analyse critique de la théorie consolidation ... · lpc, chef de la section des ouvrages en te...
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analyseconsolidation
critique de la théorie deunidimensionnelle de Terzaghi
par
F. TavenasProfesseur, Département de Génie civil,
Université Laval, Ouébec
M, BrucyEtudiant gradué, Département de Génie civil,
Université Laval, Ouébec
J.-P. MagnanlPC, chef de la section des ouvrages en te rre,
LCPC, Paris
P. La RochelleProfesseur, Département de Génie civil,
Université Laval, Ouébec
M. RoyProfesseur agrégé, Département de Génie civil,
Université Laval, Ouébec
1 IntroductionDans l'étude et le dimensionnement des ouvrages cons-truits sur des fondations argileuses, l'évaluation de lavitesse du tassement en fonction du temps a souvent étéconsidérée dans le passé comme un exercice académiqued'importance moindre par rapport à l'évaluation de la sta-bilité et du tassernent global de la fondation qui con-trôlaient normalement les grandes caractéristiques du pro-jet. Dans ce contexte, la pratique courante des analyses deconsolidation est depuis longtemps considérée commebien établie. Elle fait appel à la théorie de consolidationunidimensionnelle prôposée par Terzaghi (1 925) pourreprésenter le phénomène, et aux résultats de I'essai ædo-métrique pour définir les paramètres caractérisant le com-portement de l'argile. Cette méthode, d'un usage trèsrépandu, ne conduit généralement pas à deb résultats trèssatisfaisants mais les conséquences pratiques de ceserreurs de prévisions étaient habituellement limitées.
Avec le développement de la construction de voies decommunication et d'installations industrielles on est main-tenant amené à édifier des ouvrages de plus en plusimportants sur des fondations argileuses de faible qualité.Dans ces conditions on est obligé de faire appel à destechniques de préchargement ou de construction parétapes et la prévlsion des vitesses de consolidation de lafondation devient un élément déterminant du projet, tanten ce qui concerne l'évaluation de la stabilité durant lesdiverses phases de construction, que pour la détermina-tion du calendrier de construction et de la viabilité de I'ou-vrage. ll faut dès lors disposer de méthodes fiables de cal-cul de la consolidation. La théorie de Terzaghi combinée à
l'essai ædométrique, n'ayant pas jusqu'ici conduit à desprévisions toujours satisfaisantes, il est apparu nécessaired'en réexaminer les fondements théoriques pour voir dansquelle mesure ils co!'respondent aux conditions réelles duterrain. Par ailleurs, on a pu simuler par analyse numériqueles phénomènes réels de consolidation sous forte chargepour montrer dans quelle mesure ils diffèrent des condi-tions imposées dans I'essai ædométrique classique. Decette façon, la présente étude a pu mettre en évidence leslimitations très sérieuses de la méthode classique de cal-cul de la consolidation.
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2 La théorie de Terzaghi et ses implications
Ayant constaté que les déformations d'un échantillon d'ar-gile saturé soLrmis à un accroissement de contrainte Apétaient retardées du fait de la faible perméabilité de l'ar-gile, Terzaghi (1925) a développé une formulation mathé-matique de ce phénomène. lla, pour cela, été amené à for-muler une série d'hypothèses dont certaines ont des con-séquences très importantes sur la possibilité d'appliquercette théorie à l'étude d'un cas réel. Après avoir rappelé leprincipe de base du phénomène de consolidation, les diffé-rentes hypothèses de Terzaghi seront examinées et leursconséquences établies"
2.1 Principe du phénomène de consolidation
Soit un échantillon de sol, de volume V, qu'on soumet à
une variation d'état de contrainte Aoi, A.oi,Aor. Si onadmet que ce sol a un comportement élastique isotrope, ilen résultera une déformation volumétrique AV/V telleque:
AVI2vî - tr + tz + t3
AV 3(1 - 2v\ou î- }g
aoi"'
Si on suppose que cet échantillon est parfaitement saturéd'un liquide incompressible et que le chargement est ins-tantané, en état non drainé, on aura alors une déformationvolumétrique nulle, ce qui impose Aoo"r- O et parconséquent:
Au - Aoo.. el
Si on permet maintenant un drainage à la périphérie del'échantillon où on a donc Au - O, le gradient de chargehydraulique entre le centre et la surface de l'échantillon vaproduire un écoulement de I'eau interstitielle, contrôlé parla perméabilité k du sol. Avec le temps:
- les surpressions interstitielles vont progressivementdiminuer de la valeur initiale au - aoo.. à la valeurfinale O ;
- les contraintes effectives vont augmenter simultané-ment de la valeur initiale O à la valeur finale Aol.,: Aoo"tsuivant la relation fondamental" oo.,: ol", + u ;
- les déformations volumétriques vont donc se développeravec I'accroissement de contraintes effectives suivant larelation (1 ).
Dans le cas général, tel qu'il se rencontre sur le terrain,toutes les composantes du tenseur de contraintes varientlors du chargement d'une fondation, les déformationsvolumétriques étant donc gouvernées par l'équation (1 ).Par ailleurs l'écoulement de I'eau interstitielle est généra-lement tridimensionnel, si bien que le phénomène de con-solidation doit être analysé comme un problème à troisdimensions.
2.2 Les hypothèses de la théorie de Terzaghi
Ayant formulé le problème général, Terzaghi (1925) en a
développé une solution complète dans un cas particuliersimple, soit celui de la consolidation unidimensionnelled'une couche mince soumise à une charge uniforme Aoude grande étendue. Cette solution, qui est celle utiliséepour I'analyse de tous les problèmes courants de fonda-tions sur dépôts argileux, fait appel à huit hypothèsesprincipa les :
1. les déformations de la couche argileuse sont uni-dimensionnelles;
2.le sol est et demeure saturé ;
3. les grainspressibles;
4.le sol est
du sgl et le fluide interstitiel sont incom-
homogène ;
5. les caractéristiques du sol (module, perméabilité) sontconstantes pendant toute la consolidation;
6. le drainage est unidimensionnel et il obéit à la loi deDa rcy ;
7..1 existe une relation linéaire entre les contraintes effec-tives et les variations de volume du sol ;
8. le sol ne présente pas de viscosité structurale, ousolidation secondaire.
L'équation de conservation de la masse de l'eaul'écoulement transitoire qui se développe au coursconsolidation s'écrit, compte tenu des hypothèses 2
u - pression interstitielle dans l'élément de sol considéré,
Ty,, - poi.ds volumique de l'eau
z _ cote de l'élément dqlol considéré.
Compte tenu de (5) et. (5'),, l'équation (41 peut
_k àryYq7 àzt ât
s'écrire : c''LL
Par ailleurs, Terzaghi suppose implicitement que la varia-tion relative de volume peut s'écrire en fonction de I'indicedes vides e du sol sous la forme :
(6)
ônâr -3, r1:*;r =# rf4r (7)
ce qui exprime simplement que la quantité d'eau sortied'un volume est égale à la variation de ce volume.
L'hypothèse 6 d'écou lement unidimensionnel implique
ILorsque I'on ne fait pas cette approximation, oo obtientune équation légèrement différente (annexe A).JPour exprimer la variation d'indice des vides en fonctiondu temps, Terzaghi fait d'abord appel à I'hypothèse 1,d'une déformation unidimensionnelle qui implique que lesvariations de volume du sol sont fonction des seules con-traintes effectives verticales et que, à tout instant en coursde consolidation, on a :
ov-oi+u
ov étant par définition constant, on en déduit
Doï _ ô,at ôt
D'autre part, I'hypothèse 7 d'une relation linéaire entre lacontrainte effective verticale et I'indice des vides du sol, dela forme
e
permet d'écrire le coefficient de compressibilité au sous laforme :
^âeoV __ocv
On a alors, compte tenu de I'hypothèse 8,
ôe -
âe ôo'at âo' at
et, en tenant compte de (8) et (9)
(8)
con-
dansde laet3:
(3)
(e)
--)
div (y* v) : * (y* n)
V se réduit à VzÏorl représente unet l'équation (3) devient :
àV, ônA, -at @l
Par ailleurs, l'écoulement étant régi par la loi de Darcy quiveut que:
En combinant maintenant (6l', (7 ) et (1 O) on obtient l'équa-tion différentiel le qu i régit la consol idation u ni-dimensionnelle :
que le vecteur vitessevecteur unité vertical
V-
où h représente la chargeperméabilité du sol, ondimensionnelle
vz
avec les notations:
h- u + zYy7
âe^âu7T - ou;T
(10)
âu k( 1 + e) à2u
-+k grad h
hydraulique et k le coefficient deaura donc en condition uni-
,ah-K àz
Yy,, aV à22 (11)
Notant l'analogie avec l'équation de transmission de lachaf eur et compte tenu de I'hypothèse 5, Terzaghi définitle coefficient de consolidation cu, propriété caractéristiquedu sol, soit :
cv= k(l +e)
Yq7 av fi2],
Finalement, grâce à I'hypothèse 4 d'homogénéité du sol,Terzaghi arrive à la solution bien connue de l'équation(1 1 ), donnant la pression interstitielle u(z,t) en tout pointet tout temps dans une couche d'épaisseur 2H drainée desdeux côtés :
ar
(5)
REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7
-uoJ sol suep sotungJ luotrJoJeJ luos louotsuaul!p!un luoul-olnpcg,p uol1puoo oun oltnpold Jnod sostnbel oplgurogôop suol1puoc sal onb lelou luoututopt^g llop ug .sduol npuorlcuo+ uo otunlo^ op slueueôueL{c sop cuop }o's}!qgpsap e;duls uotssoldxe oun ploqe,p leuued Âueg ap lotel ? tuesst?go puuotsuautptun a6eu!erp un,p es?LllodÂtl,J
'rq6ezle1op uorlnlos el op 9u;enb el rns nC ap suollerJen sap lo+-+o,l ulol sn;d eJlo^ uO 'slagl souQruougqd sep alqeuonuocuotlelnuils oun Jtuolqo lnod e;l6le,1 ap sglgtrdord sap, uo!l-ep!losuoc op slnoc uo uolleueA el ap ]a g]lgug6otJoLl-uouel op elduroc l!1.!ol op luellouued Inclec ep opoLllgLu oun psrnocol lto^e er^op uo 'se3 sop uednld e; suep ogqcolddes?rt ellg,nb cuop ellnod au lq6ezrel op uotlnlos el
'pl sec oc suep tO Ia o'I ap salqel-gptsuoc suotleueA sop oltns led uollep!losuoc ap slnocuo gp!losuoc luoutaleullou le]g,l p essed e;l6le,; enbs"ro;a^!l!qrqold luotnop ollo 1_sa;qetJe^ ned cuop luos sollpru-e.red sal fo lo olq!e+ lso cC r:ro sgprlosuocrns slos sal suepe;qeldecce alsoJ ets3- Ac luesoddns ua aUnpollut JnoJ-Jo,l 'uorleprlosuoc'àp srnoc uo solqeuen snol luos cO la ,o'o'T enbsrnd elcexo oJlg,p socueqc op ned e ollo,nb elluour
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nov
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'uotlepuo+ el suep l!nput solutelluoc sop Jnos-uol np oleotuo^ oluesodruoc el enb lolgplsuoc p tueÂe,uuo sluoutossel sop Inclec ol luoulolqergptsuoc Jo!+!;drursap sJnallre led laulled a113'enbr,r19ruopæ tesso,l p glnsautolnporrj e; red los np gllltqtssolduroc el JostJglsejec op lo'los np uosslod ap ]uotculooc np'olectlgp srnolnol'oJnsoulel op lolgqtl os op ploqe,p orlleu;ed ap luap!^g eôelue^ernod e allauuotsuauttptun uolteurol?p ap t as?tl4odÂq,1
'(A l) uo!tenbg,l op .ll.redp logr eurp;qold un,p olqeuonuoc uotlnlos oun p lontlle,p9l!l!qlssod el rns socuenbgsuoc slnol lo sasQqlodÂq socap ?l!p!leA op solil.rjtl sol JoutuJexo,p ]ueuolu!eLu luot^Uoc ll
'it,lo E t suollenb9) uorrnros es ap lo
(8r)leng
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secuonbgsuocslnol le sas?LllodÂq sap gllplle^ op sel!Lull
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uo
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I elol lu o ul-osse] np uotletJeA el luoulele6g ouuop'e;tôle,p oqcnooel suep ontlco#o olulelluoc el op euueÂour lnole^ el opsduro] np uotlcuo+ uo uotleuen el auuop lnb (/ L ) uollenbg,lanb lnlouoc rqôezra1'Z os?L.llodÂq,l op e6esn slole luesteJ
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Ac
rasod rnod saltessocgu IUos los np sanQrclt?pereo sepeJueJSuoJ ap ta ?U?u?6ouroLlp g ta f sas?tltodÂtt seJ
'uorleprlosuoc opouogL.ll e; red !ôgl lsa lueuteddolo^gp ol luop lelol luorrros-set np uoluod el op uotlonpgr oun p ouop llnpuoc '(LL6L1ôueC lo ueuôel l red grpnlg ouQutougqd oO '(Z) uotlenbg,lop sonbrrogq] slnale^ xne sojnotrglu! sale!I!ur sollolltlsJolulsuotssold sep p cuop Ia so^tlcoJ+a salutejluoc sap uotletje^oun p luor.rloressocgu luopuodsalloc Inb sanblunloAsuorleu.uo+gp sop oJtnpord as lnod l! 'O:1rnod'l!e+ oc oC
'(g/6 t 'punlpa4) etqrsse:dtuoo luot^ap !nb neo,lsuep uotlnlosstp op lelg,l p luonnos sn;d steut,sallnq apouilo+ el snos stolonb;enb ]ueluesgld os tnb ta'sanbtue6.rosarQtleur sop uotllsodtuocgp el op lueuenold 'ze6 ap sglll-uenb salqle] ap luotuoleuljou luouuotluoc slt oJtelluoc nv'alqtssoldurocu! op!nb!l un,p sgrnles ]uoulaue}led luatosxno;r6"re slos sal enb olel lso ll- 'ole)gugô sQrl aJ?!ueLUoO 'enbrrlguropæ uol4puoc uo nov
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luelsul,l ?'onb oltlcg,p luepeuled ps np sluaut?l? sap?t!ilqssatdutocu!,p la uolterntes ap t rc z ses LltodÂtt sal
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dations d'ouvrages.On aura généralement un écoulementbidimensionnel, donc plus rapide ; Leroueil et al (1 g7B)ont bien mis ce phénomène en évidence. lci encore, ondevra avoir recours à une méthode numérique pour tenircompte de cette diffusion bidimensiorinelle et mieux simu-ler la réalité.
Un problème se pose également avec I'application de la loide Darcy. En effet, les conditions de l'essai ædométriqueclassique dans lequel on mesure les caractéristiques deconsolidation de l'argile correspondent à des gradients depression extrêmement élevés. On peut alors se demandersi les paramètres ainsi mesurés, et en particulier la per-rnéabilité, peuvent être appliqués directement aux condi-tions du terrain où les gradients sont 1OO à 1 OOO fois plusfaibles. Par ailleurs, certains travaux ont conduit à suggé-rer l'existence d'un gradient limite au-dessous duquel la loide Darcy ne serait plus applicable (Hansbo, 1960). Cephénomène, qui poLrrrait avoir une importance capitale enfin de consolidation, n'est pas encore clairement définimais il mérite une étude détaillée.
L'hypothèse 7 d'une relation linéaire entre contraintes etdéformations volumétriques intervient à deux niveauxdans le développement et I'utilisation de !a solution deTerzaghi : d'une part elle permet de passer des change-ments de volurne aux variations de pressions lnterstitielles,pour transforrner l'équation (6) et arriver à l'équation (1 1) ;d'autre part c'est grâce à elle qu'on peut assimiler I'expres-sion (17]' du deEré de consolidation à la loi de variation dutassement total en fonction du temps.Or cette hypothèsen'est en général pas vérifiée dans la nature. On noterad'ailleurs que Terzaghi lui-même fait l'hypothèse contra-dictoire d'Line relation linéaire entre les déformations volu-métriques et le logarithrne de la contrainte dans son calculde l'amplitude des tassements (Terzaghi et peck, 1g6b).On verra plus loin que cette hypothèse conduit dans cer-tains cas à des errellrs importantes sur la loi de variationdu tassement en fonction du temps.
Fina lement, I'hypothèse B d'absence de toute viscositéstructurale de I'argle est certainement contraire à la réa-lité. Les méthodes analytiques proposées pour tenircorrf pte de cette viscosité (Koppejan, 1g48; Gibson et Lo,1 961 ) ne sont pas entièrement satisfaisantes. L'utilisationde méthodes numériques a cependant conduit à une simu-lation plus convenable de la superposition des consolida-tions primaire et secondaire (Garlanger, 1g72; Brucy,1978).
ll apparaît donc clairement que les différentes hypothèsesnécessaires au développement de la solution de Terzaghine sont pas totalement conformes au comportement phy-sique réel d'une couche argileuse en consolidation. parconséquent cette solution ne devrait être qu'appro-xim ative.
3 But et principe de I'analyse par GON M U l-T
Ayant mis en évidence certains aspects discutables deshypothèses utilisées dans la solution de Terzaghi, il estnécessaire de préciser dans qLrelle mesure ces hypothèsesaffectent la qualité des prévisions de consolidation. ll fautpour cela avoir recours, en parallèle à la solution de Terza-ghi, à une méthode numérique permettant d'éliminer leshypothèses les moins représentatives. U ne telle méthodea été mise au point au LCPC, Paris, sous la forme du pro-gramme informatique CON M U LT. Ce prograrnme, décriten détail par Magnan et al (1 979], , présente les caractéris-tiques essentielles suivantes :
- il permet la solution par la méthode des différencesfinies de l'équation unidimensionnelle :
soit au - aou, en imposant une distribution initiale dessurpressions interstitielles indépendante des chargesa ppliq u ées.
- Le programffie, dans sa version la plus récente, com-porte la prise en compte de la non-saturation et de la com-pressibilité possible du fluide interstitiel, éliminant aussiles hypothèses 2 et 3.
- Une des qualités essentielles de CONMULT est d'êtrelibéré des hypothèses 4 et 5 d'homogénéité et de cons-tance des caractéristiques du sol. En effet la possibilitéd'étudier un système multicouche élimine I'hypothèsed'homogénéité. Par ailleurs et surtout CONMULT permetde tenlr compte des variations en cours de consolidation.
- de l'indice des vides;
- de la cornpressibilité,dice Cc i
- de la perméabilité du
e-A+B
caractérisée par exemple par l'in-
milieu, suivant une loi du type:
ls k (211
De plus, par l'utilisation d'un système de sous-couches, onpeut tenir compte des variations de ces propriétés encours de consolidation à I'intérieur d'une couche initiale-ment homogène. CONMULT dispense donc de I'utilisationdu coefficient de consolidation e u, dont on suppose dansla théorie de Terzaghi qu'il est uhe caractéristique cons-tante de I'argile.
- coNMULT falt appel à Ia loi de Darcy, en écoulementunidimensionnel, mais en tenant compte des variations dek et de longueur de drainage en cours de consolidation.
- Les tassements étant calculés pour chaque couche etsous-couche en fonction des variations de contrainteeffective locale suivant la relation classiqueAe - - C. A lg o', CONMULT n'est pas affecté par I'hy-pothèse 7 de relation linéaire e - 6'. En effet, le degré deconsolidation ne sert qu'à contrôler le déroulernent du cal-cul, mais pas à évaluer le tassement global du systèmeétudié.
- Enfin, Brucy (1 978) a mis au point une méthode deprise en compte de la consolidation secondaire, sur la basedu modèle de Taylor-Bjerrum.
on voit donc que co N M U LT ne contient finalementqu'une seule hypothèse contraignante, à savoir celle d'uneconsolidation unidimensionnelle. Le programme se prêtedonc très bien à une analyse détaillée de l'essai de consoli-dation ædométrique, et à la vérification de la validité de lathéorie de Terzaghi dans ce cas.
4 Chargement ædométrique d'une argile à Cc : Cste
Ce cas de chargement simple, correspondant en principe àla théorie de Terzaghi, est celui que l'on rencontre lors desétapes de chargement dans I'essai ædométrique clas-sique. On doit cependant distinguer les cas de l'argile sur-consolidée peu compressible caractérisée par I'indice degonflement C, et de I'argile normalement consolidée qui aau contraire un indice de compression Cc élevé.
On sait que, selon Terzaghi, le coefficient de consolidationcv est constant durant un tel chargement et prend lesvaleurs correspondant à Cs ou Cc dans:
ko'(1 + e)
0,434 Cc Tw (1 e)
varient au cours de la consolidation sui-
J.u- - k( 1 + e)o'ât 0.434 yy,, C;
à2u
æ (201
CV-
En réalité k et evant les lois
cl
o
A+Blgkeo Cc lg o'/oodans un système multicouche pouvant comporter jusqu'à
1O couches de caractéristiques différentes.
- Si I'hypothèse 1 de déformation unidimensionnelle resteutilisée, il est possible de se libérer de sa conséquence,
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On peut donc, pour tenir compte de ces variations de k ete, mettre l'équation (19) sous la forme :
(211
(221
32
Fi In?t'b v, /g
IF*-II
4
to-eIn\-,.?I
t]
5
.fr
'.{
?
, r-at lOIU",Ë
It
3tuu,
9vo
4.2 0.4 o.6 08Cs
Fig. I Variations du coefficient de consolidation en cours de consolidation
I9Bv65
4
1
2
5,_qcvf
3læ'{Ï-
t.2r.o
4a=2
kc=O.SxlOs */r, B=0.6
"uo = 22 kPo
Acri = $5 kPo
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lgcv-e (23l,
qui donne, en dérivant par rapport à e, la variation de co encou rs de consolidation. soit
On voit cNue le tassement réel se développe à une vitesseintermédiaire entre celles prévues par Terzaghi et corres-pondan! à une valeur moyenne de cu de I'ordre de 0,5 x1O-e mt/s pour les degrés de consolidation supérieurs à
5O pour cent. La figure 3 présente les variations de cu encours de consolidation aux quatre niveaux indiqués. Onvoit que la couche superficielle (point A) subit une diminu-tion de cv très rapide au début de la consolidation pourjouer donc un rôle retardateur sur la consolidation descouches inférieures; l'exa!'nen combiné des figures 2 et 3montre d'ailleurs que c'est le coefficient de consolidationcu de cette couche supérieLrre qui contrôle le coefficient deconsolidation moyen de tout l'échantillon et la vitesse detassennent global. La figure 3 nnet par ailleurs clairementen évidence Ia non-vérification de l'hypothèse de base deTerzaghi concernant l'hon'rogénéité du sol puisque à unmême instant les valeurs de cv peuvent varier dans unrapport de 1 à 5. Une sirnulation par COt\MULT du char-gement d"une argile surconsolidée (Cs : O,O5) a confirmél'augrnentation de cv en cours de consolidation dans unrapportdelà3"On voit donc que, mênne dans le cas simp!e d'un charge-ment par paliers d'une argile caractérisée par une valeurconstante de Cc, la théorie de Terzaghi neprésente mal lephénomène réel, tant pour les argiles surconsolidéescaractérisées par des valeurs faibles de Cs, que pour lesargiles norrnalennent consolidées où les valeurs de Co sontgénéralement supérieures à 1. Les valeurs de cv rnesuréesdans ce cas ne pourront être qu'approximatives puis-qu'elles intègrent en fait les variations du coefficient deconsolidation réel, dans I'espace et dans le temps.
5 Chargement ædométrique d"une argile sur-consolidée
ll est très rare qL.t'une argile naturelle soit strictement nor-malement consolidée; les effets cornbinés du vieillisse-ment, de la thixotropie, des variations de la nappe phréa-tique résultent tous en effet en une préconsolidation deI'argile. Lorsqu'une argile naturelle est soumise à un char-gernent, son comportement va donc être d'abord celuid'un matériau surconsolidé, puis, en cours de consolida-tion, celui d'un nnatériau Rormalernent consolidé. On auradonc en cours de consolidation une variation très impor-tante de l'indice de compression Cc et, par voie de consé-quence, du coefficient de consolidation cu. Ce cas de char-gement, qui correspond à tous les cas de chargernent réelin situ, diffère donc sensiblement du chargement par palier
1
\B1 +lg(t+e) csteT")
A,lgcu 1 1 , 1l\e B'- q 1 -i-+ e (241
où e représente I'indice des videsselon les va leu rs relatives de B
pou rra augmenter ou diminuer en
final. On voit donc que,et Cc, le coefficient cvcours de consolidation.
La figure 1 présente les variations en fonction de C. desvaleurs initiales et finales de cv pour le cas d'un accroisse-ment de charge Aov - OS kPa appliqué à une argile nor-malement consolidée caractérisée par êo:2, k"-O;5 x1O-e m/s, o'rr^: 22 kPa et B - 0,6. On note que c'augmente lors{ue Cc est inférieur à 0,5 et qu'il diminuèconsidérablement pour les valeurs de Cc supérieures à
0,5, la loi de variation de lg (cuo/cq) étaht une fonctionlinéaire de C.. Les caractéristiques considérées sont cellesd'une argile molle sensible pour laquelle I'indice de com-pressibilité peut prendre des valeurs typiques Cs: O,O5dans le domaine surconsolidé et C. - 1,7 dans le domainenormalement consolidé. Dans ces conditions, durant unchargement dans le domaine surconsolidé, cv âugmenterapar un facteur de I'ordre de 3, ce qui se traduira par uneaccélération importante de Ia consolidation ; c'est proba-blement la raison pour laquelle la mesure de cv par lannéthode classique fondée sur la théorie de Terzaghi estimpossible dans une argile surconsolidée. Par contre, cvsubira une réduction très importante lors d'un chargernentdans le dornaine normalement consolidé. On voit doncque, dans les deux cas, la théorie de Terzaghi ne sera pascorrectement applicable.
Pou r bien mettre en évidence ces phénomènes on a
simulé à I'aide du programme CON M U LT le comporte-ment d'un échantillon de 1,95 cm de hauteur, drainé surune seule face et possédant les caractéristiques citéesplus haut, qui sont typiques de l'argile de Saint-Alban(Tavenas et Leroueil, 1 977 ). Cet échantillon a été soumis à
un accroissement de contrainte effective Aou - 65 kPa ensupposant que l'argile était normalement consolidée etavait un indice de compression Cc : 1,7. La figure 2 pré-sente les variations du degré de tassement Us, défini à
partir du tassement de l'échantillon calculé par CON-M U LT, ainsi que les résultats obtenus par la solution deTerzaghi à partir des valeurs initiales et finales de e, k et o'.
BO
20
{o
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E(uU'U'o
€60.E(t(l)
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Fig. 2 Variations du degré de tassement Uren fonction du temps dans le cas où C": 1,7
iemps, secondes_5 4 5r0 to to
2 3 4 56789 2 3 4 56789 2 36
O ïerzoghi, cvo
V Terzoghi , cvf
tr Conmult
Ho = 1,95 cm
€o = 2
ko=O,5xlOtry,Cç = 1,7
c'uo = 22 kPo
qit = 87 kPo
cvo = o,45 x lo8 ^1tcvf=2,3xlolo*7.
REVUE FRANÇAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7 34
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ar^rns uorleuJo+?p-uolJa lol el op nual aldutoc .luarrlalonsolnougdns ace+ es p guteJp 'Jnolneq op ulc g6,I op onbl.r]-gulopæ uolltlueqog un lnod sduel np uotlcuo; uo roll-ep!losuoc op gl6ep np suo!]e!le^ sat oluosgld g e.rn6l; e1
'seluteJluoSop olle^Jolut la3 suep onuolol gultqtsselduroc op lolel aluesgtd V e;n6rrr e1 'uotleptlosuoc op ul; uo ed1 gg opolecluo^ a^tl3oJ+o oluteJluoc op luoruosstoJese un p fuod-saloc !elquror e; led agnblldde e6leqc el .19t V g,O: oVlol el 1ue^tns sopt^ sop octput,l co^e llenuliJlp gllllqegul-lad alloc enb gJluoul luo aJtoleloqel ua stessa sap lo lal-nleu lel9,l P s/tlle-O I x 9'O op arplo,l op lsa aleslUa^ glll-lqeguued eS 'L'L
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'uolleptlosuoc ap slnoc ua gl!l!q-egrujod ep uotlcnpgj el ap tssne sleu 33 op suolletJe^ sapluoruolnos uou elduroc lueuol uo slogJ saugurougqd sapelplduoc uotlelnruts oun lauuled apnlg aluesgld el suepgs!llln Il n N N03^ oruutelôo.rd ol olerluoc nV .uollep!los-uoc op slnoc ua cJ op uolletJe^ el ap enb alduroc'lu'eualou uo steut euq;qord oc grgptsuoc pfgp e (996 t ] puour-ÂeU 'ol?llnclyed apnlg oun oltrgt"u la oll?uJopæ,; p gs! ,rgr
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I
L7 2C 30 4C 50 60 70 BO 90 IOO
controinte effective verticole, kPo
prise en compte pour l'étude de la consolidation dans le cas où oro< oOl oro
.2r^r.\CVVB9tO
Fig.4 Relationê*,n,o;
F ig. 5 Variations des degrés de consolidation IJ et de tassement lJ, en fonction du temps dans le cas où oio < oi < o jo + Ln
2lc
lemps, secondes345t0 l0 io
? 3 4 5 6789 2 3 4 56789 2 3 4 5 6789^\./
\o
a.9oE20ooCoc)
(t)Îf'E 40ctl(u
=-
o60(u
Eq,u)aoq,BO-o'c.)qlq)
;,f t00
56789
Cs= OrOf
controintes ef fect ives
dons Iichontil lon pour
Cç = [r7
l.'ub
fil
k(e=2,O)-O.5xlOe */,
Ae=0.6Algk
7
Terzoghi, Cc=O,07
Ïerzoghi ,Cs = lr7
Conmu lt U
Conmu lt U s
REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7 36
oo-.y
g.9
0l>(u
.g
.9v,û(u
o-
40
30
tr Terzoghi, Cc = O,O7
3 Terzoghi , Cc = 1,7
^ Conmult , Cç vorioble
5 6 789 2a
lo-temps, secondes
Fig. 6 Variations de la surpression interstitielle à la base non drainée de (échantillon
Fig. 7 Variations de la contrainte effective verticale à la base non drainée de l'échantillon
lllll/
895
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I
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? 3 4 5 674
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5 6789 3 2
totemps, seconCes
37
3 4 5 6789
iilll laïo+aF'=87kPolmi--ll-i-l-l-rTi r-
aio-- 22 kPo ll
REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7
6 789
des controintes effeciives modèle de comportement
olinslont t=O
b) instont t I
c ) instont tz
Fig. 8 Principe du comportement en couts de consolidation {une aryile initialement ilrconælidéesoumise à oro + Ln>. oi
H
d islribuiion
o ovo
UO=Ap---r-l
Qo=f(ko)
f(Cs)
\, -c|rnvlfl.C.- t LLC
vr, s.c. = f (Cs)
tl*lfQe=f (kz)
vrrn.c.= f (cc
REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7
sions interstitielles ne permet plus de prévoir I'accroisse-ment des tassements en fonction du temps. Effectivementle degré de consolidation U déterminé à partir des pres-sions interstitielles calculées par CONMULT à différentsniveaux dans l'échantillon suivant une équation de laforme de (1 6), diffère sensiblement du degré de tassementUs: ah/ahtinal ' On a également reporté sur la figure 5les solutions de Terzaghi pour C": O,O7 et pour C^:1,7et sur la base des valeurs initialeË de e. o' et k. On v"oit ouela variation de U" en fonction du temps obtenue par CON-MULT prend unè forme assez sembiable à la solution deTerzaghi avec C" : 1,7 , la différènce maximum étant del'ordre de 6 pou-r cent de degré de consolidation. Cettesimilitude, déjà notée par Raymond (1966) doit être consi-dérée avec prudence comme on le notera plus loin. Aucontraire la variation du degré de consolidation U en fonc-tion du temps présente une forme tout à fait différente dessolutions de Terzaghi : initialement elle s'éloigne progres-sivement de la solution avec C" : O,O7, présente une dis-continuité entre 50 et 60 pouicent de consolidation, pourfinalement se rapprocher de la solution avec C" : i,t.Pour mieux comprendre cette forme particulière deU : f(t) on peut étudier la dissipation des pressions inters-titielles à la base non drainée de l'échantillon. Les varia-tions de u en fonction du temps calculées selon les deuxsolutions de Terzaghi et par CONMULT sont présentées àla figure 6. On retrouve qualitativement le même compor-tement que pour le degré de consolidation global avec unéloignement initial progressif de la solution avecCs : O,O7, un palier qui dure de 2 O0O à 5 0OO secondes etpendant lequel la pression interstitielle se maintient à peuprès constante à 37 kPa, puis finalement un rapproche-ment progressif vers la solution avec C. : 1,7. Le blocagetemporaire de la piression interstitielle feut s'expliquer parle passage de l'argile de l'état surconsolidé à l'état norma-lement consolidé. En effet, d'après les variations oe con-trainte effective verticale à la base de l'échantillon (fig. 7),on voit que le palier de la courbe de consolidation se pro-duit lorsque la contrainte effective verticale devient égaleà la pression de préconsolidation de l'argile oi, : 50 kPa.A ce moment, au niveau considéré, la comprbssibilité del'argile augmente considérablement (ici elle est multipliéepar C"/C. -- 24l, ce qui se traduit par une augmentationbrusque du volume d'eau à évacuer et, donc, par un ralen-tissement de la dissipation de la pression interstitielle. Cephénomène, logique au niveau élémentaire, ne suffit pas àlui seul pour expliquer le comportement global de l'échan-tillon tel que présenté à la.figure 5;en effet il devrait seproduire à des instants différents aux différents niveaux del'échantillon et se traduire par un déplacement continu deU de la solution avec C. : O,O7 vers la solution aveccc:1'7'La figure 8 présente schématiquement le comportementde l'échantillon en cours de consolidation. A l'applicationde la charge, à l'instant t : O, on a Au : Ap, et I'argile estcaractérisée par ses propriétés initiales eô, o\/ô, k^ et c" ;l'échantillon est en condition surconsolidée h-oimo-gène,iaconsdlidation se faisant à une vitesse contrôléJ par levolume à évacuer V., : f (C") et le débit possibleQo : f (ko). A mesurùue la coisolidation se développeles pressions interstitielles se dissipent à partir de la facedrainée et la contrainte effective augmente. A l'instant t1la contrainte effective est supérieure à o. entre la facédrainée et la profondeur zA. Dans cette zofi'e l'argile a prisdes caractéristiques norma'lement consolidées ; le volumed'eau à évacuer y est accru dans le rapport C.,/C" alorsque le débit possible a diminué par suite de la réduciion dek associée à la diminution de l'indice des vides. Le débitdisponible sert alors en priorité à évacuer I'eau de cettezone normalement consolidée située près de la surfacedrainante et il va y avoir un blocage de la consolidation dela zone surconsolidée inférieure. Avec le développementde la consolidation l'épaisseur zA de la zone normalementconsolidée va croître, pour finalement être égale à l'épais-seur de l'échantillon. A partir de ce moment tout l'échantil-lon sera à l'état normalement consolidé mais il ne sera oaspour autant homogène puisque ses caractéristiques o', e,k et donc cv seront variables d'un point à l'autre.
REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7
Le développement d'une zone << bouchon D normalementconsolidée à proxirnité de la surface drainante modifie laforme des isoch!"ones, tel qu'indiqué à la figure 9. Pour unmême degré de consolidation global, on a, par rapport auxisochrones déterminés selon la théorie de Terzaghi, unedinninution plus lente des pressions interstitielles près dela surface drainante dans la couche norrnalement conso-lidée où cu est petit. Par contre, dans la zone centrale sur-consolidée où le processus de consolidation est temporai-rement bloqué on note un rééquilibrage des pressionsinterstitielles à !'intérieur de cette zone;on atteint mêrneune condition de gradlent nul entre la base et la mi-hau-teur de l'échantillon pour U - 50 %. En considérant lavariation de la forrne et de la position des isochrones oudes cor.rrbes de distribution de ou en fonction de la profon-deur (fig. 1O) on peut comprendre le processus de forma-tion du palier de la courbe U - f(t).On voit que, pour undegré de consolidation de 45 pour cent, le tiers seu lementde la couche est déjà en état norrnalement consolidé, alorsque pour un degré de consolidation de 55 pour cent oi est
cri,controinte effective , kPo
o 20 40 60 80 too
t6
tq5
F ig. 9 Déformation des isochrones dans une argileinitialement surconsolidée soumise à oio + Lp > o;
Fig. l0 lsochrones au voisinage du passage de I'ensemblede l'échantillon à l'état narmalement consolidé
EE_gL.q)
Eco.{oL-
-tzN
ov,controinte effective, kPo
20 40 60 BO
ÉE-
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L
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N
U = 25%1Conmult ),k
/{u=so?oTerzo g h i
U = SOa/o
Conmult
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U = 55o/"
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'tJt\,5 676t ?
Il]lrt--T
{.9opE<f,co(J(l)'orc)
ct|(uï)_:)
40
60
80
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o11
o,6
o,B
I'O
Fig. 11 Variations en fonction du temps du degré de consolidation U et de la hauteur d'échantillon qui æ trouve à fétatnormalement consolidé
+N
supérieure à o; dans l'ensemble de l'échantillon. Cela setraduit par unË augmentation rapide du volume d'eau à
évacuer et par un ralentissement important de la consoli-dation. La figure 11 met en évidence ce phénomène enprésentant les variations en fonction du temps de la hau-teur relative d'échantillon en état normalement consolidéet du degré de ccinsolidatiori U ;on note que le palier de U
- f(t) se produit pendant i'augmentation rapide de zg.
La durée du palier doit être fonction du surcroît d'eau àévacuer lorsque l'ensemble de l'échantillon devient nor-malement consolidé, c'est-à-dire du rapport Cc/Cs. Pourvérifier cette hypothèse on a fait deux analyses par CON-M U LT en gardant tous les paramètres identiques au casprécédent rnais en prenant Cc- O,85 dans un cas etCc : 3,4 dans I'autre. La figure 12 présente les variationsde la pression interstitielle à la base de l'échantillon enfonction du temps pour les trois cas étudiés. La dissipation
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initiale de p est d'autant plus rapide que C. est petit; l'et-fet de <r bouchon > produit par le passage à l'état normale-ment consolidé de la couche supérieure est en effet fonc-tion du rapport Cc/Cs. Par ailleurs la longueur du palier dela courbe u - f(t) varie en fonction de Cc. Pour précisercette variation on a défini la durée du palier comme étantle ternps nécessaire à la diminution de la pression intersti-tielle de 38 à 37 kPa. La figure 13 présente les variationsde At en fonction de Cc/Cs.'On. noté que At augmente àpeu près linéairement avec Cc/Cs jusqu'à une valeur def'ordre de 20 au-delà de laquelle la croissance de Atdevient exponentielle. On peut remarquer par ailleurs quesi on rapporte Ia durée At du palier au temps nécessairepour atteindre 95 pour cent de dissipation de u, le palierreprésente une proportion du temps de consolidationdécroissant dg 2,8 pour cent pour C./C, - 12,1 à 1 pourcent pour C./C, - 48,6.
a,
oo-Jc)
Ë40=v,q)
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4 56789 2 3 4 56789rot ,ou
2 3 4 56789 ? 3 4 56789 2 3 4 56789too rou ,o
tlemps, secondes
Fig. 12 Influence du rapport C"/Crsur la dissipation de la surpression interstitielle à la base non drainéede l'échantillon
F ig. 13 Variation deinterstitielle à la base
la durée du palier de surpressionde la courbe en fonction de Cr/C,
B
Fig. 14 Variation du degré dedu degré de consolidation U
tassement U, en fonction
ur%
gr4)ttco(rcG'o
r)I
.84oCL
=-î)(l).E
{s
40
u g,o/o
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l Cç = 3,4
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6 Gonclusion
Pour arriver à une formulation simple et à une solution duproblème du développement en fonction du temps du tas-sement d'une couche d'argile, Terzaghi (1 925) a étéamené à faire une série d'hypothèses très restrictives, dontla plupart sont peu représentatives de la réalité physique.Cependant, la simplicité de la méthode a conduit à son uti-lisation quasi universelle et, avec I'usage, les limitationsrésultant deS hypothèses ont été perdues de vue.
La mise au point du programme d'analyse numériqueCONMULT, qui libère de la nécessité de faire toute hypo-thèse autre que celle d'une consolidation unidimension-nelle et qui représente en particulier les variations réellesdes propriétés de compressibilité et de perméabilité del'argile en cours de consolidation, a permis une analysedétaillée de la qualité de la solution de Terzaghi.
Dans le cas d'un chargement par palier, l'accroissement decv en cours de consolidation dans l'argile surconsolidée, etsa réduction très importante dans l'argile normalementconsolidée, font que la théorie de Terzaghi donne desrésultats peu représentatifs. Inversement, les valeurs de cudéduites d'essais oedométriques interprétés à partir decette théorie représentent des valeurs moyennes corres-pondant à des conditions de contrainte, perméabilité etindice des vides peu claires.
Err conclusion, dans le cas classique de chargement d'uneargile initialement surconsolidée soumise à une contrainteeffective finale supérieure à sa pression de préconsolida-tion, le comportement en cours de consolidation diffèretrès nettement des prévisions obtenues par la théorie deTerzaghi. Le passage rapide à l'état normalement conso-lidé des zones situées à proximité des surfaces drainantesconduit à la formation d'un < bouchon > qui ralentit globa-lement la consolidation et qui modifie considérablement laforme des isochrones. Par ailleurs, cette modification de laforme des isochrones, associée au changement de com-portement de I'argile lorsqu'elle devient normalement con-solidée, conduit à. la formation d'un palier dans la courbede variation du degré de consolidation U en fonction dulogarithme du temps. Enfin le degré de consolidation Udéterminé à partir des pressions interstitielles n'est plusreprésentatif de la progression du tassement. tel que mon-tré à la figure 14. On est donc forcé de conclure que lathéorie de Terzaghi n'est pas adaptée à l'étude de ce casde chargement. Pourtant on a noté (fig. 5) que la progres-sion du tassement en fonction du temps prenait une formeassez semblable à celle déduite de la théorie de Terzaghien prenant pour le calcul de cu les valeurs initiales de o, eet k et l'indice de compression
" de l'argile normalement
consolidée. llfaut bien voir que ceci n'implique pas que lecu de I'argile normalement consolidée contrôle la vitessede tassement. En effet, on a montré (fig. 1 et 2) que lecoefficient de consolidation variait énormément en coursde consolidation dans une argile normalement consolidée,entraînant un développement du tassement beaucoup pluslent que celui prédit à partir de la valeur initiale de cu. Lecoefficient de consolidation apparent qui correspond à lavitesse de tassement dans le cas présent n'a aucune réa-lité physique et n'est finalement que le résultat de l'inté-gration des coefficients de consolidation plus grands dansla zone surconsolidée qui contrôlent le tassement initial etdes cu beaucoup plus petits dans I'argile normale-ment consolidée qui gouvernent la phase finale deconsolidation.
Dans le cas plus général d'un chargement ar,renant uneargile initialement surconsolidée dans un état final norma-lement consolidé, le comportement réel diffère totalementde celui prédit par la théorie de Terzaghi. Le passage deszones proches des surfaces drainantes à l'état normale-ment consolidé dès le début de la consolidation produit laformation d'un < bouchon > qui ralentit la consolidation etmodifie la forme des isochrones. De ce fait, il ne sauraitêtre question d'utiliser la théorie de Terzaghi pour analyserla dissipation de pressions interstitielles ou le développe-ment du tassement de couches élémentaires dans unefondation argileuse soumise à un tel chargement. Par ail-
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leurs le développement du degré de consolidation U pré-sente une discontinuité lorsque l'ensemble de la coucheargileuse passe en état normalement consolidé et on nepeut pas déduire la progression des tassements de cedegré de consolidation.
Dans ces conditions il convient d'abord de réaliser que lecoefficient de consolidation cv n'est pas une propriétéréelle de I'argile, mesurable, constante et utilisable commele veut la pratique courante actuelle. cv n'est que la combi-naison des paramètres o', ê, k et Cc eui sont tous variablesen cours de consolidation. Si on veut donc correctementdéfinir le cornportement hydrodynamique d'une argile, cen'est pas cv eu'il faut mesurer, mais bien les lois de varia-tions de e, k et C. en fonction de la contrainte effective o'.D'autre part, la théorie de Terzaghi fait appel à trop d'hy-pothèses contraires à la réalité physique des phénomènespour conduire à des prévisions fiables de la consolidationdes fondations argileuses. ll apparaît aLl contraire néces-saire d'avoir recours à des méthodes d'analyse numérique,telles que le programme CONMULT, qui libèrent de I'obli-gation de formuler de telles hypothèses, et qui permettentune simulation complète du comportement réel de l'argile.
Remerciements
La présente étude a été réalisée dans le cadre du projet decoopération franco-québécoise liant le Laboratoire Centraldes Ponts et Chaussées de Paris et le Groupe de Géotech-nique de I'Université Laval à Ouébec. Le financement en aété assuré par une bourse France-Ouébec, par un octroiFCAC du Ministère de I'Education du Ouébec et par I'oc-troi numéro A.7724 du Conseil National de Recherches duCa nada.
Annexe
L'équation rigou reuse denelle en variables d'Er.llerforme (Schlosser, 1973) :
la consolidation unidimension-s'écrit généralement sous la
(A. 1)
_ôeât
avec les notations :
e- indice des vides à I'instant t,z- cote du point considéré à I'instant t,k- coefficient de perméabilité à I'instant t et à la
cote z,o' - contrainte effective verticale à I'instant t et à la
cote z,
(t + el'a- ç tàz (l + e)yw
do' âel-I
de àz
Ty,, - Poids volumiquet
En variables de Lagrange,
de I'eau,
la même éguation s'écrit :
A [ (1 + ro]t k do' âe l_ : ôe
ô=o L (1 + e) yw de à=o r At (A.2)
avec les notations :
zo: cote initiale du point considéréeo- valeur initiale de I'indice des vides à la cote zo.
Ces deux équations sont non linéaires puisqu'elles dépen-dent entre autres de l'indice des vides actuel e. Pourrendre l'équation (A.2) linéaire et semblable à l'équationde Terzaghi, il est nécessaire de supposer k constant,@'deconstant et e constant dans l'noter de plus que le simple(t + eo)t k dà' aaaa*a^+ r^_' v'
-- constant dans l'équation (A.2) rend linéaire1+e ïq7cle
l'équation différentielle qui donne le tassement mais pascelle qui permet de calculer la surpression interstitielle.
expression (1 + e). On peutfait de supposer le produit
Références bibliog raphiques
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REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE NUMERO 7 43
