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Analyse combinatoire _________ 1. Nombres d’applications, de parties.
2. Principe des bergers.
3. Nombres d’injections et d’arrangements.
4. Nombres de parties et de combinaisons.
5. Propriétés des coefficients binomiaux.
6. Principe d’inclusion-exclusion.
7. Principe des tiroirs.
8. Polynômes et séries génératrices.
9. Invariants combinatoires. à Florent Hivert,
Pierre-Jean Hormière __________
« L’analyse combinatoire conduit à l’imagination numérique − et enseigne l’ art de la composition numérique − la base générale mathématique. »
Novalis, Les sciences philologiques.
L’analyse combinatoire est une branche de l’arithmétique se proposant de dénombrer ou énumérer certains ensembles ou structures finies, ou d’en démontrer l’existence. L’origine de ces structures est extrêmement variée (arithmétique, géométrie, probabilités, jeux, graphes, algorithmique et langages de programmation, etc.), ainsi que les techniques permettant de les étudier. En fait, toute théorie mathématique, y compris topologique ou différentielle, dont les objets peuvent être entièrement inventoriés et caractérisés au moyen d’un nombre fini d’invariants (entiers ou polynomiaux) aboutit à une taxinomie, et à une combinatoire : algèbres et groupes de Lie, théorie des nœuds, problème des quatre couleurs, etc 1. L’analyse combinatoire s’est développée au XVIIème siècle (Pascal, Leibniz), en liaison avec le calcul des probabilités. Toutes les suites d’entiers connues que l’on rencontre en analyse combinatoire (mais aussi dans d’autres domaines) sont répertoriées sur le site OEIS (On line Encylopedia of Integer Sequences) de Neil Sloane. Il est conseillé au lecteur de le consulter.
Rappelons que si E et F sont deux ensembles finis, on a :
card (E ∪ F) = card(E) + card(F) − card(E ∩ F) et card(E × F) = card(E) × card(F) .
Exercice : Soit S une partie de E×F. Pour tous (a, b) ∈ E×F, on note S(a, .) = { (x, y) ∈ E×F ; x = a } et S(., b) = { (x, y) ∈ E×F ; y = b } Démontrer que card(S) = ∑
∈EaaScard ,.)( = ∑
∈FbbScard )(., .
Applications : 1) Si S = { (x, y) ∈ N×N ; 1 ≤ y ≤ n , y ≤ x ≤ y + n }, quel résultat obtient-on ? Idem pour S = { (x, y) ∈ Z×Z ; |x| ≤ n , 0 ≤ y ≤ n + 1 − |x| }. 2) En considérant de deux manières D = { (x, y) ∈ N*2 ; x.y ≤ n }, démontrer la formule
∑≤≤ nk
k1
)(τ = ∑≤≤ nx1
[xn ] , où τ est le nombre de diviseurs et [ ] la partie entière.
1 De même, Mark Twain prétendait classifier les histoires drôles en douze types, et Charles Fourier proposait une savoureuse hiérarchie du cocuage en 80 types, répartis en deux classes. Nikos Kazantzaki distinguait quant à lui 77 espèces de folie, et l’on trouvera dans Rabelais (Gargantua, chap. XIII) un savoureux inventaire des torcheculs, mais aussi les injures les plus variées.
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1. Nombre d’applications d’un ensemble fini dans un autre.
Proposition 1 : Si X et Y sont des ensembles finis de cardinaux resp. n et p, alors card FFFF(X, Y) = pn.
Preuve : Notant X = {x1, …, xn} les éléments de X, l’application f → (f(x1), …, f(xn)) est une bijection FFFF(X, Y) → Yn. Il reste à passer aux effectifs.
Remarque : C’est ce résultat qui explique la notation de l’exponentielle ensembliste FFFF(X, Y) = YX
.
Corollaire : Si X a n éléments, card PPPP(X) = 2n.
Preuve : À toute partie A ∈ PPPP(X) associons sa fonction indicatrice2, définie sur l’ensemble X par :
1A(x) = 1 si x ∈ A , 0 sinon.
L’application A → 1A est une bijection PPPP(X) → FFFF(X, {0, 1}), admettant pour réciproque l’appli-cation FFFF(X, {0, 1}) → PPPP(X) , qui à ϕ associe ϕ−1({1}) = { x ; ϕ(x) = 1 }. Il reste à passer aux effectifs.
On peut aussi faire une récurrence sur n . Si n = 0, X = ∅ et PPPP(X) a un élément : ∅. Si le résultat est vrai au rang n−1, isolons un élément a de X. Si A ne contient pas a, A est une partie de X − {a} : 2n−1 possibilités. Sinon, A s’écrit de façon unique {a} ∪ B, où B est une partie de X − {a} : 2n−1 possibilités. Au fond, PPPP(X) se présente comme un arbre de décision dichotomique. Numérotant {x1, …, xn} les
éléments de X, à chaque étape, soit on prend xk, soit on ne le prend pas.
Exercice 1 : Montrer qu’on peut numéroter explicitement, de 0 à 2n − 1, les parties de {1, 2, …, n},
en associant à toute H ⊂ {1, 2, …, n} l’entier NH = ∑∈
−
Hh
h 12 ( avec la convention n∅ = 0 ).
Exercice 2 : On considère les ensembles ∅, PPPP(∅), P P P P(PPPP(∅)), PPPP(PPPP(PPPP(∅))), etc. Quels sont leurs cardinaux ? Expliciter les premiers d’entre eux.
2. Principe des bergers. Formosam pastor Corydon ardebat Alexim, Delicias domini, nec quid speraret habebat ; Tantum inter densas, umbrosa cacumina, fagos Adsidue veniebat ; ibi haec incondita solus Montibus et silvis studio jactabat inani ;
Virgile, Bucoliques
Principe des bergers 3 : Soit u : S → T une surjection. L’on suppose chaque « fibre » u
−1(t), t ∈ T, finie de cardinal q ≥ 1.
Alors : S est fini ⇔ T est fini et l’on a card S = q × card T .
Preuve : Les fibres u−1
({t}), t ∈ T, forment une partition de S en ensembles finis de cardinal q. Si T est fini, S est réunion finie d’ensemble finis, donc est fini, et card S = q × card T . Si T est infini, S est réunion infinie d’ensembles non vides, donc est infini.
2 On dit aussi fonction caractéristique. 3 Ainsi dénommé traditionnellement, parce qu’un berger peut compter les bêtes de son troupeau en baissant la tête, en comptant les pattes et en divisant leur nombre par quatre. Drôle d’idée, même pour un berger de Virgile ! Il semble que peu de mathématiciens aient gardé un troupeau de moutons. D’ailleurs, s’il n’y a des moutons à cinq pattes que dans les proverbes, il y a certainement des moutons à trois pattes…
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Ce principe (ou lemme) des bergers s’applique dans les deux sens, selon que l’on cherche card S ou card T. Nous en verrons des applications dans les § 3 et 4. Donnons-en des applications qui anticipent sur la suite.
Exercice 1 : Dans l’espace Rn muni de la distance euclidienne usuelle, on considère le « n-cube »
C = {0, 1}n. Deux sommets x et y sont dits adjacents si ||xy|| = 1. Le segment [x, y] est alors une
arête du cube. Combien le cube C a-t-il de sommets ? d’arêtes ?
Indication : Considérer l’application { (x, y) ∈ C×C ; ||xy|| = 1 } → [x, y].
Exercice 2 : Soit Pn un polygone régulier de centre O, dans le plan. Combien y a-t-il d’isométries
planes conservant Pn ?
Indication : Soient A1, …, An les sommets de Pn. Remarquer qu’une isométrie plane u conservant Pn
laisse fixe le point O, et considérer l’application u → u(A1).
Exercice 3 : Soit f : G → H un homomorphisme de groupes. Montrer que : G est fini ⇔ Ker f et Im f sont finis , et qu’alors card G = card Ker f × card Im f . Application 1 : Si p est premier impair, ∃c ∈ Z p | c2 + 1 ⇔ p ≡ 1 ( mod 4 ). Pour le sens ⇒, considérer le morphisme f : x → x4 de (Z/pZ)*.
Application 2 : On considère l’application f : (z, z’) ∈ Ua×Ub → z.z’ ∈ C* (a et b ≥ 1), où Un désigne le groupe des racines n-èmes de l’unité. Montrer que f est un morphisme de groupes ; déterminer son noyau. En déduire card Im f. Reconnaître Im f. Cas où a et b sont premiers entre eux.
Indication : L’application f induit une surjection de G sur Im f , qui obéit au principe des bergers, car
pour tout y ∈ Im f , la fibre f−1({ y}) est équipotente à Ker f = f−1({ e}), où e est le neutre de H. En effet, si f(x0) = y, il est clair que s → s.x0 est une bijection de Ker f sur f
−1({ y}). Conclure.
Exercice 4 : Soient p un nombre premier, E un Z/pZ-espace vectoriel de dimension n. Combien E admet-il de droites vectorielles ? de droites affines ?
Exercice 5 : Lemme de Poincaré. Soient G un groupe multiplicatif, H et K deux sous-groupes finis de G. On introduit l’ensemble H.K = { x = h.k ; (h, k) ∈ H×K }.
Montrer que card(H.K) = )(
)().(KHcard
KcardHcard∩ . En déduire que card G ≥ )(
)().(KHcard
KcardHcard∩ .
Indication : L’application (h, k) → h.k de H×K sur H.K obéit au principe des bergers : elle est surjective, et, si (h0, k0) est un antécédent de x, les autres sont de la forme (h0.a, a
−1.k0), où a décrit
H ∩ K. Ainsi, toutes les fibres sont équipotentes à H ∩ K.
Exercice 6 : Formule des classes. Soit G un groupe fini agissant sur l’ensemble E. L’élément x ∈ E a pour orbite O(x) = { g T x ; g∈G} et pour groupe fixateur F(x) = { g ∈ G ; g T x = x }. Montrer que : card G = card O(x) ×××× card F(x) .
Cette formule, qui fonctionne dans les deux sens, a d’importantes conséquences : dénombrement des groupes d’isométries conservant des figures données (polygones, polyèdres platoniciens…), théorème de Wedderburn, dénombrement des grilles de sudoku, etc.
3. Nombres d’injections et d’arrangements. Définition : On appelle arrangement [sans répétition] des éléments de Y pris n à n, toute applica-tion injective [1, n] → Y, ou encore tout n-uplet (y1, …, yn) ∈ Y
n tel que i ≠ j ⇒ yi ≠ yj .
Proposition : Soient X et Y deux ensembles finis de cardinaux resp. n et p, ℑ(X, Y) l’ensemble des injections X → Y.
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Si n > p , card ℑ(X, Y) = 0 ; si n ≤ p , card ℑ(X, Y) = )!(
!np
p− = p ( p − 1 ) … ( p − n + 1 ) ≡ (p)n .
Preuve : Numérotons les éléments de X : x1, …, xn.
Heuristiquement, pour se donner une injection f : X → Y, il faut se donner f(x1) : p choix possibles. Ce choix étant effectué, il ne reste que p−1 choix possibles pour f(x2), p−2 choix possibles pour f(x3), …, p−n+1 choix possibles pour f(xn). En tout, p (p − 1) … (p − n + 1) injections possibles. Plus rigoureusement, raisonnons par récurrence sur n. Si n = 1, toute application de X dans Y est injective : en tout p injections. Supposons le résultat vrai pour tout ensemble X’ de cardinal n−1. Supposons X de cardinal n, et isolons un élément a de X.
Pour chaque y ∈ Y, il y a )!11(
)!1(+−−
−np
p =
)!()!1(
npp−−
injections f de X dans Y telles que f(a) = y.
Il suffit en effet de se donner une injection f de X−{ a} dans Y−{y}, et de la prolonger à X en posant
f(a) = y. Comme y décrit Y, il y a en tout p.)!()!1(
npp−−
= )!(
!np
p− injections de X dans Y.
Au fond, l’application f ∈ ℑ(X, Y) → f(a) ∈ Y est une surjection qui obéit au principe des bergers. Corollaire : Si card X = card Y = n, l’ensemble BBBB(X, Y) des bijections X → Y a pour cardinal card BBBB(X, Y) = n !
En particulier si X = Y, card SSSSX = n ! Exercice 1 : Paradoxe des anniversaires. Montrer que, dans un groupe de plus de 23 personnes, il y a plus d’une chance sur deux pour que deux d’entre elles aient leur anniversaire le même jour.
Exercice 2 : Equivalent du nombre total d’arrangements AAAA(p) = ∑n≥0 (p)n .
Exercice 3 : Soit X un alphabet de n lettres. On forme tous les mots ne contenant pas deux fois la
même lettre. Montrer que leur nombre Mn vérifie Mn = [en!] − 1.
4. Nombres de parties et de combinaisons. Définition : Soit X un ensemble à n éléments. On appelle combinaison sans répétition des n éléments de X, pris k à k, toute liste de k éléments extraits de X, autrement dit toute partie de X à k
éléments. Notons PPPPk(X) l’ensemble de ces parties.
Théorème : Si card X = n , on a pour 0 ≤ k ≤ n card PPPPk(X) = )!!.(!
knkn
− ≡ knC ≡ ( k
n).
La notation knC est utilisée en France, la notation ( kn) est universelle.
Preuve : A toute injection f : [1, k] → X associons l’image directe A = f([1, k]), qui est une partie à k éléments de X. L’application u : f → A = f([1, k]) de IIII([1, k], X) dans PPPPk(X) est une surjection qui obéit au principe des bergers : chaque partie A ∈ PPPPk(X) est l’image d’au moins une injection f, et en fait d’exactement k! injections ( autant que de bijections de [1, k] sur A ).
Par conséquent card PPPPk(X) = !1k
card IIII([1, k], X). CQFD.
Autres interprétations des knC :
i) C’est le nombre des fonctions ϕ : X → {0, 1} telles que ∑∈Xx
x)(ϕ = k ;
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ii) C’est le nombre des n-uplets (x1, …, xn) ∈ {0, 1}n tels que ∑
=
n
iix
1
= k ;
iii) C’est le nombre de chemins OA1…An joignant O à M(k, n−k) dans N2
, où 1+ii AA = i ou j ;
iv) C’est le nombre des applications strictement croissantes [1, k] → [1, n] ;
v) C’est le nombre de k-uplets (y1, …, yk) ∈ (N*)k tels que ∑
=
k
iiy
1
≤ n ;
vi) C’est le nombre de distributions de k boules indiscernables dans n boîtes distinctes, chaque boîte contenant au plus une boule.
Preuve : Pour i), passer par les fonctions indicatrices. Pour ii), comme [1, n] et X sont en bijection, se donner une fonction ϕ : X → {0, 1} équivaut à se donner une fonction i ∈ [1, n] → xi ∈ {0, 1}. Pour iii), un chemin joignant O à M est de longueur n. Il doit contenir k segments horizontaux, et la donnée de ces segments, qui forment une partie à k éléments d’un ensemble de n éléments, détermine entièrement le chemin. Pour iv) soit S l’ensemble des applications strictement croissantes f : [1, k] → [1, n]. Toute f ∈ S est injective ; lui est associée naturellement l’ensemble f([1, k]), partie de [1, n] à k éléments. Réciproquement, toute partie à k éléments de [1, n] est l’image de k ! applications, dont une seule est
strictement croissante. S est donc équipotent à PPPPk([1, n]). Le dénombrement v) se ramène aisément à iv). Exercice 1 : Un jeu comporte 32 cartes, 8 par couleur. Une main est un ensemble de 8 cartes. 1) Quel est le nombre de mains possibles ? 2) Combien de mains contiennent un valet au moins ? 3) Combien contiennent au moins un cœur ou une dame ? 4) Combien ne contiennent que des cartes de deux couleurs au plus ?
[ Réponses : 10518300 ; 7410195 ; 10314810 ; 77212. ]
Exercice 2 : Combinaisons avec répétition.
Soit X un ensemble à n éléments. On appelle combinaison avec répétition des n éléments de X, pris k à k, toute liste de k éléments extraits de X, les répétitions étant autorisées, et l’ordre dans la liste n’intervenant pas. Par exemple, si X = {a, b, c}, {a, b, a, b, b} et {b, b, b, a, a} sont une même combinaison des éléments de X 5 à 5.
1) Montrer l’équipotence des ensembles suivants :
a) L’ensemble QQQQk(X) des combinaisons avec répétition des éléments de X pris k à k ;
b) L’ensemble des fonctions ϕ : X → N telles que ∑∈Xx
x)(ϕ = k ;
c) L’ensemble des n-uplets (x1, …, xn) ∈ Nn tels que ∑
=
n
iix
1
= k ;
d) L’ensemble des applications croissantes [1, k] → [1, n] ;
e) L’ensemble des (k+1)-uplets (y1, …, yk+1) ∈ Nk+1
tels que ∑+
=
1
1
k
iiy = n − 1 ;
f) L’ensemble des k-uplets (y1, …, yk) ∈ Nk tels que ∑
=
k
iiy
1
≤ n − 1 ;
g) L’ensemble des distributions de k boules indiscernables dans n boîtes distinctes.
2) Montrer, par différentes méthodes, que tous ces ensembles ont k knC 1−+ éléments. En particulier, on indiquera une bijection entre l’ensemble des fonctions croissantes [1, k] → [1, n] et l’ensemble des fonctions strictement croissantes [1, k] → [1, n+k−1] .
Exercice 3 : Montrer que le nombre de sous-ensembles à k éléments de {1, 2, …, n} ne contenant pas d’entiers consécutifs est donné par k knC −+1 .
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Exercice 4 : Problème de Terquem. Soit qn,k le nombre des applications strictement croissantes u : [1, k] → [1, n] telles que, pour tout x ∈ [1, k], x et u(x) soient de même parité.
Montrer que qn,k = qn−1,k−1 + qn−2,k . En déduire : qn,k = kmC , où m = [ 2kn+ ].
5. Propriétés des coefficients binomiaux.
1) Le triangle arithmétique dit « de Pascal ».
Proposition 1 : ∀n 0nC = nnC = 1 , ∀n ≥ 1 ∀k ∈ [1, n−1] knC = knC 1− + 11−−knC .
Preuve : On peut vérifier cette formule à l’aide des factorielles, mais mieux vaut isoler un élément a dans un ensemble E à n éléments, et distinguer, parmi les parties à k éléments, celles qui ne contiennent pas a, au nombre de knC 1− , et celles qui le contiennent, au nombre de 11−−knC .
Ces formules déterminent entièrement le triangle dit de Pascal 4 des knC . Elles restent vraies pour tout couple (n, k) ∈ N2, avec la convention très utile knC = 0 si k ∉ [0, n].
Le triangle de Ibn Munc’im (vers 1200) Le triangle de Chuh Shih-Chieh (1303) 2) Horizontales du triangle de Pascal.
Proposition 2 : A n fixé, la suite finie k → knC est croissante, puis décroissante, unimodale si n est pair, bimodale si n est impair, et symétrique en ce sens que ∀k ∈ [0, n] knC = knnC − .
Preuve : Il suffit de calculer le quotient 1+knC / knC , et de le comparer à 1.
En particulier, max 0≤k≤2n knC2 = nnC2 et max 0≤k≤2n+1 knC 12 + = nnC 12 + = 112++nnC .
Ces formules se résument en une seule : max 0≤k≤n knC = [ ]2/nnC , où [ ] désigne la partie entière.
La suite 1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, … des valeurs modales est référencée A001505 dans l’OEIS.
La sous-suite ( nnC2 ) = ( 1, 2, 6, 20, 70, … ) est référencée A000984.
Voici représentées quelques-unes des courbes k → knC2 , une fois centrées, normalisées et rendues affines par morceaux.
4 Ce triangle était connu bien avant Pascal, en Inde (Bhascara, 1150), chez les arabes (Munc’im, 1210), et en Chine (Chu Shih-chieh, 1303), n’est arrivé en Europe qu’au XVIème siècle (Maurolyco, Hérigone…). Pascal l’étudia en grand détail dans son Triangle arithmétique (1654). Ajoutons que plusieurs opuscules scientifiques de Pascal ont été perdus.
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> with(plots): > q:=n->listplot([seq([k,binomial(2*n,n+k)/binomial(2*n,n)],k=-n..n)], thickness=2,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12)); > display({q(4),q(6),q(8),q(10)});
L’étude approfondie de ces « courbes en cloche », une fois centrées et réduites, conduit au théorème de la limite centrale de De Moivre et Laplace, fondamental en calcul des probabilités 5.
3) Verticales du triangle de Pascal.
Proposition 3 : A k fixé, la fonction n → knC = !
1k
n ( n−1 ) … ( n−k+1 ) est polynomiale de degré k,
et croissante. Preuve : Cette fonction est la fonction polynomiale associée au polynôme de Newton
Nk(X) = !1k
X.(X−1) … (X−k+1).
Si l’on pose N0(X) = 1, les polynômes de Newton forment une base de Q[X] (degrés échelonnés).
De plus, ils vérifient Nk(X + 1) − Nk(X) = Nk−1(X). En effet pour tout entier n ≥ 0, Nk(n + 1) − Nk(n) = knC 1+ − knC = 1−knC = Nk−1(n). L’identité, valable pour une infinité de rationnels, est vraie dans Q[X]. Mais on peut aussi la vérifier directement. La suite N1(n) = n des nombres entiers naturels est bizarrement référencée A001477.
La suite N2(n) = 2)1( +nn
des nombres dits « triangulaires » est référencée A000217.
La suite N3(n) = 6)2)(1( ++ nnn
des nombres dits « tétraédraux » est référencée A000292.
N2(n) = N1(1) + … + N1(n) , c’est-à-dire 2)1( +nn
= 1 + … + n.
N3(n) = N2(1) + … + N2(n) , c’est-à-dire 6)2)(1( ++ nnn
= 22.1 +
23.2 + … +
2)1( +nn
.
4) Formules du binôme et du multinôme.
Dans un anneau A, si a et b commutent : ( a + b )n = ∑
=
n
k
knC
0
ak
bn−k
.
Si a1, ... , ap commutent, ( a1 + ... + ap )n = ∑
=++ npαα ...1 !!...
!1 p
nαα
. ppaa αα ...11 .
5) Sommes et différences : ∑=
n
k 0
knC = 2
n , ∑
=
n
k 0
knk.C(-1) = 0 si n ≥ 1, 1 si n = 0 .
Faire a = b = 1, resp. a = − b = 1 dans le binôme.
5 On trouvera des précisions sur ce sujet dans mon chapitre « Convergences simple et uniforme », § 2.
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Voici une preuve combinatoire : isolons un élément a dans l’ensemble E à n éléments. A toute partie X de E, associons X−{ a} si a ∈ X, X ∪ {a} si a ∉ X, autrement dit X ∆ {a}. ∆ étant une loi de groupe sur PPPP(E), on met en bijection les parties de cardinal pair et les parties de cardinal impair.
5) Identité hypergéométrique : n baC + = ∑ −k
knb
ka CC . .
Dans cette somme, k varie de max(0, n−b) à min(n, a), ou de 0 à l’infini avec les conventions habituelles sur les binomiaux. Cette importante identité, dite parfois de Vandermonde mais en réalité bien plus ancienne, peut s’établir par deux moyens, l’un combinatoire, l’autre algébrique :
• en dénombrant de deux façons les parties à n éléments d’un ensemble de a + b éléments, selon le nombre d’éléments du type a qu’elles contiennent.
• en identifiant les coefficients de Xn dans les deux membres de : ( 1 + X )a+b = (1 + X)a.(1 + X)b.
Corollaire : ∑=
n
k 0
kn)²(C = nnC2 .
6) Sommes partielles alternées : ∑=
p
k 0
kn
k.C(-1) = (−1)p. pnC 1− si 0 ≤ p ≤ n−1 , 0 si p = n ≥ 1.
La formule précédente peut s’établir par récurrence sur p.
Exercice 1 : Montrer cette formule en considérant le terme en Xn dans le polynôme :
P(X) = Xn
( 1 − X )n + Xn−1 ( 1 − X )n + … + Xn−p ( 1 − X )n .
En revanche, il n’y a pas de formule donnant les sommes partielles ∑=
p
k 0
knC .
7) Formules de sommation : Pour 0 ≤ k ≤ n, 11++knC = kkC + kkC 1+ + … + knC .
Cette formule s’écrit Nk+1(n+1) = Nk(k) + Nk(k+1) + … + Nk(n) = Nk(0) + Nk(1) + … + Nk(n).
Elle peut se démontrer : − combinatoirement, en notant X = {1, 2, …, n+1} et en dénombrant les parties de X à k+1 éléments selon le plus petit élément qui leur appartient,
− algébriquement, en partant de Nk+1(x + 1) − Nk+1(x) = Nk(x), en faisant x = 0, 1, …, n et en additionnant.
Application à la sommation des puissances numériques :
Soit à calculer la somme des puissances a-èmes des n premiers entiers S(a, n) = ∑=
n
k
ak1
.
En vertu du critère des degrés échelonnés, le monôme Xa est combinaison linéaire des polynômes
N0(X), N1(X), …, Na(X). Or )(1
kNn
k
a∑=
= Na+1(n + 1) . Il reste à conclure par linéarité.
Par exemple, calculons S(2, n) : on a X2 = 2.X(X − 1)/2 + X = 2.N2(X) + N1(X), donc :
S(2, n) = 2 )(1
2 kNn
k∑
=+ )(
11 kN
n
k∑
= = 2.N3(n + 1) + N2(n + 1) = 6
)12)(1( ++ nnn. On trouve :
S(1, n) = 2
)1( +nn S(2, n) =
6)12)(1( ++ nnn
S(3, n) = 4
)²1²( +nn S(4, n) =
30)13²3)(12)(1( −+++ nnnnn
.
Remarques :
1) Les deux premières formules étaient connues des Grecs anciens. Le jeune Carl Friedrich Gauss a surpris son maître en démontrant la première formule à l’âge de neuf ans. Voici des « preuves sans mots » de ces formules. La première, à gauche, se passe de commentaires.
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La seconde (figure de droite) consiste à disposer N = 1 + 2 + … + n = 2
)1( +nn boules de masse
unité mi = 1 aux points d’ordonnées 1, 2, …, n d’un triangle équilatéral. Le centre de gravité G de ce système de masses, qui est aussi le centre de gravité du triangle
équilatéral, a pour ordonnée y = 3
12 +n . En vertu du principe du levier d’Archimède, toutes les
forces sont en équilibre quand on concentre la masse au centre de gravité.
∑=
−N
iii yym
1
)( = 0, donc ∑=
N
iii ym
1
= ymN
ii ).(
1∑
=, i.e. 1×1 + 2×2 + … + n×n = N× y =
2)1( +nn
.3
12 +n .
2) On constate que S(3, n) = S(1, n)2
. Simple hasard.
3) Un moyen mécanique pour exprimer Xa dans la base (N0(X), N1(X), …, Na(X)) est donné par
la formule de Newton-Gregory (chap. Polynômes, § 9). Cette méthode se généralise au calcul des
)(1
kPn
k∑
=, P polynôme.
4) Les nombres et polynômes de Bernoulli donnent une approche plus profonde du sujet.
Exercice 2 : Combien de boulets de canon contiennent les piles ci-dessous ?
Exercice 3 : Démontrer que :
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
et n2 – (n − 1)2 + … + (−1)n−1.12 =
2)1( +nn
.
Exercice 4 : On considère les matrices :
-
10
M1 = (1) , M2 =
3421 , M3 =
345216987
, M4 =
13141516123451121610987
, etc . Calculer la trace de Mn .
8) Propriétés multiplicatives : ∀k ∈ [1, n] k. knC = n. 11−−knC (*)
Cette formule, et celles qui s’en déduisent par itérations : k.(k − 1). knC = n.(n − 1). 22−−knC , etc. , permettent de calculer les moments factoriels de la loi binomiale BBBB(n, p) ( p & q ≥ 0, p + q = 1 ) :
knkknn
k
qpCk −=∑ ...
0
= np et knkknn
k
qpCkk −=
−∑ ..).1.(0
= n(n−1)p2 , etc.
Ces dernières formules s’obtiennent aussi en dérivant partiellement en p l’identité (p + q)n = ….
Soit X : (Ω, AAAA, P) → N une variable aléatoire discrète suivant la loi binomiale BBBB(n, p) : P(X = k) = knC p
k q
n−k pour 0 ≤ k ≤ n. Elle a pour espérance et pour variance :
E(X) = ∑=
=n
k
kXPk0
)(. = np et V(X) = E(X2) – E(X)2 = npq.
Exercice 5 : Soit E un ensemble de n éléments, X = { (a, b) ; a ∈ E , B ⊂ E , card B = k−1 , a ∉ B }. En dénombrant X de deux façons, montrer (*).
Exercice 6 : Vérifier que knC . kp knC−
− = p
nC . kpC pour 0 ≤ k ≤ p ≤ n.
9) Propriétés de divisibilité.
Le fait que knC soit un entier se traduit arithmétiquement ainsi : le produit de k entiers naturels consécutifs est toujours divisible par k!. En voici une preuve arithmétique :
Exercice 7 : 1) Soient a1, a2, …, an n entiers naturels. Pour tout entier h, soit Nh = card{ i ; ai ≥ h }.
Montrer que ∑=
n
iia
1
= ∑+∞
=1hhN . Interprétation géométrique.
2) En déduire que, pour tout nombre premier p, vp(n!) = ∑+∞
=
1hhp
n ( Legendre, 1808 ),
où vp(m) désigne l’exposant de p dans la factorisation de l’entier m, [x] la partie entière du réel x.
3) Montrer que ∀(x, y) ∈ R2 [x + y] = [x] + [y] + 0 ou 1. 4) En déduire que k ! ×××× (n − k) ! divise toujours n !. 5) Par combien de 0 se termine l’écriture décimale de 1000 ! ?
6) Montrer que vp(n!) = 1)(
−−p
nsn, où s(n) est la somme des chiffres du développement de n en
base p.
Exercice 8 (Catalan, 1874) : Soient a et b ∈ N. Montrer que (2a)!(2b)! est divisible par a! (a + b)! b!
Exercice 9 (Teixeira, 1881) : Soit E un ensemble à nq éléments.
Montrer que le nombre de partitions de E en n parties de q éléments chacune est nqnqn
)!(!)!(
.
En déduire que si n et q sont deux naturels, (q!)n.n ! divise (qn)!
Exercice 10 : Montrer que le produit de k entiers relatifs consécutifs est toujours divisible par k !
-
11
10) Propriétés probabilistes.
Exercice 11 : Deux joueurs, Pierre et Jean, jouent à pile ou face avec une pièce équilibrée, aux instants 1, 2, …, n. Ils parient 1F à chaque partie. Soit Sn le gain cumulé de Pierre à l’instant n. Quelle est la loi de cette variable aléatoire ? Son espérance et sa variance ? Exercices divers Exercice 12 : Un peu d’histoire.
Dans son traité, Pascal définit le triangle arithmétique, non comme le tableau des nombres de combinaisons, mais comme un tableau de nombres « figurés », d’origine géométrique. Chaque ligne est formée des sommes partielles des éléments de la ligne précédente : La 1ère ligne est formée des unités : 1 1 1 1 1 1 … La 2ème ligne des nombres entiers : 1 2 3 4 5 6 … La 3ème ligne des nombres triangulaires : 1 3 6 10 15 21 … La 4ème ligne des nombres pyramidaux : 1 4 10 20 35 56 … etc. En résumé, si T(k, n) est le n-ème élément de la k-ème ligne, (∀n) T(1, n) = 1 ∀k ≥ 1 ∀n T(k, n) = T(k−1, 1) + T(k−1, 2) + ... + T(k−1, n) Exprimer les T(k, n) en termes de binomiaux. On introduit les lignes d’indices 0, −1, −2, etc. de façon que T(k, 0) = 1 (∀k ∈ Z). Calculer les T(k, n) pour (k, n) ∈ Z×N.
Exercice 13 : Démontrer combinatoirement la formule ( a + b )n = ∑
=
n
k
knC
0
ak
bn−k
pour a, b, n ∈ N.
Exercice 14 : Calculer les sommes ∑k
knC3 , ∑ +
k
knC 13 , ∑ +
k
knC 23 .
Exercice 15 : 1) Soit P = ∑ ak.Xk ∈ C[X], ω = exp
miπ2 . Montrer ∑
≡ )(mod.
mrk
kk Xa = m
1 ).(.1
0
Xf tm
t
rt ωω∑−
=
− .
2) En déduire que ∑≡ )(modmrk
knC =
m1 )(cos).)2cos((.2
1
0 mt
mtrn n
m
t
n ππ−∑−
=.
Exercice 16 : Etudier la parité des coefficients binomiaux.
Exercice 17 : Étudier, à n fixé, la convexité de la suite k → knC .
Exercice 18 : Etudier la suite ( nnC2 ). Démontrer qu’elle est croissante et convexe.
Exercice 19 : Montrer les identités suivantes, où x est une variable réelle :
Si 0 ≤ p ≤ n, ∑=
−−
p
k
kkpkn
kn xCC
0
.. = pnC ( 1 + x )p
; si 0 ≤ k ≤ n, ∑=
n
kp
pkp
pn xCC .. = knC x
k ( 1 + x )
n−k .
Exercice 20 : Calculer ∑= +n
k
knC
k0.
11 . [ Réponse :
112 1
+−+
n
n
]
Exercice 21 : Transversales du triangle de Pascal. Calculer et reconnaître les nombres Tn = ∑−=+ 1nji
ijC .
Exercice 22 : Montrer pour tout 0 ≤ k ≤ n knC = π21 ∫
+
−−
π
πθθθ dknn ).)
2cos((.)
2cos.2( .
Exercice 23 : Soient E un ensemble de n éléments, PPPP(E) l’ensemble de ses parties.
1) Quel est le nombre de couples (X1, X2) ∈ PPPP(E)2 tels que X1 ⊂ X2 ?
2) Quel est le nombre de r-uplets (X1, …, Xr) ∈ PPPP(E)r tels que X1 ⊂ X2 ⊂ … ⊂ Xr ?
Exercice 24 : Soit E un ensemble de cardinal n. Si X est fini, on note |X| son cardinal.
-
12
1) Calculer ∑∈ )(EPX
X . 2) En déduire ∑∈
∪)²(),( EPYX
YX et ∑∈
∩)²(),( EPYX
YX .
Exercice 25 : Soit P l’ensemble des parties de [1, n].
Montrer que ∑∈PA∑∈Ak
k = n ( n + 1 ) 2n−2 , ∏∈PA
∏∈Ak
k = (n!)2^(n−1) .
Exercice 26 : Montrer l’identité : ∏≤+ nji
ji ba ).( = (a.b)p , où p = 3 2+nC .
Exercice 27 : On rappelle l’équivalent de Stirling : n! ~ nen n π2.)( .
On pose ak(m) = kmmm C+
22 .21 pour −m ≤ k ≤ m. Equivalents des suites (a0(m))m et (ak(m))m (k fixé) ?
Equivalent de la suite Mn = max { knC ; 0 ≤ k ≤ n } ?
Exercice 28 : inverses des binomiaux.
Soit Sn = ∑=
n
kknC0
1 . Montrer que (Sn) est bornée, convergente ; limite, développement asymptotique ?
Exercice 29 : Un entier est dit binomial s’il est de la forme knC , où 2 ≤ k ≤ n−2. Soit E = { 6, 10, 15, 20, 21, 28, 35, 36, 4(, 55, 56, … } l’ensemble de ces entiers, (qui est référencé A006987 dans l’OEIS). On note E(n) = E ∩ [0, n]. Démontrer que : card E(n) = n2 + o( n ).
[ Indications : Soit Ek = { knC ; n ≥ 2k } ; card E2(n) ≤ card E(n) ≤ card E2(n) + ∑k≥3 card Ek(n).] Exercice 30 : le théorème « de l’étoile de David ».
Henry W. Gould a conjecturé en 1971 que pgcd(11−−knC , 1+knC , knC 1+ ) = pgcd( 11++knC , 1−knC , knC 1− ).
Ce résultat a été démontré dès l’année suivante. 1) Vérifier cette formule pour n = 7, 8, 9, et toutes les valeurs de k . 2) Vérifier les relations suivantes, trouvées par Hitotumatu et Sato (1975), et conclure :
+
+−−
kn
kn
kn
CCC
1
1
11
=
−−++−−
−−−−+
nnkknknknnkk
11
111
−
−++
kn
kn
kn
CCC
1
1
11
et
−
−++
kn
kn
kn
CCC
1
1
11
=
+−−−−−−+
+−−−
1111
1
knknnkkn
knkn
+
+−−
kn
kn
kn
CCC
1
1
11
.
6. Principe d’inclusion-exclusion.
Ce principe, appelé aussi formule du crible 6, donne le cardinal d’une union finie d’ensembles finis.
Théorème : Soient A1, …, An des ensembles finis. Alors :
card Un
iiA
1==∑
=
n
iicardA
1
− ∑<
∩ji
ji AcardA + ∑
-
13
Exercice 1 : Démontrer que card Un
iiA
1=est compris entre deux sommes partielles consécutives de la
formule du crible : ∑=
n
iiAcard
1
)( − ∑<
∩ji
ji AAcard )( ≤ card Un
iiA
1=≤ ∑
=
n
iiAcard
1
)( , etc.
Application 1 : dénombrement de surjections.
Proposition : Soit SSSS(X, Y) l’ensemble des surjections de X → Y (ensembles finis). Si card X < card Y, SSSS(X, Y) = ∅ ; si card X = n ≥ card Y = k, alors :
card SSSS(X, Y) = kn − .1kC ( k − 1 )
n + .2kC ( k − 2 )
n − .3kC ( k − 3 )
n − … + (−1)k. .kkC ( k − k )
n
Autrement dit : card SSSS(X, Y) = ∑=
−−k
h
nhk
h hkC0
).()1( .
Preuve : Indexons Y = { y1, … , yk }. Tout repose sur l’égalité :
FFFF(X, Y) − SSSS(X, Y) = Uk
iiA
1=, où Ai = { f ∈ FFFF(X, Y) ; (∀x ∈ X) f(x) ≠ yi }.
Ai s’identifie naturellement à FFFF(X, Y−{y i}) , Ai ∩ Aj à FFFF(X, Y−{y i, yj}), etc. La formule du crible conclut.
Corollaire : Pour tout entier n ≥ 1 :
n! = nn − .1nC ( n − 1 )n + .2nC ( n − 2 )n − .3nC ( n − 3 )n − … + (−1)n. .nnC ( n − n )n
Preuve : Dénombrons de deux façons les permutations de { 1, 2, …, n }. D’une part, ce sont les injections de { 1, 2, …, n } dans lui-même : il y en a n !. D’autre part, ce sont les surjections de { 1, 2, …, n } dans lui-même : la prop. précédente conclut.
Remarque : cette formule s’écrit aussi
nnn! = 1 − .1nC ( 1 −
n1 )n + .2nC ( 1 −
n2 )n − .3nC ( 1 − n
3 )n − … + (−1)n. .nnC ( 1 − nn )n
≈ 1 − .1nC e−1 + .2nC e−2 − .3nC e−3 − … + (−1)n. .nnC e−n ≈ ( 1 − e−1 )n Le ≈ ayant un sens très vague ; cela nous rapproche un peu de la formule de Stirling. Définition : nombres de Stirling7. On nomme ainsi les S(n, k), où S(n, k) est le nombre de partitions d’un ensemble de n éléments en k sous-ensembles.
On a : S(n, k) = !
1k
card SSSS([n], [k])
= !
1k
[ kn − .1kC ( k − 1 )n + .2kC ( k − 2 )
n − .3kC ( k − 3 )
n − … + (−1)k .kkC ( k − k )
n ]
On entend ici par partition un ensemble { A1, …, Ak } de k ensembles non vides disjoints de réunion X, et non un k-uplet ; d’où la nécessité de diviser par k!. On convient de poser S(0, 0) = 1 , S(0, k) = 0 pour k ≥ 1.
Les nombres de Stirling (de seconde espèce) se rencontrent souvent en analyse combinatoire. Leur triangle est répertorié A008277 dans l’OEIS.
S(n, k) 1 2 3 4 5 6
1 1
2 1 1
7 de seconde espèce ; voir L. Comtet. Les nombres de Stirling de 1ère espèce dénombrent les permutations ayant un nombre d’orbites donné.
-
14
3 1 3 1
4 1 7 6 1
5 1 15 25 10 1
6 1 31 90 65 15 1
Exercice 2 : Compléments.
1) Montrer que les S(n, k) vérifient les formules récurrentes :
i) S(n, 0) = S(0, k) = 0 sauf S(0, 0) = 1.
ii) S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k.S(n − 1, k) ( n, k ≥ 1 ). 2) Démontrer que S(n, 1) = S(n, n) = 1 , S(n, 2) = 2
n−1 − 1 , S(n, n − 1) = 2nC .
Tabuler les S(n, k) pour les premières valeurs de n. Que vaut S(n + 2, n) ?
3) Soit f une fonction indéfiniment dérivable de R*+ dans R, g la fonction définie par g(x) = f(ex).
Calculer les dérivées successives de g. Que constate-t-on ? Justifier ce résultat.
4) Drapeaux. Démontrer que le nombre d(n, k) de drapeaux à n bandes et k couleurs, deux bandes adjacentes étant de couleurs différentes, vaut k!.S(n − 1, k − 1). Application 2 : indicateur d’Euler .
Il s’agit d’une très importante fonction arithmétique 8.
Définition : L’ indicateur d’Euler de n, noté ϕ(n), est le nombre des entiers k ∈ [1, n] premiers à n.
Il existe plusieurs méthodes pour calculer ϕ(n) ; la plus élémentaire utilise la formule du crible. Notons n = (p1) 1
k … (pr) rk la factorisation de n, et Ai = { m ∈ [1, n] ; pi | m } (1 ≤ i ≤ r).
ϕ(n) = card ( [1, n] − Ur
iiA
1=) = n − card U
r
iiA
1=
= n − ∑=
n
iicardA
1
+∑<
∩ji
ji AAcard )( − ∑
-
15
= N −∑=
r
iicardA
1
+∑<
∩ji
ji AAcard )( − ∑
-
16
[ Indication : On pourra associer à toute partie finie A de N* P(A) = ∑∈Ad
df )( . Montrer que P est une
fonction additive, que F(n) = P(Dn), où Dn est l’ensemble des diviseurs de n, puis que f(n) = F(n) − P(Dn − {n}), et enfin noter que Dn − {n} = U
nppnD / , où p est diviseur premier de n. ]
4) Soit E l’ensemble des suites binaires (i.e. à éléments dans {0, 1}). Démontrer qu’il y a 2n suites
binaires n-périodiques, mais que le nombre de suites binaires exactement n-périodiques, c’est-à-dire
admettant n comme période fondamentale, est donné par : P(n) =∑nd
dnd /2).(µ .
Démontrer que P(n) est aussi le nombre de mots binaires de longueur n et a-périodiques, c’est-à-dire non de la forme m = c … c ( concaténé k fois ).
(Suite répertoriée A027375 dans l’OEIS, l’analogue ternaire étant répertoriée A054718)
5) Pour tout entier n ≥ 1, soit ϕ(n) le nombre des entiers k ∈ [1, n] premiers à n.
a) Montrer que n = ∑nd
d)(ϕ [ Regrouper les k ∈ [1, n] selon la valeur de pgcd(k, n).]
b) En déduire ϕ(n) = ∑nd d
nd )(.µ = n.( 1−1
1p
).( 1−2
1p
) … ( 1−rp
1 ) ,
où les pi sont les diviseurs premiers de n.
7. Principe des tiroirs. Si huit chaussettes sont réparties dans un semainier, l’un au moins des tiroirs contient au moins deux chaussettes. Si treize pigeons sont logés dans douze casiers, nécessairement au moins un casier contient plus d’un pigeon... Ce principe très simple remonte au jésuite français Jean Leurechon11 de Pont-à-Mousson, qui affirme dans ses Selectae Proposi-tiones (1622) que, nécessairement, il existe deux femmes ayant le même nombre de cheveux. Plus tard, il fut utilisé en 1842 par Dirichlet pour classifier les sous-groupes additifs de R et de R
n.
Principes des tiroirs 12 : Soit f une application : X → Y, où X est de cardinal n, Y de cardinal k < n. Alors l’application f ne saurait être injective. Plus précisément, l’un au moins des y ∈ Y a au moins
kn antécédants.
Preuve : Rappelons que x est le plus petit entier relatif ≥ x : x −1 < x ≤ x .
Si tout y ∈ Y avait au plus kn − 1 antécédents, on aurait card X = n ≤ k (
kn − 1) < k
kn = n :
contradiction !
Remarque : Ce résultat subsiste a fortiori si X est de cardinal infini, et Y de cardinal fini k : l’un des y a une infinité d’antécédents.
Corollaire : Ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier n’est possible que s’il y a au moins deux paniers.
Avis à MM. Orban, Erdogan, Poutine, Xi Jin Ping, et leurs administrés…
11 Jean Leurechon (Bar-le-Duc, 1591 – Pont-à-Mousson, 1670), jésuite, auteur de récréations mathématiques appréciées par le père Mersenne, Claude Mydorge, Denis Hennon et Daniel Schwenter, et traduites en plusieurs langues. 12 Ce principe, dit parfois de Dirichlet-Schäfli , est appelé en allemand Schubfachprinzip, en anglais chest-of-drawers principle, ou pigeon-hole principle, cette dernière appellation étant due à Paul Erdös et Richard Rado.
-
17
Application1 : mathématiques récréatives.
Exercice 1 : Considérons un échiquier traditionnel 8×8, dont les cases n’ont pas de couleur. Quel nombre maximal de tours (resp. de fous, de reines, de cavaliers, de rois) peut-on disposer sur cet échiquier sans qu’aucune pièce n’en menace une autre ? Réponses : 8 tours, 14 fous, 8 reines, 32 cavaliers, 16 rois.
Pour les tours, la réponse est facile : si l’on dispose 8 tours sur une diagonale de l’échiquier, aucune tour ne menace une autre. Si maintenant on considère, disons, les 8 rangées verticales de l’échiquier, et si l’on place au hasard 9 tours sur l’échiquier, deux d’entre elles se trouvent sur la même rangée en vertu du principe des tiroirs. Par conséquent le nombre cherché ne peut dépasser 8 : c’est donc 8. Maintenant, une autre question se pose : de combien de façons peut-on disposer 8 tours sur un échiquier de façon qu’aucune ne menace une autre ? La réponse est 8 ! = 40320. Pourquoi ?
Problème des tours Problème des reines Problème des fous
Pour les reines, qui sont plus fortes que les tours, le nombre ne peut excéder 8. Et l’on trouve aussi une disposition de 8 reines telle qu’aucune ne menace une autre. On peut démontrer qu’il y a 92 façons distinctes de les disposer, mais seulement 12 façons à rotations ou réflexions près 13. Pour les fous, on peut placer 14 fous de façon qu’aucun ne menace les autres (voir figure). Et si l’on indexe les cases de l’échiquier à l’aide de {1, …, 8}×{1,…, 8}, on peut partitionner l’échiquier en 14 régions disjointes : les 7 diagonales j = i , j = i ± 2 , j = i ± 4 , j = i ± 6 , et les 7 diagonales i + j = 3, 5, 7, 9, 11, 13 ou 15. Deux fous placés sur la même diagonale se menacent. En vertu du principe des tiroirs, on ne peut placer 15 fous sans qu’ils se menacent. Le nombre optimale est donc 14.
Exercice 2 : Dans une réunion de 10 personnes, il y en a au moins deux qui ont salué le même nombre de personnes.
En effet, dans une telle réunion, il ne peut y avoir à la fois, un malotru qui n’ait salué personne, et un ami-de-tout-le-monde qui ait salué tout le monde. Le nombre de personnes saluées par les participants appartient soit à {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, soit à {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, donc à un ensemble à 9 éléments…
Application 2 : Itérations dans un ensemble fini.
Proposition : Soit X un ensemble fini de cardinal N, f une application X → X. Pour tout x0 ∈ X, la suite xn+1 = f(xn) des itérés de x0 par f est quasi-périodique. Si f est bijective, elle est périodique.
Preuve : L’application k → xk ne peut être injective. Si (m, m+p) est le premier couple tel que xm = xm+p, la suite (xn) est périodique à partir du rang m. Comme x0 , … , xm+p−1 sont distincts, m + p ≤ N = card X. Si f est bijective, nécessairement m = 0, et (xn) est périodique.
Exemple : Algorithme de Kaprekar. Cf. Ensembles, § 6.1. et Groupes, § 9.4.
Application 3 : théorème de Bolzano-Weierstrass.
Lorsqu’on démontre ce théorème par dichotomie, on utilise une forme faible du principe des tiroirs. Si tous les un sont dans le segment [a, b], une infinité d’entre eux appartiennent à [a, c] ou à [c, b], c étant le milieu de [a, b]…
13 Ce problème plus difficile a été étudié par de nombreux mathématiciens, notamment Gauss.
-
18
Application 4 : Sous-groupes additifs de R.
Exercice 3 : Soit ω un irrationnel, G = { a + b.ω ; (a, b) ∈ Z2 } le groupe additif engendré par 1 et ω.
1) Démontrer que l’application : n → (n.ω) = n.ω − [n.ω] est une bijection de Z sur G ∩ [0, 1[.
2) Soit N ∈ N* ; en considérant les réels (0), (ω), … , (Nω) et les intervalles Ih = [ Nh ,
Nh 1+ [,
(0 ≤ h ≤ N−1), démontrer que : ∃(p, q) ∈ N2 0 ≤ p < q ≤ N et | (pω) − (qω) | < N1 .
3) En conclure que : (∀ε > 0) (∃x ∈ G) 0 < x < ε , puis que G est dense dans R. Exercices et problèmes Exercice 4 : Dans un groupe d’au moins 733 personnes, il y en a au moins trois ayant la même date d’anniversaire. Dans un groupe d’au moins 241 personnes, il y en a au moins 21 qui sont nées le même mois.
Exercice 5 : 9 personnes s’asseyent au hasard sur une rangée de 12 chaises. Démontrer que 3 chaises consécutives sont forcément occupées.
Exercice 6 : On place 5 points sur une sphère. Démontrer qu’il y en a toujours 4 sur la même moitié de la sphère.
Exercice 7 : Périodicité des restes des nombres de Fibonacci.14
On considère la suite de Fibonacci F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn . Démontrer que, pour tout entier
N, la suite (Fn) est périodique pure modulo N. Déterminer cette période pour N = 2, 3, 5, 7. Conséquence sur l’écriture décimale des nombres de Fibonacci ?
Exercice 8 : On se donne 7 entiers distincts ; montrer que 3 d’entre eux ont une somme divisible par 3. Généraliser.
Exercice 9 : Soient a1, a2, … , a10 des entiers relatifs. Prouver qu’il existe des nombres α1, α2, … ,
α10 appartenant à {−1, 0, +1} et non tous nuls, tels que ∑=
10
1
.i
ii aα soit divisible par 1001.
Exercice 10 : Sur chacune des onze cartes d’un jeu, on inscrit un entier > 0. La somme des nombres inscrits est égale à 20. Peut-on forcément séparer le paquet en deux tas de total 10 ?
Exercice 11 : Soit G un graphe à 6 sommets, dans lequel deux sommets quelconques sont joints par une arête coloriée en bleu ou en rouge. Montrer qu’il existe un triangle dont les trois arêtes ont la même couleur.
Exercice 12 : On choisit 10 entiers distincts compris entre 10 et 99. Soit X leur ensemble. Montrer qu’il existe deux parties non vides et disjointes A et B de X, telles que la somme des éléments de A soit égale à celle des éléments de B.
Exercice 13 : Soit N un entier naturel. Existe-t-il toujours un multiple de N dont l’écriture décimale de comporte que des 0 et des 1 ?
Exercice 14 : Parmi 101 entiers relatifs, peut-on toujours en trouver 11 dont la somme soit un multiple de 11 ?
Exercice 15 : Soient x1, x2, … , xn n entiers relatifs.
Montrer qu’il existe une partie I non vide de [1, n] telle que n divise la somme ∑∈Ii
ix .
Exercice 16 : Soit N un nombre se terminant par 1. Existe-t-il toujours une puissance de N se terminant par 000 001 ?
14 Pour des compléments, voir mon chapitre sur La suite de Fibonacci et le nombre d’or.
-
19
Problème : généralisation du principe des tiroirs.
Soient E un ensemble fini de n éléments, (aj)1≤j≤n la suite des éléments de E rangés dans un certain
ordre. Soit (Ai)1≤i≤m une suite quelconque de parties de E. On note ci = card Ai et w = ∑=
m
iic
1
.
1) Soit pour tout j, kj le nombre des indices i tels que aj ∈ Ai. Montrer que w = ∑=
n
jjk
1
.
2) Montrer qu’une condition suffisante pour qu’il existe au moins r ensembles Ai contenant chacun au moins b éléments est que : w ≥ ( n − b + 1 ).( r − 1 ) + m.( b − 1 ) + 1.
3) Montrer qu’une condition suffisante pour qu’il existe au moins c éléments de E au moins s fois
recouverts par les Ai est que : w ≥ ( m − s + 1 ).( c − 1 ) + n.( s − 1 ) + 1. Problème : lemme de Thue-Siegel (1909-1930).
Soient m et n deux entiers tels que 1 ≤ m < n , et (S) le système : a11.x1 + … + a1n.xn = 0 (S) . . . . . . . . . . am1.x1 + … + amn.xn = 0
de m équations à n inconnues (x1, …, xn), où les aij sont éléments de Z.
Soit L = max { 1 , max1≤i≤m ∑=
n
jija
1
} .
Montrer qu’il existe X = (x1, …, xn) ∈ Zn − {0}, solution de (S), tel que : max1≤j≤n | xj | ≤ )/( mnmL − .
[Indication : Etablir que, si M est un réel ≥ 0, (a1, …, an) ∈ Zn et A =∑
=
n
jja
1
, lorsque Y = (y1, …,
yn) décrit Zn de façon que (∀j) 0 ≤ yj ≤ M, la quantité ∑
=
n
jjj ya
1
. prend au plus 1 + A.[M] valeurs.]
Ce lemme joue un grand rôle dans la démonstration du théorème de Thue15 sur les approximations et équations diophantiennes (pb ENS 1992), et dans des résultats plus récents de transcendance.
8. Polynômes et séries génératrices. 8.1. Polynômes.
Les opérations combinatoires se rattachent souvent à des structures algébriques sous-jacentes, qui permettent de les codifier. En particulier, les règles de calcul sur les coefficients des polynômes et diverses substitutions permettent d’effectuer des dénombrements, comme on l’a déjà observé au § 5.
Voici un exemple très simple, qui sera généralisé dans l’ex. 4 ci-dessous : calculons, pour tout entier n ≥ 0, a(n) = card { k ; 0 ≤ k ≤ n , k ≡ 0 ( mod 3 ) } , b(n) = card { k ; 0 ≤ k ≤ n , k ≡ 1 ( mod 3 ) } , c(n) = card { k ; 0 ≤ k ≤ n , k ≡ 2 ( mod 3 ) }. On peut bien sûr faire ces calculs directement, mais introduisons plutôt le polynôme :
P(X) = 1 + X + … + Xn =
111
−−+
XX n
.
On a P(1) = a(n) + b(n) + c(n) , P(j) = a(n) + j.b(n) + j2.c(n) et P(j
2) = a(n) + j
2.b(n) + j.c(n).
Il reste à résoudre ce système linéaire cramérien. En particulier :
15 Axel Thue, mathématicien norvégien (Tonsberg 1863 - Oslo 1922).
-
20
a(n) = 31 [ P(1) + P(j) + P(j2) ] =
31 [ n + 1 + 2 Re
111
−−+
jj n
] .
Si l’on veut un résultat complet, raisonner modulo 3.
Exercice 1 : Soit c(n, k) = card { (a1, a2, …, ak) ∈ {0, 1, 2}k ; a1 + a2 + … + ak = n }.
Montrer que c(n, k) sont les coefficients du polynôme ( 1 + X + X2
)k = ∑
=
k
n
nXknc2
0
).,( .
Exercice 2 : On cherche de combien de façons on peut obtenir 20 centimes avec des pièces 1, 2, 5, 10 et 20 centimes, en prenant en compte l’ordre des pièces. Montrer que ce nombre est le coefficient de X
20 dans le polynôme A + … + A
20 , où
A(X) = X + X2 + X
5 + X
10 + X
20 . En déduire qu’il vaut 283953. Généraliser.
Exercice 3 : Multisection d’un polynôme.
1) Soit P = ∑k ak.Xk ∈ C[X], ω = exp
miπ2 . Montrer que ∑
≡ )(mod.
mrk
kk Xa = m
1 ).(.1
0
XP tm
t
rt ωω∑−
=
− .
2) En déduire que ∑≡ )(modmrk
knC =
m1 )(cos).)2cos((.2
1
0 mt
mtrn n
m
t
n ππ−∑−
=.
Exercice 4 : 1) Pour (n1, n2, …, ns) ∈ Ns , on pose
F(n1, n2, … , ns) = card { (k1, k2, …, ks) ∈ Ns ; (∀i) 0 ≤ ki ≤ ni et ∑
≤≤ siik
1
est pair } .
G(n1, n2, … , ns) = card { (k1, k2, …, ks) ∈ Ns ; (∀i) 0 ≤ ki ≤ ni et ∑
≤≤ siik
1
est impair } .
Calculer F(n1, n2, … , ns) et G(n1, n2, … , ns).
Montrer que F(n1, n2, … , ns) = G(n1, n2, … , ns) + 0 ou 1.
2) Pour (n1, n2, …, ns) ∈ Ns , calculer
A(n1, n2, … , ns) = card { (k1, k2, …, ks) ∈ Ns ; (∀i) 0 ≤ ki ≤ ni et ∑
≤≤ siik
1
≡ 0 (mod 3) } .
B(n1, n2, … , ns) = card { (k1, k2, …, ks) ∈ Ns ; (∀i) 0 ≤ ki ≤ ni et ∑
≤≤ siik
1
≡ 1 (mod 3) } .
C(n1, n2, … , ns) = card { (k1, k2, …, ks) ∈ Ns ; (∀i) 0 ≤ ki ≤ ni et ∑
≤≤ siik
1
≡ 2 (mod 3) } .
[ Indication : considérer le polynôme P(X) = (∑=
1
1
1
0
n
k
kX ) … (∑=
s
s
s
n
k
kX0
). ]
Voici une autre série de polynômes utiles en combinatoire. Considérons les polynômes :
Pn(X) = 1.( 1 + X )( 1 + X + X2 ) … ( 1 + X + … + X
n−1 )
Il est de degré (n − 1).n/2. Quand on le développe, il s’écrit Pn(X) = ∑−
=
2/)1(
0
).,(nn
k
kXknc
où c(n, k) est le nombre de permutations σ ∈ SSSSn possédant k inversions. 8.2. Séries génératrices.
Plus générales que les polynômes, mais soumises aux mêmes règles de calcul, les séries formelles fournissent une puissante méthode permettant d’étudier les suites d’entiers issues de problèmes de dénombrement. On la trouvera exposée dans le chapitre sur les Séries entières formelles, où sont proposées (§ 10) de nombreuses applications combinatoires classiques : dénumérants, dénombre-ments de permutations, d’arbres, parenthésages de Catalan, etc.
-
21
Exemple 1 : Considérons la suite an = nnC2 . Si on lui associe sa série génératrice ∑n
nnnXC2 , on peut
démontrer par divers moyens (que nous verrons plus tard) que :
∑n
nnnXC2 =
X411−
= ( 1 – 4X )−1/2
.
En quelque sorte, la série entière ( 1 – 4X )−1/2
résume, « contient », la suite (an). On a remplacé une suite infinie de nombres réels par un unique objet.
Exemple 2 : série génératrice des coefficients binomiaux.
La série génératrice double est ∑kn
nkkn TXC,
= ∑∑n
nk
k
kn TXC )( = ∑ +n
nnTX)1( = TX)1(1
1+− .
Les séries génératrices horizontales sont ∑k
kkn XC = ( 1 + X )n.
Les séries génératrices verticales sont ∑n
nknTC = 1)1( ++ kk
TT
.
Exemple 3 : nombres de Bell 16 ou nombres exponentiels. On note ω(n) le nombre de relations d’équivalence sur un ensemble à n éléments. C’est aussi le nombre de partitions d’un tel ensemble, ou encore le nombre de façons d’écrire un entier N produit de n facteurs premiers distincts comme produit de diviseurs. On convient que ω(0) = 1.
1) Démontrer que ω(n + 1) = ∑=
n
k
kn kC0
)(ω .
2) Calculer ω(n) pour 1 ≤ n ≤ 12.
3) Démontrer que ∑+∞
=0 !)(
n
n
nX
nω = exp(exp(X) – 1). ( On pourra dériver le second membre ).
4) En déduire la formule de Dobinski : ω(n) = e1 ∑
+∞
=0 !h
n
nh
.
5) Démontrer que la suite !
!...!1!0n
n+++ tend vers 1, plus précisément
!
!...!1!0n
n+++ = 1 + n
)0(ω + 2
)1(n
ω + 3
)2(n
ω + O( 4
1n
).
Remarque : La suite (ω(n)) est répertoriée A000110 dans l’OEIS. Elle a pour premières valeurs : 1 1 2 5 15 52 203 877 4140 21147 115975 678570 4213597 …
Elle tend très vite vers l’infini. On peut démontrer que ln ω(n) ∼ n.ln n. La recherche d’un équivalent de cette suite est un problème difficile et technique 17.
9. Invariants combinatoires.
Considérons un système pouvant prendre un nombre fini d’états EEEE = { E1, E2, …, EN } à des instants t = 0, 1, 2, …, n, … , le passage d’un état au suivant étant régi par des règles strictes. Si u(t) est l’état du système à l’instant t, u(t + 1) = F(u(t)), où F : EEEE → EEEE est une fonction bien définie. On se pose la question suivante : peut-on atteindre l’état Ef en partant, à l’instant 0, d’un état initial donné Ei ?
Pour répondre à ce type de questions, il est souvent intéressant de rechercher des fonctions f : EEEE → X invariantes dans le temps, c’est-à-dire telles que F o f = F. Si f(Ef) ≠ f(Ei), on est sûr qu’on ne peut atteindre l’état final Ef en partant de l’état initial Ei.
16 Eric Temple Bell (1883-1960), professeur à Caltech et historien des mathématiques.
17 Cf. pb Mines MP 2002, 1ère épreuve, et mes notes.
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22
F peut être un invariant de parité ou de congruence, un invariant numérique, polynomial ou matriciel, voire une fonction qui diminue avec le temps.
Exemple 1 : On écrit sur un tableau les nombres 1, 2, 3, …, 1998. On choisit deux nombres arbitraires que l’on efface pour les remplacer par leur différence. Cette opération est répétée tant que le tableau contient au moins deux nombres. Le dernier nombre restant peut-il être égal à 2 ?
Solution : La somme des nombres inscrits sur le tableau ne change pas de parité au cours du jeu car a + b et a − b ont même parité. Or 1 + 2 + … + 1998 = 999×1999 est impair. On ne pourra jamais obtenir au final le nombre 2, ni même aucun nombre pair. Reste à savoir quels entiers impairs on peut obtenir…
Exemple 2 : Dans la suite 1, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 5, 0, … , chaque terme après le sixième est égal au dernier chiffre de la somme des six termes qui le précèdent. Prouver qu’il est impossible de trouver la succession 0, 1, 0, 1, 0, 1 dans la suite ainsi définie. (Olympiades russes, 1984)
Solution : Plaçons-nous dans Z/10Z. La suite (xn) est définie par :
x0 = 1 , x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = 0 , x4 = 1 , x5 = 0 , xn+6 = xn + xn+1 + xn+2 + xn+3 + xn+4 + xn+5 .
Cherchons une forme linéaire F(x, y, z, t, u, v) = ax + by + cz + dt + eu + fv invariante au cour du système, c’est-à-dire telle que : F(x, y, z, t, u, v) = F(y, z, t, u, v, x + y + z + t + u + v) . Un rapide calcul conduit à F(x, y, z, t, u, v) = 2x + 4y + 6z + 8t + 10u + 12v.
La suite F(xn, xn+1, xn+2, xn+3, xn+4, xn+5) reste constante, égale à F(x0, x1, x2, x3, x4, x5) = 18 = 8 ; or F(1, 0, 1, 0, 1, 0) = 24 = 4.
Cette méthode se généralise aux récurrences linéaires Xn+1 = A.Xn, lorsqu’il existe une forme linéaire non triviale invariante par A, c’est-à-dire un vecteur-ligne L tel que L.A = L.
Exemple 3 : le parcours du cavalier. Un cavalier peut-il parcourir toutes les cases d’un échiquier m×n sans passer deux fois par la même case et en revenant à son point de départ, lorsque m et n sont impairs ?
Exemple 4 : dominos sur un quadrillage. Il faut, bien sûr, 32 dominos (rectangles 2×1) pour recouvrir complètement un quadrillage 8×8. Avec 31 dominos, est-il possible de recouvrir toutes les cases de ce quadrillage, sauf deux cases diagonalement opposées ?
Solution : Pour résoudre élégamment ce problème, remplaçons le quadrillage 8×8 par un damier 8×8 constitué de cases blanches et noires alternées. Un domino recouvre toujours une case noire et une case blanche. Donc 31 dominos recouvrent 31 cases noires et 31 cases blanches. Or sur un damier, deux cases diagonalement opposées sont de même couleur. Le recouvrement cherché est donc impossible. Ici encore, un invariant de parité, facile à définir, est l’œuvre, NB : Si l’on remplace les dominos par des triominos, le recouvrement est encore impossible pour des raisons de congruence.
Exemple 5 : le taquin. Ce jeu fort connu consiste à déplacer les 16 cases d’un jeu en faisant coulisser la case vide.
151413121110987654321
141513121110987654321
NBNBBNBNNBNBBNBN
La question posée est celle-ci : peut-on ramener la configuration de gauche à la configuration voisine ? En 1878, Sam Loyd a proposé une récompense de 1000 dollars à qui y parviendrait.
Solution : Sam Loyd ne courait aucun risque, car il savait que c’était impossible. Voici pourquoi : Numérotons 16 la vase vide, et colorions les cases en blanc et noir en damier, comme indiqué.
-
23
Toute configuration se déduit de la configuration initiale par une permutation σ de l’ensemble {1, 2, …, 16}. Associons à toute configuration un indice de parité P : • Si la case vide 16 est noire, P est la signature de la permutation σ ; • Si la case vide 16 est blanche, P est l’opposé de cette signature. Par exemple, l’indice de parité de la configuration 1 est 1, celui de la configuration 2 est −1. Or, au cours du jeu, l’indice de parité P ne change pas. En effet, lorsqu’on passe d’une configuration à la suivante, on permute la case vide 16 avec une de ses voisines : la signature est changée en son opposée (composition par une transposition), mais la case vide change de couleur.
Remarque : On peut montrer que la condition « avoir même parité » est non seulement nécessaire, mais aussi suffisante, pour passer d’une configuration à une autre, pour un taquin de toute taille. Exercice 1 : On considère le tableau suivant, où seul l’élément situé à l’intersection de la première ligne et de la troisième colonne est un signe −, tous les autres étant des signes + : A chaque étape, on peut changer les signes d’une colonne, d’une ligne ou d’une diagonale quelconque. Peut-on se retrouver avec un tableau où tous les éléments sont des signes + ?
Exercice 2 : On affecte à chaque sommet d’un cube donné un entier naturel. Il est alors possible de choisir une arête et d’ajouter 1 aux nombres associés à ses deux extrémités. Partant de la situation représentée ci-contre, prouver qu’il est impossible de rendre les nombres associés aux huit sommets égaux. Exercice 3 : On définit une partie H de Z×Z par les propriétés suivantes : a) H contient les points A(0, 0), B(1, 0) et C(0, 1). b) Tout point M de H est le symétrique d’un point de H par rapport à un autre point de H. Le point (4, 3) est-il élément de H ? En combien d’étapes peut-on le construire au minimum en partant de A, B et C ? Le point (1, 1) est-il élément de H ? Problème sur le jeu du solitaire 1) Des trous sont creusés en les 37 points (x, y) ∈ Z×Z, tels que |x| + |y| ≤ 4 et max(|x|, |y|) ≤ 3. Soient T l’ensemble de ces points, et T0 l’ensemble T−{(0, 0)}. Représenter ces ensembles.
Des billes sont placées en chacun des 36 trous de T0. Une bille placée en (x, y), si elle est voisine de la bille de droite (x+1, y), et si le trou (x+2, y) est vide, peut sauter par-dessus sa voisine (x+1, y) et venir se placer en (x+2, y) ; la bille placée en (x+1, y) est alors escamotée. Et la même règle s’applique vers la gauche, vers le haut et vers le bas.
2) On note A =
0111 la matrice carrée d’ordre 2 à coefficients dans Z/2Z.
Vérifier que A2 + A + I = 0 et en déduire que A
3 = I
3) A toute partie finie F de T on associe ∆(F) = ∑∈
+
Fyx
yxA),(
.
a) Montrer que la somme ∆(F) reste constante au cours du jeu. b) Montrer que ∆(T0) est la matrice nulle. c) Déduire de ce qui précède qu’il est impossible de terminer la partie avec une seule bille, ni avec deux billes voisines.
N.B. : Il n’en est pas de même si l’on enlève à T les quatre trous (±2 , ±2).
+++++++++++++−++
-
24
Problème sur le jeu du solitaire 18
1) Des pions (xi, yi)1≤i≤N, deux à deux distincts, sont disposés dans Z×−N. Un pion, placé en (x, y), s’il est voisin du pion de droite (x+1, y), et si (x+2, y) n’est pas occupée par un pion, peut sauter par-dessus son voisin (x+1, y) et venir se placer en (x+2, y) ; le pion (x+1, y) est alors escamoté. Et la même règle s’applique vers la gauche, vers le haut et vers le bas. Montrer que, quoi qu’il arrive, un pion ne peut jamais dépasser l’ordonnée 5. Montrer que l’on ne peut améliorer la valeur 5. [ Indication : Soit ϕ le nombre d’or, solution > 0 de l’équation ϕ2 − ϕ − 1 = 0 ; appelons « énergie » d’une partie finie C de Z×−N le réel E(C) = ∑
∈
+−
Cyx
yx
),(
ϕ ; majorer E(C) et étudier comment elle varie
au cours du jeu. ]
2) N pions distincts (xi, yi)1≤i≤N sont disposés sur Z×Z. Si on leur applique la règle ci-dessus, que dire de la configuration finale ?
Maple et les mathématiques discrètes Maple contient plusieurs packages de mathématiques discrètes, que l’on pourra explorer : • Un package combinat de fonctions combinatoires ; • Un package group relatifs aux groupes de permutations et aux groupes de présentation finie ; • Un package logic de logique booléenne ; • Un package numtheory de théorie des nombres ; • Un package powseries de séries entières formelles.
Exercices et problèmes Exercice 1 : Lire les Cent mille milliards de poèmes de Raymond Queneau. Lequel préférez-vous ?
Exercice 2 : Théorème du bal de fin d’année 19. Une école contient autant de garçons que de filles. Après le bal de fin d’année, les garçons déclarent avoir dansé en moyenne avec 7 filles, les filles déclarent avoir dansé en moyenne avec 4 garçons. Est-ce possible ?
Exercice 3 : Dans l’ensemble des personnes vivantes, chaque personne a serré la main d’un certain nombre d’autres personnes. Montrer que le nombre des personnes qui ont serré les mains d’un nombre impair de personnes est un nombre pair.
Exercice 4 : Dans un plan affine réel, on se donne 1000 points distincts deux à deux. Montrer qu’il existe une droite telle que 500 points se trouvent d’un côté, et 500 de l’autre.
Exercice 5 : Soit n ≥ 3. Dénombrer les triplets (x, y, z) ∈ N*3 tels que : x + y + z = n , x ≤ y + z , y ≤ z + x , z ≤ x + y .
On trouvera 8
)2)(8( −+ nn si n est pair,
81²−n si n est impair.
Exercice 6 : Démontrer que le nombre de triangles inégaux de périmètre n à côtés entiers et non aplatis est égal au nombre de façons de payer n−3 euros avec des pièces de 2, 3 et 4 euros.
Exercice 7 : Soient E un ensemble à n éléments, RRRR une relation d’équivalence sur E.
18 Cf. RMS octobre 2012, R 510 p. 78-86 19 Un article du Monde (20 août 2007) invoque ce théorème pour mettre en doute la comptabilité des rapports sexuels déclarés entre hommes et femmes…
-
25
Montrer que n2 ≤ k.r, où k est le nombre de classes d’équivalence, r le nombre d’éléments de la
relation d’équivalence (c’est-à-dire le nombre de couples en relation).
Exercice 8 : On se donne n = 2m+1 objets de poids respectifs p1, …, pn. On suppose que, chaque fois que l’on isole un objet, il est possible de grouper les 2m objets restants en deux groupes de m éléments, de même poids total. Montrer que tous les objets ont même poids.
Exercice 9 : Plans de lotissements. 20 Combien y a-t-il de matrices à n lignes et p colonnes, à éléments dans {0, 1} ?
Parmi elles, combien y a-t-il de matrices A = (aij) telles que chaque sous-matrice
+++
+
111
1
jiji
ijij
aaaa
contienne exactement deux 0 et deux 1 ?
Exercice 10 : A côté de la plaque. 21 Les nouvelles plaques d’immatriculation de ce pays comportent 2 lettres (entre A et Z), trois chiffres (entre 0 et 9) et encore deux lettres. Rien de bien original, direz-vous, cela fait 26
4×1000 plaques différentes, soit près de 457 millions ? Pas tout à fait, car les autorités ont imposé une autre règle : deux immatriculations ne diffèrent jamais d’un seul caractère (elles n’ont jamais six caractères sur sept à la même place). Exemple : AB-657-BL et AB-657-CL sont incompatibles. Combien de plaques différentes au maximum peut-on réaliser en appliquant cette règle ?
Exercice 11 : Pavages par des dominos. Un rectangle entier, c’est-à-dire dont les côtés ont des longueurs entières m et n, est dit dominable si on peut le paver par des dominos (rectangles de côtés 2 et 1).
1) Montrer qu’un rectangle entier de côtés m et n est dominable si et seulement si m ou n est pair.
2) Combien y a-t-il de façons de paver par des dominos un rectangle (2n)×1 ? 3) Montrer que le nombre de façons de paver par des dominos un rectangle n×2 est lié aux nombres de Fibonacci.
4) Montrer que le nombre de façons de paver par des dominos un rectangle (2n)×3 est g(n), où g(0) = 1 , g(1) = 3 , g(2) = 11 , g(n + 2) = 4 g(n + 1) − g(n). 5) Montrer que le nombre de façons de paver par des dominos un rectangle n×4 est f(n), où f(0) = 1 , f(1) = 1 , f(2) = 5 , f(3) = 11 , f(n + 4) = f(n + 3) + 5 f(n + 2) + f(n + 1) − f(n).
Remarque : On a montré en 1961 que le nombre de façons de paver par des dominos un rectangle
(2m)×(2n) est donné par 4mn∏∏= = +
++m
j
n
k nk
mj
1 1
)12
²cos12
²(cos ππ ( Pour la Science, juillet 2006 ).
Exercice 12 : Jeu du piquet. Deux joueurs ajoutent alternativement des nombres de 1 à 10. Le premier joueur part de 0. Le premier des joueurs à atteindre le total de 100 gagne la partie. 1) Montrer que celui qui atteint un total compris entre 90 et 99 a perdu. En déduire que celui qui atteint un total de 89 a gagné. 2) Quel nombre doit choisir le premier joueur s’il veut être sûr de gagner à tout coup ? 3) Montrer que si le total à atteindre est 110, le premier joueur est sûr de perdre. Généraliser.
Exercice 13 : Une formule d’inversion.
1) Soient I un ensemble, FFFF l’ensemble des parties finies de I. Pour tout A ∈ FFFF , on pose ε(A) = (−1)card(A). Soient G un groupe additif, f et g deux fonctions FFFF → G. Montrer l’équivalence :
20 Exercice tiré du Monde, juillet 2010, n° 682. 21 Exercice tiré du Monde, août 2010, n° 686.
-
26
(∀A ∈ FFFF) g(A) =∑⊂ AB
Bf )( ⇔ (∀A ∈ FFFF) f(A) =∑⊂
−AB
BgBA )().(ε .
2) Soient (un) et (vn) deux suites à valeurs dans G. Montrer l’équivalence des deux propriétés :
(∀n ∈ N) vn =∑=
n
kk
kn uC
0
. ⇔ (∀n ∈ N) un = ∑=
−−n
kk
kn
kn vC0
..)1( .
3) Soit d(n) le nombre de permutations de { 1, 2, …, n } sans point fixe.
Montrer que n! = ∑=
n
k
kn kdC
0
)(. . En déduire une expression de d(n). Limite de la suite (!)(
nnd
) ?
Quel est le nombre moyen de points fixes d’une permutation de {1, 2, …, n} ? Sa variance ? 4) Soit r(n) le nombre de recouvrements d’un ensemble de n éléments (un recouvrement de X est un ensemble de parties de X de réunion X).
a) Montrer que n2
2 = ∑=
n
k
kn krC
0
)(. . En déduire une expression de r(n).
b) En déduire r(0) = 1 , r(1) = 2 , r(2) = 10 , r(3) = 218 , r(4) = 64594, etc.
c) Montrer que r(n) ∼ n2
2 quand n → +∞ .
Exercice 14 : Soient E = { a1, …, am } un ensemble fini de cardinal m ≥ 2, U1, U2, …, Un n parties non vides de E deux à deux distinctes telles que ∀(i, j) i ≠ j ⇒ card(Ui ∩ Uj) = a.
Soit pi = card Ui , et M ∈ Mn,m(R) la matrice définie par mij = 1 si aj ∈ Ui , mij = 0 sinon.
1) Calculer M.tM. Montrer que l’ensemble { i ; pi = a } a au plus un élément.
2) Montrer que M.tM est définie positive. En conclure que n ≤ m.
Exercice 15 : 21 filles et 21 garçons ont participé à une compétition mathématique. • chaque participant a résolu au plus six problèmes ; • pour chaque fille et chaque garçon, un même problème, au moins, a été résolu par chacun d’entre eux. Montrer qu’il y a un même problème, au moins, qui a été résolu par au moins trois filles et trois garçons.
[ Olympiades 2001, problème 3 ]
Exercice 16 : Une grille de sudoku est une matrice carrée 9×9 telle que chacune des 9 lignes, chacune des 9 colonnes, et chacune des 9 sous-matrices {3i+1, 3i+2, 3i+3}×{3j+1, 3j+2, 3j+3} (i, j = 0, 1, 2) contienne une et une seule fois chaque entier de 1 à 9. Soit N le nombre total de telles grilles. 1) Pourquoi N est-il divisible par 9! ? 2) Sans y passer trop de temps, indiquer quelques majorations de N.
[ En 2005, B. Felgenhauer et F. Jarvis ont démontré, par un dénombrement exhaustif, que
N = 6 670 903 752 021 072 936 960 = 9! ×××× 213 ×××× 34 ×××× 27704267971 formant 5 472 730 538 grilles non équivalentes. ] ____________ Problème : géométrie combinatoire On appelle plan projectif la donnée d’un couple (Π, ∆) formé d’un ensemble Π, dont les éléments sont appelés points, et d’un ensemble ∆ de parties de Π, appelées droites, vérifiant les 3 axiomes : (P1) Deux points distincts quelconques a et b appartiennent à une et une seule droite, notée (a b) ; (P2) Deux droites distinctes d et d’ se coupent en un et un seul point ; (P3) Toute droite contient au moins trois points ; il existe au moins trois points non alignés.
Un isomorphisme de plans projectifs (Π, ∆) → (Π’, ∆’) est une bijection f : Π → Π’ telle que, pour tous a et b, ( f(a) f(b) ) = f((a b))
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1) Si m ∈ Π, on appelle faisceau de base m l’ensemble FFFFm des droites passant par m ; soit Π’ l’ensemble des faisceaux. Montrer que (∆, Π’) est un plan projectif, appelé dual de (Π, ∆). Quel est le dual de (∆, Π’) ? 2) Dans cette question, (Π, ∆) désigne un plan projectif fini : card Π = N. a) Montrer que deux droites quelconques d et d’ ont même cardinal. [ Indication : Soit o un point n‘appartenant pas à d ∪ d’ ; considérer l’application qui à p ∈ d associe l’intersection p’ de (op) avec d’.] On note n+1 le nombre de points de chacune des droites.
b) Montrer que par chaque point passent n+1 droites, et que card Π = card ∆ = n2 + n + 1.
3) Exemple : Soit K un corps commutatif fini à q éléments, E l’espace vectoriel K3, E• = E − {0,
0, 0)} Considérons l’ensemble des triplets non nuls d’éléments de K . Ecrivons (x, y, z) R (x’, y’, z’) ss’il existe λ ≠ 0 tel que (x’, y’, z’) = λ.(x, y, z). a) Montrer que c’est une relation d’équivalence. Soit Π l’ensemble quotient ; que vaut card Π ? b) A tout triplet (a, b, c) ≠ 0 on associe le quotient de { (x, y, z) ∈ E• ; ax + by + cz = 0 } par R. Cet ensemble est appelé droite ; l’ensemble de ces droites est noté ∆. Montrer que (Π, ∆) est un plan projectif.
c) Soit (Π, ∆) un plan projectif à 7 éléments ; montrer qu’il est isomorphe au plan du type précédent, avec K = Z/2Z.
Remarques : On peut montrer que les automorphismes du plan à N = 7 éléments (n = 2) forment un
groupe simple à 168 éléments, le célèbre groupe PSL(3, F2) ≈ PSL(2, F7). En 1988, C. W. Lam, L. H. Thiel et S. Swiercz ont montré informatiquement qu’il n’existe pas de plan projectif à N = 111 éléments (n = 10).22 Une des grandes conjectures de la géométrie combinatoire affirme que tout plan projectif fini est isomorphe à un plan projectif sur un corps fini. Hormis ce cas, les axiomes (P1) à (P3) sont insuffisants pour faire de la géométrie projective. __________ Problème sur le permanent
Si A = (aij) ∈ Mn(R), on appelle permanent de A : per A = ∑∈ nS
nnaaσ
σσ ),(1),1( ...
( c’est la même formule que le déterminant, mais sans les signatures ε(σ) ). On appelle permanent de n vecteurs x1, ..., xn de R
n, le permanent de la matrice dont les colonnes sont x1, ..., xn.
1) Démontrer que (x1, ..., xn) → per(x1, ..., xn) est une forme n-linéaire symétrique sur Rn.
2) Démontrer que per A = per tA . 3) Enoncer et démontrer un théorème de développement du permanent selon la j-ème colonne, resp. la i-ème ligne d’une matrice. 4) Enoncer et démontrer une propriété du permanent d’une matrice trigonale par blocs.
5) Pour σ ∈ SSSSn, on note M(σ) = (δi,σ(j)) la matrice de la permutation associée à σ. Vérifier que si B = M(σ).A.M(τ), alors per A = per B. 6) Combien y a-t-il de permutations σ ∈ SSSSn telles que ∀i | σ(i) − i | = 1, resp. telles que ∀i | σ(i) − i | = 2 ? 7) Calculer avec Maple le nombre de permutations σ ∈ SSSSn vérifiant ∀i | σ(i) − i | ≤ 2, pour n ≤ 10, resp. telles que ∀i | σ(i) − i | = 0 ou 2, pour n ≤ 10. Fabriquer un problème sur le sujet. 8) Problème des ménages de Lucas (1891).
22 Cf. Bulletin n° 442 de l’APM, p. 603.
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Autour d’une table circulaire, on se propose de disposer 2n convives, n couples 23, de façon à alterner hommes et femmes et à ne placer aucun convive à côté de son (ou sa) conjoint(e). a) Montrer qu’il y a 2 × n! façons de placer les épouses.
b) Montrer qu’il y a 2 × n! × per
011...10001......11...............
...00111...10011...1100
plans de table possibles.
c) Calculer les premières valeurs de cette suite, et la reconnaître dans l’OEIS.
9) A l’instant 0 on place des pions 1, 2, …, n sur les cases 1, …, n resp. On note pij la probabilité qu’un pion situé sur la case i à l’instant k se retrouve à l’instant k + 1 sur la case j. On suppose les déplacements indépendants. La matrice P = (pij) est stochastique. Montrer que la probabilité qu’à l’instant 1 les pions occupent chacun une case et une seule est per(P).
NB : Le permanent peut servir aussi à résoudre le problème des reines. Le déterminant aussi est utile en analyse combinatoire. ____________ Problème : l’hypercube
L’espace Rn est rapporté à sa base canonique (e1, … , en) muni de la distance euclidienne d(A, B) et
de la topologie usuelles. On nomme n-cube l’ensemble Cn = [0, 1]n.
1) Montrer que Cn est un ensemble convexe fermé borné, intersection de 2n demi-espaces fermés. Quelle est son intérieur ? Sa frontière F ? L’étude de F relève de la topologie combinatoire.
2) Un point S de Cn est appelé sommet ou point extrémal s’il vérifie :
∀(Α, Β) ∈ Cn × Cn S = (A + B)/2 ⇒ S = A = B. Démontrer que Cn admet 2
n sommets.
3) Deux sommets A et B sont dits adjacents si d(A, B) = 1. Le segment qui les joint est appelé
arête de Cn. Démontrer que Cn admet n×2n−1
arêtes.
4) Soient G le groupe des isométries de Cn, GO le sous-groupe des isométries de Cn laissant fixe le
point O = (0, …, 0). Déterminer GO, et montrer qu’il est isomorphe au groupe SSSSn. En déduire le cardinal et l’inventaire de G.
5) On appelle faces de Cn les intersections de F et des 2n demi-espaces fermés.
Combien Cn admet-il de faces ? Les décrire.
6) Pour 0 ≤ k ≤ n−1, on définit les k-faces de Cn par récurrence, ainsi : • Les (n – 1)-faces de Cn sont ses faces ; • Les k-faces de Cn sont les faces de ses (k + 1)-faces.
Les 1-faces sont les arêtes, les 0 faces sont les sommets. On note Nn,k le nombre de k-faces de Cn.
Démontrer, dans l’ordre qu’on voudra, que :
Nn,k = 2n−k
. knC k-faces , Nn,k = 2.Nn−1,k + Nn−1,k−1 et ∑=
n
k
kkn XN
0, . = ( 2 + X )
n.
7) Traduire les résultats précédents pour n = 1, 2, 3 et 4. ____________
23 Monogames, hétérosexuels, bien entendu ! Depuis la funeste loi Taubira, il faut tout préciser…
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Problème : lemme des mariages « L’amitié est le mariage de l’apparence et de la réalité. »
Marcel Jouhandeau, Algèbre des valeurs morales
Soient E et F deux ensembles finis, x → A(x) une application E → PPPP(F).
Pour qu’il existe une injection f : E → F vérifiant : (∀x ∈ E) f(x) ∈ A(x) , il faut et il suffit que :
∀H ∈ PPPP(E) card H ≤ card UHx
xA∈
)( ( lemme des mariages de Philip Hall , 1934 ).
[ Indication 24 : Raisonner par récurrence sur n = card E. On distinguera deux cas, selon qu’il existe ou non, une partie H, non vide et ≠ E, telle que card H = card U
Hx
xA∈
)( . ]
____________ Bibliographie
Blaise Pascal : Œuvres complètes (Pléiade) Edouard Lucas : Théorie des nombres (Blanchard) Louis Comtet : Analyse combinatoire (Puf, coll. Sup, 2 tomes) Donald Knuth : Fundamental Algorithms (Addison Wesley) William Feller : Introduction to the theory of probability (Wiley) Marvin Marcus : A survey of finite mathematics (Dover) George Polya, Gabor Szegö : Problems and theorems in Analysis (Springer) Richard P. Stanley : Enumerative combinatorics Jacques Bouteloup : Nombres de Catalan (RMS février 1994) Tarik Belhaj Soulami : Les olympiades de mathématiques (Ellipses, 1999) Mohammed Aassila : Olympiades internationales de mathématiques (Ellipses, 2003) Paul Bourgade : Olympiades internationales de mathématiques (Cassini, 2005) Clara Grima : Je fais des maths en laçant mes chaussures (Les arènes, 2018) RMS avril 1990 : Dénombrement de cycles (J.-M. Monier) Problème ENS 2002 : Dénombrement des arbres Pierre-Jean Hormière : Algèbre linéaire sur les corps finis (Problèmes d’algèbre linéaire, n° 1) Séries entières formelles
Oulipo, Queneau, Roubaud, Pérec, Bens, etc. : Œuvres poétiques Pascal Kaeser : Nouveaux exercices de style (Diderot) Charles Fourier : Hiérarchie du cocuage (Les presses du réel)
Pour la scie