analyse 3

Ecole Nationale de l’Industrie MinéralePremière année

Ecole Nationale de l’Industrie MinéralePremière année

1

Rachid ELLAIA

Calcul direct des valeurs propres

• Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme :

P(x) = det (A – x Id)• Cette méthode nécessite le calcul du

2

Rachid ELLAIA Méthodes Numériques : Calcul des valeurs propres

• Cette méthode nécessite le calcul du déterminent et le calcul des racines d’un polynôme de degré n.

• Calculs souvent difficiles et coûteux

Calcul numérique

Méthodes numériques

Méthode de la puissance itérée

3


Méthode de la puissance itéréeMéthode de JacobiMéthode de Givens

• etc


Hypothèses

• Soit A une matrice (nxn) diagonalisable, λn la valeur propre de A de plus petit module et λ1 la valeur propre de A de plus grand module.

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• On a

Iλ1I >Iλ2I>…. >Iλn-1I>IλnI• Soit vi, vecteur propre associé à λi

A vi = λi vi

• On suppose que les vi sont linéairement indépendants


1 1 2 2 3 3 n n

1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n

Ax Av Av Av ... Av

Ax v v v ... v

= α + α + α + + α= α λ + α λ + α λ + + α λ

( ) [ ]n

i i 1,n

1 1 2 2 3 3 n n

On a : x R , tels que

x v v v ... v

∈∀ ∈ ∃ α

= α + α + α + + α

5


2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n

k k k k k1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n

kk kk 32 n

1 1 1 2 2 3 3 nk k k1 1 1

A x v v v ... v

........

A x v v v ... v

v v v ...

= α λ + α λ + α λ + + α λ

= α λ + α λ + α λ + + α λ

λλ λ= λ α + α + α + + αλ λ λ nv


−→ ∞λ =

= λ

k

1 k 1k

k

1 k k

A xlim

A

si >

x

A xv lim 0

k kn 2 n

k kk k1 1

Soit x IR . Comme lim 0,..., lim 0 on obtient→∞ →∞

λ λ∈ = =λ λ

6


Signe de λ1: positif si les composantes de Akxgardent le même signe d’une itération à l’autre à partir d’un certain rang, négatif sinon.

→ ∞

→ ∞

=

= λ−

λ1 kk

kk

1 kk

k

k

s i >v limA x

A x

v

0

silim ( 1A

)x

<0

Méthode de la puissance itérée0

1

: quelquonquek

k

k

x

Axx

Ax+

=

{ }0

Théorème

si x n'appartient pas au sous espace vectoriel engendré

par v ,v ,...v les vecteur propres de A

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{ }( )

2 3 n

k

k N

par v ,v ,...v les vecteur propres de A

Alors, la suite x générée par l'algorithme ci-dessus

possède les propriétés suivantes

∈

( )

k1k

k k1 1k

lim Ax

lim sign( ) x v

→∞

→∞

= λ

λ =


Comment calculer la plus petite valeur propre ?

0 : quelconquex

0 : quelconquex

8


11

1

: quelconquek

k

k

x

A xx

A x

−+

−

=

1

k

k

Au x

ux

u+

=

=

Et si on remplace A par B=A-αI ou α est un réel ?

Méthode de la puissance itérée• Après avoir déterminé λ1 et v1 on peut calculer λ2 et v2 par la

même méthode appliquée à la matrice

A1 = A – λ1v1v1t

• On continue le procédé jusqu’à détermination des n valeurs propres et n vecteurs propres

1 1 1 1 1 ou T Ti iB A v v v vλ δ= − =

9


( )

1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1

1

ou

alors admet les mêmes valeurs et vecteurs propres

que et 0 à la place de

comment trouver

i i

T Ti i i i i i

T

B A v v v v

B

A

Bv A v v v Av v v v v

v

λ δ

λ

λ λ λ

= − =

= − = + =

Cas simple : A est symétrique; les vecteurs propres formentune base orthogonale

Méthode de la puissance

4 2 2

2 5 1 admet

2 1 5

Exemple

Utiliser la méthode de la puissance itérée

et montrer que la matrice A

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1 2 3

2 1 5

comme valeurs propres 8, 4, 2

et les vecteurs propres sont :

λ = λ = λ =

1 2 3

1 0 21 1 1

v 1 , v 1 , v 13 2 6

1 1 1

− = = − =

Méthode de Jacobi• On sait qu'une matrice symétrique réelle est

diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe une matrice réelle P telle que D = P-1AP est diagonale.

• La diagonale est composée des valeurs propres de A.

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1k k 1 k k i

k

L'idée de base est de construire une suite de mat

(O ) lim O

rices

te AOlles que diag( )−≥ →∞

= λ

de A. • A est symétrique, P est donc orthogonale :

P-1 = PT et D = PTAP .

Méthode de Jacobi

• La diagonalisation consiste donc à trouver la matrice P, c'est-à-dire trouver une base dans laquelle la représentation de A est diagonale.

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• La méthode de Jacobi consiste à écrire la matrice P sous forme d'un produit de matrices de rotation, chaque rotation étant choisie de façon à annuler des éléments non diagonaux de la représentation de A.

Méthode de JacobiUne rotation d'un angle θ dans le plan définie par les vecteurs d'indices p et q est définie par la matrice orthogonale

cos sin

0 0 0

0 0 0

1

1

⋯ ⋯ ⋯θ θ p

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sin cos

0 0

0 0

1

1

1

1

1

10 0

=

−

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋯θ θ

pqP

p

q

qp

Méthode de JacobiLa représentation de la matrice A, reste symétrique dans la nouvelle base obtenue après rotation et s'écrit: B=PT

pqAPpq

1p 1q b b

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

14


p1 pp pq pn

q1 qp qq qn

np nq

b b b b

b b b b

b b

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

Méthode de Jacobi

Théorème: Soit p et q deux entiers vérifiant 1≤p<q≤n et θ un nombre réel auquels on associe la matrice orthogonale Ppq.

1. Si A=(a ) est une matrice symétrique, la matrice

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1. Si A=(aij) est une matrice symétrique, la matrice B=PT

pqAPpq =(bij)est également symétrique et vérifie

n n2 2ij ij

i,j 1 i,j 1

b a= =

=∑ ∑

Méthode de Jacobi.

2. Si apq ≠0, il existe une et une seule valeur de θ dans]-π/4, 0[ ∪ ]0, π/4[ telle que

bpq=0c’est la seule solution de l’équation

a a−

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Le nombre θ étant ainsi choisin n

2 2 2ii ii pq

i 1 i 1

b a 2a= =

= +∑ ∑

pp qq

pq

a acot g2

2a

−θ =

Méthode de JacobiLa transformation portant sur les éléments d’indice(p,p), (p,q), (q,p), (q,q) s’écrit sous la forme

pp pq pp pq

qp qq qp qq

b b a acos sin cos sin

b b sin cos a a sin cos

θ − θ θ θ = θ θ − θ θ

Pour toute valeur de θ, on a

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2 2 2 2 2 2pp qq pq pp qq pq

pp qqpq qp pq

2 2 2 2 2pq qp pp qq pq pp qq

a a 2a b b 2b .

(a a )Comme b b a cos2 sin2 .

2Le choix de indiqué dans le théorème entraine

b b 0 et donc a a 2a b b .

+ + = + +

−= = θ + θ

θ

= = + + = +

Pour toute valeur de θ, on a

Méthode de Jacobi• Seuls les éléments sur les lignes et colonnes p

et q sont modifiés et sont donnés par:

ij ij

pi pi qi

i p,q et j p,q

i p,

b a

b a cos a sin

b a cos sin a

i q

= = θ − θ = θ + θ

≠ ≠

≠ ≠

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qi qi pi

2 2pp pp qq pq

2 2qq pp qq pq

pp qqpq qp pq

b a cos sin a

b a cos a sin a sin2

b a sin a cos a sin2

(a a )b b a cos2 sin2

2

= θ + θ

= θ + θ − θ = θ + θ + θ − = = θ θ

+

Méthode de Jacobi

• L'idée est de choisir l'angle de la rotation θ de façon à annuler le terme bpq , c-à-d

2 2pp qqa acos sin

cot g22cos sin 2a

−θ − θθ = =θ θ

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mais ce choix modifie les autres éléments non diagonaux.

pq

cot g22cos sin 2a

θ = =θ θ

Méthode de Jacobi• Décrivons une étape de la méthode de Jacobi. La

matrice Ak=(akij) étant connue. On choisit un

couple (p,q), p≠q tel que

On construit la matrice Pk comme la matrice Ppqθ

maxk kpq iji j

a a≠

=

20


k pqdu théorème. L’angle θk est choisi de façon que

et on pose Ak+1=(Pk)T Ak(Pk)= Ok

TAOkoù

Ok =(P1) (P2)….. (Pk)

k kpp qq

k kpq

a acot g2

2a

−θ =

Méthode de Jacobi

k k 1

k (i)k

n

Théorème : La suite (A ) de matrice obtenues

par Jacobi est convergente et lim A diag( )

pour une permutation convenable

≥

σ→∞= λ

σ ∈℘

• Théorème : ( Convergence des valeurs propres)

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• Théorème : ( Convergence des valeurs propres)Supposons que les valeurs propres de A sont distinctes. Alors la suite (Ok)k≥1 des matrices construites dans la méthode de Jacobi converge vers une matrice orthogonale dont les vecteurs colonnes constituent un ensemble orthogonale de vecteurs propres de la matrice A

Méthode de Jacobi

Méthode de Jacobi cyclique:on annule successivement tous les éléments hors Diagonaux par un balayage cyclique. Par exemple,on choisit les couple (p,q) dans l’ordre suivant(1,2), (1,3), …, (1,n); (2,3), … (2,n) ; …. ; (n-1,n)

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(1,2), (1,3), …, (1,n); (2,3), … (2,n) ; …. ; (n-1,n)

Si l’un des éléments ‘balayés’ est déjà nul, on passe au suivant

Méthode de la puissance

4 2 2

2 5 1

2 1 5

Exemple

Utiliser la méthode de Jacobi pour la matrice A

23


1 2 3

1

2 1 5

Les valeurs propres 8, 4, 2

et les vecteurs propres sont :

11

v 1 , v3

1

λ = λ = λ =

=

2 3

0 21 1

1 , v 12 6

1 1

− = − =

analyse 3

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