simulation des procédés
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1
OPTIMISATION OPTIMISATION et et
SIMULATIONSIMULATIONdesdes
PROCESSUSPROCESSUS
OPTIMISATION OPTIMISATION et et
SIMULATIONSIMULATIONdesdes
PROCESSUSPROCESSUS
Belkacem OULD BOUAMAMAProfesseur : Ecole Polytechnique de Lille (poltech-lille.fr)
Recherche : Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS - UMR CNRS 8021)
Coordonnées :belkacem.bouamama@univ-lille1.fr
Tel: (33) (0) 3 28 76 73 97 , mobile : (33) (0) 6 60 12 30 20
2
PRESENTATION PRESENTATION DuDu
COURSCOURS
PRESENTATION PRESENTATION DuDu
COURSCOURS
Chap.1/3 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chapitre 1: INTRODUCTION Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de
l'environnementEtapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus
Chap.1/4 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap Chap 22
Chap Chap 22
TRAITEMENT DE DONNEES EXPERIMENTALES D'UN PROCESSUS Méthodes statistiques de modélisation : Définitions & but Modèles de régression Principe des méthodes des moindres carrés (MMC) Régression linéaire multiple Adéquation des modèles et signification des coefficients Vérification des hypothèses de régression Méthodes de corrélation Exemple d'application Estimation récursive MMC avec facteur de pondération Méthode des MC avec fenêtre glissante Exemple d'application
Chap.1/5 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap3: OPTIMISATION DES PROCESSUS TECHNOLOGIQUES Problématique de l'optimisation des processus technologiques Méthodes analytiques d'optimisation Programmation linéaire
APPLICTION : TD de 4h : utilisation du logiciel Matlab pour la simulation d'un
problème d'optimisation d'un processus chimique en vue de minimiser le taux de pollution
6
CHAP1CHAP1CHAP1CHAP1
INTRODUCTION
Chap.1/7 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap1 : Chap1 : IntroductionIntroduction
Chap1 : Chap1 : IntroductionIntroduction
Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus
Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement
Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus
Chap.1/8 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Importance & objectifs des modèles Importance & objectifs des modèles statistiquesstatistiques
Importance & objectifs des modèles Importance & objectifs des modèles statistiquesstatistiques
Caractère stochastique de la majorité des phénomènes; " L'intelligence des statistiques sera un jour une
compétence aussi indispensable à l'exercice de la citoyenneté que la lecture ou
l'écriture". (H.G.Wells).
ObjectifsFournir des lois, de nature "statistique", là où il n'est pas
possible d'en fournir qui soient de nature certaine ou déterministe.
ApplicationsSondage, prévision, contrôle des processus indust. Lois empiriques
Chap.1/9 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
ModélisatioModélisation ?n ?
ModélisatioModélisation ?n ?
Définitions Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du
modélisateur Modèle jamais "exact"?
Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % d’un projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation
Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).
Chap.1/10 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Un modèle comment Un modèle comment faire ?faire ?
Un modèle comment Un modèle comment faire ?faire ?
1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse.
2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation.
Chap.1/11 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Classification des Classification des modèlesmodèles
Classification des Classification des modèlesmodèles
selon le caractère des régimes de fonctionnement statique et dynamique
selon la description mathématique linéaire, non linéaire
selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués
selon l’évolution des paramètres : stochastique , déterministe
selon le nombre de variables : monovariable (SISO) , multivariable (MIMO)
Chap.1/12 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION Étapes de Étapes de
modélisationmodélisationÉtapes de Étapes de
modélisationmodélisation
PROCESSUS PHYSIQUE
Acquisition de données
SIMULATION, MONITORING, CONTROL...
Amélioration du modèle
NON
Etablissement du schéma de principe
Représentation par bloc
Mise en équation
Modèle adéquat ?
Calcul erreur de modélisation
OUI
PROCESSUS PHYSIQUEPROCESSUS PHYSIQUE
Acquisition de données
SIMULATION, MONITORING, CONTROL...
Amélioration du modèle
NON
Etablissement du schéma de principe
Représentation par bloc
Mise en équation
Modèle adéquat ?
Modèle adéquat ?
Calcul erreur de modélisation
OUI
13
Chapitre 3Chapitre 3Chapitre 3Chapitre 3
OPTIMISATION
Chap.3/14 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
INTRODUCTION
OPTIMISATION : Obtention d'un meilleur résultat sous
quelques conditions.
Critère d'optimalité : Fonction économique ou de but.
Représentation quantitative du but d'optimisation. Importance du modèle mathématique.
Formes de la f-n de but (Algébrique, diff-elles..)
CONTRAINTES (Restrictions) : Limitations des ressources
disponibles.
EXEMPLES : Maximum de profit avec ressources limitées etc..
Chap.3/15 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
CONDITIONS CONDITIONS D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION
CONDITIONS CONDITIONS D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION
Optimisation d'une seule grandeur : Impossible de maximiser le profit avec minimum de ressources .Degré de liberté suffisant du système a optimiser Ressources suffisantes pour satisfaire le but d'optimisation.
EVALUATION QUANTITATIVE DE LA QUALITE D'OPTIMISATION Formulation mathématique du critère;Comparer les effets des différentes actions de commande.
Chap.3/16 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
METHODES METHODES D'OPTIMISATION D'OPTIMISATION
METHODES METHODES D'OPTIMISATION D'OPTIMISATION
METHODES ANALYTIQUES Utilisent les méthodes classiques de l'analyse mathématique
(Extremum d'une f-n) Utilisées dans le cas d'un critère d'optimalité d'expression
simple; Emploi limité : Difficultés avec apparition de contraintes et
plusieurs variables. METHODES DU CALCUL VARIATIONNEL
Critère est sous forme de fonctionnelle ou dont la solution est une fonction inconnue;
Utilisées pour l'optimisation statique des systèmes à paramètres distribués ou dans la programmation dynamique;
Permettent de résoudre le problème optimale en intégrant le système d'équations différentielles;
Résolution en présence de contraintes type égalité ou inégalité.
Chap.3/17 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
METHODES METHODES D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION
METHODES METHODES D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION
PROGRAMMATION DYNAMIQUE Résolution des problèmes d'optimisation de processus
discontinus; Critère d'optimalité est le résultat de la somme de plusieurs
critères de chaque stade; La méthode se présente sous forme d'un algorithme pour la
détermination d'une stratégie de commande optimale de tous les stades du processus en tenant compte de toutes les contraintes;
PRINCIPE DU MAXIMUM Utilisés pour les problèmes décrits par des systèmes
d'équations différentielles; La solution optimale est la résolution des équations
différentielles décrivant le processus et celui des contraintes pour des conditions aux limites représentant le domaine de l'intervalle d'intégration.
Chap.3/18 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
METHODES METHODES D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION
METHODES METHODES D'OPTIMISATIOND'OPTIMISATION
PROGRAMMATION NON LINEAIRE Pour la résolution de problèmes ayant une fonction but non
linéaire; Contraintes peuvent aussi être non linéaires sous forme
égalité ou inégalité; Utilisées en pratique lorsque le problème ne peut être
résolu par d'autres méthodes; Plusieurs algorithmes numériques existent pour la
résolution de ce type de problème; Méthode indirecte : L'action de la recherche de l'optimum
(direction et module) dépend des informations précédentes recueillies sur le calcul du critère
Chap.3/19 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
DÉFINITIONMéthode de recherche de l'extremum du critère d'optimalité dans
les problèmes dont les équations sont linéaires.
FORMULATION MATHEMATIQUE Fonction économique : Elle associe linéairement les quantités de
facteurs utilisés et les profits unitaires correspondants
Contraintes : La manière dont les facteurs peuvent être combinés pour utiliser les ressources et générer un résultat au travers de F
facteur. iémei du (Coût) Marge:facteur; iémei du Quantités::
...2211
ii
nn
CXAvec
XCXCXCF
0...,,: plus en 21
...2211ou
...2211
nXXX
BnXnaXaXa
BnXnaXaXa ai : Nombre d'heures de travail nécessaires pour fabriquer une unité du produit i;B : Total des heures disponibles pour la fabrication des n produits.
PROGRAMMATION LINEAIRE PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)(PL)
PROGRAMMATION LINEAIRE PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)(PL)
Chap.3/20 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Problématique de Problématique de la PLla PL
Problématique de Problématique de la PLla PL
But :Optimiser les résultats économiques tout en tenant compte
strictement des contraintes
.)(et
.)(.
:quetel
... Déterminer 21
BXa
MinMaxXCF
XXXX
ii
ii
n
Chap.3/21 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Niveaux d'appréhension de Niveaux d'appréhension de la PLla PL
Niveaux d'appréhension de Niveaux d'appréhension de la PLla PL
FONCTION ÉCONOMIQUE
FORME DES CONTRAINTES
NIVEAU DES RESSOURCES
La f-n économique peut-elle être modifiée pour une meilleure utilisation des ressources : modifier les prix, les marges…
Le desserrement des contraintes par un accroissement des ressources permet-il d'améliorer la f-n économique d'un montant supérieur aux ressources engagés ? …
Peut-on améliorer la solution du probléme en modifiant la structure des contraintes Modification de technologie ou de produits fabriqués?.
Chap.3/22 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
RESOLUTION D’UN RESOLUTION D’UN PROBLEME PLPROBLEME PL
RESOLUTION D’UN RESOLUTION D’UN PROBLEME PLPROBLEME PL
1. METHODE GRAPHIQUELorsque le nombre de variables est limité (< à 2), il est possible de
résoudre un problème d'optimisation linéaire graphiquement
EXEMPLE Une société fabrique 2 produits P1 et P2. Il faut leur faire subir des
opérations dans 3 ateliers différents où ils doivent être progressivement montés.
Soit A1, A2 et A3 les 3 ateliers : Estampage, reprise et Assemblage.Les profits unitaires réalisés sur les produits P1 et P2 sont
respectivement 15 F et 12,5 F.
Chap.3/23 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Méthode graphique de Méthode graphique de la PLla PL
Méthode graphique de Méthode graphique de la PLla PL
Capacités d'usinage (en nbre de pièces)
Les pourcentages (% du temps d'occupation disponible) des capacités totales utilisées pour chaque fabrication unitaire sont :
(Calculés : pour estampage : 100/25000 = 0.004 % de la capacité totale pour chaque unité)
Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2
Produit P1 25 000 33 333 22 500 -
Produit P2 35 000 16 667 - 15 000
Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2
Produit P1 0,004 0,003 0,0044 0
Produit P2 0,00286 0,006 0 0,00667
Capacité unitaire tot. utilisé [%]
100 100 100 100
Chap.3/24 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Méthode graphique de Méthode graphique de la PLla PL
Méthode graphique de Méthode graphique de la PLla PL
Question : Quantité de produits P1 et P2 à produire de telle sorte que :
Le profit soit maximal; Tout en respecter les limitations de capacité de production
1. Formulation mathématique Soit X1 et X2 les quantités des produits P1 et P2 à produire
Fonction de profit : Contraintes (Limitation des capacités de production) :
.5,1215 21 MaxXXF
0,,
P2 Asemblage : 10000667,00
P1 Asemblage : 10000044,0
reprise : 1000060,0003,0
Estampage : 10000286,0004,0
321
21
21
21
21
XXX
XX
XX
XX
XX
Chap.3/25 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
2. RESOLUTION GEOMETRIQUE2. RESOLUTION GEOMETRIQUE2. RESOLUTION GEOMETRIQUE2. RESOLUTION GEOMETRIQUE
On trace sur le plan OX1 et OX2 trace les droites :
10000667,00)....4(
10000044,0)...3(
1000060,0003,0)....2(
10000286,0004,0)....1(
21
21
21
21
XX
XX
XX
XX
x1 0 0 0
X 1
X 2
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
35
30
20
25
15
10
5
E stam page
A ssem blage P 1
R epr ise
M
N
P
QR
F O P T IM A L
d
(1 )
(2 )
(3 )
(4 )A ssem blage P 2
(S a tu ra tio n )
(N o n sa tu ra tio n )
(S a tu ra tio n )
(N o n sa tu ra tio n )
Les valeurs des var. X1 et X2 au dessous des droites (1), (2) et (4),
et à gauche de (3);
X1 et X2 ne peuvent être < 0 car ce serait un non-sens du point de vue économique ;
Toute solution doit se trouver dans la zone
ombrée
Chap.3/26 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Méthodologie : On déplace parallèlement à elle même la droite F jusqu'au point extrême P, où la droite F cesse d'avoir un point commun avec le domaine du polyèdre OMNPQR, formé par le plan associé aux contraintes en ce point
x1 0 0 0
X 1
X 2
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
35
30
20
25
15
10
5
E stam page
A ssem blage P 1
R epr ise
M
N
P
QR
F O P T IM A L
d
(1 )
(2 )
(3 )
(4 )A ssem blage P 2
(S a tu ra tio n )
(N o n sa tu ra tio n )
(S a tu ra tio n )
(N o n sa tu ra tio n )
Point optimal P X1opt=20363X2opt=6485Fmax=159271 FF
Chap.3/27 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
ANALYSE DES RESULTATS En ce point P les capacités limites ne sont pas toutes atteintes :
En produisant 20363 produits de P1 et 6485 de P2, le profit sera optimal, les capacités d'estampage et de reprise seront saturées tandis que celles d'assemblage ne le seront pas.
Propositions : Diminuer la capacité d'assemblage de P2 (si c'est possible) ce qui
diminuera le prix de revient donc augmenter le profit. Augmenter le profit en variant le profit unitaire correspondant à chacune
des fabrication (ceci se traduit par une plus grande inclinaison de F sur la figure).
saturationNon 25,43648500667,0
saturationNon 60,89203630044,0
Saturation10064850060,020363003,0
Saturation100648500286,020363004,0
Chap.3/28 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
LIMITES DE LA SOLUTION GRAPHIQUE Si nombre de variables > 3 problème de représentation Si par ex. n=15 et m (nombre de contraintes) =10, la
méthode graphique conduit à plus de 3 millions de points d'intersection.
Chap.3/29 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
ALGORITHME DU ALGORITHME DU SIMPLEXESIMPLEXE
ALGORITHME DU ALGORITHME DU SIMPLEXESIMPLEXE
Méthode dite simpliciale ou méthode du simplexe, élaborée par George Dantzig (USA). Utilise la procédure employée par le graphe :
On évalue les performances de chaque sommet du polyèdre délimité par les contraintes en n dimensions : La sol. opt. est acquise lorsque aucune modification ne permet d'améliorer la valeur de la fonction économique.
Chap.3/30 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
EXEMPLEUne entreprise peut fabriquer sur une seule machine fonctionnant
45h/semaine 3 produits P1,P2,P3.Les profits nets sont respectivement : 4F, 12F et 3F. Rendement de la machine (Nbre d'article/h) : 50 P1/h, 25 P2/h, 75
P3/h. Possibilités de ventes : 100 P1, 500 P2, 1500 P3.
Question : Répartir la capacité de production entre les 3 produits pour
maximiser le profit
Chap.3/31 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
FORMULATION MATHEMATIQUE X1, X2 et X3 : Quantité des produits à P1, P2 et P3
F : La fonction économique
Variables d'écart (V.E.) : X4, X5 , X6 et X7 Elles permettent de transformer les inégalités en égalités afin de prendre en compte la
saturation d'une contrainte (V.E. = 0) ou la non saturation (V.E. > 0). V.E. = La différence entre les valeurs des 1er et 2-éme membres des 3 inéquations
675026345752550
15000
5000
1000X0
:sContrainte
.3124
321321
3
2
1
321
XXXXXX
X
X
MaxXXXF
Chap.3/32 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
MISE EN EQUATION AVEC LES V.E
FORME MATRICIELLE
6750263
1500
500
1000X
7321
63
52
41
XXXX
XX
XX
X
(7) (6) (5) (4) (3) (2) (1)
6750
1500
500
1000
1000263
0100100
0010010
0001001
7
6
5
4
3
2
1
X
X
X
X
X
X
X
.base hors Variables:,,
;BASE de Variables:,,,
321
7654
XXX
XXXX
Chap.3/33 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
INITIALISATION Solution évidente mais sans intérêt :
Sens : Profit nul (Valable lors de a fermeture annuelle pour congé payé)
Cette solution donne le sommet 0 du polyèdre.
Passons de ce sommet initial à un sommet voisin, en augmentant la valeur de F, si possible.
6750,1500,500,1000:
0
7654
321
XXXXAlors
XXX
Chap.3/34 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
FORMULES DE CHANGEMENT DE COORDONNEES
X i
j
S o lu tion
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0In dice
V .E . C i(C oû t base )
X j
C C oeffic ien ts de F
F = 0
4 12 3 0 0 0 0 0 0 0 1000 500 1500 6750
C oû ts m arg in au x 4 12 3 0 0 0 0 j
Colonne j=2, ligne i=5
Chap.3/35 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
COUTS MARGINAUX j : Coefficients de la fonction économique
Sortie d'un vecteur Ai de la base et entree d'un vecteur Aj dand la base : Xij ➽ "PIVOT". (Intersection ligne i et colonne j)
CRITERES DE DANTZIG Pour déterminer la colonne Aj qui doit ENTRER dans la base, on
sélectionne celle qui compte le coût marginal le PLUS GRAND. (Pour améliorer la solution initial, il est judicieux de faire d'abord entrer dans
cette solution la variable qui apporte la marge la plus grande.)
.3,12,43124 321321 XXXF
colonneémejgrand 2)2(122
Chap.3/36 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Pour déterminer la colonne Ai qui doit SORTIR de la base, on choisit celle d'indice i telle que
La colonne i=5 va sortir de la base car x5 /x52 est le plus petit. Alors : La colonne i=5 va sortir de la base (i=5); La colonne j=2 va entrer dans la base (déjà choisi celle qui compte le coût marginal
le plus grand j=2); L'élément X52 est le pivot de la transformation (ici X52 =1)
X2 va entrer dans la base; Nouvelle base (4), (2),(6),(7).
positifsceux parmi PETIT PLUS leSoit ij
i
X
X
6
3750,
0
1500,
1
500,
0
1000)7,6,5,4(
2;
3750
1500
500
1000
,
6
0
1
0
212=max iXi
XXXj iiijj
Voir tableau : i=ligne n°5, j=2 colonne
Chap.3/37 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
ETAPE 1 : i = 5, j = 2TABLEAU N° 1 : Nouvelle base (4,2,6,7)
X i
j
S o lu tion
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0In dice
V .E . C i(C oû t base )
X j
C C oeffic ien ts de F
C oû ts m arg in au xj
X 2 en tre d a n s la b a se
4 12 3 0 0 0 0 0 500 0 1000 0 1500 3750
4 0 3 0 -12 0 0 F = 6000
Chap.3/38 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Comment calculer les nouvelles valeurs du tableau ? On se base sur le tableau initial tel présenté plus haut
Nouvelle valeur de la fonction economique F‘
F (ancienne valeur de la f-n économique) = 0; j (coût marginal maximal) = 12
Alors : F' = 0+(500/1).12 = 6000
jij
i
X
XFF .
125005 255 XXjXXi iji
Chap.3/39 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Valeur de l'élément de la ligne K dans la colonne A0
iKsiX
XX
iKsiX
XXXX
ij
ii
ij
iKJKK
.
).(37501
500.66750.
);(15001
500.01500.
);(500.
);(10001
500.01000.
52
57277
52
56266
52
55
52
54244
iKX
XXXX
iKX
XXXX
iKX
XX
iKX
XXXX
Chap.3/40 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Valeur de l'element de la ligne K dans la colonne Al
iKsiX
XX
iKsiX
XXXX
ij
ilil
ij
ilKJKlKl
.
);(61
1..60.
7,5
.
.
);(31
0.03.
.
.
);(01
0.
);(11
0.01.
:)0=X=car inchangés(Eléments1l1Colonne
52
55727575
.75
52
51727171
52
5151
52
51424141
51
iKX
XXXX
XElémentLigneColonne
iKX
XXXX
iKX
XX
iKX
XXXX
X il
Chap.3/41 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Nouvelles valeurs des coûts marginaux j
jKsi
jKsiX
X
j
ij
iKjKK
0
.
).(01
0.120.
);(01
0.120.
);(121
1.120.
);(01
0.120.
);(31
0.123.
);(0
);(41
0.124.
:Alors
.valeurncienne
.)7...3,2,1(;5;12max2
52
57277
52
56266
52
55255
52
54244
52
53233
2
52
51211
2
jKX
X
jKX
X
jKX
X
jKX
X
jKX
X
jK
jKX
X
A
colonneNKij
K
j
Chap.3/42 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
l'optimum est atteint lorsque tous les couts marginaux J sont négatifs ou nuls. Car dans ce cas son passage à la base provoquerait une diminution du critère d'optimalité.
ETAPE 2 : i = 4, j = 1 Sur la base du tableau de l'étape 1 on a :
Les coefficients sont calculés comme précédemment et on obtient :
24:41:
43
3750,
0
1500,
1
500,
1
1000:0
14max
jindiceayantColonneiindiceayantLigneXPIVOT
ipetitplusleijX
iX
jj
Chap.3/43 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
TABLEAU N° 2 : Nouvelle base (1,2,6,7)
Xi
j
Solution
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0Indice
V.E. Ci(Coût base)
Xj
C Coefficients de F
Coûts marginauxj
4 12 3 0 0 0 0 1000 500 0 0 0 1500 750
0 0 3 -4 -12 0 0
F = 10000
X1entrebase
Chap.3/44 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
ETAPE 3 : i = 7 , j = 3 Sur la base du tableau de l'étape 2 on a :
.2:
;72
7500
X
X
3;=j3=max.
73
ij
i
XPIVOT
iestpetitplusle
j
Chap.3/45 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
NOUVEAU TABLEAUNouvelle base (1,2,6,3)
Xi
j
Solution
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0Indice
V.E. Ci(Coût base)
Xj
C Coefficients de F
Coûts marginauxj
4 12 3 0 0 0 0 1000 500 375 0 0 1125 0
X3 entredans base
0 0 0 1/2 -3 0 - 3/2
> 0 L'optimum n'est pas atteind
F = 11125
Chap.3/46 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
DERNIERE ETAPE : i = 6, j = 4Sur la base du tableau de l'étape 3 on a :
Les valeurs des éléments X’Kl , X’K ’K et F’ sont calculées sur la base du tableau ci-dessus tel présenté, d'une façon analogue
.23:
;623
11250
X
X ;4=j21=max.
64
ij
i
XXPIVOT
iestpetitplusle
ij
j
Chap.3/47 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
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X i
j
S o lu tion
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0In dice
V .E . C i(C oû t base )
X j
C C oeffic ien ts de F
C oû ts m arg in au xj
< 0 L 'o p tim u m e s t a tte in d
F = 115000 0 0 0 -4 -1 /3 -4 /3
4 12 3 0 0 0 0 250 500 1500 750 0 0 0
FXXXF
XXX
OPTIMALESOLUTION
11500.3.12.4
1500,500,250
:
321
321
Chap.3/48 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
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Commentaires :Saturation de ventes pour les produits P3 et P2 Non-saturation pour le produit P1. La machine est occupé pleinement puisque 3X1+6X2+2X3=
6750h/semaine
Chap.3/49 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
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Programme sous MATLABProgramme sous MATLABProgramme sous MATLABProgramme sous MATLAB
% Introduction de données :Home
r=-[4 12 3]; % on met le signe (-) car on maximise et non minimiseA=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;3 6 2];B=[1000;500;1500;6750];
% Recherche de la solution optimale x=[x1opt x2opt x3opt]
[xopt,FVAL]=LINPROG(r,A,B)
%valeur maximale de la fonction fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2)+3*xopt(3)
50
METHODE DE LAGRANGEMETHODE DE LAGRANGEMETHODE DE LAGRANGEMETHODE DE LAGRANGE
Chap.3/51 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
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ProblématiqProblématiqueue
ProblématiqProblématiqueue
Soit une fonction g(x1, x2, …xn) à trouver un extremumLes variables x1, x2, …xn ne sont pas indépendantes : elles sont
reliées par m relations
Introduisons j(j=1,…m) de nouvelles variables dites Multiplicateurs de Lagrange et formons :
0,...,
.
.
0,...,
0,...,
21
212
211
nm
n
n
xxx
xxx
xxx
0),...(...),...(),...(),...(,...,,... 1122111111 nmmnnnmn xxxxxxxxgxx
CONTRAINTES m<n
Chap.3/52 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Conditions Conditions d’extremumd’extremumConditions Conditions
d’extremumd’extremumConditions d’extremum :
Equations de contraintes
0),...,(
.
.
0),...,(
0),...,(
21
2
21
1
21
n
n
n
n
x
xxx
x
xxx
x
xxx
0,...,
.
.
0,...,
0,...,
21
212
211
nm
n
n
xxx
xxx
xxx
Chap.3/53 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Problème global d’optimisation
Ce système à (n+m) équations permet de déterminer les variables technologiques optimales et les valeurs des m multiplicateurs de Lagrange pour lesquelles la fonction de but est optimale et les contraintes respectées
0,...,
.
.
0,...,
0),...,(
.
.
0),...,(
21
211
21
1
21
nm
n
n
n
n
xxx
xxx
x
xxx
x
xxx
n équations
m équations
Chap.3/54 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
Exemple Exemple d’applicationd’application
Exemple Exemple d’applicationd’application
EXEMPLEDéterminer les dimensions d’un réservoir cylindrique de volume V
donnée, qui possède une surface S minimale.R
h
)2(0V),(V :Contrainte
)1(),(2 :minimiserà Fonction2
12
2
hRhRhR
hRgRhRS
Chap.3/55 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama ,
Polytech’LilleChap3 : OPTIMISATION
SolutioSolutionn
SolutioSolutionn
Formulation mathématique
Développement : méthode de Lagrange
)2(0V),(V :Contrainte
)1(),(2 :minimiserà Fonction2
12
2
hRhRhR
hRgRhRS
)5(02),(
)4(0222),(
optimales Conditions
)3(V2h)(R,
Lagrange deFonction
2
22
RRh
hR
RHhRR
hR
hRRhR
)9(V
22.(2) dans(7)et )8(
)8(4
)5(R
)7(2
R (6),interetd' Pas0,R
Solution
3
2
21
h
3
3
2.2h
2
V
VR
(8)et (7) dans )9(
Résolution du système d’équations
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