vi. etude temporelle des circuits de premier...

CHAPITRE 2: ETUDES DES CIRCUITS

LINEAIRES EN REGIMES QUASI-

STATIONNAIRES

VI. ETUDE TEMPORELLE DES CIRCUITS

DE PREMIER ORDRE:

VI.1. Circuit R-L:

Loi des mailles:

+

??

E(t) est un échelon de tension d’amplitude E0:

Réponse indicielle

Résolution d’une équation différentielle

avec second membre

: équation différentielle du 1er ordre, à coefficients constants, avec second membre

Solution sans second membre Solution en régime forcé

0

iT iP

0

xT(t)

Solution sans 2nd membre

(régime libre/transitoire)

iT(t)

Solution en régime forcé

Solution Générale

i(t) = iT(t) + iP(t)?

Le paramètre A est déterminé à partir des conditions initiales:

i(0) = 0 =

Expression finale du courant

Tangente à i(t) au point (t,i) = (0,0)

?

Constante de temps (τ)

L’équation de la tangente à la courbe de i(t) au point (0;0) est:

τ est la solution de l’intersection entre cette tangente

et la valeur du courant en régime permanent:

La valeur de la constante de temps donne un ordre de grandeur sur la durée du régime transitoire.

Généralement, on a:

Propriété 1

� Le régime transitoire est ultra-rapide.

� Déterminer la valeur de i(t) pour:

• t = τ

• t = 3τ

• t = 5τ

Exercice

Expression de la tension aux

bornes de la bobine

La bobine essaie de

s’opposer à la tension

source (loi de Lenz)

La bobine se comporte

Comme un fil conducteur

en régime continu

Forme de la tension aux

bornes de la bobine

Fonctionnement après extinction

de la source

Equation diffEquation difféérentiellerentielle

Le paramètre B est déterminé à partir des conditions initiales:

i(0) =

Expression du courantExpression du courant

Forme du courant

Expression de la tensionExpression de la tension

aux bornes de la bobineaux bornes de la bobine

Forme de la tensionForme de la tension

aux bornes de la bobineaux bornes de la bobine

SommaireSommaire

charge décharge

Mise en tension

Mise hors tension

� Le courant dans une bobine est une fonction continue dans le temps.

� La tension dans une bobine est une fonction discontinue dans le temps.

� La valeur moyenne de la tension dans une bobine est nulle.

SommaireSommaire

Etude Etude éénergnergéétique: phase de tique: phase de mise sousmise sous--tensiontension

+= )t(Li

2

1

dt

d)t(i.R)t(p

22

� En régime permanent i = I0, l’énergie

stockée dans la bobine est:

Energie stockEnergie stockéée par la bobine e par la bobine en ren réégime permanentgime permanent

0

Etude Etude éénergnergéétique: phase de tique: phase de mise horsmise hors--tensiontension

0

)t(Li2

1

dt

d)t(i.R)t(p

22

=

+=

Energie restituEnergie restituéée par la bobine e par la bobine

en ren réégime permanentgime permanent

� En régime permanent, toute l’énergie

stockée dans la bobine lors de la phase

de charge est complètement dissipée

par effet Joule:

0

VI. ETUDE TEMPORELLE DES CIRCUITS

DE PREMIER ORDRE:

VI.2. Circuit R-C:

Loi des mailles:

+

??

Résolution d’une équation différentielle

avec second membre

: équation différentielle du 1er ordre, à coefficients constants, avec second membre

Solution sans second membre Solution en régime forcé

uPuT

Solution Générale

u(t) = uT(t) + uP(t)

Le paramètre λ est déterminé à partir des conditions initiales:

u(0) = 0

?u(t)

Expression finale de la tension

u

Tangente à u(t) au point (t,u) = (0,0)

?

u(t)

L’équation de la tangente à la courbe de u(t) au point (0;0) est:

τ est la solution de l’intersection entre cette tangente et la

valeur de la tension en régime permanent:

τ = R.C

Constante de temps (τ)

Expression du courant de charge

du condensateur

Le condensateur se

Charge jusqu’à ce que

Sa tension atteigne E0

le condensateur se comporte

Comme un circuit ouvert

en régime continu

Fonctionnement après extinction

de la source

0

u(t) =

Forme de la tension

U(t)

Expression du courantExpression du courant

de dde déécharge du condensateurcharge du condensateur

Forme du courantForme du courant

de dde déécharge du condensateurcharge du condensateur

SommaireSommaire

Mise en tension

Mise hors tension

déchargecharge

i

E0/R

-E0/R

� La tension dans un condensateur est une fonction continue dans le temps.

� Le courant dans un condensateur est une fonction discontinue dans le temps.

� La valeur moyenne du courant dans un condensateur est nulle.

SommaireSommaire

Etude Etude éénergnergéétique: phase de tique: phase de mise sousmise sous--tensiontension

+= )t(Cu

2

1

dt

d)t(i.R)t(p

22

)t(Cu

2

1

dt

d 2

� En régime permanent u = E0, l’énergie

stockée dans le condensateur est:

Energie stockEnergie stockéée par le condensateur e par le condensateur en ren réégime permanentgime permanent

Etude Etude éénergnergéétique: phase de tique: phase de mise horsmise hors--tensiontension

0)t(Cu2

1

dt

d)t(i.R)t(p

22=

+=

Energie restituEnergie restituéée par le e par le

condensateur en rcondensateur en réégime permanentgime permanent

� En régime permanent, toute l’énergie

stockée dans le condensateur lors de la

phase de charge est complètement

dissipée par effet Joule:

QUIZ� Pour chacun des circuits (R-L) et (R-C),

donner lors de la phase de mise sous tension:

• Les équations différentielles,

• La solution générale de chaque équation,

• Les constantes de temps (sans

démonstration),

• La courbe du courant iL(t) et celle de la tension

uc(t) sous tension,

• Les différentes phases de fonctionnement

dans le circuit.