retour sur la notion de taux d’intérêt actualisation taux d’intérêt composés

Retour sur la notion de taux d’intérêt

actualisation

Taux d’intérêt composés

1. Taux d’intérêt réel / nominal

Supposons que je prête 100€ pour un an…

• Le taux d’intérêt est de 5 %

• L’inflation est de 3 %

• Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par…

• Donc la valeur de l’euro aura été divisée par…

1,05

1,03

X1=X0+X0 x iX1 = X0 (1+i)

Avec i=5%=5/100=0,05

Les prix ont été multipliés par 1,03, la valeur de la monnaie a

été divisée par 1,03

En prêtant 100€ me suis-je vraiment enrichi de 5 % ?

• On m’a remboursé 5% d’euros en plus : je suis 1,05 fois plus riche.

Au total on m’a remboursé 100 x 1,05 / 1,03 = 101,94

• Mais ces euros se sont dépréciés de 3% : ils valent 1,03 fois moins

• Donc le taux d’intérêt est en réalité de…

1,94%

X1 en euros constants / x0 = 101,94/100= 1,0194

• Quel est le taux d’intérêt réel dans l’exemple précédent ?

• Rappelez la définition du taux d’intérêt réel et du taux d’intérêt nominal : internet

• Que signifie un taux d’intérêt réel négatif ?

Tx nominal – Tx d’inflation = 5-3 = 2%

Tx nominal < Tx d’inflation

Retenons la formule(approximative)

Tx d’int. réel (ir) =Tx d’int. nominal (in) – tx d’inflation (t)

Etes vous capable

d’écrire la formule

rigoureuse ?

ir=[(1+in)/(1+t)] - 1

Quizz…

• L’inflation favorise…

les créanciers les débiteurs

• Quand les anticipations d’inflation sont fortes les prêteurs vont proposer…

des taux plus élevés des taux plus bas

2. Taux d’intérêt composés

Supposons le taux d’intérêt égal à 3%

• Je prête 100 euros pour une période de 10 ans.

(on néglige ici l’inflation)

• De quelle somme serai-je remboursé ?

D’où la formule

Xn=Xo (1+i)n

Avec Xo la somme initialement prêtée,

Xn la somme rendue après n années,

i le taux d’intérêt en vigueur

Compliquons un peu

• Je prête 200 € pour 12 ans

• Le taux d’intérêt nominal est de 6%

• Le taux d’inflation moyen est de 2%

• Combien aurai-je gagné en € courants ? en € constants ?

En euros courants

La somme rendue sera égale à

200 x (1+0,06)12 = 402,44

Remarquons au passage qu’un taux d’intérêt de 6% appliqué pendant 12 ans accroit la somme, non pas de 6x12= 72 % mais de 101,22 %

En euros constants

Première méthode (rigoureuse)

Calculons rigoureusement le taux d’intérêt réel

Chaque année le montant prêté est multiplié par 1,06

Mais la valeur de l’euro est divisée par 1,02

1,06 / 1,02 =1,0392 (taux d’intérêt réel = 3,92 %)

200 x 1,0392 12 = 317,32 €

En euros constants

Deuxième méthode (approximative)

Calculons approximativement le taux d’intérêt réel

Taux d’intérêt réel

= taux d’intérêt nominal – taux d’inflation

= 6% - 2% = 4%

200 x 1,04 12 = 320,21 €

En euros constants

Troisième méthode (rigoureuse)

Puisqu’on me rembourse 402,44 € en euros courants

Je n’ai qu’à les ramener à des euros constants

402,44 / 1,02 12 = 317,32 €

Les prix ont été multipliés par 1,02 12

Le pouvoir d’achat de l’euro a été divisé par 1,02 12

Le résultat est le même qu’avec la

première méthode

3. Actualisation

• Supposons que je prête 100 euros à 3% pour 10 ans (en négligeant l’inflation)

• Inversement si on me propose de me verser 134 € dans 10 ans…

• Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par…

• A combien suis-je prêt à renoncer aujourd’hui pour cela ?

1,0310=1,34

100 €

• Par le biais des intérêts, une somme actuelle est multipliée dans n années par

(1+i)n

• Donc pour calculer la valeur actuelle d’une somme perçue dans l’avenir on la divise par

(1+i)n

C’est la même opération inversée

somme actuelle somme dans n années

multiplier par(1+i)n

diviser par(1+i)n

Un investissement va rapporter…

• 10000 euros l’an prochain

• 15000 euros l’année suivante

• 8000 euros l’année d’après

• et c’est tout.

• Quel est le montant qu’on peut y engager si le taux d’intérêt est de 7% ?

Actualisons le revenu futur• 10000 € l’an prochain

= 10000 / 1,07 aujourd’hui

• 15000 € dans deux ans

= 15000 / (1,07)2 aujourd’hui

• 8000 € dans 3 ans

= 8000 / (1,07)3 aujourd’hui

10000 / 1,07 + 15000 / (1,07)2 + 8000 / (1,07)3 = 28977,76

Que signifie ce résultat ?• La valeur actualisée des annuités futures de ce projet

représente 28977,76 €

• Si j’avais 28977,76 € et que je les plaçais au taux d’intérêt courant (7%) je pourrais obtenir 10 000 dans un an, 15 000 dans deux ans et 8000 dans 3 ans (en retirant progressivement les fonds placés)

• Et cela, sans rien faire ni courir de risque

Il n’est donc pas rationnel d’engager plus de 28 977, 76 €

dans ce projet.

Et si le taux d’intérêt augmentait, serais-je prêt à y

engager plus ou moins de fonds ?

Moins, car la valeur actualisée des annuités futures diminue

quand le taux d’intérêt augmente.

Quizz…• Si le taux d’intérêt augmente une somme future

représente en valeur actualisée…

plus qu’avant moins qu’avant

• Plus le taux d’intérêt est élevé, plus les agents économiques

préfèrent les revenus actuels aux revenus futurs

préfèrent les revenus futurs aux revenus actuels

Quizz…

• Si le taux d’intérêt diminue, un titre qui rapporte 1000€ par an vaudra

plus cher qu’avant moins cher qu’avantCe principe gouverne l’évolution du marché obligataire : les obligations sont des titres de créances porteurs

d’un intérêt fixe.

Quand les taux baissent les cours des

obligations augmentent

Quand les taux augmentent les cours

des obligations baissent