝟐) , 𝒏 > 𝟑

Notant ici qu'on peut obtenir les valeurs numériques des nombres d'onde sans

dimension par la résolution directe de l’équation aux fréquences, ce qui n’est pas le cas pour

les autres modèles.

Les premières racines de cette équation sont : a l l = 1,87510 a21 = 4,6 4

a31 = 7,85476 a41 = 10.99554

Si on norme C1=1 on trouve

A ( x ) = s i n ( a x ) s i n h ( a x ) 𝜑( a 1 ) ( c o s ( a x ) c o s h ( a x ) )

A v e c :

La solution générale de l’équation homogène représentative des vibrations de flexion selon le

modèle d’Euler dans le cas d’une poutre encastrée libre est :

d1 et d2 sont déterminée par les conditions initiales

(2.7)


31

Les huit premières valeurs de nombres d’ondes de ce modèle et les fréquences propres du

mode correspondant pour une outre encastrée libre présentant le caractéristiques suivant :

E=200Gpa I=0.0001171m2 ρ=7830Kg/m3 ET S=0.0097389m2

Sont donnés dans le tableau 1 suivant :

Mode

n

Nb d'onde

(anl)

Fréquence Propre

wn(rd/s) wn/w1

1 1,875 1948,536 1

2 4,694 12211,265 6,267

3 7,855 34191,895 17,547

4 10,996 67002,467 34,386

5 14,137 110759,879 56,842

6 17,279 165456,081 84,913

7 20,42 231091,552 118,597

8 23,562 307666,268 157,896

Tab II.1 : nombres d’onde et fréquence propres de la poutre d’Euler

Les fréquences naturelles peuvent être exprimées sous la forme :

Relation à partir de laquelle on peut écrire ou r est e rayon de giration donné par

pouvant ainsi tracer en fonction de r ceci va nous être utile lorsque nous

allons n comparer les fréquences naturelle avec eux prédit ara les autres modèles.

Les fonctions An(x) sont appelées fonction propres ou déformées propre et constituent un base

sur laquelle peut être projeté la solution du problème.


32

II.2.1 Méthode de Bernoulli-Euler :

En assumant le modèle de Bernoulli-Euler pour la pièce d'épaisseur uniforme;

où, (EI)A est la rigidité en flexion effective de la section A et (EI)B est la rigidité en flexion de

la section B. Les variables 𝜌𝐴, 𝜌𝐵 et AA et AB sont les densités de masse et les sections

appropriées [26]. Celles-ci sont données par l'équation suivante :

Le comportement de la poutre d’Euler-Bernoulli, en régime harmonique [21], est décrit par

les équations suivantes :

a. Vibrations longitudinales :

Équation d’équilibre : 𝑑𝑁

𝑑𝑠(𝑠) = 𝜌𝐴𝑤2𝑣(𝑠)

Loi de comportement : 𝑁(𝑠) = −𝐸𝐴𝑑𝑣

𝑑𝑠(𝑠)

Équation d’onde ∶ 𝑑2𝑣

𝑑𝑠2(𝑠) = −𝑥2𝑣(𝑠) 𝑜𝑢 𝑥 = √

𝜌𝑤2

𝐸=

2𝜋

𝜆𝑐


33

b. Vibrations transversales :

𝜆𝑐 désigne la longueur de l’onde de compression et 𝜆𝑓 la longueur de l’onde de flexion dans

l’élément considéré pour la pulsation w. Les deux longueurs d’onde sont reliées par l’équation

suivante : 𝜆𝑓2 = 𝜆𝑐2𝜋√

𝐼

𝐴= 𝜆𝑐2𝜋

𝑎

√12

Or, la description des vibrations par un modèle de poutre d’Euler-Bernoulli n’est valable que si

les longueurs d’onde sont significativement plus grandes que les épaisseurs donc 𝜆𝑓 >> a.

Ainsi, pour une fréquence donnée, la longueur de l’onde de flexion est beaucoup plus courte

que celle de l’onde de compression 𝜆𝑓

𝜆𝑐= 0(

𝑎

𝜆𝑓) ≪ 1

Les équations de la poutre d’Euler-Bernoulli sont intégrées sur la longueur de l’élément en

prenant comme conditions aux limites les valeurs inconnues des déplacements et rotations aux

nœuds :

𝑢𝐷 , 𝑢𝐹, 𝑣𝐷 , 𝑣𝐹 , 𝜃𝐷 , 𝜃𝐹 . Cela permet d’écrire les expressions des efforts nodaux dans le repère

local :


34

En considérant la théorie classique des poutres d’Euler-Bernoulli [22], le champ de

déplacement peut être écrit sous la forme :

𝑂𝑀 (𝑥, 𝑧) = 𝑈𝑖 = (𝑢𝑖(𝑥) + (𝑧 − 𝑧𝑖)𝛽𝑖(𝑥)

𝑊(𝑥)) 𝛽𝑖 =

𝜕𝑤

𝜕𝑥 , 𝛽2 = 𝛽(𝑥), 𝑖 = 1,3,

Ou Ui est le vecteur déplacement de la couche i, Ui est le déplacement longitudinal da le plan

moyen des faces, Zi est la cote du plan moyen de la couche i, β2 = β(x) est u rotations

additionnelle dans la couche viscoélastique qui permet de prendre en com le cisaillement dans

cette couche. Le déplacement transversal W(x) est commun à trois couches. Le repère considéré

est tel que le plan (x, y) coïncide avec la plan méd de la couche viscoélastique. On a :

𝑧1 =ℎ1 + ℎ2

2 , 𝑧2 = 0 , 𝑒𝑡 𝑧3 =

ℎ3 + ℎ2

2

La convention ζ,x = ∂ζx et la condition de continuité du déplacement aux interfaces nous

permettent d’écrire :

𝑢2 =𝑢1 + 𝑢3

2+

ℎ1 − ℎ3

4𝑤,𝑥

𝛽2 =𝑢1 − 𝑢3

ℎ2+

ℎ1 + ℎ3

2ℎ2𝑤,𝑥 ou 𝑤,𝑥 =

𝜕𝑊

𝜕𝑥


35

L’équation résiduelle est formulée en utilisant le principe des travaux virtuels :

Ou δΓ représente la déformation virtuelle, Si est le tenseur des contraintes défini par la

relation:

avec

D’un point de vue numérique, le problème est discrétisé en utilisant des éléments poutres. En

remplaçant les variables u2 et β2 par leur expression en fonction de u1, u3, wx ; chaque nœud a

quatre degrés de liberté. Le vecteur nodal est égal à

𝑣 = {

𝑢1

𝑢3

𝑤𝑤, 𝑥

} L’équation résiduelle discrète est :

Une forme générale de l’équation caractéristique pour une poutre d’Euler-Bernoulli [23]

représente par l’équation suivant. Une combinaison des Bi de valeur zéro ou infini correspond

à des conditions limites classiques.


36

Ou �� … sont des fonctions trigonométriques de la fréquence adimensionnelle donnée ci-

dessous :

II.2.2 Méthode de calcul :

L'équation différentielle en flexion de la poutre considérée (une poutre encastrée libre à section

variable rectangulaire), en théorie d'Euler-Bernoulli s'écrit (Théorie d'Euler-Bernoulli):

𝜕2 (𝐸𝐼𝑧𝜕2𝑣𝜕𝑥2)

𝜕𝑥2= −𝜌𝐴

𝜕2𝑣

𝜕𝑡2 ou 𝐼𝑧 et 𝐴 variant avecl′abscisse

Les fréquences propres sont alors de la forme :

𝑓𝑖 =1

2𝜋𝜆𝑖(𝛼, 𝛽)

ℎ1

𝐿2 √𝐸

12𝜌 avec 𝛼 =

ℎ0

ℎ1 𝛽 =

𝑏0

𝑏1

Dans le cas d’une poutre vérifiant les conditions de Bernoulli-Euler [24] (absence de

cisaillement transverse), l’équation de mouvement des vibrations libres en flexion s’écrit

𝐸𝐼𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 𝜌𝐴

𝜕2𝑤

𝜕𝑡2= 0 , où w est le déplacement transverse, E est le module d’Young du

matériau, I est le moment quadratique de la section droite de la poutre, ρ est la masse volumique

du matériau et A est l’aire de la section droite de la poutre. La solution est explicitée par Adams

et Bacon sous la forme : 𝑤(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑋𝑛∞𝑛=1 (𝑥) sin𝑤𝑛 𝑡

Où ω n est la fréquence angulaire propre et Xn (x) est la déformée écrite suivant :

𝑋𝑛(𝑥) = 𝐴𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑛

𝑥

𝑎+ 𝐵𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑛

𝑥

𝑎+ 𝐶𝑛𝑠𝑖𝑛𝑘𝑛

𝑥

𝑎+ 𝐷𝑛𝑐𝑜𝑠ℎ𝑘𝑛

𝑥

𝑎

Où An, Bn, Cn, Dn sont des constantes dépendant des conditions aux extrémités de la poutre et

Kn est lié à la fréquence propre λn par la relation :

𝑘𝑛4 = (

𝜆𝑛

𝑎)4 =

𝜌𝐴

𝐸𝐼𝑤𝑛

2 =𝑚

𝐸𝐼𝑎𝑤𝑛

2

Où a est la longueur de la poutre et m sa masse.


37

L’énergie dissipée par cycle est : ∆𝑈𝑛 = 𝜋𝐹𝑚𝑤𝑐𝑚 Où et Fm Wcm sont les valeurs crêtes de

la force et de la flèche correspondantes. Ces valeurs sont données par :

𝐹𝑚 = Ӷ𝑑𝐼𝑚𝑎𝑥 𝑤𝑐𝑚 =𝑉𝑚𝑎𝑥

Ӷ𝑑

1

𝑤𝑛

Où Imax est l’intensité crête du courant induit dans l’excitation, Γd est le facteur de

sensibilité de l’excitation et Vmax la tension crête mesurée aux bornes du capteur.

Le coefficient d’amortissement spécifique a été ensuite déterminé à partir de la relation :

𝛹 =∆𝑈𝑛

𝑈𝑛

Où le coefficient d’amortissement ψ est lié au facteur de perte η par la relation : 𝛹=2 π η

II.3 Application pour la poutre encastrée libre :

Vibrations forcées d'une poutre en rotation : Selon la théorie d'Euler Bernoulli, l'équation

différentielle d'une poutre en rotation

Fig II.1: Poutre uniforme en rotation

La force de tension centrifuge T(z) à une distance z de l'origine s'écrit :

𝑇(𝑧) = 𝛺2 ∫ 𝑦𝜇(𝑦)𝑑𝑦𝑙

𝑧

Où, u est le déplacement relatif d'un point par rapport à sa position statique, p est la force

appliquée par unité de longueur, _ est la masse par unité de longueur de la poutre, est la vitesse

de rotation de la poutre, Eb est le module d'élasticité, Ib est le moment d'inertie de la section

transversale de la poutre et l désigne la longueur de la poutre.


38

L'e_et de la gravité sur la rotation de la poutre est considéré négligeable par rapport à l'e_et

centrifuge. Les conditions aux limites pour une poutre en rotation encastrée-libre sont données

par:

L'expression de la flexion de la poutre peut s'écrire sous la forme :

𝑢(𝑧, 𝑡) = ∑ ∅𝑖(𝑧)𝑞𝑖𝑛𝑖=1 (𝑡)

Avec, i(z) sont les fonctions de formes ; qi(t) sont les coordonnées généralisées.

Les fonctions de formes doivent être linéairement indépendantes et doivent satisfaire les

conditions aux limites suivantes : ∅𝑖(0) =𝑑∅𝑖(0)

𝑑𝑧= 0

L'énergie potentielle du système s'écrit :

Où, K est la matrice de raideur généralisée de la poutre, tel que : K=Ke + Kg

Avec, Ke est la matrice de rigidité élastique ; Ke = ∫ 𝐸𝑏𝐼𝑏(𝑧)𝑑2∅(𝑧)

𝑑𝑧2

𝑙

0(𝑑2∅(𝑧)

𝑑𝑧2 )𝑇

𝑑𝑧

Kg est la matrice de rigidité géométrique. Kg = ∫ 𝑇(𝑧)𝑑∅(𝑧)

𝑑𝑧

𝑙

0(𝑑∅(𝑧)

𝑑𝑧)𝑇

𝑑𝑧

Ke et Kg ont les expressions suivantes :

F(t) est le vecteur du chargement dynamique, qui est calculé comme suit

𝐹(𝑡) = ∫ ∅(𝑧)𝑝(𝑧, 𝑡)𝑑𝑧𝑙

0


39

II.3.1 Les vibrations des poutres encastrées libre en flexion :

Soit une poutre encastrée libre dont le module d’élasticité de la poutre est E et son inertie de

surface par rapport à un axe Z est I(x) [25].

Le moment de flexion s’exprime comme suit :

𝑀(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐼(𝑥)𝜕2𝑤(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2 …… éq5

L’équation du mouvement conduit à l’expression suivante :

−𝜕2

𝜕𝑥2[𝑀(𝑥, 𝑡)]𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝜌𝐴𝑑𝑥

𝜕2𝑤(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2 …… éq6

L’équation 6 devient :

𝜌𝐴𝜕2𝑤(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2+

𝜕2

𝜕𝑥2[𝐸𝐼

𝜕2𝑤(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2] = 𝑓(𝑥, 𝑡) …… é𝑞7

En considérant f(x, t) =0, l’équation 7 devient :

𝜕2𝑤(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2+ 𝐶2

𝜕4𝑤(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2= 0 …… éq8

𝐶 = √𝐸𝐼

𝜌𝐴 ……é𝑞9

Le degré de l’équation différentielle 7 demande quatre conditions aux frontières et deux

conditions initiales. On pose :

𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) ……é𝑞10

1. Solution temporelle : L’équation temporelle s’exprime comme : T ''(t) +ω2T(t) = 0

La solution de l’équation différentielle est : T (t)= Asin ωt + B cosωt

Où A et B sont des constantes à déterminer d’après les conditions initiales.

2. Solution spatiale : On suppose une solution de la forme : X (x) = Ae βx

On trouve : X (x) = a1 sin βx + a2 cos βx + a3 sinh βx + a4 cosh βx

sinh(𝛽𝑥) =1

2(𝑒𝛽𝑥 − 𝑒−𝛽𝑥) cosh(𝛽𝑥) =

1

2(𝑒𝛽𝑥 − 𝑒−𝛽𝑥)

Les constantes a1, a2, a3 et a4 devront être déterminées d’après les conditions aux frontières.


40

3. Raideur d’une poutre en console :

x = F.L3 /3.E.I or F = k. x d’où k = 3.E.I/L3

II.3.2 Application pour la poutre à étudier :

Soit une poutre de longueur 0.5m, épaisseur 0.005m, masse volumique 7850Kg/m3 et module

de Young 200*10+9 N/m2.

Fig II.2: Géométrie de la poutre étudier

E: module de young= 200*10+9 N/m2

I : moment d’inertie de flexion = bh3/12=0.3125*10-9 m4 avec : b=0.03m

S : Section =0.00015 m2

L : Longueur de la poutre =0.5 m

Calculer les fréquences par Euler :

La fréquence d’Euler est 𝑊𝑛 = √𝐸𝐼

𝜌𝑆𝐿4 (𝐾𝑛𝐿)2 avec CL :

𝑊(0) = 0 𝜕2 𝑊

𝜕𝑥2(𝐿, 𝑡) = 0

𝜕 𝑊

𝜕𝑥2(0, 𝑡) = 0

𝜕3 𝑊

𝜕𝑥3(𝐿, 𝑡) = 0


41

Les 10 premières valeurs des nombres d’onde et les fréquences propres des modes

correspondants pour la poutre à étudier expérimentalement (chapitre 3) sont reportées sur le

tableau 2 :

N° KnL

Fréquence propre

Wn

1 3,52 16,32

2 22,4 103,89

3 61,7 286,17

4 121 561,20

5 298,55 1384,72

6 416,99 1934,04

7 555,16 2574,90

8 713,07 3307,32

9 890,73 4131,29

10 1088,12 5046,82

Tab II.2 : Nombres d’ondes et fréquences propres de la poutre.

II.4 Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons analysé les vibrations libres des poutres en utilisant la théorie

classique d'Euler-Bernoulli, l’objectif visé est de voir et de déterminer les différentes méthodes,

équations et leurs solutions concernant cette théorie. Quelque méthode de calcul d'Euler-

Bernoulli utilisée a été aussi présentée avec un exemple d’application pour la vibration de la

poutre encastrée-libre en rotation et en flexion. Elles permettent d’obtenir une idée générale sur

la formulation du problème des vibrations des poutres pour cette méthode de base.

Chapitre III Partie expérimentale

42

Chapitre III :

Partie expérimentale

III.1 Introduction :

L’analyse vibratoire des poutres est d’une grande importance dans la conception de

nombreux systèmes mécaniques ainsi que pour l’évaluation de leur performance. On peut citer

par exemple, les aubes de turbomachines, les pales des hélicoptères ou d’éoliennes mais

également les panneaux flexibles des satellites. Il existe de nombreuses méthodes éprouvées

pour estimer les fréquences propres et modes propres : comme mes méthodes matricielles ou

des éléments finis… Mais nous avons tenu à choisir des méthodes très simples et d’une

utilisation immédiate qui n’en constituent pas mois de remarquables approximation comme

nous le verrons plus loin. Le but est consisté de calculer à investir l’analyse des paramètres

fréquentiels naturelles d’une poutre rectangulaire.


43

III.2-Plan expérimental et matériels utilisés :

III.2.1-Montage expérimentale :

Dans ce papier, nous avons étudié les vibrations d’une poutre encastrée libre, pour but de

faire une comparaison des valeurs des modes propres calculés numériquement (chapitre 02)

avec celles obtenu expérimentalement par trois méthodes d’excitations.

Une excitation vibratoire trop importante peut être entraînée par une excitation des modes

propres (fréquences de résonance) de la structure. Une ou plusieurs sources génèrent des

vibrations sur un mode propre de vibration de la structure, l'amplitude de la vibration de la

structure est alors très supérieure à l'amplitude de l'excitation et peut donc en provoquer la ruine

par fatigue. L'expertise consiste ici à identifier les modes de vibrations de la structure. Il existe

des méthodes pour déterminer les fréquences propres d'un système :

1-L’utilisation d'un pot vibrant pour une caractérisation vibratoire de la pièce (détermination

des fréquences de résonance), des essais de fatigue vibratoire, …

La caractérisation au pot vibrant étant surtout utilisée pour le dimensionnement ou la

qualification du matériel en laboratoire avant utilisation ;

2-L’utilisation d'un marteau de choc pour une analyse modale de structure, la pièce étant excitée

successivement en plusieurs points et la réaction vibratoire mesurée à l'aide d'un capteur

d'accélération (accéléromètre, vibromètre laser). L'analyse au marteau de choc étant utilisée

pour une caractérisation de la structure.

3-L’utilisation d’un capteur de forces et (têtes d'impédance) Une rondelle de matériau piézo-

électrique peut facilement être insérée dans une interface entre deux structures (par exemple

entre une machine et sa fondation) pour mesurer les efforts dynamiques transmis. Elle sera le

plus souvent mise en précontrainte par un boulon central. Les efforts transmis se partageant

entre la rondelle piézo-électrique et cette tige de précontrainte suivant l'exact prorata de leurs

raideurs respectives, qui peuvent être étalonnées très précisément, permettent de déterminer

l'effort total. On appelle ce dispositif de mesure des efforts vibratoires « capteur de forces » ou

« rondelle de charges ». Réalisées en général en quartz piézo-électrique pour présenter une très

grande raideur intrinsèque, elles ne mesurent que les efforts dynamiques.

Nous considérons la poutre représentée sur la figure ci-dessus. Elle est encastrée à l’une de ses

extrémités et libre sur l’autre. Afin de conduire l’analyse dynamique en projection sur une base

modale réduite, nous commençons par construire la base modale de la structure pour trois type

d’excitation :( marteau de choc, exciteur électromagnétique, la tête d’impédance) sans et avec

https://fr.wikipedia.org/wiki/Mode_normal

https://fr.wikipedia.org/wiki/Mode_normal

https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sonance

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pot_vibrant

https://fr.wikipedia.org/wiki/Acc%C3%A9l%C3%A9rom%C3%A8tre

https://fr.wikipedia.org/wiki/Vibrom%C3%A8tre_laser


44

amortissement. Les valeurs des modes propres sont mesurées et enregistrées pour chaque mode

d’excitation.

Les figures III.1 présentent le montage expérimental pour la mesure de modes propres par les

trois méthodes.

Les caractéristiques de la poutre utilisée est :

La poutre est en acier de longueur 0.5m, de largeur b=0.03m et d’épaisseur 0.005m,

Masse volumique 7850 Kg/m3 et

E: module de young= 200*109 N/m2

I : moment d’inertie de flexion = bh3/12=0.3125*10-9 m4

S : Section =0.00015 m2


45

Fig.III.1 : Montage experimentale.

III.2.2-Matériels d’acquisition des mesures :

La combinaison d'entrées et de sorties « générateurs » en fait une solution d'analyse complète

et autonome. Ce module est idéal pour les applications requérant un signal d'excitation

- essais électroacoustiques et audio, par exemple. Le Type 3160 est disponible en deux versions

de base, 2 entrées/2 sorties et/ou 4 entrées/2 sorties. Toutes les voies, entrée et sortie, offrent

une gamme de fréquences de CC à 51,2 kHz.

Le Type 3160 peut être utilisé comme un appareil d'acquisition de données autonome ou

intégré à un important système de mesure LAN-XI. La combinaison voies d’entrées et de

sorties, les façades avant interchangeables - permettant l'utilisation d'une large gamme de

capteurs, offrent au module d’acquisition de données Type 3160, une polyvalence quasiment

unique sur le marché.


46

Fig.III.2 : Générateur type 3160.

La large gamme de capteurs de vibrations de Brüel & Kjær inclut des accéléromètres, capteurs

de force, têtes d'impédance, marteaux d’impact, sondes tachymétries, calibreurs, des câbles et

accessoires.

Nos instruments de mesure de vibrations sont utilisés dans un grand nombre d'industries et à

des fins différentes, néanmoins ils présentent des caractéristiques communes :

Stabilité - des mesures stables et précises pour des performances inégalées

Haute qualité et durabilité – nos tests rigoureux vous offrent tranquillité d'esprit et

optimisation de votre investissement à long terme

Flexibilité - une gamme complète de produits et de services pour répondre à vos besoins

spécifiques

Pour simplifier le processus de paramétrage des mesures, réduire au minimum les erreurs

d'installation et faciliter l’accès aux informations relatives au capteur, des codes de matrice de

données sont gravés sur certains.

1 Marteau de choc :

Pour l’excitation de structures importantes. Gamme de mesures de 20 000 N. Sensibilité de

0,2 mV/N. Modèle à électronique intégrée. Possibilité d’utiliser de très grandes longueurs de

câble (500 mètres) Poids : 500 g.

Applications : Analyse de structures, caractérisation de résonances, observation de déformées

opérationnelles, analyse modale.


47

,

Fig.III.3 Marteau de choc.

2 Excitateur électromagnétique

Fig. III.4 Excitateur électromagnétique.

L’excitateur cumule une double fonction haute et basse fréquence. Il est conçu pour exciter

les structures pour la recherche de vibrations. En combinant un générateur de vibrations

piézoélectrique haute fréquence et un générateur de vibrations électromagnétiques de basse

fréquence, toute la gamme audio peut être excitée. Ce générateur de force est compact et léger,

il peut facilement être lié à une structure de test dans n'importe quelle position avec aucun

support externe.

Fréquence : 10 à 7.5K Hz

Poids suspendu : 4.8 lbs

Poids total : 8.2 lbs


48

3 La tête d’impédance :

Les têtes d’impédance intègrent un accéléromètre et un capteur de force piézoélectrique

IEPE pour faire simultanément des mesures dynamiques d’accélération et de force. Les

sensibilités sont respectivement de 5 ou 10 mV/N pour le capteur de force et de 50 ou 100 mV/g

pour l’accéléromètre, à choisir selon les gammes de mesure à effectuer.

Fig. III.5 : La tête d’impédance.

L’utilisation de capteurs de type IEPE procurent des mesures précises des forces appliquées

sur une large gamme de fréquences, offrant ainsi un panel étendu d’essais possibles dans le

cadre d’analyse modale, à la différence des capteurs de type jauge de contrainte qui ne sont

utilisés que pour des environnements statiques ou quasi statiques.

Comme tous les capteurs IEPE le conditionnement des mesures est très facile et ces têtes

peuvent être connectées directement sur de nombreux systèmes d’acquisition ou d’analyse

équipés de la fonctionnalité alimentation IEPE sur les gammes de 2 à 10 mA et de 18 à 28 V.

Des câbles de longueur à façon peuvent être fournis pour s’adapter à tous les bancs d’essais.

Un certificat d’étalonnage accompagne chaque tête pour permettre une traçabilité aux systèmes

nationaux d’étalonnage.


49

III.3- Traitements des Résultats et discussion :

On présent dans ce qui suit les résultats des modes propres pour la même poutre excité par

les trois méthodes avec et sans amortissement, les expériences avec amortissement sont réalisé

on collant un matériau caoutchoutières le long de la poutre.

III.3.1 Résultats expérimentaux :

1 -Résultats expérimentaux de l’excitateur sans amortissement

Le tableau. III.1 montre les modes propres d’excitateur sans amortissement SA1 et SA2

obtenu de l’essai de vibration de l’excitateur électromagnétique (pot vibrant).

Tab III.1 : Les modes propres d’Excitateur SA.

Les figures III.6 présente le spectre de fréquence obtenue de la mesure par le pot vibrant SA.

mode

Fréquence (Hz) Fréquence (Hz)

Moy SA1 SA2

1 15 15,5 15,25

2 99,5 98,5 99

3 280 276 278

4 548 547 547.5

5 902 902 902

6 1352 1354 1353

7 1865 1869 1867

8 2450 2450 2450

9 3170 3170 3170


50

Fig III.6 : Spectre fréquence- d’excitateur SA.

2- Résultats expérimentaux de l’excitateur avec amortissement

Le tableau III.2 montre les modes propres issus de l’essai d’excitation avec pot vibrant et avec

amortissement (fig.III.7).

mode Fréquence (Hz)

1 15

2 97.5

3 272

4 540

5 893

6 1335

7 1835

8 2448

9 3132

Tab III.2 : Les modes propres d’excitateur GM.

La figure III.7 montre le spectre de fréquence obtenu de l’essai de vibration de l’excitateur avec

amortissement.


51

Fig.III.7 : Spectre fréquence-amplitude d’excitateur GM.

3 - Résultats expérimentaux de marteau de choc avec amortissement :

mode Fréquence

(Hz)

1 16

2 97

3 272

4 540

5 892

6 1330

7 1835

8 2440

9 3127

Tab III.3 : Les modes propres pour Le marteau de choc.


52

Fig.III.8 : Spectre de fréquence du marteau de choc Avec amortissement.

Le figure III.8 montre Spectre fréquence-amplitude obtenu après l’essai de vibration du marteau

de choc.

Le tableau. III.3 montre les modes propres du marteau de choc, obtenu après l’essai de vibration

de marteau de choc d’après son spectre fréquence-amplitude (fig.III.8).

4 - Résultats expérimentaux de marteau de choc sans amortissement (SA) :

mode

Fréquence

(Hz)

1 16

2 98

3 275

4 547

5 904

6 1349

7 1861

8 2450

9 3163

Tab III .4 : Les modes propres du marteau de choc SA.


53

Fig.III.9 : Spectre fréquence-amplitude du marteau de choc SA.

Le figure III.9 montre Spectre fréquence-amplitude obtenu après l’essai de vibration du marteau

de choc.

Le tableau. III.4 montre les modes propres du marteau de choc SA, obtenu après l’essai de

vibration de marteau de choc SA d’après son spectre fréquence-amplitude (fig.III.9).

5- Résultats expérimentaux : pour la tête impédance sans amortissement SA :

mode Fréquence (Hz)

1 -

2 99

3 276

4 547

5 901

6 1356

7 1869

8 2481

9 3176

Tab III.5 : Les modes propres de la tête IMP SA.


54

Fig.III.10 : Spectre fréquence-amplitude de la tête IMP SA.

Le figure III.10 montre Spectre fréquence-amplitude obtenu après l’essai de vibration de la tête

impédance SA.

Le tableau III.5 montre les modes propres de la tête impédance SA, obtenu après l’essai de

vibration de la tête impédance SA, d’après son spectre fréquence-amplitude (figs.III.10).

6- Résultats expérimentaux : pour la tête impédance avec amortissement :

mode

Fréquence

(Hz)

1 -

2 98

3 272

4 537

5 892

6 1341

7 1851

8 2438

9 3124

Tab III.6 : Les modes propres de la tête IMP.


55

Fig.III.11 : Spectre fréquence-amplitude de la tête IMP.

Le figure III.11 montre Spectre fréquence-amplitude obtenu après l’essai de vibration de la tête

impédance.

Le tableau. III.6 montre les modes propres de la tête impédance, obtenu après l’essai de

vibration de la tête impédance, d’après son spectre fréquence-amplitude (figs.III.11).

III.3.2- Comparaison des résultats :

On présente sur le tableau III.7 les valeurs des modes propres pour les différentes modes

d’excitations avec et sans amortissement, on remarque une diminution des valeurs des

fréquences pour le cas amorti, l’amortissement a une influence sur les valeurs des fréquences

propres.


56

mode Calcul

numérique

Excitateur

électromagnétique marteau de choc

Tête

d’impédance

Avec Amorti Sans Amorti Avec

Amorti

Sans

Amorti

Avec

Amorti

Sans

Amorti

1 16,32 15 15,25 16 16 - -

2 103,89 97.5 99 97 98 98 99

3 286,17 272 278 272 275 272 276

4 561,20 540 547.5 540 547 537 547

5 926 893 902 892 904 892 901

6 1384,72 1335 1353 1330 1349 1341 1356

7 1934,04 1835 1867 1835 1861 1851 1869

8 2574,90 2448 2450 2440 2450 2438 2481

9 3307,32 3132 3170 3127 3163 3124 3176

Tab III.7 : Comparaison des résultats des modes propres.

III.3.3 - Résultats obtenu par simulation sur Solidworks :

On a utilisé le logiciel de dessin et de conception Assisté par ordinateur Solidworks, pour la

simulation d’une poutre dont les caractéristiques sont presque les mêmes que notre poutre.

Les résultats des modes propres sont présenté dans le tableau III.8, on constate que les valeurs

obtenus sont très proche aux celles calculées numériquement.

mode Fréquence

(Hz)

1 16.35

2 97.59

3 286.71

4 561.53

5 927.67

6 1384.8

7 1932.4

8 2523.3

9 3296.7

TAB. III.8 : Les modes propres obtenus par SolidWorks.


57

Fig. III.12. Fenêtre du logiciel SolidWorks.

La figure III.13 montre l’évolution des différents modes propres avec et sans amortissement

pour les trois modes d’excitations, on remarque d’après la figures un décalage des valeurs des

fréquences propres due à l’effet de l’amortissement.

Fig.III.13 : Différente évolution des modes propres.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9

Am

plit

ud

e

Fréquence

Excitateur

Exciteur SA

Hammer

Hammer SA

Tete IMP SA

Tete IMP


58

III.4 Conclusion :

Cette étude illustre une démarche allant de la modélisation du système (la mesure directe pour

les fréquences par Euler), la réalisation d'essais expérimentaux (les vibrations d’une poutre en

acier encastrée –libre en trouvons les modes propres pour les essais de marteau de choc, exciteur

électromagnétique et la tête d’impédance sans et avec amortissement), jusqu'à la mise en place

de techniques numériques et la comparaison essais-calculs.

La comparaison de trois principaux modes propres disponibles a montré que les valeurs de

fréquences obtenues par les trois méthodes sont plus au moins proche l’une de l’autre, et les

valeurs du calcul direct sont proches de celles de simulation par solidworks. L’amortissement

influe sur les valeurs des modes propres où on constate une diminution des valeurs de ce dernier,

donc on peut changer les valeurs des modes propres d’une structures en ajoutons une masse ou

un objet qui va jouer le rôle d’un amortisseur, l’intérêt de ce changement peut-être par exemple

l’éloignement d’une fréquence de résonance.

Conclusion générale .

59

Conclusion générale

L’état de l’art sur a montré que les travaux expérimentaux et de modélisations étaient

nombreux et souvent issus de la poutre. Ces travaux ont fortement orientés ce travail, ces

importantes approximation nous permettra de traiter le cas plus complexe d’une poutre vibrante

en présence d’amortissement et sans amortissement, tout simplement en traitant chaque mode

propre individuellement comme on oscillateur harmonique indépendant.

L’identification appliquée aux structures est un problème clé de la maîtrise de la vibration .La

mesure directe numérique et les essais expérimental sont souvent impossible et seuls les calculs

vibratoires sont accessibles. Dans ce contexte la méthode a été proposée visant à caractériser les

essais pour les vibrations qu’ils induisent.

Le travail présenté ici se compose de trois partie, la première partie est consacrée à la

formulation du problème des vibrations des poutres ou une étude détaillée du cas de la poutre

encastrée-libre est présentée. Dans cette partie, nous avons fait des études bibliographique

consacrés l’identification des paramètres caractérisant le comportement dynamique des structures

mécaniques d’une poutre encastrée-libre. Nous sommes intéressés aux définitions et à la

présentation de principe fondamental de la dynamique d’une poutre ainsi que l’équation

d’équilibre, équations de déformation…. Après une classification de diverses formes des

vibrations qu’il permet de déterminer la réponse intrinsèque à la structure à partir de le calcul des

modes et des fréquences propre, on introduit une simplification supplémentaire à l’équation

classique des vibrations des poutres, équation d’Euler.

A travers cette étude, nous avons orienté notre travail vers la deuxième partie, pour voir les

différentes méthodes, les équations et leurs solutions concernant la théorie d’Euler-Bernoulli.

Le problème formulé en termes d’équations de mouvements, des conditions limites est résolus

pour le modèle décrit par les théories d’Euler. La solution est donnée dans le cas du sous forme de

nombres d’ondes, fréquences et modes propre, cette résolution (fréquences et modes) dans la base

modale réduit considérablement la taille du problème. La connaissance de cette base modale

permet également d’étudier la stabilité d’une structure soumise à une excitation proportionnelle à

un ou plusieurs modes propres.

Conclusion générale .

60

Pour finir, les résultats ont montré les trois modes d’excitations qui sont présents dans l’expérience

mais le mode plus fiable est de marteau de choc. Ce résultat est particulièrement intéressant

puisqu’il est légitime le calcul direct comme outil de prédiction des fréquences théorique même si

le calcul transitoire est nécessaire pour connaitre le mode qui apparaisse parmi ces modes instables,

ce travail met l’accent sur l’importance de la modélisation théorique et la comparaison

expérimentale des différents essais vibratoires avec une corrélation essais-calcul approche et ainsi

aboutir à tout à fait satisfaisante.

Références bibliographiques .

59

Références bibliographiques

[1] Ferhat Bekhoucha, Said Rechak, Jean-Marc Cadou: Sensibilité des caractéristiques

dynamiques d’une poutre rotative encastrée uniforme avec une méthode de perturbation,

CSMA 2017 13ème Colloque National en Calcul des Structures 15-19 Mai 2017.

[2] Anders Thorin, Gilles Foret: Calcul des structures : Introduction au calcul de structures

élastiques linéaires. Ecole d'ingénieur. (MEC441) MODAL - Génie Civil, Palaiseau, France.

[3] Cours de la poutre: effort en flexion.

[4] Luc Jaouen : Vibrations des milieux discrets et continus, avril 2005.

[5] Alain Pecker : dynamique des structures et des ouvrages, 2006.

[6] Braghta Salah : Reconstruction des charges dynamiques réparties sur la poutre de Bernoulli

par la méthode de sélection des modes. Mémoire pour l’obtention du magister, Université 08

Mai 1945 de Guelma, 2011.

[07] H. Shen et al free: Vibrations of beams with a single-edge crack, journal of sound and

vibration (1994) 170 (2), 237-259.

[08] N. Chien et al: Conservation laws for nonhomogeneous Bernoulli-Euler beams, int. J.

Solids structures vol. 30, no. 23, pp. 3321-3335, 1993 printed in Great Britain

[09] M. Levinson: New rectangular beam theory, journal of sound and vibration (1981) 74(l),

81-87.

[10] P. F. Rizos et al: Dentification of crack location and magnitude in a cantilever

beam from the vibration modes, journal of sound and vibration (1990) 138(3), 381-388.

[11] Y. C. Chu et al: Vibrations of beams with a fatigue crack, computers & structures vol.

4.5, no. 1, pp. 79-93, 1992.


60

[12] ömer civalek et al: Bending analysis of microtubules using nonlocal Euler–Bernoulli

beam theory, applied mathematical modelling 35 (2011) 2053–2067.

[13] kaushar H. Barad et al: Crack detection in cantilever beam by frequency based method,

procedia engineering 51 (2013) 770 – 775.

[14] A. Labuschagne: Comparison of linear beam theories, mathematical and computer

modelling 49 (2009) 20–30.

[15] Luca Luschi et al: A simple analytical model for the resonance frequency of perforated

beams. Procedia engineering 47 (2012) 1093 – 1096.

[16] Salvatore Caddemi et al: Multi-cracked Euler–Bernoulli beams: mathematical modeling

and exact solutions, international journal of solids and structures 50 (2013) 944–956.

[17] Mahdi Heydari et al: Forced vibration analysis of a Timoshenko cracked beam using a

continuous model for the crack, engineering science and technology, an international journal

17 (2014) 194 -204.

[18] François Horel : modélisation analytique de l’amortissement des poutres composites

sandwich contenant des couches viscoélastiques, mémoire présenté en vue de l’obtention du

diplôme de maîtrise ès sciences appliquées, ÉCOLE polytechnique DE Montréal, décembre

2013.

[19] Mr. Kheladi Zakarya : Étude du comportement vibratoire d’un arbre tournant sous l’effet

d’un gradient thermique. Mémoire de fin d’études pour l’obtention du diplôme de master en

Génie-Mécanique, Université Aboubekr Belkaid -Tlemcen. Juin 2013.

[20] Lahouari Khadir : Étude du phénomène de résonance des pièces complexes en

Aluminium, mémoire présente à l’université du QUÉBEC à CHICOUTIMICOMME exigence

partielle de la maitrise en ingénierie.


61

[21] Céline Chesnais : Dynamique de milieux réticulés non contreventés application aux

bâtiments, Thèse pour l’obtention du titre de docteur de l’école centrale de Lyon, école

doctorale : MEGA. Année 2010.

[22] LAMPOH Komlanvi : Différentiation Automatique (DA) de codes mécaniques :

application à l’analyse de sensibilité des tôles sandwich aux paramètres de modélisation, Thèse

pour l’obtention du grade de Docteur de l’Université de Lorraine, Septembre 2012.

[29] Joseph Morlier : note de cours de prof d’ISAE/SUPAERO.

[30] Moustapha Idriss : analyse expérimentale et par éléments finis du comportement statique

et vibratoire des matériaux composites sandwichs sains et endommagés, présentée pour obtenir

le grade de docteur de l'université du MAINE, mars 2013.

[31] Marc Thomas : Professeur département de génie mécanique ETS, Chapitre 3 Les

vibrations des systèmes continus, Montréal, février 2003.

Notation .

IX

Notation

G Centre de gravité

S Aires de la section droite, m2

L Longueur de poutre, m

E module de Young, N/m2

I moment quadratique

T effort tranchant, N

M moment fléchissant, Nm

t temps s

λ pulsation propre

x coordonnées axiales de la poutre, m

K constantes

a nombre d’onde

wn fréquences propres, rad/s

r rayon de giration de la section I/A, m

(EI)A la rigidité en flexion de la section A

f flèche

λf longueur de l’onde de flexion

δΓ déformation virtuelle

v vecteur nodal

a fonctions trigonométriques de la fréquence adimensionnelle

ρ masse volumique, kg/m3

Imax l’intensité crête

Γd facteur de sensibilité de l’excitation

Vmax tension crête

Fm , Wcm valeurs crêtes

ψ coefficient d’amortissement

η facteur de perte

Ke la matrice de rigidité élastique

kg la matrice de rigidité géométrique

Liste des tableau .

V

Liste des tableaux :

Chapitre I

Tableau I : Equations de déformation des différents cas de sollicitation de la poutre

encastrée-libre………………………………………………………………………………...07

Chapitre II

Tableau II.1 : nombres d’onde et fréquence propres de la poutre d’Euler…………………..31

Tableau II.2 : nombre d’onde et fréquence propres de notre poutre………………………...41

Chapitre III

Tableau III.1 : Les modes propres d’Excitateur SA.………………………………….……..49

Tableau III.2 : Les modes propres d’excitateur GM.………………………………………....50

Tableau III.3 : Les modes propres pour Le marteau de choc.…………………………..…...51

Tableau III.4 : Les modes propres du marteau de choc SA.……………………………...…52

Tableau III.5 : Les modes propres de la tête IMP SA.………………………….…….……..53

Tableau III .6 : Les modes propres de la tête IMP.……………………………..………..…..54

Tableau III.7 : Comparaison des résultats des modes propres.…………………..……....….56

Tableau III.8 : Les modes propres obtenus par SolidWorks.……………………….........…...56

Liste des Figures .

III

Liste des Figures :

Chapitre I

Figure I.1 : Poutre non amortie………………………………………………………………01

Figure I.2 : Plan Σ……………………………………………………………………………02

Figure I.2.1 : Représentation d’une poutre droite dans le repère (0, 1, 2, 3)………………...03

Figure I.3 : Poutre consol………………………………………………………………….....03

Figure I.4 : Equilibre d'une tranche infinitésimale de poutre………………………………...04

Figure I.5 : Cas d'étude d'une poutre droite simplement encastrée et chargée en-son

Extrémité……………………………………………………..............................04

Figure I.5.1 : Définition des réactions d'appuis ……………………………………………...04

Figure I.5.2 : Définition des conventions pour l'écriture de l'équilibre local…………….…..05

Figure I.5.3 : Synthèse du calcul des efforts intérieurs ……………………………………...05

Figure I.6 : Allure de la déformée ……………………………………………………………06

Figure I.7 : Le déplacement dans les directions 1, 2, 3………………………………….…...09

Figure I.8 : Racine de l'équation aux fréquences propres…………………………………….13

Figure I.9 : Modes propres de vibration en flexion………………………………..................13

Figure I.10 : Mode propre fondamental……………………………………………………....14

Figure I.11 : poutre en torsion ……………………………………………………………..…15

Figure I.12 : déformées du mode statique à l’extrémité libre et du mode fondamental de

vibration libre (d’ordre 0)………………………………………………………………….….19

Figure I.13 : Les déformées des différents modes propres de vibration libre ………………...20

Figure I.14 : Traces des fonctions utilisées pour résoudre l’équation…………………………22

Chapitre II

Figure II.1 : Poutre uniforme en rotation ………………………………………………….…37

Figure II.2: Géométrie de la poutre étudier……………………………………………….…..40

Chapitre III

Figure.III.1 :Montage experimentale………………………………………………...………45

Figure.III.2 : Générateur type 3160…………………………………………………………..46

Figure.III.3 : Marteau de choc………………………………………………………………..47

Figure. III.4 : Excitateur électromagnétique……………………………………………........47

Figure. III.5 : La tête d’impédance :………………………………………………………….48

Liste des Figures .

IV

Figure III.6 :Spectre fréquence-amplitude d’excitateur SA…………………….………..….50

Figure.III.7 :Spectre fréquence-amplitude d’excitateur GM………………….…….…….…51

Figure.III.8 : Spectrede fréquence du marteau de choc Avec amortissement.……...…….....52

Figure.III.9 : Spectre fréquence-amplitude du marteau de choc SA…………………………53

Figure.III.10 : Spectre fréquence-amplitude de la tête IMP SA……………………………..54

Figure.III.11 : Spectre fréquence-amplitude de la tête IMP……………………...……...…..55

Figure. III.12 : Fenêtre du logiciel SolidWorks……………………………………………...57

Figure.III.13 : Différente évolution des modes propres……………………………………....57

analyse modale d’une poutre encastré-librebiblio.univ-annaba.dz/ingeniorat/wp-content/... ·...

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