td2 - analyse vectorielle

Universite Antonine Semestre-2Annee 2013-2014

Feuille 2Champs scalaires et champs vectoriels

Exercice 1. Pour les fonctions suivantes, determiner, si cela a un sens, divergence, rota-tionnel, gradient.

1. f(x, y, z) = x2 + 3xy

2. f(x, y, z) = (2x, 3y, 4z)

3. f(x, y, z) = (3x2 + yz, x2 + yzcosx, 3)

4. f(x, y, z) = (2x2 + 5z, ez, xy)

5. f(x, y, z) = (x2 + zx, yz, 3 + sin(xy + z2))

Exercice 2. Calculer au point (1, 1), la differentielle totale de la fonction definie par

f(x, y) = (xy)xy

Exercice 3. Soitf : R+]1, +[ R

(x, y) 7 logyx1. Calculer la differentielle totale de f en un point quelconque du domaine de celle-ci.

2. Determiner tous les points (x, y) dom f en lesquels df est(a) De la forme P (x, y)dx.

(b) De la forme Q(x, y)dy.

Exercice 4. Soit la forme differentielle

w(x, y) =x y

xdx + dy

1. Montrer que w nest pas fermee.

2. Montrer quil existe une fonction f(x) appelee facteur integrant telle quew1(x, y) = f(x)w(x, y) soit fermee.

3. La forme w1 est-elle exacte ? Si oui trouver les primitives de w1.

Exercice 5. On considere la forme differentielle w definie par :

w(x, y) = (2xy3 + 1)dx + (3x2y2 2y)dy

1. Demontrer que w est exacte.

2. Determiner toutes les fonctions f telles que w = df.

Exercice 6. Determiner si les champs vectoriels suivants sont des champs de gradients, sioui determiner leurs potentiels scalaires

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1.V (x, y) = (y; x)

2.V (x, y) = (cos x; sin y)

3.V (x, y) = (3x2y + 2x + y3; x3 + 3xy2 2y)

4.V (x, y, z) = (y cos xy; x cos xy + 2yz3; 3y2z2)

Exercice 7. Soit le champ vectorielV definie par :

V = (yz; zf(x) + h(x); yg(x) + h(x))

ou f , g, h sont des fonctions numeriques de classes C1 sur R.1. Determiner la forme generale de ces fonctions pour que

V soit un champ de gradient .

2. Determiner un potentiel scalaire deV .

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