signal fsur 1
Post on 26-Jan-2016
224 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Cours electif CET42
Initiation au traitement du signalet applications
Seance 1
Frederic SurEcole des Mines de Nancy
www.loria.fr/∼sur/enseignement/signal/
1/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Qu’est-ce qu’un signal ?
D’apres le Dictionnaire Tresor de la Langue Francaise(atilf.atilf.fr)
Phenomene physique (tension, courant, champelectromagnetique, onde sonore ou lumineuse)transmettant une information.
Restriction dans cette definition ?
2/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemples de signaux
Distinction entre signaux analogiques et signaux numeriques.
Signal analogique Signal numeriquesupport : Rn support : Zn
n=1 onde sonore, EEG, ECG cours boursier
n=2 appareil photo argen-tique, table tracante
APN
n=3 video ? video numerique
(classification sujette a discussion. . .)
Espace d’arrivee : Rm ou Zm
Modelisation : “fonction” de Rn ou Zn dans Rm ou Zm.
3/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
L’exemple du microphone
1 : onde sonore2 : membrane3 : bobine4 : aimant5 : signal electrique
Illustration : wikipedia.org
4/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
L’exemple de l’appareil photo numerique
exemple de reflex numerique capteur
Le “capteur” :1 : filtre passe-bas (anti-aliasing)2 : filtre de Bayer3 : CMOS ou CCD
5/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Le traitement du signal
Traitement du signal
=
ensemble de techniques et outils permettant de transformer,analyser les signaux, d’en extraire de l’information.
6/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Le spectre
Traitement du signal = une idee :signaux approches par des superpositions de “sinusoıdes”.(combinaisons lineaires)
Spectre = ensemble des coeff. de la combinaison lineaire.
Exemple :
signal original 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.5
0
0.5
1
1.5
7/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Le spectre
Traitement du signal = une idee :signaux approches par des superpositions de “sinusoıdes”.(combinaisons lineaires)
Spectre = ensemble des coeff. de la combinaison lineaire.
Exemple :
20 sinusoıdes 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.5
0
0.5
1
1.5
7/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Premieres proprietes “empiriques”
Remarque 1 : signal d’abord approche avec des sinusoıdesbasses-frequences, puis “raffine” avec des sinusoıdeshautes-frequences.−→ les coefficients HF sont petits.(d’autant plus petit que le signal est “regulier”)
Remarque 2 : compacite de la representation.−→ relativement peu de sinusoıdes pour approcher un signal.
8/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemples de problemes du traitement du signal
Operations “simples” sur le spectre
Exemple 1 :
Illustration : wikipedia.org
Exemple 2 :Hautes frequences (aigus) versus basses frequences.
→ Demonstration audio
9/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemples de problemes du traitement du signal
”Restauration”
Exemple 1 : “Deconvolution” – Hubble Space Telescope
Exemple 2 : “Debruitage”
0 1 2 3 4 5 6
−1
−0.5
0
0.5
1
10/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemples de problemes du traitement du signal
CompressionJPEG, JPEG 2000, MP3. . .
9, 093 ko 2, 225 ko 1, 389 ko
11/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemples de problemes du traitement du signal
Conversion signal analogique / signal numeriqueProblemes d’echantillonnage et quantification.
Illustration : wikipedia.org
12/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemples de problemes du traitement du signal
Conversion signal analogique / signal numerique
Exemple : sous-echantillonnage.
512×512 256×256 128×128
13/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Calendrier previsionnel et objectifs du cours
Seance 1 : 27/2/2012. Signaux analogiques et numeriques.
Seance 2 : 5/3/2012. Pratique Matlab. . . TP de prise en
main, ne pas oublier d’apporter un casque audio.
Seance 3 : 12/3/2012. Compression sans perte (theorie del’information). TP restauration.
Seance 4 : 19/3/2012. Compression avec perte (MP3,JPEG). TP compression.
Seance 5 : 26/3/2012. Theorie de l’echantillonnage,numerisation des sons et images. TP echantillonnage.
Seance 6 : 30/4/2012. Analyse temps-frequence,transformee de Fourier a fenetre, introduction auxondelettes. TP temps-frequence.
Seance 7 : 7/5/2012. Analyse temps-frequence. TP & Test.
14/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Evaluation
1 comptes rendus des TP Matlab.−→ a rendre a date fixee.
2 petit test a la derniere seance.
15/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Seance 11 Introduction
Les signauxExemples de problemesObjectifs, evaluation
2 Les filtres (analogiques)Definition et exempleFonction de transfert
3 Signaux analogiquesSignaux trigonometriquesSeries de FourierConvolution
4 Signaux numeriquesTransformee de Fourier DiscreteTransformee de Fourier RapideTransformee de Fourier 2D
5 Conclusion
17/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Notion de filtre (analogique)
Ici y(t) = A(x(t)).
Definition - Systeme invariant
A est dit invariant (ou stationnaire) si ATa = TaAou Ta(x(t)) = x(t − a).
Soient X e.v norme des signaux en entreeet Y e.v. norme des signaux en sortie.
Definition - Filtre
Si A : X → Y est lineaire, continu, et invariant,alors on dit que A est un filtre.
18/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Motivation
La definition est naturelle :
Filtrer deux signaux superposes est equivalent a lesfiltrer separement puis a les superposer
A(x + y) = A(x) + A(y)−→ linearite.
Une faible perturbation sur le signal d’entree entraıneune faible perturbation a la sortie
limε→0
A(x + ε) = A(x)
−→ continuite.
Le comportement reste le meme au cours du temps∀t, A(x(t − τ)) = A(x)(t − τ)
−→ invariance.
19/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Un filtre analogique classique : le filtre RC
entree : Vin = x(t),sortie : Vout = y(t)
Regi par l’equation differentielle : RC y ′ + y = xsoit au sens des distributions D′(R+) : (RCδ′ + δ) ∗ y = x .
D’ou (calcul symbolique de Heaviside, cf cours math 1A) :
Ax(t) = y(t) = (h ∗ x)(t)
avec h(t) = 1RC e−
tRC Y (t). (Y : echelon d’Heaviside)
A : x 7→ y est bien lineaire, invariant et continu.
h est la reponse impulsionnelle (“reponse a un Dirac”).
20/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Fonction de transfert du filtre RC
h(t) = 1RC e−
tRC Y (t)
et : Ax(t) = y(t) = (h ∗ x)(t)
Par transformee de Fourier : y(λ) = H(λ) · x(λ)ou H est la transformee de Fourier de h :
H(λ) =1
1 + iλRC
Cf poly section 1.2.
Definition - Fonction de transfert
λ 7→ H(2πλ) est la fonction de transfert du filtre.
21/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Spectre d’energie du filtre RCH(λ) = 1
1+iλRC et y(λ) = H(λ) · x(λ)
Si le signal est de la forme eλ(t) = e2iπλt alors on remarque :
Aeλ(t) = H(2πλ) · eλ(t).
cf poly section 1.2.
Spectre d’energie (2πRC = 1) → filtre passe-bas.
−3 −2 −1 0 1 2 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
λ
| H (
2π λ
)|2
22/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Fonction de transfert d’un filtre general
Si A est un filtre :
Fonction de transfert (cf poly th. 1 sec.1.1.)
les signaux eλ sont fonctions propres de A, i.e.
∀λ ∈ R, ∃ H(λ), A(eλ) = H(λ)eλ
H est la fonction de transfert du filtre.
(consequence de la stationnarite / linearite des filtres)
Par linearite et continuite de A, si x =∑
cneλ est unesuperposition de signaux trigonometriques, alors
y(t) = Ax(t) =∑
cnA(eλ) =∑
cnH(λ)eλ
→ importance de la decomposition en serietrigonometrique !
23/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Fonction de transfert d’un filtre general
Si A est un filtre :
Fonction de transfert (cf poly th. 1 sec.1.1.)
les signaux eλ sont fonctions propres de A, i.e.
∀λ ∈ R, ∃ H(λ), A(eλ) = H(λ)eλ
H est la fonction de transfert du filtre.
(consequence de la stationnarite / linearite des filtres)
Par linearite et continuite de A, si x =∑
cneλ est unesuperposition de signaux trigonometriques, alors
y(t) = Ax(t) =∑
cnA(eλ) =∑
cnH(λ)eλ
→ importance de la decomposition en serietrigonometrique !
23/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Fonction de transfert d’un filtre general
Si A est un filtre :
Fonction de transfert (cf poly th. 1 sec.1.1.)
les signaux eλ sont fonctions propres de A, i.e.
∀λ ∈ R, ∃ H(λ), A(eλ) = H(λ)eλ
H est la fonction de transfert du filtre.
(consequence de la stationnarite / linearite des filtres)
Par linearite et continuite de A, si x =∑
cneλ est unesuperposition de signaux trigonometriques, alors
y(t) = Ax(t) =∑
cnA(eλ) =∑
cnH(λ)eλ
→ importance de la decomposition en serietrigonometrique !
23/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Seance 11 Introduction
Les signauxExemples de problemesObjectifs, evaluation
2 Les filtres (analogiques)Definition et exempleFonction de transfert
3 Signaux analogiquesSignaux trigonometriquesSeries de FourierConvolution
4 Signaux numeriquesTransformee de Fourier DiscreteTransformee de Fourier RapideTransformee de Fourier 2D
5 Conclusion
24/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Remarque preliminaire
Constat : le monde actuel est numerique(television, photographie, imagerie medicale, baladeur MP3,voix sur IP, . . .)
Question : pourquoi etudier les signaux analogiques ?
1 Les signaux physiques sont analogiques, puis sontnumerises. Quelle est la bonne maniere de numeriser ?
2 Pas de bonne theorie de la regularite discrete (maisproprietes tres importantes en pratique).
25/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Quelques rappelsSoit f periodique, periode a.
Definition
f ∈ L1p(0, a) ssi ||f ||1 =
∫ a0 |f (x)|dx < +∞.
f ∈ L2p(0, a) ssi ||f ||2 =
(∫ a0 |f (x)|2dx
)1/2< +∞.
Inegalite de Schwarz :∫ a
0 |f (x)|dx 6 √a√∫ a
0 |f (x)|2dx
Donc L2p(0, a) ⊂ L1
p(0, a)
Signaux trigonometriques de periode a
Notation : en = e2iπnt/a Remarque : en ∈ L2p(0, a)
Propriete - orthogonalite des en∫ a
0en(t)em(t)dt =
{0 si n 6= ma si n = m
26/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Signaux trigonometriques (1)
-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
p(t) = cos(2πt) + 0.2 sin(10πt)
Definition - Polynome trigo. de degre 6 N et periode a
p(t) =N∑
n=−N
cn
(e2iπt/a
)n=
N∑n=−N
cnen(t).
Autre representation :
p(t) =a0
2+
N∑n=1
an cos(2πnt/a) + bn sin(2πnt/a).
ou an = cn + c−n et bn = i(cn − c−n) (n > 0).
27/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Signaux trigonometriques (2)
Notation : TN e.v. des polynomes trigo. de degre 6 N
Consequence de l’orthogonalite des (en)
TN muni du produit scalaire (p, q) =∫ a
0 p(t)q(t)dt admet la
base orthonormee
(1√a
en
)−N6n6N
Egalite de Parseval pour les polynomes trigonometriques
Theoreme de “Pythagore” pour p ∈ TN :
1
a
∫ a
0|p(t)|2dt =
N∑n=−N
|cn|2
28/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Decomposition d’un signal periodiqueQuestion : peut-on decomposer un signal periodique deperiode a sous la forme
∑cne2iπnt/a ?
Theoreme - approximation dans TNSi f ∈ L2
p(0, a), il existe un unique fN dans TN tel que :||f − fN ||2 = min{||f − p||2, p ∈ TN}.
On a : fN(t) =N∑
n=−N
cne2iπnt/a
ou : cn =1
a
∫ a
0f (t)e−2iπnt/adt.
Demonstration : poly th. 4 sec. 1.3.2.
Definition - Coefficients de Fourier
cn est le n-eme coefficient de Fourier de f ∈ L2p(0, a).
→ coefficient de la composante de frequence |n|/a.
29/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Proprietes des coefficients de Fourier
cn =1
a
∫ a
0f (t)e−2iπnt/adt.
Decalage temporel :f (t) = f (t − t0) ←→ cn(f ) = e−2iπnt0/a cn(f )
Decalage frequentiel :f (t) = e2πin0t/af (t) ←→ cn(f ) = cn−n0(f )
Differentiation :cn(f ′) = 2iπn/a cn(f ) (si f derivable. . .)
Signal reel :Si f est reel alors cn(f ) = c−n(f ).En particulier : (|cn(f )|)n∈Z est pair.
30/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Decroissance des coefficients de Fourier
||f − fN ||22 + aN∑
n=−N
|cn|2 = ||f ||22 (cf dem. “approximation”)
Consequence - Inegalite de Bessel
∀N ∈ N,N∑
n=−N
|cn|2 6 1
a
∫ a
0|f (t)|2dt.
Consequence
Si f ∈ L2p(0, a), alors cn(f )→ 0 quand |n| → +∞.
(en fait vrai pour f ∈ L1p(0, a))
Question 1 : voyez-vous un interet pratique ?Question 2 : fN ne convergerait-elle pas vers f ?
31/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Convergence des series de Fourier
Theoreme
fN converge vers f dans L2p.
Signifie : ||f − fN ||22 =∫ a
0 |f (t)− fN(t)|2dt → 0 (N → +∞).
Consequence - Egalite de Parseval pour f ∈ L2p(0, a)
1
a
∫ a
0|f (t)|2dt =
+∞∑n=−∞
|cn|2
D’ou :
Unicite des coefficients de Fourier
Deux fonctions ayant les memes coefficients de Fourier sontegales (presque partout).
32/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Convergence dans L2 : illustration
Reconstruction avec 10 coefficients.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Remarque : signal periodique.
33/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Convergence dans L2 : illustration
Reconstruction avec 1000 coefficients.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−6
−4
−2
0
2
4
6
8
(cf effet de Gibbs, ringing)
www.jhu.edu/∼signals/fourier2/index.html
33/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Convergence ponctuelle
Theoreme de Dirichlet
Soit f ∈ L1p(0, a) telle que en un point t0, f (t0+), f (t0−),
f ′(t0+) et f ′(t0−) existent.Alors
fN(t0)→ 1
2(f (t0+) + f (t0−)) quand N → +∞.
Cas particulier : f en plus continue en t0.
34/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Convolution des fonctions periodiques
Definition
Soient f , g ∈ L1p(0, a).
Convolution de f et g : f ∗ g(x) =∫ a
0 f (y)g(x − y)dyOn a : f ∗ g ∈ L1
p(0, a).
www.jhu.edu/∼signals/convolve/index.html
Proposition
Si f , g ∈ L2p(0, a) alors f ∗ g est continue 2π-periodique
et cn(f ∗ g) = a cn(f ) · cn(g).
Demonstration : poly prop. 9 sec. 1.4.
Remarque : propriete de regularisation.
Si g ∈ C k , on a meme : f ∗ g ∈ C k et (f ∗ g)(k) = f ∗ g (k).
35/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Regularisation et convolution : exemples (1)
-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-2
-1
0
1
2
3
4
-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-2
-1
0
1
2
3
4
f g f ∗ g
-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-2
-1
0
1
2
3
4
-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.00.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-2
-1
0
1
2
3
4
f g f ∗ g
36/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Regularisation et convolution : exemples (2)
Exemple de convolution par une gaussienne 2D.
image originale σ = 2 σ = 5
37/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Seance 11 Introduction
Les signauxExemples de problemesObjectifs, evaluation
2 Les filtres (analogiques)Definition et exempleFonction de transfert
3 Signaux analogiquesSignaux trigonometriquesSeries de FourierConvolution
4 Signaux numeriquesTransformee de Fourier DiscreteTransformee de Fourier RapideTransformee de Fourier 2D
5 Conclusion
38/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Rappels preliminaires
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)
N−1∑k=0
exp(ikx) =
{N si x = 0 [2π]1−exp(iNx)1−exp(ix) sinon.
Cas particulier : x = 2πm/N (avec m/N /∈ Z)
N−1∑k=0
exp(2iπkm/N) = 0
39/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Signal numerique
Soit f un signal de periode a, connu seulement par sesvaleurs en N points regulierement espaces sur la periode :yk = f (ka/N) (k ∈ Z).
Objectif : calculer une approximation des coef. de Fourier
cn =1
a
∫ a
0f (t)e−2πint/adt
→ Methode des trapezes :
c ′n =1
N
N−1∑k=0
yke−2iπnk/N
Cf poly section 2.1.
Remarque : (c ′n) est une suite periodique, periode N.
40/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La Transformee de Fourier Discrete (1)
Notations :- ωN = e2iπ/N
- Yn =1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN ou n ∈ {0, 1, . . .N − 1}
On a : c ′n = Yn.Approximation du coeff. de frequence 0 : Y0
Approximation du coeff. de frequence 1/a : Y1 et YN−1
Approximation du coeff. de frequence 2/a : Y2 et YN−2
. . .
→ plus haute frequence representee : N/(2a).
Remarque : cas d’un signal reel
YN−l = 1N
∑N−1k=0 ykω
−(N−l)kN = 1
N
∑N−1k=0 ykω
lkN = Yl
41/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La Transformee de Fourier Discrete (2)
Rappel definition : Yn =1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN
Proposition
yn =N−1∑k=0
YkωnkN ou n ∈ {0, 1, . . .N − 1}
Justification :
N−1∑k=0
YkωnkN =
1
N
N−1∑k=0
N−1∑l=0
ylωk(n−l)N
=1
N
N−1∑l=0
yl
N−1∑k=0
ωk(n−l)N
= yn.
42/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La Transformee de Fourier Discrete (3)
Rappel :
Yn =1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN et : yn =
N−1∑k=0
YkωnkN
ou n ∈ {0, 1, . . .N − 1}
Definition - TFD
La suite (Yn) est la Transformee de Fourier Discrete (TFD)de la suite des (yn).
Remarque : si Y = F(y) alors y = N F(Y ).
Attention : definitions des TFD et TFD-I eventuellementinversees dans certains logiciels (Matlab, Scilab).
43/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Proprietes de la TFD
Signal reel : Si y reel alors ∀n, Y−n = Yn et |Y | est pair.
Egalite de Parseval pour les signaux discrets
N−1∑n=0
|yn|2 = NN−1∑n=0
|Yn|2
Convolution discrete (circulaire)
z = x ∗ y ou zn =N−1∑k=0
xkyn−k
Alors : Zn = NXnYn.
www.jhu.edu/∼signals/discreteconv2/index.html
44/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Probleme algorithmique pour le calcul de la TFD
Yn =1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN ou n ∈ {0, 1, . . .N − 1}
Calcul des Y0,Y1, . . .YN−1 : O(N2) operations.
Probleme pratique :1s de son echantillonne a 44.1kHz (qualite CD)→ N = 44100 → N2 = 2.109
→ calcul de la TFD en 2s sur un PC a 1GHz. . .
45/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La Transformee de Fourier Rapide (1)
Yn =1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN = P(ω−n
N ) ou P(X ) =∑N−1
k=0 ykX k .
Hypothese (fondamentale) : N est une puissance de 2
Avec : Q(X ) =∑N/2−1
k=0 y2kX k et R(X ) =∑N/2−1
k=0 y2k+1X k .
On a : Yn = P(ω−nN ) = Q((ω−n
N )2) + ω−nN R((ω−n
N )2).
Donc Yn = Q(ω−nN/2) + ω−n
N R(ω−nN/2).
Remarque 1 : ω−nN/2 = ω
N/2−nN/2 si n > N/2.
Remarque 2 :(
Q(ω−nN/2)
)06n<N/2
et(
R(ω−nN/2)
)06n<N/2
sont des TFD de signaux de taille N/2.
46/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La Transformee de Fourier Rapide (2)
Yn = Q(ω−nN/2) + ω−n
N R(ω−nN/2).
Illustration (N = 8) :
y0
�� ��<<<<<<<<
&&NNNNNNNNNNNNN
))TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT y2
����������
�� ��>>>>>>>>
''OOOOOOOOOOOOOO y4
xxpppppppppppppp
����������
�� ��>>>>>>>> y6
uujjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
wwoooooooooooooo
����������
��
y1
�� ��<<<<<<<<
&&NNNNNNNNNNNNN
))TTTTTTTTTTTTTTTTTTTT y3
����������
�� ��>>>>>>>>
''NNNNNNNNNNNNNN y5
xxpppppppppppppp
����������
�� ��>>>>>>>> y7
uujjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
wwpppppppppppppp
����������
��Q(ω0
4 )
�� ++VVVVVVVVVVVVVV Q(ω−14 )
�� ++VVVVVVVVVVVVVV Q(ω−24 )
�� ++VVVVVVVVVVVVVV Q(ω−34 )
�� ++VVVVVVVVVVVVVV R(ω04 )
�����
sshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh R(ω−14 )
�����
sshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh R(ω−24 )
�����
sshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh R(ω−34 )
�����
sshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
Y0 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7
TFD d’un signal de longueur Nm
deux TFD de signaux de longueur N/2
→ On itere !
47/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La Transformee de Fourier Rapide (3)
TFR ou FFT (Fast Fourier Transform)Cooley-Tuckey 1965 (∼ Gauss 1805).
Yn = Q(ω−nN/2) + ω−n
N R(ω−nN/2).
Nombre d’operations : T (N) = 2T (N/2) + 2NDonc : T (N) = O(N log(N)).(preuve au tableau)
→ Pour le signal d’une seconde echantillonne a 44, 1 kHz,N log(N) = 7.105, calcul en ' 7.10−4 s.
→ Ouvre la porte a la revolution numerique !
48/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemples d’applications
Probleme : et si N n’est pas une puissance de 2 ?
Application 1 : convolution circulaire.
zn =N−1∑k=0
xkyn−k
→ calcul de z en O(N2) operations
En Fourier : Zn = NXnYn
→ calcul en O(N log(N)) operations.
Application 2 : produit de polynomes.
P(X ) =N∑
k=0
akX k et Q(X ) =N∑
k=0
bkX k
Alors P(X )Q(X ) =2N∑k=0
ckX k ou ck =k∑
l=0
albk−l . . .
49/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemple
0 1 2 3 4 5 6−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
un signal periodique
0 100 200 300 400 500 6000
50
100
150
200
250
300
350
0 100 200 300 400 500 600
10−1
100
101
102
son spectre . . .en echelle log
−→ symetrie du spectre, decroissance des coefficients.−→ Deux pics = deux composantes periodiques. (cf TP.)
50/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La transformee de Fourier 2D (1)
Soit (xn,m) 0 6 n < N0 6 m < N
un signal discret 2D.
Definition - Transformee de Fourier Discrete 2D
Xn,m =1
N2
N−1∑k=0
N−1∑l=0
xk,lω−mkN ω−nl
N
ou 0 6 m < N, 0 6 m < N.
Toutes les proprietes precedentes restent valables.
Remarque : Xn,m =1
N
N−1∑k=0
(1
N
N−1∑l=0
xk,lω−nlN
)ω−mk
N
→ le calcul des Xn,m revient au calcul de 2N TFD-1D.
Complexite algorithmique de la FFT-2D : O(N2 log(N)).
51/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La transformee de Fourier 2D (2)
Attention, le signal est periodique. . .Ici :
52/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
La transformee de Fourier 2D (2)
Attention, le signal est periodique. . .Ici :
52/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemple
image originale spectre
−→ symetrie, decroissance des coefficients,ligne horizontale / verticale penchee ?
53/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemple fondamental (1)
FFT 1D : Yn =1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN
image spectre
Effet d’un decalage (translation) de la ligne ?
54/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemple fondamental (2)effet d’une translation de m (distance inter-lignes) :
Yn =1
N
N−1∑k=0
yk−mω−nkN =
1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN ω−nm
N = ω−nmN Yn
image / spectre spectre / image
N/m superpositions et dephasages de exp(−2iπkmn/N)→ coefficient nul sauf si n ·m/N entier. (plus m grand. . .)
55/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemple : pourquoi ces “taches” dans la TFD ?
(source E. Stade, Fourier analysis, Wiley 2005.)
56/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Exemple : reconstruction
(source E. Stade, Fourier analysis, Wiley 2005.)
57/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Seance 11 Introduction
Les signauxExemples de problemesObjectifs, evaluation
2 Les filtres (analogiques)Definition et exempleFonction de transfert
3 Signaux analogiquesSignaux trigonometriquesSeries de FourierConvolution
4 Signaux numeriquesTransformee de Fourier DiscreteTransformee de Fourier RapideTransformee de Fourier 2D
5 Conclusion
58/59
Initiation autraitement du
signal - Seance 1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Les signaux
Exemples deproblemes
Objectifs, evaluation
Les filtres(analogiques)
Definition et exemple
Fonction de transfert
Signauxanalogiques
Signauxtrigonometriques
Series de Fourier
Convolution
Signauxnumeriques
Transformee deFourier Discrete
Transformee deFourier Rapide
Transformee deFourier 2D
Conclusion
Conclusion
Idee du cours : representer un signal periodique par unesuperposition de signaux periodiques.
Certaines informations apparaissent plus clairementdans le spectre.
Appliquer un filtre lineaire revient a moduler lescoefficients de Fourier.
La FFT a rendu possible la revolution numerique.(sans FFT, pas de baladeur MP3, television numerique, etc)
Pour la semaine prochaine : bien connaıtre les proprietesdu spectre (1D & 2D).
59/59
top related