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THÉORÈME D’AMPÈRE - corrigé des exercices

A. EXERCICE DE BASE

I. Solénoïde torique1. • Le solénoïde et le point M considéré sont invariants dans unesymétrie par rapport au plan contenant l’axe et M, donc

�

B (pseudovec-teur) est identique à l’opposé de son symétrique géométrique.

• Le symétrique géométrique doit donc être égal à l’opposé de

�

B ,ce qui impose au champ

�

B d’être perpendiculaire au plan, c’est-à-dire :

�

B (r, θ, z) = Bθ(r, z)

�

uθ (en coordonnées cylindriques).

2. • La circulation sur une ligne de champ intérieure (circulaire) est :C = 2πr Bθ = µ0NI où N est le nombre de spires, donc : Bθ(r) =

�

µ0NI2πr

.

• La circulation sur une ligne de champ extérieure (circulaire) est :C = 2πr Bθ = 0, donc : Bθ(r) = 0.

B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT

II. Câble coaxial rectiligne “infini”• Par symétrie on suppose que le courant dans le conducteur tubulaire est “réparti” uniformément sur

la périphérie, et correspond à un mouvement des charges parallèle à l’axe.

δI

δI’

I

dB’ dB

• Par symétrie, le champ est orthoradial :

�

B (r, θ, z) = Bθ(r, θ, z)

�

uθ ; en outre Bθ ne dépend quede r : Bθ(r, θ, z) = Bθ(r).

• La circulation le long d’une ligne de champ coaxiale est : C(r) = 2πr Bθ(r) ;

◊ pour r < R : Itot(r) = I et Bθ(r) =

�

µ0I2πr

;

◊ pour r > R : Itot(r) = 0 et Bθ(r) = 0.

0 R 2R r0

Bθ

(cas où I > 0)

2

◊ remarque : on obtient un champ qui tend vers l’infini quand on se rapproche du fil, mais en réalité ce der-nier a forcément un diamètre non nul.

◊ remarque : cet exemple, qui constitue une première approche vers l’utilisation d’une répartition de courant,montre un intérêt du câble coaxial vis-à-vis de la limitation des effets parasites.

III. Distribution volumique de courant1. • Le dispositif est invariant par symétrie selon le plan contenant l'axe et le point M où on calcule lechamp, ce dernier (pseudovecteur) doit donc être invariant par antisymétrie :

Br

�

ur + Bθ

�

uθ + Bz

�

uz = -[Br

�

ur + Bθ.(-

�

uθ ) + Bz

�

uz ] = - Br

�

ur + Bθ

�

uθ - Bz

�

uz .• On en déduit que le champ est orthoradial : Br = Bz = 0 et

�

B = Bθ

�

uθ .

2. • Les lignes de champ sont des cercles coaxiaux ; l'invariance du câble par translation et rotationselon l'axe impose que la coordonnée ne dépend que de r : Bθ(r, θ, z) = Bθ(r).

• La circulation d'un champ sur un tel cercle est : C(r) = 2πr Bθ(r) ;

◊ pour r < R1 : Itot(r) = I

�

πr2

πR12 (le courant “intérieur” est proportionnel à la section “enlacée” par

le contour) et Bθ(r) =

�

µ0I2π

rR12

;

◊ pour R1 < r < R2 : Itot(r) = I et Bθ(r) =

�

µ0I2πr

;

◊ pour R2 < r < R3 : Itot(r) = I.

�

1− πr2 − πR22

πR32 − πR22⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ et Bθ(r) =

�

µ0I2πr

�

R32 − r2

R32 −R22 ;

◊ pour r > R3 : Itot(r) = 0 et Bθ(r) = 0.

3. • Les expressions précédentes montrent que le champest continu à la surface des conducteurs.

• Les variations de B(r) = Bθ(r) sont représentées ci-contre.

◊ remarque : cet exemple montre un intérêt du câble coaxialvis-à-vis de la limitation des effets parasites.

IV. Champ magnétique et champ électrostatique1. •.

2. •.

3. a).b).

V. Champ magnétique d’une sphère chargée en rotation1. •.

2. •.

rR1 R2 R3

Bθ

3

3. •.