une introduction aux modèles de perception et de raisonnementpour les signaux temporels, le...

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Stéfane Paris etGilles Simon

Une introduction aux modèles deperception et de raisonnement

Stéfane Paris et Gilles Simon

Courriel : {prenom.nom}@univ-lorraine.fr

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Stéfane Paris etGilles Simon.

Lecture..

......

Préambulemathématiques

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1. Dimensions

2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

. Lecture Préambule mathématiques..

...... Partie 1. 1. Terminologie

1. Dimensions

2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux

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1. Dimensions

2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

1. Dimensions1. Terminologie

1D Temporelle (par ex. les sons)2D Spatiales (par ex. les images)3D Spatiotemporelles (par ex. les vidéos)

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1. Dimensions

2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

2. Contexte1. Terminologie

.Définition..

......

Le voisinage plus ou moins direct d’une valeur définitce que l’on appelle son contexte.

Pour les signaux temporels, le contexte d’une valeur àun instant t est définit par les valeurs passées et futures.

Pour les signaux spatiaux, le contexte d’une va-leur (par ex. un pixel d’une image) à une positionspatiale (x,y) donnée est défini par les valeurs lajouxtant.Le voisinage direct de la position (x,y) est :

(x+1,y−1) (x+1,y) (x+1,y+1)(x,y−1) (x,y+1)

(x−1,y−1) (x−1,y) (x−1,y+1)

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1. Dimensions

2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

2. Contexte1. Terminologie

.Exemple..

......

Pour un apn a, le contexte d’une position (x,y) estdéfini par un disque d’un rayon donné et de centre (x,y).

Alors que pour un scanner à balayage, le contexteest défini par les lignes précédemment scannées et leséchantillons déjà lus par la barrette de silicium.

a. Appareil Photographique Numérique.

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2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

3. Corrélation1. Terminologie

.Définition..

......

Quelque soit le signal et ses dimensions, une valeur àune position donnée n’est que rarement sans relationavec les valeurs qui lui sont proches.

L’intensité de cette relation est mesurée par lacorrélation..Définition..

......

Mais si les valeurs du signal n’ont pas de relation entreelles, on dit qu’elles sont indépendantes et que le signalest un processus sans mémoire.

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2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

3. Corrélation1. Terminologie

.Exemple..

......

En musique, un accord existe pendant un certain inter-valle de temps et est caractérisé par sa fondamentale.

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2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

1. Signaux périodiques4. Signaux

.Définition..

......

Un signal de période T est caractérisé par :

s(t+aT) = s(t),∀a ∈ Z

On pose :F =

1T et ω = 2πF

F est la fréquence fondamentale.Les multiples nF(n ∈N) de F forment un ensemble dis-cret.

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2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

2. Signaux apériodiques4. Signaux

.Définition..

......

Pas de période.

Parfois (cf. Transformée de Fourier) T → ∞=⇒ F tend vers 0

et les multiples de F sont toutes les fréquences(définition continue)

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2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

3. Signaux discrets4. Signaux

.Définition..

......

Un signal continu possède des variables continues etdes valeurs quelconques, c-à-d. entières ou réelles

Plus de détails voir : Analyse de Fourieret Applications de C. Gasquet et al..Définition..

......Un signal discret possède des variables discrètes et desvaleurs quelconques.

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2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

3. Signaux discrets4. Signaux

.Exemple..

......

Un son numérisé est constitué d’échantillons de valeursréelles régulièrement espacés d’une période d’échan-tillonnage Te (de fréquence d’échantillonnage Fe).

s[t] = ∑k∈Z

s(kTe)δ (t−kTe)

= s(t)⊗(

∑k∈Z

δ (t−kTe

)

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2. Contexte

3. Corrélation

4. Signaux1. Signaux périodiques2. Signaux apériodiques3. Signaux discrets

3. Signaux discrets4. Signaux

.Exemple..

......

Une image au format RGB est composée de pixels (in-dicés par des couples d’entiers (x,y)) dont les valeurssont des triplets d’entiers.

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

. Lecture Préambule mathématiques..

...... Partie 1. 2. Les outils mathématiques

5. Nombres et fonctions complexes

6. Produit scalaire

7. Exponentielles complexes

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

5. Nombres et fonctions complexes2. Les outils mathématiques

.Définition..

......

v = (a+ ib) est un nombre complexe de partie réelleR(v) = a et de partie imaginaire I (v) = b où i estl’unité imaginaire pure t.q. :

i2 =−1 ⇐⇒ i =−1i

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

5. Nombres et fonctions complexes2. Les outils mathématiques

.Propriétés..

......

Module de v ∥v∥=√

a2 +b2

Phase de v ϕ(v) = arctan(a

b)

Conjugué de v v⋆ = a− ibPropriétés

(vu)⋆ = v⋆u⋆Si (b = 0) alors v⋆ = v

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

5. Nombres et fonctions complexes2. Les outils mathématiques

.Définition..

......

g(t) = a(t)+ ib(t) est une fonction complexe dont lesparties réelle R{g}(t) = a(t) et imaginaire I {g}(t) =b(t) sont des fonctions réelles..Définition..

......

Le conjugué g⋆(t) = a(t)− ib(t)Propriétés :(g(t)h(t))⋆ = g⋆(t)h⋆(t)Si (b(t) = 0,∀t ∈ R) alors g⋆(t) = g(t)

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

6. Produit scalaire2. Les outils mathématiques

.Définition..

......

Le produit scalaire entre deux vecteurs réels u =(ui)1≤i≤n et v = (vi) s’écrit :

< u,v >= ∑i

ui ·vi =< v,u >

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

6. Produit scalaire2. Les outils mathématiques

.Exemple..

......

u =

uxuyuz

e0 =

100

e1 =

010

e2 =

001

Les composantes de u sont indépendantes :

ux = < u,e0 > = ux ∗1+uy ∗0+uz ∗0uy = < u,e1 > = ux ∗0+uy ∗1+uz ∗0uz = < u,e2 > = ux ∗0+uy ∗0+uz ∗1

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

6. Produit scalaire2. Les outils mathématiques

.Définition..

......

(ei) est une base orthonormée :

< e0,e0 >=< e1,e1 >=< e2,e2 >= 1< e0,e1 >=< e0,e2 >=< e1,e2 >= 0

.Définition..

......

La norme à 1 implique que < u,ei > ne fournit que lacomposante de u.

Projection : le produit scalaire < u,ei > projetteu sur l’axe associé à ei.

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

6. Produit scalaire2. Les outils mathématiques

.Définition..

......

Le produit scalaire entre 2 vecteurs complexes u et v(c-à-d. à composantes complexes) s’écrit :

< u,v >= ∑i

ui ·v⋆i avec v⋆i le conjugué de v

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

6. Produit scalaire2. Les outils mathématiques

.Définition..

......

Le produit scalaire de 2 fonctions complexes f et gs’écrit :

< f,g >=∫ +∞

−∞f(t) ·g⋆(t)dt

.Définition..

......

Si f et g sont des fonctions réelles (g⋆ = g) le produitscalaire s’écrit :

< f,g >=∫ +∞

−∞f(t) ·g(t)dt

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

7. Exponentielles complexes2. Les outils mathématiques

.Définition..

......

eiΘ = cos(Θ)+ isin(Θ) est de période 2π.Il en suit que :

cos(Θ) =12(eiΘ+e−iΘ)

sin(Θ) =12(eiΘ−e−iΘ)

e−iΘ = cos(−Θ)+ i sin(−Θ)= cos(Θ)− i sin(Θ)

.Note..

......

cos est une fonction paire et sin une fonction impaire.

f est une fonction paire si f(−t) = f(t)f est une fonction impaire si f(−t) =−f(t)

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

7. Exponentielles complexes2. Les outils mathématiques

.Théorème..

......

La base des exponentielles complexes définie sur ω

{einω}n∈Z

est une base orthonormée :

< ein1ω ,ein2ω >= δ (n1 −n2) =

{1 si n1 = n20 sinon

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5. Nombres etfonctionscomplexes

6. Produit scalaire

7. Exponentiellescomplexes

7. Exponentielles complexes2. Les outils mathématiques

.Preuve..

......

< ein1ω ,ein2ω >

=1

2π

∫ +π

−πein1ω e−in2ω dω

=1

2π

∫ +π

−πei(n1−n2)ω dω

=

1

2π

∫ +π

−πe0dω si n1 = n2

12π

∫ +π

−πeinω dω sinon n = (n1 −n2) ̸= 0

=

2π2π

12π

[einω

in

]+π

−π

=

1

sin(nπ)nπ

= 0