analyse élastique linéaire avec redistribution selon eurocode 2

1 Nguyen Quang Huy [email protected]

Analyse élastique-linéaire avec redistribution

limtiée des moments selon l’Eurocode 2

Poutres ou dalles continues

Dans les poutres on les dalles continues de bâtiments, une redistribution des moments sur appuis peut être

effectuée à condition que :

Le calcul soit fait à l’ELU (pas de redistribution à l’ELS !!!)

Le rapport des portées soit compris entre 0.5 et 2

Les éléments soient sollicitées principalement en flexion

Le cas de charge considéré conduise à des moments maximaux sur appuis : deux travées consécutives

chargées

Cette redistribution provient de la prise en compte du fluage du béton qui tend à réduire les moments sur appuis.

Les moments maximaux sur appuis obtenus par les méthodes classiques de la RDM sont multipliés par un coefficient

de réduction (≤1), appelé le coeffient de redistribution et défini comme Ed

Ed

après

avant

M

M . Ce coefficient doit vérifier

les conditions suivantes (Eurocode 2-1-1 §5.5(4)):

ck

ckcu2

0.44 1.25 pour 50

0.00140.54 1.25 0.6 pour 50

0.7 pour des aciers de classe B ou C

0.8 pour des aciers de classe A

u

u

xf

dx

fd

On constate que dépend de la profondeur de l’axe neutre à l’ELU ux après la redistribution qui n’est pas connue.

Par conséquent, il necessitera quelques manipulations mathématiques pour avoir l’expression explicite de .

D’après le chapitre 6 du cours BA1 on a : u Ed1.25 1 1 2après aprèsux

d où Ed

Ed 2

aprèsaprès

cd

M

bd f

étant le

moment réduit après la redistribution et peut être remplacé par Edavant . Ainsi, s’obtient en résolvant les

inéquations suivantes :

Ed ck

Ed ckcu2

0.44 1.5625 1 1 2 pour 50

0.00140.54 1.5625 0.6 1 1 2 pour 50

0.7 pour des aciers de classe B ou C

0.8 pour des aciers de classe A

avant

avant

f

f

(1)

Analyse élastique-linéaire avec redistribution limtiée des moments selon l’Eurocode 2


1. Cas ck 50f MPa et acier de classe B ou C

Dans ce cas, s’obtient en résolvant les inéquations suivantes :

Ed0.44 1.5625 1 1 2

0.7

avant

Après quelques simplifications mathématiques, on obtient :

2Ed2 2 2.4414 1.5586 0

0.7

avant

La solution est :

Si Ed

0.22avant 0.7

Si Ed0.22 0.295avant

2

Ed Ed2 2.4414 2 2.4414 1.5586avant avant

Si Ed 0.295avant 1 (pas de redistribution possible)

Application numérique :

Tableau 1 : Valeur minimale de en fonction de Edavant pour ck 50f MPa et acier de classe B ou C

Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

< 0.22 0.7

0.22 0.7 0.703 0.705 0.707 0.710 0.712 0.714 0.717 0.719 0.721

0.23 0.724 0.726 0.729 0.731 0.734 0.737 0.739 0.742 0.745 0.747

0.24 0.750 0.753 0.756 0.758 0.761 0.764 0.767 0.770 0.773 0.776

0.25 0.779 0.782 0.786 0.789 0.792 0.795 0.799 0.802 0.806 0.809

0.26 0.813 0.816 0.820 0.824 0.828 0.831 0.835 0.839 0.843 0.848

0.27 0.852 0.856 0.860 0.865 0.869 0.874 0.879 0.884 0.889 0.894

0.28 0.899 0.904 0.910 0.915 0.921 0.927 0.933 0.939 0.946 0.952

0.29 0.959 0.967 0.974 0.982 0.990 0.998 1 1 1 1

> 0.3 1

Note : Les milièmes de Edavant sont données sur la première ligne. Ainsi pour Ed 0.234avant alors on lit 0.734



2. Cas ck 50f MPa et acier de classe A

Dans ce cas, s’obtient en résolvant les inéquations suivantes :

2Ed2 2 2.4414 1.5586 0

0.8

avant

La solution est :

Si Ed 0.256avant 0.7

Si Ed

0.256 0.295avant 2

Ed Ed2 2.4414 2 2.4414 1.5586avant avant

Si Ed 0.295avant 1 (pas de redistribution possible)

Application numérique :

Tableau 2 : Valeur minimale de en fonction de Edavant pour ck 50f MPa et acier de classe A

Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

< 0.25 0.8

0.25 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.802 0.806 0.809

0.26 0.813 0.816 0.820 0.824 0.828 0.831 0.835 0.839 0.843 0.848

0.27 0.852 0.856 0.860 0.865 0.869 0.874 0.879 0.884 0.889 0.894

0.28 0.899 0.904 0.910 0.915 0.921 0.927 0.933 0.939 0.946 0.952

0.29 0.959 0.967 0.974 0.982 0.990 0.998 1 1 1 1

> 0.3 1

Note : Les milièmes de Edavant sont données sur la première ligne. Ainsi pour Ed 0.285avant alors on lit 0.927



3. Cas du béton C55


Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

0.12 0.7

0.13 0.700 0.700 0.700 0.701 0.703 0.705 0.706 0.708 0.710 0.711

0.14 0.713 0.715 0.717 0.719 0.720 0.722 0.724 0.726 0.728 0.730

0.15 0.731 0.733 0.735 0.737 0.739 0.741 0.743 0.745 0.747 0.749

0.16 0.751 0.753 0.755 0.757 0.759 0.761 0.763 0.766 0.768 0.770

0.17 0.772 0.774 0.776 0.779 0.781 0.783 0.786 0.788 0.790 0.792

0.18 0.795 0.797 0.800 0.802 0.805 0.807 0.810 0.812 0.815 0.817

0.19 0.820 0.822 0.825 0.828 0.830 0.833 0.836 0.839 0.841 0.844

0.20 0.847 0.850 0.853 0.856 0.859 0.862 0.865 0.868 0.871 0.874

0.21 0.877 0.881 0.884 0.887 0.891 0.894 0.897 0.901 0.904 0.908

0.22 0.911 0.915 0.919 0.923 0.926 0.930 0.934 0.938 0.942 0.946

0.23 0.950 0.955 0.959 0.963 0.968 0.972 0.977 0.982 0.986 0.991

0.24 0.996 1 1 1 1 1 1 1 1 1

≥ 0.25 1


Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

< 0.18 0.8

0.18 0.800 0.800 0.800 0.802 0.805 0.807 0.810 0.812 0.815 0.817

0.19 0.820 0.822 0.825 0.828 0.830 0.833 0.836 0.839 0.841 0.844

0.20 0.847 0.850 0.853 0.856 0.859 0.862 0.865 0.868 0.871 0.874

0.21 0.877 0.881 0.884 0.887 0.891 0.894 0.897 0.901 0.904 0.908

0.22 0.911 0.915 0.919 0.923 0.926 0.930 0.934 0.938 0.942 0.946

0.23 0.950 0.955 0.959 0.963 0.968 0.972 0.977 0.982 0.986 0.991

0.24 0.996 1 1 1 1 1 1 1 1 1

≥ 0.25 1





Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

< 0.13 0.7

0.13 0.702 0.704 0.706 0.707 0.709 0.711 0.713 0.715 0.716 0.718

0.14 0.720 0.722 0.724 0.726 0.728 0.730 0.732 0.733 0.735 0.737

0.15 0.739 0.741 0.743 0.745 0.747 0.750 0.752 0.754 0.756 0.758

0.16 0.760 0.762 0.764 0.767 0.769 0.771 0.773 0.775 0.778 0.780

0.17 0.782 0.785 0.787 0.789 0.792 0.794 0.797 0.799 0.802 0.804

0.18 0.807 0.809 0.812 0.814 0.817 0.820 0.822 0.825 0.828 0.830

0.19 0.833 0.836 0.839 0.842 0.845 0.848 0.851 0.854 0.857 0.860

0.20 0.863 0.866 0.869 0.872 0.875 0.879 0.882 0.885 0.889 0.892

0.21 0.896 0.899 0.903 0.906 0.910 0.914 0.917 0.921 0.925 0.929

0.22 0.933 0.937 0.941 0.945 0.949 0.953 0.958 0.962 0.967 0.971

0.23 0.976 0.981 0.985 0.990 0.995 1 1 1 1 1

≥ 0.24 1


Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

< 0.17 0.8

0.17 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.802 0.804

0.18 0.807 0.809 0.812 0.814 0.817 0.820 0.822 0.825 0.828 0.830

0.19 0.833 0.836 0.839 0.842 0.845 0.848 0.851 0.854 0.857 0.860

0.20 0.863 0.866 0.869 0.872 0.875 0.879 0.882 0.885 0.889 0.892

0.21 0.896 0.899 0.903 0.906 0.910 0.914 0.917 0.921 0.925 0.929

0.22 0.933 0.937 0.941 0.945 0.949 0.953 0.958 0.962 0.967 0.971

0.23 0.976 0.981 0.985 0.990 0.995 1 1 1 1 1

≥ 0.24 1





Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

0.11 0.7

0.12 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.702 0.704 0.706 0.708

0.13 0.709 0.711 0.713 0.715 0.717 0.719 0.721 0.723 0.724 0.726

0.14 0.728 0.730 0.732 0.734 0.736 0.738 0.740 0.742 0.745 0.747

0.15 0.749 0.751 0.753 0.755 0.757 0.760 0.762 0.764 0.766 0.768

0.16 0.771 0.773 0.775 0.778 0.780 0.782 0.785 0.787 0.790 0.792

0.17 0.795 0.797 0.800 0.802 0.805 0.807 0.810 0.813 0.815 0.818

0.18 0.821 0.823 0.826 0.829 0.832 0.835 0.838 0.841 0.843 0.846

0.19 0.849 0.853 0.856 0.859 0.862 0.865 0.868 0.871 0.875 0.878

0.20 0.881 0.885 0.888 0.892 0.895 0.899 0.903 0.906 0.910 0.914

0.21 0.918 0.921 0.925 0.929 0.933 0.937 0.942 0.946 0.950 0.954

0.22 0.959 0.963 0.968 0.973 0.977 0.982 0.987 0.992 0.997 1

≥ 0.23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

0.16 0.8

0.17 0.8 0.8 0.8 0.802 0.805 0.807 0.810 0.813 0.815 0.818

0.18 0.821 0.823 0.826 0.829 0.832 0.835 0.838 0.841 0.843 0.846

0.19 0.849 0.853 0.856 0.859 0.862 0.865 0.868 0.871 0.875 0.878

0.20 0.881 0.885 0.888 0.892 0.895 0.899 0.903 0.906 0.910 0.914

0.21 0.918 0.921 0.925 0.929 0.933 0.937 0.942 0.946 0.950 0.954

0.22 0.959 0.963 0.968 0.973 0.977 0.982 0.987 0.992 0.997 1

≥ 0.23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1



6. Cas du béton C80 ou C90

Tableau 9 : Valeur minimale de en fonction de Edavant pour ck

80ou 90f MPa et acier de classe B ou C

Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

0.11 0.7

0.12 0.7 0.7 0.7 0.701 0.702 0.704 0.706 0.708 0.710 0.712

0.13 0.713 0.715 0.717 0.719 0.721 0.723 0.725 0.727 0.729 0.731

0.14 0.733 0.735 0.737 0.739 0.741 0.743 0.745 0.748 0.750 0.752

0.15 0.754 0.756 0.759 0.761 0.763 0.765 0.768 0.770 0.772 0.775

0.16 0.777 0.779 0.782 0.784 0.787 0.789 0.791 0.794 0.797 0.799

0.17 0.802 0.804 0.807 0.810 0.812 0.815 0.818 0.820 0.823 0.826

0.18 0.829 0.832 0.835 0.838 0.840 0.843 0.846 0.850 0.853 0.856

0.19 0.859 0.862 0.865 0.869 0.872 0.875 0.878 0.882 0.885 0.889

0.20 0.892 0.896 0.900 0.903 0.907 0.911 0.915 0.918 0.922 0.926

0.21 0.930 0.934 0.939 0.943 0.947 0.951 0.956 0.960 0.965 0.970

0.22 0.974 0.979 0.984 0.989 0.994 0.999 1 1 1 1

≥ 0.23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tableau 10 : Valeur minimale de en fonction de Edavant pour ck

80ou 90f MPa et acier de classe A

Edavant +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009

0.16 0.8

0.17 0.802 0.804 0.807 0.810 0.812 0.815 0.818 0.820 0.823 0.826

0.18 0.829 0.832 0.835 0.838 0.840 0.843 0.846 0.850 0.853 0.856

0.19 0.859 0.862 0.865 0.869 0.872 0.875 0.878 0.882 0.885 0.889

0.20 0.892 0.896 0.900 0.903 0.907 0.911 0.915 0.918 0.922 0.926

0.21 0.930 0.934 0.939 0.943 0.947 0.951 0.956 0.960 0.965 0.970

0.22 0.974 0.979 0.984 0.989 0.994 0.999 1 1 1 1

≥ 0.23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

analyse élastique linéaire avec redistribution selon eurocode 2

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