transmittance complexe - fonction de transfert

Transmittance complexeFonction de transfertEnseignement d’électronique de Première AnnéeIUT de l’IndreEric PERONNIN

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QuadripôlesDéfinition Circuit électrique possédant deux bornes d’entrée et

deux bornes de sortie. Il est dit linéaire s’il ne comporte que des éléments

linéaires. Il est dit passif s’il ne comporte que des composants

passifs (résistance, inductance, capacité).Représentation

V1 et I1 sont aussi notés Ve et Ie (idem (V2,I2) <=> (Vs,Is) )

2

QV

I I

2V

2

1Quadripôle

1

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Transmittance complexeDéfinition C’est le rapport, en notation complexe, qui existe entre la

tension en sortie du quadripôle et la tension en entrée de ce quadripôle.

Mathématiquement :

Note : ce calcul s’effectue en régime harmonique donc en

utilisant les impédances complexes des éléments du circuit

– pour une inductance :

– pour une capacité :

3

1 QV2

QuadripôleV

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Gain et déphasageGain Il exprime le rapport de l’amplitude du signal de sortie

sur l’amplitude du signal d’entrée en décibel (dB)

Déphasage Il exprime le décalage angulaire (en degré ou radian) sur

un diagramme de Fresnel entre les signaux d’entrée et de sortie

4

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Diagramme de BodeDéfinition : C’est la représentation graphique de G(w) et de j(w)

sur un diagramme semi-logarithmique :

5

Fréquence en Hz ou pulsation en rad/s

Gain

en

dB o

u dé

paha

sage

(deg

ré o

u ra

dian

)

1 décade

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1 2V V

R

C

I

Application : circuit RCTransmittance complexe :

Calcul de T(jw) : loi des mailles : et loi d’Ohm : élimination de I : finalement :

– où est la pulsation de coupure du circuit

– on note également la constante de temps du circuit .

6

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202

00

0

1log21201log2001log201log.20

11log20log20

wwwwww

wwww

j

jjTG

1 2V V

R

C

I

Application : circuit RCGain et déphasage : Rappel :

Gain :

– soit : Déphasage :

– soit :

7

RC

oùj

jT 11

10

0

www

w

010

0

tan01arg1arg

11argarg

wwww

wwwwj

j

jjT

01tan wwwj

201log10 www G

www.geii.eu 8

10 100 1000 10000 100000 1000000

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Fréquence

Gai

n(dB

) -

Déph

asag

e (d

egré

)

Gain asympto-tiqueGain

réelDéphasage réel

Déphasage asympto-tique

Application : circuit RCDiagramme de Bode :

8

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0

2

0

log201log10ww

wwwjT

Diagramme asymptotiqueJustification du diagramme de Bode asymptotique : Soit : le repère (X,Y) est alors un repère

cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain.

Cas de l’amplitude pour : L’atténuation étant faible, on l’assimile à une

constante égale au gain en 0, ici 0 dB, d’où une asymptote horizontale à Y=0 pour

Cas de l’amplitude pour soit

c’est une droite passant par Y=0dB en w =w0 et possédant une pente de -20dB par décade = asymptote oblique. 9

ww

GYX log

0ww

0ww

0ww 0ww

02020 XXY

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Transmittance complexe généraliséeSous une forme factorisée, elle s’écrit :

– les w1i et w2i sont les pulsations de coupure des termes du premier ordre

– les w3i et w3i sont les pulsations naturelles des termes du second ordre– les m3i et m4i sont les coefficients d’amortissement des termes du

second ordre– K est un gain (dit « gain statique » lorsque u = 0)

10

4

3

2

1

1

2

444

1

2

333

1 2

1 1

21

21

1

1

n

i iii

n

i iii

n

i i

n

i iu

jjm

jjm

j

j

jKjT

ww

ww

ww

ww

wwww

ww

www.geii.eu 11

GainGain

Note : si alors et si alorsDéphasage

Diagramme de Bode

11

KjT w

0log200log20

log20KsiKKsiK

KG w

1K 1K 0wG 0wG

000

argKsiKsi

K

wj

0dB w0 w

wG 1K

1K

0 w0 w

wj0K

0K

-

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Dérivateur Gain

Note : Déphasage

Diagramme de Bode

12

00

log20log20ww

www jG

00 wG

2

arg0

wwwj

j

0dB w0/10 w0 10w0 w

wG wj/2

-20dB

20dB

0 w0/10 w0 10w0 wPente à +20dB/décade

0www jjT

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DérivateurJustification du diagramme de Bode Soit :

Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain

Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit :» où X0 correspond avec w0

C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0 avec une pente de +20dB par décade (Y augmente de 20dB pour un accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade)

13

ww

GYX log

02020 XXY

0www jjT

www.geii.eu 14

Filtre passe-bas d’ordre 1 01

1ww

wj

jT

Transmittance complexe du passe-bas

Gain

DéphasageDiagramme de Bode

14

2

0

0

1log101

1log20ww

ww

wj

G dBG 30 w

0

1

0

tan1argww

wwwj j

dBG 00

40wj

0dB w0/10 w0 10w0 w

wG wj

/2-20dB -20dB

0 w0/10 w0 10w0 w

Pente à -20dB/décade

coupuredepulsationoù 0w

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Filtre passe-bas d’ordre 1Réponse temporelle à 1 échelon de tension : Définition de Ve :

Obtention de l’équation temporelle à partir de la transmittance complexe :

Multiplier par revient à dériver par rapport au temps :

On retrouve une équation différentielle du premier ordre et donc : 15

000tcEtV

ttVte

e

e

e

sses

e

s VVjVVjVjjV

jV

000

11

1w

www

wwww

EtvdttdvtvVVjV e

sse

ss

00

1ww

w

ts eEtv 01 w

wj

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Filtre passe-bas d’ordre 1 En vert, l’entrée avec E = 5v En rouge, le signal de sortie (constante de temps =

1s)

16

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VsVe C

R

RVe

L

Vs

Filtre passe-bas d’ordre 1Réalisations passives : Cricuit RC :

Circuit LR :

Réalisation active :

+

-

3

2

6

Ve

R

Vs1

C

R

CR

oùj

jT

1

11

00

www

w

LRoù

jjT

0

011 www

w

CR

oùj

jT

1

11

00

www

w

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0wwjx

Filtre passe-bas d’ordre 2Transmittance complexe du passe-bas d’ordre 2 (ou second ordre) :

w0 est la pulsation naturelle du filtre m est le coefficient d’amortissement (m>0 au

dénominateur) Factorisation du dénominateur : Possible dans certains cas : Posons : et factorisons On trouve aisément que c’est possible si et on

a alors :

où 18

221)( xmxxD

1m

21

11

1

ww

ww

wjj

jT 1202,1 mmww

2120 www

www.geii.eu 19

2

2;0m2

0 21 mr ww

Filtre passe-bas d’ordre 2En l’absence de possibilité de factorisation donc lorsque Gain :

Remarque : on montre que pour , le gain présente un maximum en appelée pulsation de résonnance.

Déphasage :

le calcul s’établit pour assurer la continuité du déphasage : 19

1m

2

0

22

02

00

21log20

21

1log20ww

ww

ww

ww

w m

jjm

G

wwww

ww

wwwj kmjjm

20

012

00 12tan21arg

00 10 wwww pourketpourk

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Filtre passe-bas d’ordre 2Diagramme de Bode asymptotique

20

0dB w0/10 w0 10w0 w

wG wj

-40dB -40dB

0 w0/10 w0 10w0 wPente à -40dB/décade

0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w

wG wj

-20dB -20dBPente à -40dB/décade

Pente à -20dB/décade /2

0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w

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Filtre passe-bas d’ordre 2Diagramme de Bode : l’amplitude (tracé pour fo=1Hz)

21

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Filtre passe-bas d’ordre 2Diagramme de Bode réel : déphasage Points d’inflexion : 2 de part et d’autre d’ lorsque 1 double en

lorsque Points spécifiques :

22

180lim

9000

0

wjwj

j

w

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Filtre passe-bas d’ordre 2Réponse à un échelon de tension :

Passage du domaine fréquentiel au domaine temporel :

Une multiplication par revient à dériver par rapport à :

d’où l’équation différentielle régissant l’évolution de :

23

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Filtre passe-bas d’ordre 2Résolution de l’équation caractéristique :

2 cas de figure concrets possibles :

24

:2 racines complexes conjuguées :

avecet

:2 racines réelles distinctes :

où

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Filtre passe-bas d’ordre 2Solution pour :

Constantes d’intégration : Conditions initiales (exemple) :

Solution pour :

Constantes d’intégration : Conditions initiales (exemple) :

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Filtre passe-bas d’ordre 2Tracé de la réponse à un échelon

26

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Filtre passe-bas d’ordre 2Réalisation passive : Exemples de réalisations

actives : Cellule Sallen & Key :

Cellule de Rauch :

VsVe C

LR

+

-

3

2

6C1

Ve

Vs

R1

C2

R2

Vs

R2

R1

C5

C4 +

-

3

2

6

R3

Ve

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Inverse d’une transmittanceLe diagramme de 1/T(jw) s’obtient facilement à partir du diagramme de T(jw) en changeant les signes du gain et du déphasage :

Exemple :

28

wjwjww

wwGG

jTjT 1

0dB w0 w

wG wjT

wjT 1

0 w0 w

wj

wG

wjT 1

wj wjT

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Rappel pourGain :

Déphasage :

Diagramme de Bode :

29

2

0

0

1log101

1log20ww

ww

wj

G dBG 30 w

0

1

0

tan1argww

wwwj j

dBG 00

40wj

0dB w0/10 w0 10w0 w

wG wj

/2-20dB -20dB

0 w0/10 w0 10w0 wPente à -20dB/décade

www.geii.eu 30

Application pourGain :

Déphasage :

Diagramme de Bode :

30

2

0

2

0

1log101log10www

www GG

0

1

0

1 tantanwwwj

wwwj

0dB w0/10 w0 10w0 w

wG wj

/2-20dB -20dB

0 w0/10 w0 10w0 wPente à 20dB/décade

/2

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Produit de transmittancesLe diagramme de Bode du produit de deux transmittances complexes s’obtient en faisant la somme des diagrammes de Bode de chacune des transmittances Soit :

Soit G1 et j1 le gain et déphasage de T1(jw)

Soit G2 et j2 le gain et déphasage de T2(jw) On a donc :

31

wjwjwjwww

21

21 GGG

www jTjTjT 21

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Exemple : K>1Gain :

32

2

2

2

1

1log101log10log20ww

www KG

-20dB

Pente à -20dB/décade

Pente à -40dB/décade

0dB w1/10 w1 w2 10w2 w

K

2

1

1

wwj

1

1

1

wwj

wG

www.geii.eu 33

Exemple : K>1Déphasage :

33

21

11ww

www jjKjT

wj

-/2

0 w1/10 w1 w2 10w2 w

K

2

1

1

wwj

- 1

1

1

wwj

2

1

1

1 tantan0ww

wwwj

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Domaine de LaplaceL’étude d ’un quadripôle en régime harmonique se fait avec la transmittance complexe. Pour des études plus complexes, on recherche la fonction de transfert de Q on la note H(p)=V2(p)/V1(p)

Pour déterminer H(p), on utilise les impédances complexes généralisées pour la résistance : R(p) = R pour la capacité : C(p) = 1/Cp pour l’inductance : L(p) = Lp

– Remarque : p, variable de Laplace, est un complexe

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Domaine de LaplaceRemarques : Pour passer du domaine de Laplace au régime

harmonique, on prend p = jw. On peut aussi, sous certaines conditions, passer du

domaine temporel au domaine de Laplace par le biais d’une transformation dite « Transformation de Laplace » (l’inversion est aussi possible, cf. mathématiques 2ième d’année).

Intérêts en électronique : Légère simplification d’écriture (p au lieu de jw). Déterminer plus facilement les réponses à des

signaux assez complexes.

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