an introduction to quantum information...
TRANSCRIPT
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 11
CCllaauuddee CCrrééppeeaauu
SScchhooooll ooff CCoommppuutteerr SScciieenncceeMMccGGiillll UUnniivveerrssiittyy
an Introduction toQuantum
Information Processing
an Introduction toQuantum
Information Processing
�1
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 22
((11))QQuuaannttuumm IInnffoorrmmaattiioonn
�2
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 33
Photons
�3
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 44
Photons
�4
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 55
Photons
�5
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 66
q +=
BBiittss && QQuuBBiittss
00::
11::
Cosq Sinq
+= C0 C1|YÒ0000::
0011::
1100::
1111::
+= C00|YÒ+C01+C10
C11
Ci,CijŒCC_
�6
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 77
standard notationsBBaassiiss vveeccttoorrss:: ||00ÒÒ aanndd ||11ÒÒ
�7
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 88
standard notationsBBaassiiss vveeccttoorrss:: ||00ÒÒ aanndd ||11ÒÒ
AArrbbiittrraarryy ssttaatteess:: ||yyÒÒ==aa||00ÒÒ++bb||11ÒÒssuucchh tthhaatt ||aa||22++||bb||22==11
a,b ŒCC_
�8
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 99
standard notationsBBaassiiss vveeccttoorrss:: ||00ÒÒ aanndd ||11ÒÒ
AArrbbiittrraarryy ssttaatteess:: ||yyÒÒ==aa||00ÒÒ++bb||11ÒÒssuucchh tthhaatt ||aa||22++||bb||22==11
AArrbbiittrraarryy mmuullttii--ssttaatteess::||yyÒÒ==aa||0000ÒÒ++bb||0011ÒÒ++dd||1100ÒÒ++gg||1111ÒÒ
ssuucchh tthhaatt ||aa||22++||bb||22++||dd||22++||gg||22==11
a,b,d,gŒCC_
�9
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 1133
((22))QQuuaannttuumm MMeeaassuurreemmeennttss
�10
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 1155
Polarizing Filterand photodetectors
qq ccooss22 qq
ccooss qq
qq ssiinn22 qq
ssiinn qq
Photo-multipliers
�11
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 1144
Polarizing Filteroptical axis
�12
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 1155
Polarizing Filterand photodetectors
qq ccooss22 qq
ccooss qq
qq ssiinn22 qq
ssiinn qq
�13
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 1166
Photons
�14
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 2266
Calcite Crystal
optical axis
optical axis
�15
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 2277
ccooss qq
ssiinn qq
Calcite Crystal
�16
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 2288
Photons
�17
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 1177
+= C00|YÒ +C01 +C10 C11
|YÒ
|C00|2
Projective Measurements
|C01|2
|C10|2
|C11|2S|Cij|2=1
�18
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 2255
((33))QQuuaannttuumm CCoommppuuttaattiioonnss
�19
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 2299
+C0 C1
|YÒ U |Y'Ò
Quantum Evolution:Unitary Operators
U |Y0ÒU |Y1ÒU +C0 C1|Y0Ò |Y1Ò
�20
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 3300
standard notationsUUnniittaarryy OOppeerraattoorrss:: UU††UU==UUUU††==II
�21
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 3311
standard notationsUUnniittaarryy OOppeerraattoorrss:: UU††UU==UUUU††==II
lliinneeaarr:: UU((aa||00ÒÒ++bb||11ÒÒ)) == aaUU||00ÒÒ++bbUU||11ÒÒ
�22
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 3322
standard notationsUUnniittaarryy OOppeerraattoorrss:: UU††UU==UUUU††==II
lliinneeaarr:: UU((aa||00ÒÒ++bb||11ÒÒ)) == aaUU||00ÒÒ++bbUU||11ÒÒ
pprreesseerrvveess ssccaallaarr pprroodduuccttss::
((··yy||UU††))((UU||ffÒÒ))== ··yy||UU††UU||ffÒÒ == ··yy||II||ffÒÒ == ··yy||ffÒÒ
�23
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 3333
example: Hadamard
||00ÒÒ H (( ||00ÒÒ++||11ÒÒ))//√22
||11ÒÒ H (( ||00ÒÒ-- ||11ÒÒ))//√22
H == 11//√22 (( ))11 1111 --11
�24
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 2277
ccooss qq
ssiinn qq
Calcite Crystal
qq|0⟩|1⟩
©©CCllaauuddeeCCrrééppeeaauu22000022--220000882266
CalciteCrystal
opticalaxis
opticalaxis
|0⟩
�25
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 3344
||00ÒÒ
||00ÒÒ
example: Control-NOT||00ÒÒ
||00ÒÒ
||00ÒÒ
||11ÒÒ
||00ÒÒ
||11ÒÒ
||11ÒÒ
||00ÒÒ
||11ÒÒ
||11ÒÒ
||11ÒÒ
||11ÒÒ
||11ÒÒ
||00ÒÒ
==(( ))1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0
�26
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 3355
((44))GGeenneerraall MMeeaassuurreemmeennttss
�27
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 3366
Calcite Crystaland photodetectors
ssiinn22 qq
ccooss22 qq
ccooss qq
ssiinn qq
�28
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 4400
1/2
Calcite crystal& Photodetection
1/2
�29
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 4411
1/2
Calcite crystal& Photodetection
1/2
�30
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 4422
POSSIBLE!
�31
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 4433
q qq
IMPOSSIBLE!
�32
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 4444
QQuuaannttuumm
CCllaassssiiccaall & Quantum Information0000111100111111000000111100 CCllaassssiiccaall
CCooppyyiinngg:: YYeess NNOO
MMeeaassuurriinngg:: YYeess ppaarrttiiaall
BBrrooaaddccaassttiinngg:: YYeess NNOO
SSuuppeerrppoossiinngg:: NNOO YYeess
IInntteerrffeerriinngg:: NNOO YYeess
�33
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 11�34
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 1188
((33))
QQuuaannttuumm KKeeyy DDiissttrriibbuuttiioonn
�35
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 3322
1/2
Calcite crystal& Photodetection
1/2
�36
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 3333
1/2
Calcite crystal& Photodetection
1/2
�37
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 3344
0 1
+
¥
Ambiguous Coding Scheme
((33..11..11)) KKeeyy ddiissttrriibbuuttiioonn
�38
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 3355
0V
400V
800V
Pockel Cells
�39
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 3366
LED Pinhole
Filter Pockel Cells
0/800V 0/400V
SENDER
�40
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 3377
LED Pinhole
Filter Light source:
~ 1/10 photon per pulse
n = #photons per pulse follows
a Poisson distribution
Pr(n≤x) = 1-e-x/10
Problem:
• may transmit multiple
correlated polarized photons
�41
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 3388
0/400V
Pockel Cell Calcite Crystal
Photo Multipliers
RECEIVER
�42
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 3399
00
00 00 00 111111000000 00 00001100
00 ææææ 00 ææ 11 ææææ 11 ææ 00 ææææææææ 11 11ææææ ææ 00 00 00¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
¥¥ ¥¥00 00 11 11 00 11 11 00 00 00
BB:: ++ ++ ¥¥ ++ ++ ++ ¥¥ ++ ++ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ++ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ++ ++ ¥¥ ++ ¥¥ ++
AA::BB::
¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥11 11 11 11 11 11 11 11 11 1111
++AA:: 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
0000 00 11 11 00 11 11 00 00 00BB::11 11 11 11 11AA:: 00 00 00 00 00 00
11 11AA:: 00 00 00
ππ== == == ==BB::00 11 11 11 00 00BB::
11 11 11AA:: 00 00 00
2200%%
Q-distributionof keys
BBeennnneetttt-- BBrraassssaarrdd
»
�43
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4400
¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥11 11 11 11 11 11 11 11 11 1111
++AA:: 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
Q-distributionof keys
»
�44
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4411
00 00 00 111111000000 00 00001100¥¥ ¥¥00 00 11 11 00 11 11 00 00 00
BB:: ++ ++ ¥¥ ++ ++ ++ ¥¥ ++ ++ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ++ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ++ ++ ¥¥ ++ ¥¥ ++¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥
11 11 11 11 11 11 11 11 11 1111++
AA:: 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
Q-distributionof keys
»
�45
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4422
00 00 00 111111000000 00 00001100¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
¥¥ ¥¥00 00 11 11 00 11 11 00 00 00
BB:: ++ ++ ¥¥ ++ ++ ++ ¥¥ ++ ++ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ++ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ++ ++ ¥¥ ++ ¥¥ ++
AA::
¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥11 11 11 11 11 11 11 11 11 1111
++AA:: 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
Q-distributionof keys
»
�46
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4433
00
00 00 00 111111000000 00 00001100
00 ææææ 00 ææ 11 ææææ 11 ææ 00 ææææææææ 11 11ææææ ææ 00 00 00¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
¥¥ ¥¥00 00 11 11 00 11 11 00 00 00
BB:: ++ ++ ¥¥ ++ ++ ++ ¥¥ ++ ++ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ++ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ++ ++ ¥¥ ++ ¥¥ ++
AA::BB::
¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥11 11 11 11 11 11 11 11 11 1111
++AA:: 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
0000 00 11 11 00 11 11 00 00 00BB::
Q-distributionof keys
»11 11 11 11 11AA:: 00 00 00 00 00 00
�47
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4444
0000 00 11 11 00 11 11 00 00 00BB::11 11 11 11 11AA:: 00 00 00 00 00 00
Q-distributionof keys
»
�48
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4455
0000 00 11 11 00 11 11 00 00 00BB::11 11 11 11 11AA:: 00 00 00 00 00 00
11 11AA:: 00 00 00
≠≠== == == ==BB:: 2200%%
Q-distributionof keys
»
≠
�49
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4466
00 11 11 11 00 00BB::11 11 11AA:: 00 00 00
2200%%
Q-distributionof keys
»
≠≠== == == ==BB:: ≠
�50
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4477
00 11 11 11 00 00BB::11 11 11AA:: 00 00 00
2200%%
Q-distributionof keys
»
�51
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4488
Q-distributionof keys
•• •• •• •• ••
• Produces raw classical key
• Observed error rate indicates amount
of eavesdropper information
• Error-correction is used to fix errors
• Random hash function is used to distill
a smaller secret classical key
•• •• •• •• ••
»
�52
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 4499
Information <--> Errors
(intercept resend)
¥¥ ¥¥ ++¥¥ ¥¥++ ++ ++ ++ ++
¥¥ ¥¥ ++¥¥ ¥¥++ ++ ++ ++ ++�53
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 5500
Mostly Identical
Partly Secret
String
X X'
E(qq)
�54
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 5511
≥d
(classical) error-
correcting codes
�55
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 5522
Identical
Partly Secret
String
X X'
E:=E(qq)+W
W:=C+X
C
W
C':=W+X'C
C'X:=C+W
�56
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 5533
Identical
Partly Secret
String
X X
E
�57
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 5544
in BB84, Eve’s information at thispoint (before privacy amplification)contains:
• results of eavesdropping
• multi-photon pulses
• error correction
�58
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 5555
Identical Secret Shorter String
through Privacy Amplification
XÆÆh(X)
h
XÆÆh(X)
EÆÆh(E)
�59
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 5566
BBCM
H( G(X) | E=e,G ) > |G(X)| - 2(|G(X)|-R(X|E=e))
k:=g(X)
g
k:=g(X)
???????????k':=g(E)??????????
�60
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 6644
((55))
PPrrooooffss ooff sseeccuurriittyy
�61
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 6655
Biham, Boyer, Boykin, Mayers, Oppenheim - 2000 -
Shor, Preskill - 2000 -
Mayers - 2001 -
Gottesman, Lo - 2003 -
Renner - 2006 -
TTiimmee--lliinnee
�62
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000055 6666�63
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 5599
((77))QQuuaannttuumm FFaaccttoorriinngg
�64
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6600
Quantum Superposition
++
++
+
++
+
++
+
++
+
+
+
�65
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6611
Quantum Superposition+
++
+
++
+
++
+
+
+
F F( ) F F( )
+
++
+
++
+
++
+
+
+
F( )F( )F( )F( )F( )F( )F( )
F( )F( )F( )F( )
�66
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6622
QQuuaannttuumm FFaaccttoorriinngg
GGiivveenn nn==ppqq aanndd ff((nn))==((pp--11))((qq--11))iitt iiss eeaassyy ttoo ffiinndd pp aanndd qq bbeeccaauussee
ff((nn))== ((pp--11))((qq--11))==ppqq--pp--qq++11==nn--pp--((nn//pp))++11
pp++((nn//pp))++nn--ff((nn))++11==00
pp22++((nn--ff((nn))++11))pp++nn==00 hhaass ssoolluuttiioonnss::pp== ((--bb±±√√44aacc))//22aa ((aa==11,, bb==nn--ff((nn))++11,, cc==nn))p=−b±√(b2−4ac)/2a (a=1, b=n−φ(n)+1, c=n)�
67
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6633
QQuuaannttuumm FFaaccttoorriinngg
EEuulleerr’’ss tthheeoorreemm
aaff((nn)) mmoodd nn == 11
--------------------------------------------------------------
FF((aa,,rr,,nn))::==((aarr mmoodd nn,,rr,,nn))FF((aa,,rr,,nn))::==(( ,,rr,,nn))
FF((aa,,kkff((nn)),,nn))::==(( ,,kkff((nn)),,nn))�68
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6644
QQuuaannttuumm FFaaccttoorriinnggFF((aa,,rr,,nn))::==((aarr mmoodd nn,,rr,,nn))FF((aa11,,rr,,nn))::==(( ,,rr,,nn))FF((aa22,,rr,,nn))::==(( ,,rr,,nn))
......FF((aaii,,rr,,nn))::==(( ,,rr,,nn))
bbuutt ..FF((aa11,,kkff((nn)),,nn))::==(( ,,kkff((nn)),,nn))FF((aa22,,kkff((nn)),,nn))::==(( ,,kkff((nn)),,nn))
......FF((aaii,,kkff((nn)),,nn))::==(( ,,kkff((nn)),,nn))
�69
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6655
QQuuaannttuumm FFaaccttoorriinnggFF((aa,,rr,,nn))::==((aarr mmoodd nn,,rr,,nn))FF((**,,rr,,nn))::==(( ,,rr,,nn)).. ==(( ,,rr,,nn))
bbuutt ..FF((**,,kkff((nn)),,nn))::==(( ,,kkff((nn)),,nn))FF((**,,kkff((nn)),,nn))::==(( ,,kkff((nn)),,nn))
using Quantum Fourrier Transform
�70
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6666
QQuuaannttuumm FFaaccttoorriinngg(( ,,11,,nn))(( ,,22,,nn))(( ,,33,,nn))......
(( ,,ff((nn))--11,,nn))(( ,,ff((nn)),,nn))(( ,,ff((nn))++11,,nn))
......(( ,,kkff((nn)),,nn))(( ,,ff((nn))++11,,nn))
......�71
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6677
QQuuaannttuumm FFaaccttoorriinngg
�72
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 6688
CCoonnssttrruucctt tthhee ssuuppeerrppoossiittiioonnffoorr aallll rr aanndd aallll aa ooff
((aarr mmoodd nn,,rr,,nn))
mmeeaassuurree rr,, aanndd wwiitthh hhiigghhpprroobbaabbiilliittyy rr==kkff((nn))ffoorr ssoommee iinntteeggeerr kk
rreeppeeaatt ttoo oobbttaaiinn rr’’==kk’’ff((nn))ggccdd((rr,,rr’’)) == ff((nn))..
QQuuaannttuumm FFaaccttoorriinngg
�73
©© CCllaauuddee CCrrééppeeaauu 22000022--22000088 11
CCllaauuddee CCrrééppeeaauu
SScchhooooll ooff CCoommppuutteerr SScciieenncceeMMccGGiillll UUnniivveerrssiittyy
an Introduction toQuantum
Information Processing
an Introduction toQuantum
Information Processing
�74