analyse 1

Premier cours d'analyse

mathmatique

Sabin Lessard

Universit de Montral

1

er

mai 2013

Avant-propos

Ces notes sont utilises pour un premier cours d'analyse (MAT1000) of-

fert aux tudiants du premier cycle en mathmatiques et statistique de l'Uni-

versit de Montral, ce qui comprend les tudiants en actuariat. Bien que le

cours n'exige pas ociellement de pralables, il s'adresse des tudiants qui

ont dj des connaissances en mathmatiques. Celles-ci ont pu avoir t ac-

quises par exemple par des cours de calcul direntiel et intgral, d'algbre

linaire ou de mathmatiques discrtes.

L'analyse mathmatique a pour objet l'tude du continu. C'est la branche

des mathmatiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit

la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Ce qui la distingue du calcul

innitsimal est l'explication rigoureuse des calculs. L'analyse mathmatique

demande un eort srieux de la part des tudiants qui ne sont pas toujours

familiers avec la notion de preuve. Or, toutes les armations dans un cours

d'analyse mathmatique sont habituellement dmontres. On ne se contente

pas d'indiquer comment faire des calculs, on explique pourquoi on peut les

faire ainsi. Un choc culturel pour plusieurs.

Le premier cours approfondit le calcul direntiel. Il commence par une

prsentation des nombres rels (chapitre 1), suivie par une tude des suites

et des sries numriques autour de la notion de convergence (chapitres 2 et

3). Il se poursuit et se termine par l'tude des fonctions numriques autour

des notions de continuit et de drivation (chapitre 4 et 5). Les points culmi-

nants sont la proprit de Bolzano-Weierstass sur l'existence d'une sous-suite

convergente, la rgle de l'Hpital sur la limite d'un quotient de fonctions de

forme indtermine, et la formule de Taylor pour approcher une fonction

plusieurs fois drivable.

Le contenu du cours est de nature essentiellement thorique. L'objectif

est de revenir aux sources de la pense mathmatique et de fournir des bases

solides pour les dveloppements ultrieurs. Les applications sont l'objet de

nombreux autres cours, notamment sur les probabilits ou les quations dif-

frentielles.

Les notes ont t fortement inuences l'origine par le livre Introduction

l'analyse relle, par Jacques Labelle et Armel Mercier, ainsi que par les

notes de cours Analyse 1, de notre collgue Andr Giroux. Mentionnons

galement l'excellent et volumineux Calculus, de Michael Spivak, ainsi que

Premier cours d'analyse mathmatique ii

de nombreux articles en ligne dans Wikipedia, qui sont souvent des exemples

de concision et la clart. La bibliographie contient une liste complte des

ouvrages qui ont t utiliss.

Enn un grand merci aux gnrations d'tudiants et tudiantes ainsi

qu' mes collgues anciens ou actuels du dpartement de mathmatiques et

de statistique de l'Universit de Montral pour des commentaires judicieux

et des discussions stimulantes sur la matire du cours.

Un merci spcial pour mon directeur de thse de doctorat, Richard Dun-

can, dont j'ai toujours admir l'enthousiasme pour l'enseignement, et une

pense pour mon superviseur de stage postdoctoral et mentor en gntique

mathmatique, Samuel Karlin, dcd en 2007, le mathmaticien le plus ner-

gique et inspirant que j'ai eu le privilge de connatre.

Montral, 18 janvier 2013 Sabin Lessard

Symboles et notations

R ensemble des nombres relsN ensemble des entiers naturelsZ ensemble des entiers relatifsQ ensemble des nombres rationnels inni pour tout (tous) il existe appartient (l'ensemble)/ ngation de inclus dans (l'ensemble)* ngation de union (d'ensembles) intersection (d'ensembles)Ec complmentaire de l'ensemble EE fermeture ou adhrence de l'ensemble Eint(E) in trieur de l'ensemble EFr(E) frontire de l'ensemble E= gal (un nombre ou un ensemble)6= ngation de =< infrieur (strictement) infrieur ou gal > suprieur (strictement) suprieur ou gal + plus (pour l'addition de deux nombres ou fonctions) moins (pour la soustraction de deux nombres ou fonctions, ou la direncede deux ensembles)

fois (pour la multiplication de deux nombres ou fonctions)/ (oblique ou horizontal) sur (pour la division de deux nombres ou fonctions)inf inmum (d'un ensemble)sup supremum (d'un ensemble)min minimum (d'un ensemble)max maximum (d'un ensemble)lim limite (d'une suite ou d'une fonction)lim sup ou lim limite suprieure (d'une suite)

Symboles et notations iv

lim inf ou lim limite infrieure (d'une suite) tend vers (un nombre ou l'inni) ou valeur dans (un ensemble)somme (de nombres ou fonctions)

n! factorielle de l'entier naturel nbac partie entire du nombre a|a| valeur absolue du nombre aa1 lment inverse du nombre aa2 carr du nombre aan puissance n-ime du nombre aax puissance du nombre a d'exposant rel xa racine carre du nombre a

na racine n-ime du nombre a

e constante d'eulerpi constante pisin fonction sinuscos fonction cosinusln fonction logarithme nprienexp fonction exponentiellef(a) valeur de la fonction f au point af(a) limite gauche de la fonction f au point af(a+) limite droite de la fonction f au point af1(b) fonction rciproque de la fonction f au point bf (a) drive de la fonction f au point af g(a) drive gauche de la fonction f au point af d(a) drive droite de la fonction f au point af (n)(a) drive n-ime de la fonction f au point af g(a) ou f(g(a)) composition de la fonctions g par la fonction f valueau point a

Premier cours d'analyse mathmatique v

Table des matires

1 Droite numrique 2

1.1 Nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Entiers naturels et induction mathmatique . . . . . . . . . . 7

1.4 Nombres rationnels et nombres irrationnels . . . . . . . . . . 10

1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Ensembles ouverts et ensembles ferms . . . . . . . . . . . . . 17

2 Suites numriques 21

2.1 Limite d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Oprations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Limite infrieure et limite suprieure . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Proprit de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Proprit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Sries numriques 37

3.1 Sries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Critres de convergence pour les sries positives . . . . . . . . 39

3.3 Sries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 *Sries normalement et uniformment convergentes . . . . . . 49

3.5 Sries alternes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6 Dveloppement dcimal d'un nombre rel . . . . . . . . . . . 53

4 Limite et continuit d'une fonction numrique 55

4.1 Limite d'une fonction numrique . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Proprit des valeurs intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4 Proprit des bornes atteintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5 Fonctions uniformment continues . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.6 Fonction rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Drivation d'une fonction numrique 71

5.1 Fonctions drivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Thorme des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3 Rgle de l'Hpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.5 Extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.6 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Rfrences 95

1 Droite numrique 2

1 Droite numrique

1.1 Nombres rels

L'ensemble des nombres rels est reprsent par R. Cet ensemble estmuni d'une opration d'addition qui associe un nombre rel x plus y tous nombres rels x et y :

x, y R, x+ y R;et d'une opration de multiplication qui associe un nombre rel x fois y tous nombres rels x et y :

x, y R, x y (aussi not xy) R.Les cinq proprits suivantes, o le signe = signie l'galit , c'est--direl'identit, font de R un corps commutatif :

P1 (commutativit) Pour tous x, y R,x+ y = y + x,

x y = y x.P2 (associativit) Pour tous x, y, z R,

(x+ y) + z = x+ (y + z), not x+ y + z,

(x y) z = x (y z), not x y z ou xyz.P3 (distributivit) Pour tous x, y, z R,

(x+ y) z = x z + y z.P4 (lments neutres) Il existe des lments 0 R et 1 R (1 6= 0), telsque pour tout x R,

x+ 0 = 0 + x = x,

x 1 = 1 x = x.Les lments 0 et 1 sont uniques.

1 Droite numrique 3

P5 (lments symtriques) Pour tout x R, il existe un lment op-pos x R et un lment inverse x1 R (en autant que x 6= 0dans ce dernier cas, et alors x1 6= 0), tels que

x+ (x) = 0,x x1 = 1.Les lments oppos et inverse sont uniques. La commutativit entrane

immdiatement les relations

(x) = x = (x1)1.De plus, les lments neutres sont leurs propres lments symtriques,

c'est--dire,0 = 0 et 11 = 1. Enn, pour tous x et y R, l'oprationde soustraction est dnie par

x y = x+ (y),et l'opration de division par

x

y= x y1,

en autant que y 6= 0.

L'ensemble R est galement muni d'une relation d'ordre strict de tellesorte que x < y pour deux nombres rels x et y distincts, c'est--dire ingaux(x 6= y), signie que x est infrieur y ou, ce qui est quivalent, que y estsuprieur x, ce qui est aussi not y > x. On crit x y pour signier quex est infrieur ou gal y, c'est--dire, x < y ou x = y, et de mme x ypour signier que x est suprieur ou gal y, c'est--dire, x > y ou x = y.On dit que x est positif (strictement) lorsque x 0 (x > 0), et ngatif(strictement) lorsque x 0 (x < 0). Les prorits suivantes font de R unensemble totalement ordonn , la relation d'ordre strict tant compatible

avec l'opration d'addition par un nombre rel quelconque et l'opration de

multiplication par un nombre rel strictement positif :

P6 (trichotomie) Pour tous x, y R,soit x < y, soit x = y, soit x > y,

ces trois possibilits tant mutuellement exclusives.

1 Droite numrique 4

P7 (transitivit) Pour tous x, y, z R,

si x < y et y < z, alors x < z.

P8 (compatibilit) Pour tous x, y, z R,

(a) si x < y, alors x+ z < y + z, en particulier x y < y y = 0 ;

(b) si x < y et z > 0, alors x z < y z.

Finalement, l'ensemble le corps commutatif totalement ordonn R pos-sde la proprit suivante :

P9 (axiome de compltude) Si E R non vide possde un majorantM R, c'est--dire,

x E, x M,alors E possde une borne suprieure ou supremum , supE R,qui est le plus petit majorant de E, c'est--dire,

x E, x supE,

M R majorant de E, supE M.Sinon, supE = +. Le supremum est unique. De faon analogue, siE R non vide possde un minorant m R, c'est--dire,

x E, x m,

alors E possde une borne infrieure ou inmum , inf E R, quiest le plus grand minorant de E, c'est--dire,

x E, x inf E,

m R minorant de E, inf E m.Sinon, inf E = . L'inmum est unique. Enn, si E R non videpossde un majorant et un minorant, donc une borne suprieure et une

borne infrieure, alors E est dit born .

1 Droite numrique 5

L'existence d'un ensemble R qui possde les proprits ci-dessus est unequestion qui relve de la thorie des ensembles. Les proprits ci-dessous sont

des consquences de ces proprits.

C1 Pour tout x R, on a 0x = x0 = 0. En eet, 0x = (0+0)x = 0x+0x,et donc 0 = 0x+(0x) = (0x+0x)+(0x) = 0x+(0x0x) =0 x+ 0 = 0 x = x 0.

C2 Pour tous x, y R, on a (x y) = (x) y = x (y), en particuliery = (1 y) = (1) y. En eet, x y+ (x) y = (xx) y = 0 y =0 = x 0 = x (y y) = x y + x (y).

C3 Pour tous x, y R, on a x y = (x) (y). En eet, (x) (y) =x (y) = (x y) = x y.

C4 Pour tout x R (x 6= 0), on a (x)1 = x1, et en particulier(1)1 = 11 = 1. En eet, (x) (x1) = (x) (1 x1) =(x) ((1) x1) = ((x) (1)) x1 = (x 1) x1 = x x1 = 1.

C5 Pour tous x, y R, on a (x+y) = xy. En eet, (x+y)+(xy) =(y+x)+(xy) = y+(x+(xy)) = y+((xx)y) = y+(0y) =y y = 0.

C6 Pour tous x, y R (x, y 6= 0), on a (xy)1 = y1 x1 = x1 y1. En ef-fet, on a alors (xy)(x1 y1) = (xy)(y1 x1) = ((xy)y1)x1 =(x (y y1)) x1 = (x 1) x1 = x x1 = 1.

C7 Pour tout x R (x 6= 0), on a x > 0 si et seulement si x < 0. Eneet, si x > 0, alors 0 = x+ (x) > 0 + (x) = x, et si x < 0, alors0 = x+ (x) < 0 + (x) = x.

C8 Pour tous x, y R (x 6= y), on a x > y si et seulement si x < y. Eneet, on a alors x y > 0 si et seulement si (x y) = x+ y < 0.

C9 Pour tous x, y, z R, si x < y et z < 0, alors x z > y z. En eet, on aalors z > 0 et donc (x z) = x (z) < y (z) = (y z), ce quiest quivalent la conclusion.

1 Droite numrique 6

C10 On a 1 > 0. Sinon, 1 < 0, donc 1 > 0, et alors on a 1 = 1 1 =(1) (1) > 0 (1) = 0, ce qui est une contradiction.

C11 Pour tout x R (x 6= 0), on a x > 0 si et seulement si x1 > 0. En eet,si x > 0 et x1 < 0, alors 1 = x x1 < x 0 = 0, ce qui est une contra-diction. De mme, si x < 0 et x1 > 0, alors 1 = x x1 < 0 x1 = 0,ce qui est une contradiction.

C12 Pour tous x, y R, si y > x > 0, alors y1 < x1, en particuliery1 < 11 = 1 si y > 1. En eet, si y1 = x1, alors

y = (y1)1 = (x1)1 = x,

ce qui est une contradiction. D'autre part, si y1 > x1, alors

1 = y y1 > y x1 > x x1 = 1,

ce qui est une autre contradiction.

C13 Pour tous x, y, a, b R, si y > x et b > a, alors y + b > x + a. Enparticulier, y + b > 0 si y > 0 et b > 0, car 0 + 0 = 0. En eet, on aalors x+ a < y + a < y + b.

C14 Pour tous x, y, a, b R, si y > x > 0 et b > a > 0, alors y b > x a > 0.En eet, on a alors 0 = 0 x = x 0 < x a < y a < y b.

1.2 Valeur absolue

La valeur absolue de x R est dnie par

|x| =

x > 0 si x > 0,

0 si x = 0,

x > 0 si x < 0.

On a donc |x| 0, avec |x| = 0 si et seulement si x = 0. L'ensemble desnombres rels R est ainsi value . En utilisant la quantit |x y| commedistance entre deux nombres rels x et y, l'ensemble R est un espace m-trique . Les principales proprits de la valeur absolue sont nonces dans la

proposition suivante.

1 Droite numrique 7

Proposition : Pour tous x, y R, on a :

(a) | x| = |x| ;

(b) |x y| = |x| |y| ;

(c) m x m si et seulement si |x| m, en particulier |x| x |x| ;

(d) |x+ y| |x|+ |y|, appel ingalit du triangle.

Dmonstration :

(a) Si x = 0, alors x = 0, et donc | x| = |x| = 0. Si x > 0, alors x < 0,et donc | x| = (x) = x = |x|. Enn, si x < 0, alors x > 0, et donc| x| = x = |x|.

(b) Si x = 0 ou y = 0, alors x y = 0 et |x| = 0 ou |y| = 0, d'o|xy| = 0 = |x||y|. Si x > 0, y > 0, alors xy > 0, et donc |xy| = xy = |x||y|.Si x < 0, y > 0, alors xy < 0y = 0, et donc |xy| = xy = (x)y = |x||y|.Le cas x > 0, y < 0 est symtrique au prcdent. Enn, si x < 0, y < 0, alorsxy = (x) (y) > 0, et donc |x y| = (x) (y) = |x| |y|.

(c) On a x m, c'est--dire, x = m ou x < m, si et seulement si x = mou x > m, c'est--dire, x m. On a donc m x m si et seule-ment si m x m, ce qui implique que |x| m. Inversement, |x| msi et seulement si |x| m, ce qui implique que m x m.

(d) Les relations |x| x |x| et |y| y |y| entranent que(|x|+ |y|) = |x| |y|) x+ y |x|+ |y|.La proprit prcdente permet alors de conclure.

1.3 Entiers naturels et induction mathmatique

L'ensemble des entiers naturels est un sous-ensemble de R reprsentpar

N = {1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, . . .} = {1, 2, 3, . . .}.

1 Droite numrique 8

Ce sous-ensemble est tel que :

(a) 1 N.

(b) m+ 1 N si m N.

(c) N est le plus petit sous-ensemble de R qui possde les proprits (a) et(b), de telle sorte que pour tout n N, on a n 1 et il n'existe pasd'lment m N qui satisfait n < m < n+ 1.

L'ensemble N est obtenu en prenant l'intersection de tous les sous-ensemblesde R qui satisfont les proprits (a) et (b), dont l'ensemble R lui-mme. Laproprit (c) signie que les proprits (a) et (b) gnrent tous les entiers

naturels. Autrement dit, on a le principe ci-dessous.

Principe d'induction mathmatique : Si E N est tel que : (i) 1 E,et (ii) m+ 1 E ds que m E, alors E = N.

Ce principe s'applique en particulier lorsque

E = {n N : une armation est vraie pour n}.On obtient ainsi une faon de dmontrer une armation parmi les plus uti-

lises en mathmatiques, connue sous le nom de preuve par rcurrence .

Les proprits suivantes dcoulent des proprits prcdentes sur les nombres

naturels et sur les nombres rels :

(d) Pour tous m,n N, on a m+ n N. En eet,E = {n N : m N,m+ n N}contient 1 par dnition de N. De plus, si n E, alors pour toutm N

m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1 N,par l'hypothse d'induction, d'o n+ 1 E.

(e) Pour tous m,n N, on a m n N. En eet,E = {n N : m N,m n N}

1 Droite numrique 9

contient 1 du fait que pour tout m N, m 1 = m. De plus, si n E,alors pour tout m N

m (n+ 1) = m n+m N,par l'hypothse d'induction et ce qui prcde, d'o n+ 1 E.

(f) Pour tout m N (m > 1), on a m 1 N. En eet,E = {m 1 N : m N,m > 1}contient (1 + 1) 1 = 1 + (1 1) = 1 + 0 = 1. De plus, si n E, alorsil existe m N (m > 1), tel que

n+ 1 = (m 1) + 1 = (m+ 1) 1avec m+ 1 N satisfaisant m+ 1 > m > 1, d'o n+ 1 E.

(g) Pour tout n N, pour tous x1, . . . , xn R, on amax{x1, . . . , xn} = sup{x1, . . . , xn} {x1, . . . , xn},min{x1, . . . , xn} = inf{x1, . . . , xn} {x1, . . . , xn}.L'armation pour le maximum , reprsent par max, est videmmentvraie pour n = 1. De plus, si elle est vraie pour n N, alors

max{x1, . . . , xn, xn+1} ={

max{x1, . . . , xn} si xn+1 < max{x1, . . . , xn},xn+1 si xn+1 max{x1, . . . , xn},qui est alors un lment dans {x1, . . . , xn} {xn+1} = {x1, . . . , xn+1}.L'armation est donc vraie pour n + 1. La conclusion pour le maxdcoule du principe d'induction. La conclusion pour le minimum , re-

prsent par min, est obtenue de faon analogue.

(h) (proprit d'Archimde) Pour tout x R (x > 0), il existe n Ntel que

n > x, c'est--dire,1

n1

n.

Soit m = bnac+ 1. On a les ingalitsm 1 na < m,d'o

na < m na+ 1.Le nombre r = mn1 Q vrie alors

a < r a+ 1n< b.

(d) (densit des nombres irrationnels) Pour tous a, b R (a < b), ilexiste z Qc tel que a < z < b. En eet, on a alors a2 < b2,et la densit des nombres rationnels garantit l'existence de r Q telque

a

2 < r < b

2,

c'est--dire,

a < r +

2 < b.

1 Droite numrique 13

Or, z = r +

2 / Q, car sinon

2 = z r Q,

ce qui est une contradiction.

1.5 Applications

(a) (somme des premiers entiers naturels) Pour tout n N, on a

Sn =

ni=1

i = 1 + 2 + + (n 1) + n = n(n+ 1)2

.

L'armation est videmment vraie pour n = 1. De plus, si elle estvraie pour n N, alors

Sn+1 = Sn + (n+ 1) =n(n+ 1)

2+ (n+ 1)

=n(n+ 1) + 2(n+ 1)

2

=(n+ 1)(n+ 2)

2.

Elle est donc vraie pour n+ 1. La conclusion suit par le principe d'in-duction.

(b) (somme des premires puissances entires d'un nombre rel) Pour

tout a R (a 6= 1), pour tout n N, on a

Sn =ni=1

ai = 1 + a+ a2 + an = 1 an+1

1 a ,

o a0 = 1 et an = a an1, pour tout n N. L'armation est vraiepour n = 1, puisque

1 + a =(1 + a)(1 a)

1 a =1 + a a a2

1 a =1 a21 a .

Supposons qu'elle est vraie pour n N. Alors elle est vraie pour n+ 1,


car

Sn+1 = Sn + an+1 =

1 an+11 a + a

n+1

=(1 an+1) + (1 a)an+1

1 a=

1 an+1 + an+1 an+21 a

=1 an+2

1 a .La conclusion suit par le principe d'induction.

(c) (binme de Newton) Pour tous a, b R (ab 6= 0), pour tout n N,on a

(a+ b)n =

nk=0

(nk

)ankbk,

o (nk

)=

n!

k!(n k)! > 0,

pour 0 k n, avec 0! = 1 et n! = n (n 1)!, pour tout n N.L'identit est facilement vrie pour n = 1. En la supposant vriepour n N, elle l'est aussi pour n+ 1, car(a+ b)n+1 = (a+ b)(a+ b)n

= (a+ b)n

k=0

(nk

)ankbk

=n

k=0

(nk

)ank+1bk +

nk=0

(nk

)ankbk+1

= an+1 +n

k=1

(nk

)ank+1bk

+

n1k=0

(nk

)ankbk+1 + bn+1

= an+1 +

nk=1

((nk

)+

(n

k 1))

ank+1bk + bn+1

=n+1k=0

(n+ 1k

)an+1kbk.


Ici, on utilise l'identit(nk

)+

(n

k 1)

=n!

k!(n k)! +n!

(k 1)!(n k + 1)!=

(n k + 1) n! + k n!k!(n k + 1)!

=(n+ 1) n!k!(n+ 1 k)!

=

(n+ 1k

),

pour 1 k n. Le principe d'induction permet de conclure.

(d) (puissances entires de 2) Pour tout n N, on a

2n =

nk=0

(nk

) n.

L'galit est l'application du binme de Newton pour a = b = 1.L'ingalit se dmontre par rcurrence. Elle est videmment vraie pour

n = 1. En fait,

2n (n0

)= 1,

pour tout n N. De plus, si elle est vraie pour n N, alors elle l'estaussi pour n+ 1, car

n+ 1 2n + 1 2n + 2n = (1 + 1) 2n = 2 2n = 2n+1.

(e) (ingalit de Bernoulli) Pour tout b R (b > 0), pour tout n N,on a

(1 + b)n 1 + nb.C'est une consquence directe du binme de Newton, puisque

(1 + b)n =

nk=0

(nk

)bk

(n0

)b0 +

(n1

)b1 = 1 + nb.


(f) (inmum et supremun d'un ensemble inni) L'inmum et le su-

premum d'un ensemble ne sont pas ncessairement atteints dans cet

ensemble lorsque l'ensemble contient une innit d'lments. Soit, par

exemple,

E =

{an

bn+ c: n N

},

pour des nombres rels a, b, c > 0. On a inf E E, mais supE / E.En eet, pour tout n N,

an

bn+ c anbn+ cn

=a

b+ c,

avec galit lorsque n = 1. On a donc inf E = a/(b + c) E. D'autrepart, pour tout n N,

an

bn+ c anbn

=a

b,

ce qui montre que supE a/b. De plus,an

bn+ c> s,

pour tout 0 < s < a/b, ds que

n >cs

a bs > 0.

Un tel entier n N existe par la proprit d'Archimde. On a doncsupE a/b. On conclut que supE = a/b. Cependant, a/b / E. Sinon,il existe n N tel que

an

bn+ c=a

b,

c'est--dire, abn = abn+ ac. Cela implique que ac = 0, ce qui est unecontradiction avec a > 0 et b > 0.

1.6 Intervalles

Les intervalles borns de R qui ont a R comme inmum et b Rcomme supremum sont

(a, b) = {x R : a < x < b} ,[a, b] = {x R : a x b} ,[a, b) = {x R : a x < b} ,(a, b] = {x R : a < x b} .


La vrication que a et b sont les bornes infrieure et suprieure de tous cesintervalles est laisse en exercice. Les intervalles semi-borns de R quiont a R comme inmum ou b R comme supremum sont

(a,+) = {x R : a < x} ,[a,+) = {x R : a x} ,(, b) = {x R : x < b} ,(, b] = {x R : x b} .La droite numrique entire est un intervalle non born qui a comme inmum et + comme supremum. Elle est reprsente par

R = (,+) .On utilise la convention d'ordre < x < +, pour tout x R. La droitenumrique acheve est dnie par

R = [,+] = R {,+}.On a les rgles suivantes sur les oprations d'addition et de multiplication

qui impliquent ou + et a R (a > 0) :(+) (+) = + () (+) = () () = +

++ = + a = a =

0 = a () = a () = .De plus, on a ()1 = 0. En revanche, les multiplications 0 () et lesdivisions /, comme 0/0 par ailleurs, sont des oprations indter-mines.

1.7 Ensembles ouverts et ensembles ferms

Un sous-ensemble O R est un ensemble ouvert six O, > 0, (x , x+ ) O.Il est sous-entendu que est un nombre rel qui dpend gnralement de x.Un sous-ensemble F R est un ensemble ferm si son complmentairepar rapport R, dni par

F c = {x R : x / F} ,


est un ensemble ouvert. Enn, un ensemble ferm et born est dit compact .

Pour un sous-ensemble quelconque E R, l'adhrence de E est dniepar

E = {x R : > 0, (x , x+ ) E 6= } ,et l'intrieur de E par

int(E) = {x E : > 0, (x , x+ ) E} .

La frontire de E est alors donne par

Fr(E) = E int(E) = {x E : x / int(E)} .Il est vident partir des dnitions ci-dessus que

int(E) E E.

Si E = int(E), alors E est ouvert. Un ensemble ouvert est donc un ensembledont tous les lments sont des points intrieurs. D'autre part, si E = E,alors E est ferm. En eet, dans ce cas

Ec = Ec

= {x R : > 0, (x , x+ ) E = }

est ouvert, puisque (x , x+ ) E = si et seulement si (x , x+ ) Ec. Un ensemble ferm est donc un ensemble qui contient tous ses pointsd'adhrence.

Enn, un point x R est appel un point d'accumulation de E sipour tout > 0, (x , x + ) contient au moins un lment de E qui estdirent de x. Un point d'accumulation de E est donc un point d'adhrencede E qui n'est pas isol.

Proposition : Pour toute collection d'ensembles ouverts

{Oi : i N, Oi R ouvert},

et toute collection d'ensembles ferms

{Fi : i N, Fi R ferm},

on a les proprits suivantes :

(a) i=1Oi = {x R : i N, x Oi} est ouvert ;


(b) ni=1Oi = {x R : i N, 1 i n, x Oi} est ouvert ;

(c) i=1Fi = {x R : i N, x Fi} est ferm ;

(d) ni=1Fi = {x R : i N, 1 i n, x Fi} est ferm.

Dmonstration :

(a) Si x i=1Oi, alors il existe i N et > 0 tels que

(x , x+ ) Oi i=1Oi.

(b) Si x ni=1Oi, alors pour tout i N, 1 i n, il existe i > 0 tel que

(x i, x+ i) Oi.

En dnissant = min {1, . . . , n}, on a

(x , x+ ) ni=1(x i, x+ i) ni=1Oi.

(c) La conclusion dcoule de (a) et de l'identit

(i=1Fi)c = i=1F ci .

(d) La conclusion dcoule de (b) et de l'identit

(ni=1Fi)c = ni=1F ci .

Intervalles ouverts et intervalles fermes

L'intervalle (a, b), pour < a < b < +, est ouvert. En eet, pourtout x (a, b), (x , x + ) (a, b) pour = min {x a, b x} > 0.De mme, on montre que (a,+), (, b) et (,+) = R sont desintervalles ouverts. L'ensemble est considr ouvert.


En revanche, l'intervalle [a, b], pour < a < b < +, est ferm. Eneet,

[a, b]c = (, a) (b,+)est ouvert par la proposition qui prcde. On montre de faon analogue que

[a,+), (, b] et (,+) = R sont des intervalles ferms. L'ensemble est considr galement ferm.On a (a, b) = [a, b], pour < a < b < +. En eet, on a videmment

(a, b) (a, b). De plus, a (a, b), car pour tout > 0, on a

(a , a+ ) (a, b) = (a, a+ ) 6= .

Par symtrie, b (a, b). En revanche, x / (a, b) si x < a, c'est--dire,a x > 0, car alors

(x (a x), x+ (a x)) (a, b) = .

De mme, x / (a, b) si x > b. On a donc (a, b) = [a, b]. Or, les mmesarguments restent valides si (a, b) est remplac par [a, b]. Autrement dit, ona aussi [a, b] = [a, b]. Ceci conrme que [a, b] est ferm.D'autre part, int([a, b]) = (a, b), ce qui conrme que (a, b) est ouvert. Ona videmment (a, b) int([a, b]). De plus, si x a, alors pour tout > 0

(x , x+ ) [a, b]c (x , x) 6= .

Ceci signie que x / int([a, b]). Il en est de mme si x b par analogie.Enn,on a

Fr([a, b]) = Fr((a, b)) = [a, b] (a, b) = {a, b} ,

pour < a < b < +.

Ensembles ni ouverts ni fermes

Un sous-ensemble de R peut n'tre ni ouvert, ni ferm. C'est le cas notam-ment de l'ensemble des nombres rationnels Q qui n'est pas ouvert, puisquetout intervalle contient des nombres irrationnels, c'est--dire, des lments

de Qc. Il n'est galement pas ferm, puisque tout intervalle contient aussides lments de Q, ce qui fait en sorte que Qc n'est pas ouvert.

2 Suites numriques

2.1 Limite d'une suite

La liste ordonne x1, x2, . . . , o xn R, pour tout n N, est une suitenumrique . Elle est reprsente par {xn}. La suite est croissante si xn xn+1, pour tout n N, et strictement croissante si xn < xn+1, pour toutn N. De faon analogue, la suite est dcroissante si xn xn+1, pourtout n N, et strictement dcroissante si xn > xn+1, pour tout n N.La suite est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou

(strictement) dcroissante.

La suite {xn} est majore si

M R,n N, xn M.

De mme, elle est minore si

m R,n N, xn m.

Elle est dite borne si

B 0,n N, |xn| B.

Si la suite est borne par B, alors B xn B, et donc elle est minore parB et majore par B. Inversement, si la suite est minore par m et majorepar M , alors

max{|m|, |M |} m xn M |M | max{|m|, |M |},

et donc la suite est borne par B = max{|m|, |M |}.La suite {xn} tend vers une limite nie x R, c'est--dire, convergevers x R, et on crit

limnxn = x ou xn x,

dans le cas o

> 0,N N, |xn x| < ds que n N.


Il est sous-entendu que est un nombre rel et N un entier naturel quidpend gnralement de . Si la suite {xn} ne tend vers aucune limite x R,alors elle diverge .

La suite {xn} tend vers une limite innie + (), et on crit

limnxn = + () ou xn + (),

dans le cas o

M > 0,N N, xn > M (< M) ds que n N.

Il est sous-entendu que M est un nombre rel et N un entier naturel quidpend gnralement de M .Par la proprit d'Archimde, la condition ds que n N pour un cer-tain N N peut tre remplace dans tous les cas par la condition ds quen > s pour un certain s R.

Proprits de la limite

(a) (limite et borne) Une suite {xn} qui converge vers x R est borne.En eet, pour = 1, il existe N N tel que

x 1 < xn < x+ 1 ds que n N.

On a alors pour tout n N,

m = min {x1, . . . , xN , x 1} xn max {x1, . . . , xN , x+ 1} = M.

En revanche, une suite {xn} qui tend vers la limite + ou estvidemment non borne, car elle est ou bien non majore ou bien non

minore.

(b) (unicit de la limite) La limite d'une suite est unique. En eet, si

par exemple xn x R et xn y R (x 6= y), alors en choisissant = |y x|/2 > 0, il existe N1, N2 N tels que

|xn x| < |y x|2ds que n N1,

|xn y| < |y x|2ds que n N2.


Par consquent, ds que n max {N1, N2}, l'ingalit du triangle im-plique que

|x y| = |x xn + xn y| |x xn|+ |xn y| < |x y|,

ce qui est une contradiction. Il est galement facile d'obtenir une contra-

diction si x ou y = + ou .

(c) (limite et monotonicit) Une suite monotone possde ncessairement

une limite et cette limite est relle si la suite est borne. Si par exemple

{xn} est croissante, alors

xn x = sup {xn : n N} .

En eet, si la suite est majore, donc borne, alors le supremum x Ret, pour tout > 0, x ne peut pas tre un majorant. Il existe doncN N tel que

x < xN x < x+ .En utilisant la croissance de la suite, on a alors

x < xN xn x < x+ ds que n N.

En revanche, si la suite n'est pas majore, alors x = + et, pour toutM > 0, il existe N N tel que

M < xN xn ds que n N.

De mme, si {xn} est dcroissante, alors

xn x = inf {xn : n N} ,

et l'inmum x est rel si et seulement si la suite est minore, doncborne.

Exemples

(1) (entiers naturels et leurs inverses) La suite {n} est strictement crois-sante et non majore en vertu de la proprit d'Archimde, donc on a


n +. La suite {1/n} est strictement dcroissante et minore par0, donc convergente vers un nombre rel. En fait, 1/n 0, car 1n 0

= 1n < ,ds que n > 1/, pour tout > 0 x. La suite {(1)n/n} n'est nicroissante ni dcroissante, car les nombres ngatifs et positifs alternent.

Cependant, on a (1)n/n 0, car(1)nn 0 = 1n 0.(2) (puissances entires d'un nombre rel) On considre la suite {an}pour a R. La suite est strictement croissante, et an +, si a > 1.En eet, l'ingalit de Bernoulli donne alors

an = (1 + (a 1))n 1 + n(a 1) > M,ds que

n >M 1a 1 ,pour tout M > 0. La suite est donc non majore. La suite est enrevanche strictement dcroissante et minore par 0 si 0 < a < 1, c'est--dire si b = a1 1 > 0. En fait, an 0 dans ce cas. En eet,l'ingalit de Bernoulli garantit alors que

0 < an =1

(a1)n=

1

(1 + b)n 1

1 + nb< ,

ds que

n >1 b

,

pour tout > 0. On obtient aussi an 0 si 1 < a < 0. En eet, ona alors 0 < |a| < 1, et donc par ce qui prcde

|an 0| = |an| = |a|n 0. remarquer que dans ce cas la suite {an} n'est ni croissante ni dcrois-sante, puisque les nombres ngatifs et positifs alternent. C'est aussi le

cas si a = 1, mais alors limn an n'existe pas. En eet,

(1)n ={1 si n est impair,+1 si n est pair.


La suite {(1)n} tant borne par 1, elle ne peut pas tendre vers +ou . Supposons qu'elle converge vers un nombre rel A, c'est--direque (1)n A R. Alors, il existe N N tel que

|(1)n A| < 1 ds que n N.

Mais, on a

|(1)n A| ={|1 +A| si n est impair,|1A| si n est pair.

Or, l'ingalit du triangle garantit que

|1 +A|+ |1A| |1 +A+ 1A| = 2,

c'est--dire que

|1 +A| 1 ou |1A| 1,ce qui est une contradiction. Les cas a = 0 et a = 1 sont trivaux etdonnent 0n 0 et 1n 1. Il reste donc considrer le cas a < 1.Sous cette condition, la suite {an} n'est pas borne, puisque |a| > 1 et

|an| = |a|n +.

Elle ne peut donc pas converger vers un nombre rel. D'autre part, elle

ne peut pas tendre vers + ou , puisque les nombres ngatifs etpositifs alternent. Finalement, on conclut que la suite {an} convergevers un nombre rel si et seulement si 1 < a 1.

(3) (racines entires d'un nombre rel positif) La suite { na}, o na,pour tout n N, est dni comme le nombre rel strictement positiftel que

( na)n = a > 0,

est convergente. En fait, on a

na 1, quel que soit a R (a > 0).La question de l'existence de

na est reporte au chapitre 4. Le faitque

na > 1 si et seulement si a > 1 est laiss en exercice. Dans le cas

a = 1, la convergence vers 1 est vidente, puisque n

1 = 1, pour toutn N. Dans le cas a > 1, pour tout > 0 x, on a

| na 1| = na 1 < si na < 1 + .


Par l'ingalit de Bernoulli, cette condition est vrie si

a < 1 + n (1 + )n,et donc si n > (a 1)/. Dans le cas 0 < a < 1, on a

| na 1| = 1 na < si 1 < na.Puisque

1 = 1 2

1 + max{1, 2/2}, pour tout > 0 x.

(5) (constante d'Euler) La constante d'Euler est le nombre rel dni par

e = limn

(1 +

1

n

)n.

Cette limite relle existe, car la suite est croissante et majore. En eet,

le binme de Newton donne(1 +

1

n

)n=

nk=0

(nk

)(1

n

)k= 2+

nk=2

1

k!

(nn

)(n 1n

) (n k + 1

n

),


pour tout n N. Les ingalits k! 2k1 et(nn

)(n 1n

) (n k + 1

n

)= 1

(1 1

n

) (

1 k 1n

) 1,

pour 2 k n, dont la vrication est laisse en exercice, mnentalors (

1 +1

n

)n 2 +

nk=2

(1

2

)k1

= 1 +n1k=0

(1

2

)k= 1 +

1 (12)n1 (12)

1 + 11 (12) = 3.D'autre part, l'ingalit

1 (

1 1n

) (

1 k 1n

) 1

(1 1

n+ 1

) (

1 k 1n+ 1

),

pour 2 k n, conduit (1 +

1

n

)n 2 +

nk=2

1

k!

(n+ 1

n+ 1

)(

n

n+ 1

) (n k + 2n+ 1

)+

(1

n+ 1

)n+1

=n+1k=0

(n+ 1k

)(1

n+ 1

)k=

(1 +

1

n+ 1

)n+1.

2.2 Oprations sur les limites

Soient xn x et yn y. Alors on a :

(a) xn + yn x+ y ;

(b) xn yn x y, en particulier a yn a y, pour tout a R ;

(c)

xnyn xy , en particulier y1n y1, en autant que y 6= 0 ;


(d) x y si xn yn, pour tout n N, en particulier si xn y, pourtout n N, ou encore si x yn, pour tout n N ;

(e) zn x si xn zn yn, pour tout n N, et xn, yn x, appelthorme des gendarmes.

Ces rsultats sont valides non seulement pour x, y R comme cela estdmontr ci-dessous, mais aussi pour x ou y = + ou en autant queles oprations sur x et y sont dtermines, ce qui est laiss en exercice.

Dmonstration pour le cas x, y R :

(a) Pour tout > 0, il existe N1, N2 N tels que

|xn x| < 2ds que n N1,

|yn y| < 2ds que n N2.Ds que n max{N1, N2}, l'ingalit du triangle garantit que

|(xn+yn) (x+y)| = |(xnx)+(yny)| |xnx|+ |yny| < 2

+

2= .

(b) On a

|xnyn xy| = |xnyn xny + xny xy|= |xn(yn y) + (xn x)y| |xn||yn y|+ |xn x||y|,par l'ingalit du triangle. Soit B > |y| 0 tel que |xn| B, pour toutn N. Pour tout > 0, il existe N1, N2 N tels que

|xn x| < 2Bds que n N1,

|yn y| < 2Bds que n N2.Ds que n max{N1, N2}, on a donc

|xnyn xy| B 2B

+B

2B= .


(c) tant donn (b), il sut de montrer que y1n y1. Or, on a 1yn 1y = y ynyny

= |y yn||yn| |y| .Par l'ingalit du triangle et le fait que yn y R (y 6= 0), on obtient que

|yn| |yn + y yn| |y yn|> |y| |y|

2=|y|2> 0,

ds que n N1, pour un certain N1 N. Pour tout > 0, il existe par lasuite un entier naturel N2 N1 tel que

|y yn| < y2

2ds que n N2.

On a alors yn 6= 0 et 1yn 1y y22|y|

2 |y|= .

(d) Sinon (x > y), il existe N1, N2 N tels que

|xn x| < x y2ds que n N1,

|yn y| < x y2ds que n N2.Ds que n max{N1, N2}, on a alors

xn yn = xn x+ x y + y yn > x y2

+ x y x y2

= 0.

Ceci entre en contradiction avec l'hypothse xn yn, pour tout n N.

(e) Soit N1, N2 N tels que

|xn x| < ds que n N1,

|yn y| < ds que n N2,


pour > 0 x. Ds que n max{N1, N2}, on a alors

x < xn zn yn < x+ ,

ce qui assure que |zn x| < .

Exemples

(1) (puissance rationnelle positive des entiers naturels) On a nr +, pour tout r Q (r > 0), o on dnit

nr = ( qn)p,

si r = p/q, pour p, q N. Le cas r = 1 correspond n +. Dans lecas r > 1, c'est--dire, p > q, on a

nr = ( qn)p ( qn)q = n +,

et le rsultat ci-dessus (d) permet de conclure. Ici, on utilise le fait que

qn 1, pour tout n N, car sinon

n = ( qn)q < 1n = 1,

ce qui est une contradiction. De plus, ap aq, pour tout rel a 1,pour tous entiers naturels p, q qui satisfont p > q, ce qui est laissen exercice. Dans le cas 0 < r < 1, c'est--dire, p < q, on remarqued'abord que

qn qn+ 1, pour tout n N, car sinon

n = ( qn)q > ( q

n+ 1)q = n+ 1,

ce qui est une contradiction. Cette croissance garantit que

qn a,pour un certain a [1,+) {+}. Mais alors

n = ( qn)q aq,

en rptant q fois le rsultat (b) ci-dessus, ce qui implique que aq =+, et donc que a = +. Finalement, on conclut que

nr = ( qn)p ap = +,

en rptant p fois le rsultat (b) ci-dessus.


(2) (puissance rationnelle ngative des entiers naturels) On a nr 0, pour tout r Q (r > 0), o on dnit

nr = (nr)1.

En eet, on a alors par ce qui prcde

limn+

1

nr=

1

limn+ nr=

1

+ = 0.

On peut galement procder comme prcdemment pour montrer que

n1/q dcroit vers une limite a 0, pour tout q N x, et qu'alorsn1 = (n1/q)q aq = 0,d'o a = 0. Mais alors

np/q = (n1/q)p ap = 0,pour tout p N. Il sut de faire r = p/q.

(3) (quotient de deux polynmes des entiers naturels) Soient

P (n) =ki=0

aini (ak 6= 0),

Q(n) =l

j=0

bjnj (bl 6= 0),

deux polynmes de degr k et l N, respectivement, par rapport n N, de coecients ai et bj R, respectivement, pour 0 i k et0 j l. Alors, on a

limn+

P (n)

Q(n)= lim

n+

ki=0 ain

(ki)lj=0 bjn

(lj) limn+nk

nl=akbl limn+n

kl.

La limite est alors donne par

limn+

P (n)

Q(n)=

akblsi k = l,

0 si k < l,

+ si k > l, ak/bl > 0, si k > l, ak/bl < 0.


(4) (racines carres itres d'un nombre rel positif) On dnit an =an1, pour tout n N, avec a0 > 0. On montre que an 1. Notonsd'abord que, si 1 a0, alors 1 a1 a0, car

1 a21 = a0 a20.

De plus, en supposant 1 an an1 pour n N, on obtient que

1 a2n+1 = an a2n,

d'o 1 an+1 an. Par rcurrence, la suite {an} est alors dcroissanteet minore par 1. Par symtrie, la suite est croissante et majore par 1 si

a0 1. Dans les deux cas, la suite possde une limite nie strictementpositive. Supposons que an x R, o x > 0. On a alors

an =an an = an+1 an+1 x2 = x.

L'quation x2 = x a une seule solution x 6= 0 qui est obtenue enmultipliant les deux cts de l'quation par l'inverse de x, ce qui donnex = 1.

2.3 Limite infrieure et limite suprieure

tant donn une suite {xn}, on considre

xn = infkn

xk = inf {xk : k n} ,

xn = supkn

xk = sup {xk : k n} ,

pour tout n N. La suite {xn} est croissante, alors que la suite {xn} estdcroissante. On dnit la limite infrieure comme

lim infn+ xn = limn+xn = limn+xn [,+],

et la limite suprieure comme

lim supn+

xn = limn+xn = limn+xn [,+].

On a le rsultat fondamental qui suit.


Proposition : Une condition ncessaire et susante pour que xn x [,+] est que

lim infn+ xn = lim supn+

xn = x [,+].

Dmonstration : La susance dcoule du thorme des gendarmes, car

xn xn xn,

pour tout n N. Pour la ncessit, si xn x R, alors pour tout > 0, ilexiste N N tel que

x < xn < x+ , ds que n N.

Sous la mme condition, on a donc

x xn xn x+ ,

d'o

x limn+xn limn+xn x+ .Le nombre rel > 0 pouvant tre choisi arbitrairement petit, la conclusions'ensuit. Si xn +, alors pour tout M > 0, il existe N N tel que

xn > M, ds que n N.

Dans ce cas, on a

xn xn M,d'o

limn+xn limn+xn M.Le nombre relM > 0 pouvant tre choisi arbitrairement grand, la conclusions'ensuit. L'analyse du cas o xn est analogue.

2.4 Proprit de Bolzano-Weierstrass

Toute suite borne x1, x2, x3, . . . , reprsente par {xn}, contient unesous-suite (ou suite extraite)

xn1 , xn2 , xn3 , . . . , o 1 n1 < n2 < n3 < . . . ,


reprsente par {xnk}, qui converge vers un nombre rel.Puisque toute suite monotone borne converge vers un nombre rel, il

sut de montrer ce qui suit.

Lemme : Toute suite {xn} contient une sous-suite monotone qui tend verslim supn+ xn et une suite monotone qui tend vers lim infn+ xn.

Dmonstration : On dnit

E = {n N : xn > xm, pour tout entier m > n} ,qui reprsente l'ensemble des pics successifs de la suite {xn}. Dans le caso E est non vide et non major, on utilise le principe du bon ordre et leprincipe d'induction pour dnir

n1 = inf{n E} E,donc n1 1, puis, tant donn

ni = inf{n E : n > ni1} E,pour i N avec n0 = 0,

ni+1 = inf{n E : n > ni} E,donc ni+1 > ni. Par construction, la sous-suite {xni} est dcroissante et

xni = supkni

xk lim supn+

xn.

Dans le cas o E est vide ou major, il existe n1 N tel que{n N : n n1} Ec,o

Ec = {n N : xn xm, pour un certain entier m > n} .Alors, pour tout n n1,

supkn

xk = max{xn, supkn+1

xk} = supkn+1

xk.

Ici, on dnit max{xn,+} = +. On a doncsupkn

xk = supkn1

xk,


pour tout n n1, d'o

lim supn+

xn = supkn1

xk.

Si supkn1 xk = +, alors il existe n2 > n1 tel que

xn2 > max{xn1 , 1},

puis, tant donn nk n1 pour k N, il existe nk+1 > nk tel que

xnk+1 > max{xnk , k}.

La sous-suite {xnk} est alors croissante, et possde donc une limite. De plus,on a xnk k +, d'o xnk +. Si supkn1 xk = M R, alors ilexiste n2 > n1 tel que

M xn2 xn1 +M xn1

2=M + xn1

2 xn1 .

Puis, tant donn nk n1 pour k N, il existe nk+1 > nk tel que

M xnk+1 xnk +M xnk

2=M + xnk

2 xnk .

La sous-suite {xnk} tant croissante et majore, xnk x R. Le thormedes gendarmes nous assure alors que

M + x

2= x, c'est--dire, M = x.

Ceci complte la dmonstration de l'existence d'une sous-suite monotone

qui tend vers la limite suprieure de la suite. La dmonstration de l'exis-

tence d'une sous-suite monotone qui tend vers la limite infrieure de la suite

est analogue.

Corollaire : Une suite possde une limite nie ou innie L si et seulementsi L est la seule limite possible pour toute sous-suite.

Dmonstration : La ncessit est vidente, car toute sous-suite possde

la mme limite que la suite si cette limite existe. La susance dcoule du

lemme prcdent, car alors les limites infrieure et suprieure de la suite sont

gales.


2.5 Proprit de Cauchy

Une suite numrique {xn} converge vers un nombre rel si et seulementsi elle possde la proprit de Cauchy , c'est--dire,

> 0,N N, |xn xm| < ds que n,m N.

Dmonstration : Si xn x N, alors pour tout > 0, il existe N N telque

|xn x| < 2ds que n N.L'ingalit du triangle donne alors

|xn xm| = |xn x+ x xm| |xn x|+ |x xm| < 2

+

2= ,

ds que n,m N . Inversement, si {xn} est une suite de Cauchy, alors elleest borne. En eet, il existe N N tel que

|xn xN | < 1 ds que n N.On obtient alors que

min {x1, . . . , xN1, 1 xN} xn max {x1, . . . , xN1, 1 + xN} ,

pour tout n N. Par la proprit de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite {xnk} telle que xnk x N. Pour tout > 0, il existe N1, N2 N telsque

|xnk x| 0, pour tout n N, etanbn c > 0,

alors la srie

n=1 an converge si et seulement si la srie

n=1 bnconverge.

Dmonstration : Puisque an/bn c et c > 0, il existe N N tel queanbn c c, c'est--dire, an 2cbn, ds que n N.

Par le critre de comparaison, on a

n=N

an

n=N

2cbn = 2c

n=N

bn,

d'o

n=1 an converge si

n=1 bn converge. Inversement, si

n=1 anconverge, on montre par les mmes arguments que

n=1 bn converge,en utilisant le fait que bn/an c1 > 0.

(c) (critre du rapport) Si an > 0, pour tout n N, etan+1an r 0,

alors la srie

n=1 an converge si r < 1 et diverge si r > 1.

Dmonstration : On dnit s = (1 + r)/2. Dans le cas o 0 r < 1,on a 0 r < s < 1 et il existe N N tel que

an+1an

< s ds que n N.

En particulier, aN+1 < saN . De plus, si aN+k < skaN pour k N,alors

aN+k+1 < saN+k < sk+1aN .

Par le principe d'induction, on a donc l'ingalit pour tout k N. Parle critre de comparaison, on a alors

n=N

an =

k=0

aN+k k=0

skaN = aN

k=0

sk =aN

1 s < +.


On conclut alors que

n=1 an converge. En revanche, dans le cas o

r > 1, on a 1 < s < r et il existe N N tel quean+1an

> s ds que n N.

On a alors aN+k > skaN pour tout k N et

n=N

an =k=0

aN+k k=0

skaN = aN

k=0

sk = +,

d'o

n=1 an diverge.

(d) (critre de la racine) Si an > 0, pour tout n N, etnan r 0,alors la srie

n=1 an converge si r < 1 et diverge si r > 1.

Dmonstration : On procde comme pour le critre du rapport, mais

en utilisant l'ingalit

nan < s < 1, c'est--dire, an < s

n, si r < 1,et l'ingalit

nan > s > 1, c'est--dire, an > s

n, si r > 1, pour tout

n N N.

Exemples

(1) (srie harmonique) La srie des inverses des entiers naturels, c'est--

dire

n=1 1/n, diverge. En eet,

S2n =2nk=1

1

k=

1

1+

1

2+

1

3+

1

4+ + 1

2n 1 +1

2n

=

(1

1+

1

3+ + 1

2n 1)

+

(1

2+

1

4+ + 1

2n

) 1

2+

(1

2+

1

4+ + 1

2n

)+

(1

2+

1

4+ + 1

2n

)=

1

2+

(1

1+

1

2+ + 1

n

)=

1

2+ Sn


pour tout n N. Par consquent, S = limn+ Sn doit satisfaire

S 12

+ S,

ce qui n'est possible que si S = +.

(2) (srie des inverses des carrs des entiers naturels) La srie

k=1 1/k

2

converge. On remarque d'abord que

0 1k2 1k(k 1) =

1

k 1 1

k,

pour tout entier k 2. De plus, on a

Sn =n

k=2

(1

k 1 1

k

)= 1 1

n 1.

Le critre de comparaison permet alors de conclure, puisque

k=1

1

k2= 1 +

k=2

1

k2 1 +

k=2

(1

k 1 1

k

)= 2.

En fait, il est connu que

k=1 1/k

2 = pi2/6.

(3) (srie des inverses des puissances rationnelles des entiers naturels)

La srie harmonique gnralise

k=1 1/k

r, pour r Q, converge si

r > 1 et diverge si 0 < r 1. En eet, si 0 < r 1, alorsk=1

1

krk=1

1

k= +.

En revanche, si r > 1, alors

k=1

1

kr=

n=0

(1

2nr+

1

(2n + 1)r+ + 1

(2n + 2n 1)r)

n=0

2n

2nr=n=0

(1

2r1

)n< +,

car la srie majorante est une srie gomtrique de raison 1/2r1 < 1.Cette partie de la dmonstration est due Jose Manuel Rodriguez Ca-

ballero (communication personnelle, Universit de Montral, 12 mars


2013). Un argument semblable pour la srie harmonique (r = 1) donnen=0 2

n/2n+1 = + comme srie minorante.

(4) (srie des quotients de deux polynmes positifs des entiers naturels)

Soient deux polynmes de degr k et l, respectivement, donns par

P (n) =

ki=0

aini > 0 (ak > 0),

Q(n) =l

j=0

bjnj > 0 (bl > 0),

pour tout n N, o 0 ai, bj R pour 0 i k et 0 j l.La srie des quotients de ces deux polynmes converge si l k 2 etdiverge si l k 1, c'est--dire,

n=1

P (n)

Q(n)

{< + si l k 2,= + si l k 1.

Ainsi, si

P (n) = 2n2 + 8n+ 3,

Q(n) = 4n4 + 3n2 + 6,

la srie converge. En revanche, si

P (n) = 5n3 + 2n2 + 3,

Q(n) = 3n4 + 8n+ 6,

alors la srie diverge. La dmonstration utilise le critre du quotient.

On compare le terme gnral de la srie 1/nlk. On obtient que

P (n)

Q(n) nlk =

ki=0 ain

iklj=0 bjn

jl akbl> 0.

Puisque la srie

n=1 1/n

lkconverge si lk 2 et diverge si lk 1,il en est de mme de la srie

n=1 P (n)/Q(n).


(5) (fonction exponentielle) La fonction exponentielle est dnie par

la srie

exp{x} =n=0

xn

n!,

pour tout x R. La convergence pour tout x > 0 est conrme par lecritre du rapport, car on a alors

xn+1

(n+ 1)! n!xn

=x

n+ 1 0 < 1.

Notons que

en =

(1 +

1

n

)n= 2 +

ni=2

1

i!

(1 1

n

) (

1 i 1n

)

ni=0

1

i!= sn,

pour tout n N, d'o

e = limn en limn sn =

i=0

1

i!= exp{1}.

D'autre part, pour tout entier n k pour k N x, on a

en 2 +ki=2

1

i!

(1 1

n

) (

1 k 1n

),

d'o

e = limn en sk.Cela implique que

e limk

sk = exp{1}.Donc, on a

e = exp{1} =n=0

1

n!,

comme expression de la constante d'Euler.


3.3 Sries absolument convergentes

La srie

n=1 an converge absolument si la srie positive des valeursabsolues

n=1 |an| converge, et alors

n=1

an

n=1

|an| < +.

En eet,

Sn =

ni=1

ai,

pour tout n N, vrie

|Sn+k Sn| =n+ki=n+1

ai

n+ki=n+1

|ai| = Sn+k Sn =Sn+k Sn ,pour tous n, k N, par l'ingalit du triangle, o

Sn =ni=1

|ai|.

La suite {Sn} est une suite de Cauchy, et donc converge, puisque la suite{Sn} converge, et qu'elle est donc une suite de Cauchy. De plus, on a

|Sn| Sn, c'est--dire, Sn Sn Sn,

pour tout n N, d'o

limnS

n limnSn limnS

n, c'est--dire,

limnSn

limnS

n.

Proposition 1 : Tout rarrangement

j=1 bj d'une srie absolument conver-gente

i=1 ai converge vers la mme limite. Ici, ai = bf(i) pour tout i N,o f est une bijection de N dans N, c'est--dire que pour tout j N, il existeun et un seul i N tel que f(i) = j.


Dmonstration : Soient

Sn =ni=1

ai S R,

Sn =ni=1

|ai| S R,

Tm =mj=1

bj .

On va montrer que Tm S. Pour tout > 0, il existe N N tel que

|S Sn| =

i=n+1

ai

i=n+1

|ai| = S Sn 0 et B > 0. De plus,on sait que AnBn AB R. Donc, pour tout > 0, il existe N N telque pour tout n N , on a

|A An| 0 pour n kassez grand, alors le thorme ergodique garantit que

P(nk)jj pij ,lorsque n, o pij reprsente la fraction moyenne de temps long terme l'tat j partir de j. Les conditions de la proposition sont alors satisfaitesavec

f(k)ij P

(nk)jj f (k)ij pij ,f (k)ij P (nk)jj f (k)ij ,

k=1

f(k)ij = fij < +,

o fij reprsente la probabilit d'atteindre j partir de i. On a alors

P(n)ij

k=1

f(k)ij pij = fijpij ,

lorsque n. C'est la version du thorme ergodique pour des probabilitsde transition avec des tats d'arrive et de dpart qui dirent.

3.5 Sries alternes

Une srie alterne est une srie dont les termes ngatifs et positifs al-

ternent. Il sut que les termes dcroissent vers 0 en valeur absolue pour que

la srie converge.

Proposition : Une srie alterne

n=1(1)n+1an, avec 0 an+1 an pourtout n N, converge si an 0.


Dmonstration :On considre sparment les sommes partielles d'un nombre

pair et d'un nombre impair de termes de la srie. En dnissant S0 = 0, ona

S2n =

2nk=1

(1)k+1ak = S2n2 + a2n1 a2n S2n2,

S2n+1 =2n+1k=1

(1)k+1ak = S2n1 a2n + a2n+1 S2n1,

pour tout n N. De plus,

S2 S2n = S2n1 a2n S2n1 S1.

La suite {S2n} est croissante et majore et elle converge donc vers un certainS R. De mme, la suite {S2n1} est dcroissante et minore et elle convergevers un certain s R. Mais alors

S = limn+S2n = limn+S2n1 limn+ a2n = s.

Exemple (srie alterne convergente non absolument convergente)

La srie alterne

S =n=1

(1)n+1n

converge, puisque 0 1/(n+1) 1/n 0. Cependant, elle ne converge pasabsolument, car

n=1

(1)n+1n =

n=1

1

n= +.

D'ailleurs, il existe un rarrangement qui converge vers une autre valeur. En

eet, on a

S = 1 12

+1

3 1

4+

1

5 1

6+

1

7 1

8+ . . . ,

avec 1 1/2 = 1/2 S 1. De plus, on peut crireS

2= 0 +

1

2+ 0 1

4+ 0 +

1

6+ 0 1

8+ . . . .


En additionnant les deux sries terme terme, on obtient que

3S

2= 1 + 0 +

1

3 1

2+

1

5+ 0 +

1

7 1

4+ . . . .

En liminant les 0, on a alors un rarrangement de la srie dont la limite est

dirente de S.

3.6 Dveloppement dcimal d'un nombre rel

Pour toute suite {dk}, o dk D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, pour toutk N, on a convergence de la srie

k=1

dk10k [0, 1] .

En eet,

0 dk10k 9

10k,

pour tout k N, d'o

0 k=1

dk10kk=1

9

10k=

9

10(

1

1 1/10)

= 1.

Inversement, pour tout x [0, 1), il existe une suite {dk} avec dk D, pourtout k N, telle que

x =k=1

dk10k

.

Cette srie est appele le dveloppement dcimal de x.Pour obtenir ce dveloppement, on dnit d'abord

d1 = max

{d N0 : d

10 x

},

o N0 = N {0}. L'entier d1 0 est bien dni en vertu de la propritd'Archimde qui garantit que le nombre d'entiers d 0 satisfaisant d 10xest ni. De plus, on a d1 D, car sinon d1/10 10/10 = 1 > 1, ce qui estune contradiction. Supposons maintenant

dl = max

{d N0 : d1

10+ + dl1

10l1+

d

10l x

} D,


pour l k N, et dnissons

dk+1 = max

{d N0 : d1

10+ + dk

10k+

d

10k+1 x

}.

L'entier dk+1 0 est bien dni en vertu de la proprit d'Archimde pourla mme raison que prcdemment. De plus, dk+1 D, car sinon

x d110

+ + dk10k

+dk+110k+1

d110

+ + dk + 110k

,

ce qui entre en contradiction avec la dnition de dk. Selon le principe d'in-duction, la somme partielle

sn =n

k=1

dk10k

est bien dnie pour tout n N. Or, on a sn x par le thorme desgendarmes, puisque

x 110n x dn+1 + 1

10n+1< sn x.

Cela conrme le dveloppement dcimal pour x [0, 1).D'autre part, pour tout x [1,+), on dnit

N = max{n N : 10n1 bxc} N,qui est bien dni du fait que 10n1 +, et qui est tel que

10N1 x < 10N .Puisque

0 0, > 0, |f(x) L| < ds que |x x0| < ,et (a) x < x0 dans le cas d'une limite unilatrale gauche , et alors onnote

L = Lg(x0) = f(x0 ) = lim

xx0f(x), ou f(x) L lorsque x x0 ;

ou (b) x > x0 dans le cas d'une limite unilatrale droite , et alors onnote

L = Ld(x0) = f(x+0 ) = lim

xx+0f(x), ou f(x) L lorsque x x+0 ;

ou (c) x 6= x0 dans le cas d'une limite bilatrale , et alors on note

L = L(x0) = limxx0

f(x), ou f(x) L lorsque x x0.

La limite gauche n'est pas dnie en x0 = a, et la limite droite n'est pasdnie en x0 = b. En un point inni x0 = + (, respectivement), lacondition |x x0| < pour un certain > 0 est remplace par

x > (< , respectivement), pour un certain > 0.

Pour une limite innie L = + (, respectivement), la condition|f(x) L| < pour tout > 0 est remplace par

f(x) > M (< M , respectivement), pour tout M > 0.


Dans tous les cas, il est sous-entendu que x (a, b) et que ou est unnombre rel strictement positif qui dpend gnralement de x0 et .Les deux propositions suivantes donnent des conditions ncessaires et suf-

santes pour l'existence de la limite d'une fonction numrique en un point.

Proposition 1 : Une fonction f : (a, b) R possde une limite bilatraleL(x0) en un point ni x0 (a, b) si et seulement si elle possde des limitesunilatrales gauche et droite en x0 (a, b) qui sont gales, c'est--dire,Lg(x0) = Ld(x0) = L(x0).

Dmonstration : La ncessit est vidente, car si la condition est vrie

pour tout x 6= x0, alors elle est vrie pour tout x < x0 et pour tout x > x0.Pour dmontrer la susance, il sut de prendre pour valeur du dans lacondition d'existence de L(x0) le minimum des valeurs du dans les condi-tions d'existence de Lg(x0) et Ld(x0).

Proposition 2 : Une fonction f : (a, b) R possde une limite L enx0 [a, b] dans l'un des sens (a), (b) ou (c) ci-dessus si et seulement si

f(xn) L ds que xn x0,pour toute suite numrique {xn} qui satisfaist les conditions correspondantes(a), (b) ou (c) ci-dessus. Les limites de fonctions possdent donc les mmes

proprits que les limites de suites numriques.

Dmonstration dans le cas L R et x0 (a, b) : Pour la ncessit, ilsut de remarquer que, pour tout > 0, il existe > 0 tel que

|f(xn) L| < ds que |xn x0| < .D'autre part, il existe N N tel que

|xn x0| < ds que n N,ce qui termine la dmonstration. Pour la susance, on suppose au contraire

qu'il existe > 0 tel que, pour tout n N, il existe xn (a, b) qui satisfait

0 < |xn x0| < 1net |f(xn) L| .


On a alors xn x0, mais f(xn) 9 L, ce qui est une contradiction.

Corollaire : Si les fonctions f, g : (a, b) R admettent des limites L et Men x0 [a, b] dans l'un des sens (a), (b) ou (c) ci-dessus, alors f + g, f g etf/g admettent les limites L + M,L M et L/M (si M 6= 0) dans le mmesens, la condition que ces limites soient dtermines.

Dmonstration : Les conclusions dcoulent directement de la proposition

2 et des oprations sur les limites de suites numriques.

Exemples

(1) (fonction signe) La fonction dnie par

sgn(x) =

1 si x > 0,

0 si x = 0,

1 si x < 0,

est telle que sgn(0) = 1 et sgn(0+) = 1. Elle ne possde donc pasde limite bilatrale en 0.

(2) (fonction indicatrice des entiers relatifs) La fonction dnie par

1Z(x) =

{1 si x Z,0 si x / Z,

pour tout x R, satisfait 1Z(n+) = 1Z(n) = 0, pour tout n Z. Ona donc 1Z(x) 0 lorsque x n, alors que 1Z(n) = 1, pour tout n Z.

(3) (fonction indicatrice des nombres rationnels) La fonction dnie

par

1Q(x) =

{1 si x Q,0 si x / Q,


pour tout x R, est telle que 1Q(x) et 1Q(x+) n'existent pas, pourtout x R. En eet, pour tout n N, il existe xn Q et yn Qc telsque

x 1n< xn, yn < x.

Par le thorme des gendarmes, on a alors xn, yn x. Cependant,1Q(xn) = 1 1 et 1Q(yn) = 0 0, d'o la limite gauche au point xn'existe pas. La limite droite n'existe pas par un argument analogue.

(4) (fonction inverse) On considre la fonction

f(x) =1

x, pour tout x (, 0) (0,+) .

On a

limx0+

f(x) = +,

car pour tout M > 0,

1

x> M ds que 0 < x 0,

|g(x)| = |x| cos(1x

) |x| < ,ds que 0 < |x| < .

4.2 Fonctions continues

Soit une fonction numrique

f : I R,o I R est un intervalle. La fonction est continue gauche en un pointa I si

limxa

f(x) = f(a).

De mme, le fonction est continue droite en un point a I silimxa+

f(x) = f(a).

Enn, la fonction f est continue en un point a I silimxa f(x) = f(a).

La fonction est dite continue si elle est continue en tout point a I.Puisque |f(x) f(a)| = 0 lorsque x = a, la fonction f est continue gauche, continue droite ou simplement continue, respectivement, si

> 0, > 0, |f(x) f(a)| < ds que |x a| < ,et a x I, a x I ou x I, respectivement. Comme dans la sectionprcdente, une condition ncessaire et susante est

f(xn) f(a) ds que xn a,pour toute suite numrique {xn} satisfaisant a xn I, a xn I ouxn I, respectivement, pour tout n N.Les fonctions continues satisfont les rgles suivantes.


(a) (oprations sur les fonctions continues) Soient

f, g : I Rdeux fonctions continues en a I, o I est un intervalle de R. Alors,les fonctions f + g, f g et f/g (si g(a) 6= 0) sont continues en a I.

Dmonstration : Les conclusions dcoulent directement des opra-

tions correspondantes sur les limites de suites numriques.

(b) (composition de fonctions continues) Soient

f : I June fonction continue en a I, et

g : J Rune fonction continue en f(a) J , o I et J sont des intervalles de R.Alors, la composition

g f : I Rest une fonction continue en a I.

Dmonstration : Soit {xn} une suite dans I telle que xn a I.Alors, {f(xn)} est une suite dans J telle que f(xn) f(a) J , parla continuit de f en a. La continuit de g en f(a) permet nalementde conclure que g(f(xn)) g(f(a)) R, ce qui garantit la continuitde g f en a.

Exemples

(1) (continuit droite de la partie entire) La fonction f(x) = bxcpour tout x R est telle que f(n+) = n et f(n) = n 1, pour toutn Z. Puisque f(n) = n, la fonction est continue droite, mais non gauche, tout point n Z.

(2) (continuit de la valeur absolue) La fonction f(x) = |x| pour toutx R est continue, car

||x| |y|| |x y|,


pour tous x, y R. En eet, l'ingalit du triangle garantit que

|x| = |x y + y| |x y|+ |y|,

et aussi par symtrie que

|y| |y x|+ |x| = |x y|+ |x|,

d'o

|x y| |x| |y| |x y|.

(3) (continuit de polynmes d'un nombre rel) Soient

P (x) =

ki=0

aixi ,

Q(x) =

lj=0

bjxj ,

pour tout x R, o ai, bj R, pour 0 i k et 0 j l.Ces deux polynmes sont continus. En eet, une fonction constante,

f(x) = c R, et la fonction identit, f(x) = x, sont videmment conti-nues, et donc aussi f(x) = x x = x2 et f(x) = xn, pour tout n N parle principe d'induction. Il en est de mme pour toute somme de pro-

duits de telles fonctions. De plus, le quotient P (x)/Q(x) est continuen tout point x R tel que Q(x) 6= 0. Il en est alors de mme de|P (x)/Q(x)|, qui est la composition de la fonction prcdente avec lavaleur abolue.

(4) (continuit de la racine carre) La racine carre d'un nombre rel

x > 0 est un nombre relx > 0 tel que

x x = x. Soit 0 < xn

x > 0. On a alors

0 xn x = xn xxn +x |xn x|x 0.La continuit de

x en x dcoule alors du thorme des gendarmes.


(5) (continuit de la fonction exponentielle) La fonction exponentielle

dnie par

exp{x} =n=0

xn

n!,

pour tout x R, est continue en 0. En eet, on a exp{0} = 1 et

|exp{x} 1| =n=1

xn

n!

n=1

|x|nn!n=1

|x|n = |x|1 |x| 0,

lorsque x 0, en utilisant la continuit de la valeur absolue et duquotient de fonctions continues. En fait, la fonction exponentielle est

continue en tout point x R, puisque pour y = x+ y x R, on aexp{y} = exp{x} exp{y x},d'o|

|exp{x} exp{y}| = |exp{x}| |1 exp{y x}| 0,lorsque y x, par la continuit en 0.

(6) (continuit des fonctions trigonomtriques) La fonction sin(x) estcontinue en 0. En eet, pour tout x [0, pi/2], la hauteur du point(cos(x), sin(x) est infrieure la longueur de la corde reliant ce pointau point (1, 0), qui est infrieure la longueur de l'arc de cercle reliantces deux points, ce qui donne

0 sin(x) x,et donc aussi

sin(x) = sin(x) x.Cela signie que

| sin(x)| |x|,pour tout x [pi/2, pi/2]. On a alors

sin(x) 0 = sin(0),lorsque x 0. Par la composition de fonctions continues, on a aussi

cos(x) =

1 sin2(x) 1 = cos(0),


lorsque x 0, d'o la continuit de cos(x) en 0. De plus, pour tousa, x R, le produit scalaire du vecteur (cos(a), sin(a)) avec le vecteur(cos(x), sin(x)) donne

cos(a x) = cos(a) cos(x) + sin(a) sin(x) cos(a),

lorsque x 0, d'o la continuit de cos(x) en a. Par consquent,

sin(x) =

1 cos2(x),

est aussi continue en a. Enn,

tan(x) =sin(x)

cos(x)

est continue en tout point a tel que cos(a) 6= 0.

4.3 Proprit des valeurs intermdiaires

Soit une fonction continue

f : [a, b] R R,

o < a < b < +, qui est telle que f(a) < f(b). Alors, pour touty (f(a), f(b)), il existe c (a, b) tel que f(c) = y.

Dmonstration : On pose

E = {x [a, b] : f(x) y} ,

qui est un sous-ensemble non vide, car il contient a, et major par b pardnition. On dnit

c = supE [a, b] .Pour tout n N, il existe xn E tel que

c 1n xn c.

Le thorme des gendarmes garantit alors que xn c, et la continuit de fen c que

f(c) = limn+ f(xn) y < f(b),


ce qui assure en particulier que c < b. Supposons que f(c) < y. Toujours parla continuit de f en c, il existe x (c, b) tel que

f(x) < f(c) + y f(c) = y,ce qui est une contradiction avec la dnition de c. Donc, f(c) = y > f(a),ce qui implique en particulier que c > a.

Exemples

(1) (existence d'une racine entire et d'une puissance rationnelle)

Pour tout nombre rel a > 0 et tout entier n 2, il existe un nombrerel

na > 0 tel que ( n

a)n = a. En eet, la fonction f(x) = xn, pourtout x R, est continue, car elle est le produit n fois de la fonctionidentit, g(x) = x, qui est continue. En particulier, elle est continuesur l'intervalle [0, a+ 1]. Or,

f(0) = 0 < a < a+ 1 < (a+ 1)n = f(a+ 1).

Par la proprit des valeurs intermdiaires, il existe y (0, a+ 1) telque f(y) = yn = a. On pose n

a = y. Pour tout entier m 1, on aalors (

na)m

= ym,

ce qui dnit la puissance rationnelle ar et son inverse ar, pourr = m/n.

(2) (existence d'un zro d'un polynme de degr impair) Soit un po-

lynme de degr n 1 dni par

P (x) =ni=0

aixi,

pour tout x R, o ai R, pour 0 i n, et an > 0. Si n est impair,alors il existe c R tel que P (c) = 0. En eet, P est une fonctioncontinue sur R, car une somme de produits de fonctions continues. Deplus, il existe a, b R tels que

P (a) < 0 < P (b).

Pour s'en convaincre, crivons d'abord

P (x) = xn (an +

an1x

+an2x2

+ + a1xn1

+a0xn

).


Puisque n est impair, on a alors

P (2k) = 2nk(an +

an12k

+an222k

+ + a12(n1)k

+a02nk

) +,

P (2k) = 2nk(an an1

2k+an222k

+ + a12(n1)k

a02nk

) ,

lorsque k +. La proprit des valeurs intermdiaires permet alorsde conclure.

4.4 Proprit des bornes atteintes


f : [a, b] R,

o < a < b < +. Alors, il existe c, d [a, b] tels que

f(c) = m = inf {f(x) : x [a, b]} R,f(d) = M = sup {f(x) : x [a, b]} R.

Dmonstration : On montre d'abord que M < +. Sinon, pour toutn N, il existe xn [a, b] tel que f(xn) > n. La suite {xn} tant borne, laproprit de Bolzano-Weierstrass garantit l'existence d'une sous-suite {xnk}telle que

xnk x R.En fait, x [a, b] par le thorme des gendarmes, car a xnk b, pour toutk N. La continuit de f au point x implique alors que

f(xnk) f(x) R.

Or, ceci entre en contradiction avec

f(xnk) > nk +.

Donc, M R. Dans ce cas, pour tout n N, il existe xn [a, b] tel que

M 1n< f(xn) M.


La proprit de Bolzano-Weierstrass, le thorme des gendarmes et la conti-

nuit de f garantissent alors l'existence d'une sous-suite {xnk} telle que

xnk d [a, b]

et

f(xnk) f(d) R.Mais on a

M 1nk

< f(xnk) M,

pour tout k N. Le thorme des gendarmes implique alors que f(d) = M .La dmonstration de l'existence de c [a, b] tel que f(c) = m est analogue.

Corollaire : Sous les conditions ci-dessus, on a

f([a, b]) = {f(x) : x [a, b]} = [m,M ] R,

ce qui signie que l'image de f est un intervalle born et ferm, donc compact.

Dmonstration : Par la dnition de m et M , on a

m f(x) M,

pour tout x [a, b]. Si m = M , alors la fonction f est constante, et sonimage se rduit un point unique. Supposons que

m = f(c) < f(d) = M,

avec a c < d b (sinon, il sut de considrer la fonction f qui atteintsa borne infrieure M au point d et sa borne suprieure m au pointc). La fonction f tant continue sur l'intervalle [c, d], la proprit des valeursintermdiaires garantit que, pour tout y (m,M), il existe x (c, d) [a, b]tel que f(x) = y.

4.5 Fonctions uniformment continues


f : I = [a, b] R,

o < a < b < +. Alors, f est uniformment continue sur I,c'est--dire,


> 0, > 0, |f(x) f(y)| < ,x, y I ds que |x y| < .Ici, la valeur de ne dpend pas de x, y I.

Dmonstration : Supposons que la fonction f ne soit pas uniformmentcontinue sur [a, b]. Alors, on peut trouver > 0 tel que pour tout n N, ilexiste xn, yn [a, b] tels que

|xn yn| < 1net |f(xn) f(yn)| .

Par la proprit de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite {xnk} telleque

xnk x [a, b] .Puisque

xnk 1

nk ynk xnk +

1

nk,

pour tout k N, on a aussiynk x [a, b] ,par le thorme des gendarmes. La fonction f tant continue au point x, ona alors

f(xnk) f(ynk) f(x) f(x) = 0.Mais ceci entre en contradiction avec le fait que

|f(xnk) f(ynk)| > 0,pour tout k N.

Exemples

(1) (fonction carr) La fonction f(x) = x2 est continue en tout pointx R, donc uniformment continue sur tout intervalle I = [a, b] R.Cependant, elle n'est pas uniformment continue sur I = (,+).En eet, pour tout > 0, les nombres rels

x =1

, y =

1

+

2,


satisfont |x y| = /2 < . Cependant, on a

|f(x) f(y)| = |x2 y2| = |(x y) (x+ y)| = |x y| |x+ y|=

2(

2

+

2

)>

2 2

= 1.

(2) (fonction inverse) La fonction f(x) = 1/x est continue pour toutnombre rel x > 0, donc uniformment continue sur tout intervalleI = [a, b] (0, 1]. Elle n'est cependant pas uniformment continue surI = (0, 1]. En eet, les nombres rels

x = , y =

2,

satisfont |x y| = /2 < , mais on a

|f(x) f(y)| =1x 1y

= 1 2 = 1 1,ds que 0 < 1.

4.6 Fonction rciproque


f : [a, b] [m,M ] ,

o < a < b < + et

m = inf {f(x) : x [a, b]} ,M = sup {f(x) : x [a, b]} .

La fonction f est alors surjective , car pour tout y [m,M ], il existe x [a, b] tel que f(x) = y. Cela est une consquence directe des proprits desbornes atteintes et des valeurs intermdiaires. La fonction f est bijective sielle est en plus injective , c'est--dire si f(x1) = f(x2) seulement lorsquex1 = x2 [a, b]. La fonction f possde alors une fonction rciproque

f1 : [m,M ] [a, b] ,

qui est telle que

f1(f(x)) = x,


pour tout x [a, b]. La fonction rciproque est unique, car pour tout y [m,M ], il existe un et un seul x [a, b] satisfaisant f(x) = y et alors x =f1(y).La fonction f est strictement monotome si elle est strictement crois-sante , c'est--dire,

f(x1) f(x2) si x1 x2,avec galit si et seulement si x1 = x2, ou strictement dcroissante , c'est--dire,

f(x1) f(x2) si x1 x2,avec galit si et seulement si x1 = x2.

Proposition : Une fonction continue et surjective

f : [a, b] [m,M ] ,

o < a < b < +, est injective si et seulement si elle est strictementmonotone. Dans ce cas, la fonction rciproque

f1 : [m,M ] [a, b] ,

est galement continue et strictement monotone.

Dmonstration : La susance est vidente, car pour tous x1, x2 [a, b] telsque x1 6= x2, disons x1 < x2, on a alors ou bien f(x1) < f(x2) si f est stric-tement croissante, ou bien f(x1) > f(x2) si f est strictement dcroissante.Dans les deux cas, on a f(x1) 6= f(x2). Pour la ncessit, considrons le caso f(a) < f(b) (le cas de l'ingalit inverse tant analogue et le cas d'galittant exclu par l'injectivit de f). Soit x1 (a, b). Alors, f(x1) 6= f(b), carx1 6= b. En fait, f(x1) < f(b), car sinon f(a) < f(b) < f(x1) et alors, par laproprit des valeurs intermdiaires, il existe x0 (a, x1), donc x0 6= b, telque f(x0) = f(b), ce qui est une contradiction avec l'injectivit de f . Pourdes raisons analogues, f(x1) > f(a). On a donc

f(a) < f(x1) < f(b).

On montre de la mme faon que si x1 < x2 < b, alors

f(x1) < f(x2) < f(b).


Sous les conditions a < x1 < x2 < b, on a donc

f(a) < f(x1) < f(x2) < f(b),

ce qui signie que f est strictement croissante. La fonction rciproque f1

est alors strictement croissante. En eet, si m y1 < y2 M , alors il existex1, x2 [a, b] tels que

m y1 = f(x1) < f(x2) = y2 M,d'o

a x1 = f1(y1) < f1(y2) = x2 b.Il reste montrer que f1 est continue en tout point y0 [m,M ], o m =f(a) et M = f(b).Soit {yn} une suite dans [m,M ] telle que yn y0 [m,M ]. On dnit

xn = f1(yn), pour tout n N. Soit une sous-suite {xnk} telle que

xnk x0.La fonction f tant continue en x0, on a

ynk = f(xnk) f(x0).Donc, f(x0) = y0, c'est--dire, x0 = f

1(y0). La limite tant unique, on ancessairement

f1(yn) = xn x0 = f1(y0),d'o la continuit de f1 en y0.

Exemple (unicit et continuit d'une racine entire et d'une puis-

sance rationnelle)

La fonction

ny, pour tout nombre rel y > 0, pour n N x, est larciproque de la fonction f(x) = xn, qui est continue et strictement croissantesur tout intervalle de forme [a, b] (0,+). En particulier, cette fonction estunique. De plus, elle est continue et strictement croissante sur tout intervalle

de forme [an, bn] (0,+). Il en est de mme pour la puissance rationnelleyr = ( n

y)m ,

o r = m/n pour m,n N, qui est la composition de deux fonctions conti-nues strictement croissantes pour tout nombre rel y > 0. Son inverse yr

est aussi continue, mais strictement dcroisssante.

5 Drivation d'une fonction numrique

5.1 Fonctions drivables

Une fonction

f : (a, b) Rest drivable en un point x0 (a, b) si

limxx0

f(x) f(x0)x x0 =

df

dx(x0) = f

(x0) R.

Cette limite est appele la drive de f en x0. Cette limite existe si etseulement si les limites gauche et droite, dnies par

limxx0

f(x) f(x0)x x0 = f

g(x0),

limxx+0

f(x) f(x0)x x0 = f

d(x0),

appeles les drives gauche et droite de f en x0, respectivement,vrient

f g(x0) = fd(x0) R.Finalement, la fonction f est drivable si elle possde une drive en toutpoint x0 (a, b).Si f est drivable en x0, alors la fonction h dnie par

f(x) f(x0) = (x x0)(f (x0) + h(x)),

pour tout x (a, b), est telle que

limxx0

h(x) = 0.

Cela donne l'approximation ane

f(x) f(x0) + (x x0)f (x0),


pour x assez prs de x0. En fait, la droite

y = f(x0) + (x x0)f (x0)de pente f (x0) est tangente la courbe y = f(x) au point x = x0.

Exemples

(1) (fonction valeur absolue) La fonction f(x) = |x|, pour tout x R,satisfait

f(x) f(a)x a =

{1 si x > 0, x 6= a 0,1 si x < 0, x 6= a 0.On a donc f (a) = 1, si a > 0, mais f (a) = 1 si a < 0. De plus, on af d(0) = 1 6= 1 = f g(0). La fonction f n'est donc pas drivable en 0.

(2) (fonction puissance entire positive d'un nombre rel) La fonc-

tion f(x) = xn, pour tout x R et pour n N x, est drivable et sadrive est donne par f (a) = nan1, pour tout a R. En eet,f(x) f(a)

x a =(x a)(xn1 + xn2a+ + xan2 + an1)

x a nan1,

lorsque x a.

(3) (fonction puissance entire ngative d'un nombre rel) La fonc-

tion

f(x) =

{xn si x 6= 0,0 si x = 0,

pour n N x, est drivable en tout point a 6= 0, of (a) = nan1.En eet, on a

f(x) f(a)x a =

an xnxnan(x a)

= xn1 + xn2a+ + xan2 + an1

xnan

nan1,


lorsque x a 6= 0. En revanche, on a

f(x) f(0)x 0 =

1

xn+1

+ lorsque x 0+,+ lorsque x 0 et n est impair, lorsque x 0 et n est pair.La fonction f n'est donc pas drivable en 0.

(4) (fonction racine carre) La fonction f(x) =x est drivable en toutpoint a > 0. En eet, on axax a =

(xax a

)(

x+a

x+a

)=

1x+a 1

2a,

lorsque x a > 0, en utilisant la continuit de la racine carre en a.

Proposition 1 (continuit d'une fonction drivable) : Une fonction

f : (a, b) Rqui est drivable en x0 (a, b) est continue en x0.

Dmonstration : En utilisant les oprations sur les limites de fonctions

(qui reproduisent les oprations sur les suites numriques), on a

f(x) = f(x) f(x0) + f(x0) = f(x) f(x0)x x0 (x x0) + f(x0)

f (x0) 0 + f(x0) = f(x0),lorsque x x0.

Proposition 2 (oprations sur les fonctions drivables) : Soient f, g :(a, b) R deux fonctions drivables en x0 (a, b). Alors les fonctions f + g,f g et f/g (si g(x0) 6= 0) sont drivables en x0 avec drives donnes par

(f + g)(x0) = f (x0) + g(x0),(f g)(x0) = f (x0) g(x0) + f(x0) g(x0),(f

g

)(x0) =

f (x0) g(x0) f(x0) g(x0)g(x0)2

.


En particulier, (cf)(x0) = cf (x0), pour tout c R.

Dmonstration : Les conclusions dcoulent des oprations sur les limites

de fonctions et des proprits des fonctions drivables en un point, donc

continues en ce point, partir des quations suivantes :

(f(x) + g(x)) (f(x0) + g(x0))x x0 =

f(x) f(x0)x x0 +

g(x) g(x0)x x0 ,

f(x)g(x) f(x0)g(x0)x x0 =

(f(x) f(x0)

x x0

) g(x) + f(x0)

(g(x) g(x0)x x0

),

et nalement f(x)g(x) f(x0)g(x0)x x0

= f(x)g(x0) f(x0)g(x)(x x0)g(x)g(x0)

=

(f(x) f(x0)

x x0

) g(x0)g(x)g(x0)

(g(x) g(x0)x x0

) g(x0)g(x)g(x0)

.

Proposition 3 (drivation en chane) : Si f : (a, b) (C,D) est unefonction drivable en x0 (a, b) et g : (C,D) R est une fonction drivableen f(x0) (C,D), alors la fonction compose g f est drivable en x0 avecdrive donne par

(g f)(x0) = g(f(x0)) f (x0).

Dans la notation de Leibnitz, y = f(x), z = g(y) et

dz

dx=dz

dy dydx.

Dmonstration : On a

f(x) f(x0) = (x x0)(f (x0) + h(x)),


o

h(x) 0 lorsque x x0,ainsi que

g(f(x)) g(f(x0)) = (f(x) f(x0))(g(f(x0)) +H(f(x))),

o

H(f(x)) 0 lorsque f(x) f(x0),ce qui est le cas lorsque x x0 par la continuit de f en x0. La conclusiondcoule alors des oprations sur les limites de fonctions partir de l'quation

suivante :

g(f(x)) g(f(x0))x x0 = (f

(x0) + h(x)) (g(f(x0)) +H(f(x))).

Proposition 4 (drivation de la fonction rciproque) : Soit une fonc-

tion continue et bijective

f : [a, b] R [m,M ] R

qui est drivable en x0 (a, b). Alors la fonction rciproque

f1 : [m,M ] R [a, b] R

est drivable en y0 = f(x0) si et seulement si f(x0) 6= 0, et alors

(f1)(y0) =1

f (x0).

Dans la notation de Leibniz, y = f(x), x = f1(y) et

dx

dy=

1dydx

.

Dmonstration : Le rsultat dcoule de l'identit

f1(y) f1(y0)y y0 =

1f(x)f(x0)

xx0,


pour y = f(x) et y0 = f(x0), et du fait que

x = f1(y) f1(y0) = x0,

lorsque y y0, par la continuit de f1 en y0.

Exemples

(1) (drive d'une racine entire et d'une puissance rationnelle) La

fonction

ny = y1/n, pour tout nombre rel y > 0 et pour n Nx, est la rciproque de la fonction f(x) = xn, qui est continue etbijective sur tout intervalle [a, b] (0,+), et dont la drive enx = y1/n (0,+) est donne par f (x) = nxn1. On a donc

d(y1/n)

dy=

1

nxn1=

1

n y 1n1.

La drivation en chane permet alors d'obtenir la drive de la puissance

rationnelle yr =(

ny)m

, o r = m/n pour m,n N, qui est lacomposition de la puissance m-ime et de la racine n-ime. On a alors

d(ym/n)

dy=

1

n (ym) 1n1 mym1 = m

n ymn 1.

La formule pour la drive de la fonction inverse donne dans ce cas

d(ym/n)dy

= mn y

mn1

y2mn

= mn ymn 1,

comme drive de yr, o r = m/n pour m,n N. Donc, on ad(yr)

dy= ryr1,

pour tout nombre rel y > 0, pour tout r Q.

(2) (drive des fonctions trigonomtriques) Pour a R x et pourtout x R, on a

cos(a x) = cos(a) cos(x) + sin(a) sin(x),


ce qui correspond au produit scalaire du vecteur (cos(a), sin(a)) avecle vecteur (cos(x), sin(x)). On a alors

cos(a x) cos(a)a x a = cos(a)

cos(x) cos(0)x 0 sin(a)

sin(x) sin(0)x 0 ,

d'o, en faisant x 0,cos(a) = cos(a) cos(0) sin(a) sin(0), la condition que les fonctions sin et cos soient drivables en 0. Or, encomparant l'aire du secteur circulaire d'angle 0 < x < pi/2 l'aire dutriangle isocle correspondant et l'aire du triangle rectangle de base

1 correspondant, on obtient les ingalits

1 sin(x)2

x2pi pi sin(x)

2 cos(x),

c'est--dire,

cos(x) sin(x)x 1.De plus, ces dernires ingalits sont valides aussi pour pi/2 < x < 0,car toutes les expressions restent inchanges lorsque x est remplacepar x. En vertu du thorme des gendarmes, on a donc

sin(x) sin(0)x

=sin(x)

x 1 = sin(0),

lorsque x 0. D'autre part, en utilisant la continuit en 0 des fonctionsin et cos, on obtient que

cos(x) cos(0)x

=cos(x) 1

x cos(x) + 1

cos(x) + 1

= sin(x)x sin(x)

cos(x) + 1

1 0 = 0 = cos(0),lorsque x 0. On conclut que

cos(a) = sin(a).La rgle de drivation en chane applique

sin(y) = cos(y +

pi

2

)


donne alors

sin(a) = sin(a+

pi

2

)= cos(a).

Finalement, on obtient que

tan(a) =sin(a) cos(a) cos(a) sin(a)

cos2(a)=

cos2(a) + sin2(a)

cos2(a)=

1

cos2(a),

en appliquant les oprations sur des fonctions drivables.

5.2 Thorme des accroissements nis

Soit

f : [a, b] Rune fonction continue sur [a, b] et drivable sur (a, b). Alors, il existe c (a, b)tel que

f (c) =f(b) f(a)

b a .Dans le cas o f(a) = f(b), le rsultat est appel le thorme de Rolle .

Dmonstration : On dnit

F (x) = f(x) f(a) f(b) f(a)b a (x a),

qui est une fonction continue sur [a, b] avec F (a) = F (b) = 0, et drivablesur (a, b) avec

F (x) = f (x) f(b) f(a)b a .Par la proprit des bornes atteintes, il existe c, d [a, b] tels que

F (c) = m = inf {F (x) : x [a, b]} ,F (d) = M = sup {F (x) : x [a, b]} .Si M = m = 0, alors F (x) = 0, pour tout x [a, b], et F (x) = 0, pour toutx (a, b). Si M 6= m, alors M 6= 0 ou m 6= 0. Considrons le cas o M 6= 0.Alors, d (a, b) et F (x) F (d), pour tout x [a, b]. On a donc

F g(d) = limxd

F (x) F (d)x d 0,

F d(d) = limxd+

F (x) F (d)x d 0.


Puisque F est drivable en d, on a F d) = F g(d) = F d(d) = 0.

Corollaire 1 (thorme des accroissements nis gnralis) : Soient

f, g : [a, b] R

des

analyse 1

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