analyse de fonctions

Analyse de fonctions

Jacques ParadisProfesseur

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre Tableau de variation relatif à f’ et f’’

Analyse de fonctions sans asymptotes◘Démarche à suivre◘Exemples et exercices

Analyse de fonctions avec asymptotes◘Démarche à suivre◘Exemples et exercices

3

x

f’(x)

f’’(x)

f(x)

Esq.

Tableau de variation relatif à f’ et f’’

Valeurs de x

Valeurs de f’(x)

Valeurs de f’’(x)

Borne inférieure Borne supérieure

Max. min, inf ou AV

Nombres critiques ou hors du domaine

Pour une fn définie sur un intervalle : - - - -

Valeurs de f(x)

Esquisse de f(x)

Département de mathématiques

4

Analyse d’une fonction (sans asymptotes) Démarche à suivre

◘Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f◘Étape 2 : Trouver f’(x) et identifier les

nombres critiques de f◘Étape 3 : Trouver f’’(x) et identifier les

nombres critiques de f’◘Étape 4 : Compléter le tableau de variation

relatif à f’ et f’’◘Étape 5 : Donner une esquisse du graphique


5

Exemple 1 Donner une esquisse du graphique de la fonction

f(x) = x4 – 2x2 – 4.x - -1 -⅓ 0 ⅓ 1

f’(x) 0 + + + 0 0 +f’’(x) + + + 0 0 + + +f(x) -5 -41/9 -4 -41/9 -5

Esq (-1,-5) (-⅓; -4,6) (0,-4) (⅓; -4,6) (1,-5)

min inf max inf min


6

Exercice 1 Donner une esquisse du graphique de la fonction

f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 9.x - -1 1 3

f’(x) + 0 0 +f’’(x) 0 + + +f(x) 14 -2 -18

Esq (-1,14) (1,-2) (3,-18)

max inf min


7

Exemple 2 Donner une esquisse du graphique de la fonction

f(x) =x - -1,5 2

f’(x) +f’’(x)

f(x) 0 0

Esq (-1,5;0) (2,0)

min min

22x x 6.

2

4x 1f '(x)2 2x x 6

2 3

49f ''(x)4 (2x x 6)


8


f(x) =

x - -1/3 0 1/3 (0,58)

f’(x) 0 + + +f’’(x) 0 + + + 0

f(x) 0,25 0 0,25

Esq (-1/3;0,25) (0,0) (1/3;0,25)

inf min inf

22

x .1 x

2 2

2xf '(x)(1 x )

2

2 3

2(1 3x )f ''(x)(1 x )


9

Analyse d’une fonction (avec asymptotes) Démarche à suivre

◘ Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f◘ Étape 2 : Déterminer les asymptotes

(horizontales, verticales et/ou obliques) ◘ Étape 3 : Trouver f’(x) et identifier les

nombres critiques de f◘ Étape 4 : Trouver f’’(x) et identifier les

nombres critiques de f’◘ Étape 5 : Compléter le tableau de variation

relatif à f’ et f’’◘ Étape 6 : Donner une esquisse du graphique


10

Exemple 1 Donner une esquisse du graphique de

x - 1 7 10

f’(x) + 0

f’’(x) 0 +f(x) 21 20,8

Esq (7,21) (10;20,8)

AV max inf

2

2

20x 28x 28f(x) .(x 1)

3

12(7 x)f '(x)(x 1)

4

24(x 10)f ''(x)(x 1)


11


x - -3 -2 0

f’(x) 0 +

f’’(x) 0 + + + +f(x) -2/9 -1/4

Esq (-3,-2/9) (-2,-1/4)

inf min AV

2

x 1f(x) .x

3

(x 2)f '(x)x

4

2(x 3)f ''(x)x


12


x - -3 0 3

f’(x) + + 0

f’’(x) + +f(x) 4/9

Esq (0,4/9)

AV max AV

2

2

x 4f(x) .x 9

2 2

10xf '(x)(x 9)

2

2 3

30x 90f ''(x)(x 9)

AH


13

Exercice 2 Donner une esquisse du graphique de

x - -1 0 1

f’(x)

f’’(x) + 0 +f(x) 0

Esq (0,0)

AV inf AV

2

xf(x) .x 1

2

2 2

(x 1)f '(x)(x 1)

2

2 3

2x(x 3)f ''(x)(x 1)

AHDépartement de mathématiques

14


x - -3 0 3

f’(x) + 0 0 +f’’(x) + + +f(x) -23 23

Esq (-3, -23) (3 ,23)

max AV min

23 xf(x) .x

2

2

x 3f '(x)x

3

6f ''(x)x

AO


15

Exercice 3 Donner une esquisse du graphique de

x - -4 -2 0

f’(x) + 0 0 +f’’(x) + + +f(x) -8 0

Esq (-4, -8) (0 ,0)

max AV min

2xf(x) .x 2

2

x(x 4)f '(x)(x 2)

3

8f ''(x)(x 2)

AO


16

Analyser la fonction f(x) = e-x2.x - -0,5 0 0,5

f’(x) + + + 0 – – –f’’(x

)+ 0 – – – 0 +

f(x) e-0,5 1 e-0,5

Esq (-0,5; e-0,5) (0,1)

(0,71; 0,61)

inf max

infAH 21 x

21f (x) e2

2N( , )


Exemple 4

17

Devoir Exercices 6.3, page 254, nos 1a à 1c, 1e à 1i.

Exercices 6.5, page 280, nos 2a à 2d ,2f, 2g et 3a.

Exercices 8.2, page 340, no 8b

Exercices récapitulatifs, page 284, nos 5a à 5e, 5g, 16b et 16c


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