représentation de systèmes non linéaires par les séries...

Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications

Representation de systemes non lineairespar les series Volterra:

Calcul de domaines de convergenceet applications

Thomas Helie & Beatrice LarocheIRCAM-CNRS UMR9912, Paris, France & L2S, Univ. Paris Sud-CNRS UMR8506-SUPELEC, France

Ces tarvaux ont ete soutenus par le projet CONSONNES ANR-05-BLAN-0097-01.

CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau11 mai 2010

Vito Volterra [1860 (Ancone) - 1940 (Rome)] (source: wikipedia)

Vito Volterra est unmathematicien et physicienitalien. Il est surtout connu pourses travaux sur les equationsintegro-differentielles, la dis-location des cristaux, et ladynamique des populations.Il fut un opposant resolu au fas-cisme, n’hesitant pas a renonceraux honneurs academiques parconviction politique.

Royal Society (1910) - Royal Society of Edinburgh (1913)Un cratere de la Lune porte son nom

Series de Volterra: principe et interet

Systeme differentiel non lineaire entree/sortie d’etat x

x ′(t) = F(

x(t) , u(t))

y(t) = G(

x(t) , u(t))

u −→Relationexplicite ? −→ y

en general, non !

x ′(t) = F(

x(t) , u(t))

y(t) = G(

x(t) , u(t))

en general, non !

Cas lineaire (CI nulles)

F (x ,u) = Ax +B uG(x ,u) = C x +D u

Relation E/S: Convolutionpar le noyauh(t) = CeAtB +D

Interet: analyse & simulation

x ′(t) = F(

x(t) , u(t))

y(t) = G(

x(t) , u(t))

en general, non !

F (x ,u) = Ax +B uG(x ,u) = C x +D u

Cas “faiblement” non lineaireF , G: analytique autour du pointd’equilibre (0,0)

x ′(t) = F(

x(t) , u(t))

y(t) = G(

x(t) , u(t))

en general, non !

F (x ,u) = Ax +B uG(x ,u) = C x +D u

Cas “faiblement” non lineaireF , G: analytique autour du pointd’equilibre (0,0)

Relation E/S: Series de VolterraSommes de convolutions mutliplespar des noyaux calculables

Interet: idem.

Lien avec les perturbations regulieres

Systeme faiblement non lineaire

x ′(t) = F(

x(t) , u(t))

F (X ,U) = ∑m,nDm,nF (0,0)

m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)

y(t) = G(

x(t) , u(t))

G(X ,U) = ∑m,nDm,nG(0,0)

m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)

x ′(t) = F(

x(t) , u(t))

F (X ,U) = ∑m,nDm,nF (0,0)

m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)

y(t) = G(

x(t) , u(t))

G(X ,U) = ∑m,nDm,nG(0,0)

m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)

On choisit l’entree comme la perturbation u(t) = εv(t)

(i) Poser x(t) = ∑k εk xk (t) et y(t) = ∑k εk yk (t)

(ii) Injecter ces decompositions dans les eq. du systeme.

(iii) Reclasser les equations selon les εk

x ′(t) = F(

x(t) , u(t))

F (X ,U) = ∑m,nDm,nF (0,0)

m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)

y(t) = G(

x(t) , u(t))

G(X ,U) = ∑m,nDm,nG(0,0)

m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)

On choisit l’entree comme la perturbation u(t) = εv(t)

(i) Poser x(t) = ∑k εk xk (t) et y(t) = ∑k εk yk (t)

(ii) Injecter ces decompositions dans les eq. du systeme.

(iii) Reclasser les equations selon les εk

On obtient une infinite d’EDO lineaires indexees par k

(iv) Resoudre analytiquement

(v) Chaque contribution homogene d’ordre k correspond a uneconvolution multiple sur u avec des noyaux calculables−→ noyaux de Volterra

Quelques travaux fondateurs (1/3)

V. Volterra. Theory of Functionnals and of Integral andIntegro-Differential Equations. Dover Publications, 1959.

Point de vue “contr ole geometrique”:

R. W. Brockett. Volterra series and geometric control theory.Automatica, 12:167–176, 1976.

E. G. Gilbert. Functional expansions for the response ofnonlinear differential systems. IEEE Trans. Automat. Control,22:909–921, 1977.

M. Fliess. Fonctionnelles causales non lineaires etindeterminees non commutatives. Bulletin de la S.M.F.,109:3–40, 1981.

M. Fliess, M. Lamnabhi, and F. Lamnabhi-Lagarrigue. Analgebraic approach to nonlinear functional expansions. IEEETrans. on Circuits and Systems, 30(8):554–570, 1983.

A. Isidori. Nonlinear control systems (3rd ed.). Springer, 3rded. edition, 1995.

Quelques travaux fondateurs (2/3)Point de vue “repr esentation entree/sortie” et “r ealisation”:

W. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wienerapproach. The Johns Hopkins University Press, 1981.P. E. Crouch and P. C. Collingwood. The observation space andrealizations of finite volterra series. SIAM journal on control andoptimization, 25(2):316–333, 1987.M. Schetzen. The Volterra and Wiener theories of nonlinearsystems. Wiley-Interscience, 1989.

Resultats theoriques de convergence:

F. Lamnabhi-Lagarrigue. Analyse des Systemes Non Lineaires.Editions Hermes, 1994. ISBN 2-86601-403-0.S. Boyd and L. Chua. Fading memory and the problem ofapproximating nonlinear operators with Voltera series. IEEETrans. on Circuits and Systems, 32(11):1150–1161, 1985.W. S. Gray and Y. Wang. Fliess operators on Lp spaces:convergence and continuity. Systems & Control Letters,46(2):67–74, 2002.

Quelques travaux fondateurs (3/3)

Convergence (algorithme de calcul de domaines)

R. W. Brockett. Convergence of Volterra series on infiniteintervals and bilinear approximations. In V. Lakshmikanthan,editor, Nonlinear Systems and Applications, pages 39–46.Academic Press, 1977.

F. Bullo. Series expansions for analytic systems linear in control.Automatica, 38:1425–1432, 2002.

Z. K. Peng and Z. Q. Lang. On the convergence of theVolterra-series representation of the Duffing’s oscillatorssubjected to harmonic excitations. Journal of Sound andVibration, 305:322–332, 2007.

X. J. Jing, Z. Q. Lang, and S. A. Billings. Magnitude bounds ofgeneralized frequency response functions for nonlinear Volterrasystems described by narx model. Automatica, 44:838–845,2008.

Point de vue qualitatif et domaines d’applications

Quelques comparaisons:

Relation distorsions auto-oscillationCas explicite E/S bifucation, chaos

General non oui ouiVolterra oui oui nonLineaire oui non non

Domaines d’applications

Electronique, Electromagnetisme, Mecanique, Ingenieriebio-medicale, etc

Theorie des systemes et Automatique, Theorie du signal,Identification et simulation

Domaines d’applications

Electronique, Electromagnetisme, Mecanique, Ingenieriebio-medicale, etc

Theorie des systemes et Automatique, Theorie du signal,Identification et simulation

Applications possibles aux EDP

En acoustique musicale: les nuances fortissimo

Preambule

Partie 1: Algorithme de calcul de domaine de convergence[Helie,Laroche:IEEE CDC 2009]

Partie 2: Applications pour la synthese sonore

Tutoriel et methode pratique pour le calcul de noyaux

Application 1: Propagation non lineaire dans lesinstruments de type cuivre[Helie,Hasler: IJC 2004] et [Helie,Smet: IEEE MED 2008]

Application 2: resultats pour un modele non lineaire decorde[Helie,Roze: JSV 2008]

Conclusion et perspectives

PARTIE 1: Convergence

Algorithme de calcul de domaine de convergence pour dessystemes a entree simple et a non-lineairite analytique en l’etat

(Presentation de [Helie,Laroche:IEEE CDC 2009])

PARTIE 2: Applications pour la synthese sonore

Tutoriel et methode pratique pour le calcul de noyaux

Application 1: Propagation non lineaire dans lesinstruments de type cuivre[Helie,Hasler: IJC 2004] et [Helie,Smet: IEEE MED 2008]

Application 2: Resultats pour un modele non lineaire decorde[Helie,Roze: JSV 2008]

L’IRCAM: Institut de Recherche et CoordinationAcoustique/Musique [CNRS UMR 9912]

http://www.ircam.fr

Creation : en 1971 par Pierre Boulez

Vocation : interaction entre

• recherche scientifique (son &musique)

• developpement technologique• creation musicale contemporaine

Equipe Analyse-Synthese :

• modeles de synthese• procedes d’analyse des sons• outils de transformation des sons

Tutoriel et methode pratique pour le calul de noyaux

Series de Volterra (syst. stationnaire, entree simple)

Definition

Un syst. u→ hn y

→ est defini par la serie de Volterra hnn∈N∗

y(t) =+∞

∑n=1︸︷︷︸

Rnhn(τ1 , . . .,τn)u(t − τ1). . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn

︸︷︷︸de multi-convolutions

Definition

Un syst. u→ hn y

y(t) =+∞

∑n=1

h1(τ1)u(t − τ1)dτ1

Exemples:

Filtres lineaires: hn = 0 pour n ≥ 2

Definition

Un syst. u→ hn y

y(t) =+∞

∑n=1

= ∑+∞n=1 αn

)nFct. DSE

Exemples:

Fct sans memoire: hn(τ1, . . .,τn) = αn δ (τ1, . . .,τn)

Definition

Un syst. u→ hn y

y(t) =+∞

∑n=1︸︷︷︸

︸︷︷︸de multi-convolutions

Exemples:

Fct sans memoire: hn(τ1, . . .,τn) = αn δ (τ1, . . .,τn)

Cas general: n=1 (contrib. lin.), n=2 (quadratique), etc

Proprietes et analogies avec les systemes lineaires

Un systeme est causal, si

τ < 0 ⇒ h(τ) = 0 (lineaire)τk < 0 ⇒ hn(τ1, . . .,τk , . . .,τn) = 0 (Volterra)

Domaine de Laplace (/idem Fourier) on note (τ1:n) = (τ1, . . .,τn)

Fct. trsfrt H(s)=∫

h(τ)e−sτ dτ (lin.)

Noy. trsfrt Hn(s1:n)=∫

Rnhn(τ1:n)e

−(s1τ1+. . .+snτn) dτ1 . . .dτn (Volt.)

Domaine de Laplace (/idem Fourier) on note (τ1:n) = (τ1, . . .,τn)

Fct. trsfrt H(s)=∫

h(τ)e−sτ dτ (lin.)

Noy. trsfrt Hn(s1:n)=∫

Rnhn(τ1:n)e

−(s1τ1+. . .+snτn) dτ1 . . .dτn (Volt.)

Pour un systeme causal stable: PAS de poles (ni singularites)

de H(s) pour ℜe(s) > 0 (lineaire)de Hn(s1:n) pour ℜe(s1)>0, . . . ,ℜe(sn)>0 (Volterra)

Loi d’interconnexion: Somme

PSfrag replacements

bnu(t)

Calcul de y(t) = ya(t)+yb(t)

PSfrag replacements

bnu(t)

y(t) = ∑+∞n=1

∫Rn an(τ1:n)u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn

+∑+∞n=1

∫Rn bn(τ1:n)u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn

PSfrag replacements

bnu(t)

y(t) = ∑+∞n=1

+∑+∞n=1

∑n=1

[an(τ1:n)+bn(τ1:n)

]u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn

PSfrag replacements

bnu(t)

y(t) = ∑+∞n=1

+∑+∞n=1

∑n=1

[an(τ1:n)+bn(τ1:n)

]u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn

Resultat: Noyaux equivalents cn

cn(τ1:n) = an(τ1:n) +bn(τ1:n)

T. Laplace: Cn(s1:n) = An(s1:n) +Bn(s1:n)

Loi d’interconnexion: Produit

PSfrag replacements

bnu(t)

Calcul de y(t) = ya(t)yb(t)

PSfrag replacements

bnu(t)

y(t) = ∑+∞p=1

∫Rp ap(θ1:p)u(t −θ1) . . .u(t −θp)dθ1 . . .dθp

×∑+∞q=1

∫Rq bq(σ1:q)u(t −σ1) . . .u(t −σq )dσ1 . . .dσq

PSfrag replacements

bnu(t)

y(t) = ∑+∞p=1

×∑+∞q=1

∑n=1

p,q≥1p+q=n

ap(θ1:p)bq(σ1:q)]u(t −θ1) . . .u(t −θp)

u(t −σ1) . . .u(t −σq )dθ1 . . .dθp dσ1 . . .dσq

PSfrag replacements

bnu(t)

y(t) = ∑+∞p=1

×∑+∞q=1

∑n=1

p,q≥1p+q=n

ap(θ1:p)bq(σ1:q)]u(t −θ1) . . .u(t −θp)

u(t −σ1) . . .u(t −σq )dθ1 . . .dθp dσ1 . . .dσq

Resultat: Noyaux equivalents cn

cn(τ1:n) = ∑n−1p=1 ap(τ1:p)bn−p(τp+1:n)

T. Laplace: Cn(s1:n) = ∑n−1p=1 Ap(s1:p)Bn−p(sp+1:n)

Somme, produit et cascade de systemes

PSfrag replacements

y(t) y(t) y(t)f (t) f (t) f (t)an an

anbn bn

Noyaux de transfert equivalents Cn

An et Bn: noyaux de transfert des 2 series

PSfrag replacements

y(t) y(t) y(t)f (t) f (t) f (t)an an

anbn bn

Somme: Cn(s1:n) = An(s1:n)+Bn(s1:n)

PSfrag replacements

y(t) y(t) y(t)f (t)f (t) f (t)an an

anbn bn

Produit: Cn(s1:n) =n−1

∑p=1

Ap(s1:p)Bn−p(sp+1:n)

PSfrag replacements

y(t)y(t) y(t) f (t)f (t) f (t) anan an

bn bnb1

Produit: Cn(s1:n) =n−1

∑p=1

Ap(s1:p)Bn−p(sp+1:n)

Cascade avec un syst. lin.: Cn(s1:n) = An(s1:n)B1(s1:n)

avec s1:n = s1 + ...+sn.

Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→

Equation (repos avant t=0)

mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2

Systeme annulateur (diagr. bloc)

PSfrag replacements

f z mz ′′+az ′+k1z

k2[z]2

k2[·]2op. lin. 0

mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2

PSfrag replacements

k2[z]2

k2[·]2op. lin. 0

Blocs elementaires → Noyaux de transfert equivalents

dt2 +a ddt +k1 → Q1(s) = ms2+as+k1, Qn = 0 si n≥2

k2[·]2 → interconnexion produit, puis ×k2

−1 → −δ1,n = −1 si n = 1 et −δ1,n = 0 sinon

mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2

PSfrag replacements

k2[z]2

−δ1,nk2[·]2

Blocs elementaires → Noyaux de transfert equivalents

dt2 +a ddt +k1 → Q1(s) = ms2+as+k1, Qn = 0 si n≥2

k2[·]2 → interconnexion produit, puis ×k2

−1 → −δ1,n = −1 si n = 1 et −δ1,n = 0 sinon

mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2

PSfrag replacements

k2[z]2

−δ1,nk2[·]2

Noyau d’ordre n du systeme annulateur

Hn(s1:n)Q1(s1:n)

∑p=1

Hp(s1:p)Hn−p(sp+1:n)

+ −δ1,n = 0

mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2

PSfrag replacements

k2[z]2

−δ1,nk2[·]2

Hn(s1:n)Q1(s1:n)

∑p=1

+ −δ1,n = 0

mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2

PSfrag replacements

k2[z]2

−δ1,nk2[·]2

Hn(s1:n)Q1(s1:n)

∑p=1

+ −δ1,n = 0

mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2

PSfrag replacements

k2[z]2

−δ1,nk2[·]2

Hn(s1:n)Q1(s1:n)

∑p=1

+ −δ1,n = 0

Noyaux Hn du systeme f−→ hn z−→

Solution generale : equation algebrique recursive (n ≥ 1)

Hn(s1:n)=

δ1,n −k2

ordres < n︷︸︸︷n−1

∑p=1

Q1(s1:n)

avec Q1(s) = ms2 +as +k1

Noyaux Hn du systeme f−→ hn z−→

Solution generale : equation algebrique recursive (n ≥ 1)

Hn(s1:n)=

δ1,n −k2

ordres < n︷︸︸︷n−1

∑p=1

Q1(s1:n)

avec Q1(s) = ms2 +as +k1

Premiers noyaux (n = 1,2,etc)

H1(s1) = [Q1(s1)]−1

H2(s1,s2) = −k2[Q1(s1)Q1(s2)Q1(s1 +s2)]−1

etc...

En resume:

On transforme un probleme faiblement non lineaireen une infinite de problemes lineaires qu’on sait resoudre.

En resume:

En pratique :

On tronque la serie pour avoir les premieres distorsions

En resume:

En pratique :

Extension aux equations aux derivees partielles:

meme principe: cf. Applications

En resume:

En pratique :

Extension aux equations aux derivees partielles:

meme principe: cf. Applications

Pour la simulation :

On construit des structures “faible cout” realisables a partirdes noyaux

Application 1

Propagation non lineaire dans les instruments de type cuivre

[Helie,Smet: IEEE MED 2008]

Application 2

Resultats pour un modele non lineaire de corde (Kirchhoff)

[Helie,Roze:JSV 2008]

The Kirchhoff equation (u: transverse displacement)

∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗

∂ 2u∂ t2 + = 1

∂ 2u∂x2 +

∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 = 1+

∂ 2u∂x2 +

(α ,β ): damping

∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 = 1+

∂ 2u∂x2 +φ(x)f (t)

(α ,β ): damping f (t): excitation force

∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 =

[1+ ε

0‖∂u

∂x‖2dx

]∂ 2u∂x2 +φ(x)f (t)

(α ,β ): damping ε: nonlinear coefficient f (t): excitation force

∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 =

[1+ ε

0‖∂u

∂x‖2dx

]∂ 2u∂x2 +φ(x)f (t)

(α ,β ): damping ε: nonlinear coefficient f (t): excitation force

Boundary and initial conditions

Dirichlet homegeneous: u(x = 0, t) = u(x = 1, t) = 0

At rest for t ≤ 0 : u(x , t) = ∂tu(x , t) = 0

Equation satisfied by the Volterra kernels

Kirchhoff equation of the string

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 −

[1+ ε

0‖∂u

∂x‖2dx

]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 −

[1+ ε

0‖∂u

∂x‖2dx

]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0

Definition of the solution as a Volterra seriesPSfrag replacements

f (t) u(x , t)

Volterra kernels must be paremetrized in space: hn→ h(x)n .

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 −

[1+ ε

0‖∂u

∂x‖2dx

]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0

Cancelling system in the time domain

PSfrag replacements

∂ t2 +α ∂∂ t − (1+β ∂

∂ t )∂ 2

∂∂x

.2 −ε∫ 1

f (t) u(x , t)

×(−φ(x))

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 −

[1+ ε

0‖∂u

∂x‖2dx

]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0

Cancelling system in the Laplace domain

PSfrag replacements

s2 +αs− (1+βs) ∂ 2

∂∂x

.2 −ε∫ 1

f (t) u(x , t)

×(−φ(x))

∂ 2u∂ t2 +α

∂u∂ t

−β∂∂ t

∂ 2u∂x2 −

[1+ ε

0‖∂u

∂x‖2dx

]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0

Cancelling system in the Laplace domain

PSfrag replacements

s2 +αs− (1+βs) ∂ 2

∂∂x

.2 −ε∫ 1

f (t) u(x , t)

×(−φ(x))

[(s1:n)2 +α(s1:n)− (1+β (s1:n)) ∂ 2

n (s1:n) .... etc

Solution and realization (see details in [JSV 2008])

(Projection of Volterra kernels on the L2-modal basis B = ek (x) =√

2sin(kπx))

PSfrag replacements

u[1]1 (t)

u[k ]1 (t)

u[K ]1 (t)

ek (x)

eK (x)

u1(x,t)

Solution and realization (see details in [JSV 2008])

(Projection of Volterra kernels on the L2-modal basis B = ek (x) =√

2sin(kπx))

2. 2. 2.

PSfrag replacements

q[1] q[1]

q[k ]q[k ]

q[K]q[K]

u[1]1 (t)

u[k ]1 (t)

u[K ]1 (t)

w(t) =K

∑l=1

l2(u[l]

1 (t))2

−επ4

−εk2π4

−εK 2π4

u[1]3 (t)

u[k ]3 (t)

u[K ]3 (t)

ek (x)

eK (x)

u3(x,t)

(linear contribution, n = 1)

CONCLUSION

Pour conclure: travaux en cours et perspectives

Convergence: Travaux en cours et generalisations

[IEEE TAC 2010]: Normes sur des horizons de tempsfinis/infinis avec ponderation exponentielle

[soumis a IEEE CDC’2010]: systemes a entreesmultiples (notions d’entree principale et auxialiraires)

[soumis a IFAC SSSC’2010]: Conditions initiales nonnulles, systemes de dimension infinie (/EDP)

Perpectives

Convergence pour des systemes analytiques en l’etat etl’entree

Perpectives

Resolution d’EDP en noyaux de “Green-Poisson-Volterra”

Perpectives

Resolution d’EDP en noyaux de “Green-Poisson-Volterra”

Etude des series divergentes, troncature optimale

Quelques publications

Convergence

Helie Thomas, Laroche Beatrice, On the convergence of Volterra series of finite dimensional quadraticMIMO systems. International Journal of Control, special issue in Honor of Michel Fliess 60 th-birthday.2008, vol. 81, n 3, p. 358-37

Helie Thomas, Laroche Beatrice, Computation of convergence radius and error bounds of Volterra series forsingle input systems with a polynomial nonlinearity. IEEE Conference on Decision and Control. Shanghai :2009, vol. 48, p. 1-6

Helie Thomas, Laroche Beatrice, Computation of convergence bounds for Volterra series of analytic singleinput systems. IEEE Transactions on Automatic Control. 2010 (to appear)

Applications

Helie Thomas, Hasler Martin, Volterra series for solving weakly nonlinear partial differential equations:Application to the Burgers equation with visco-thermal losses. International Journal of Control. 2004, vol.77, n 12, p. 1071-1082

Helie Thomas, Smet Vanessa, Simulation of the weakly nonlinear propagation in a straight pipe: applicationto a real-time brassy audio effect. Mediterranean Conference on Control and Automation. Ajaccio: 2008,vol. 16, p. 1580-1585

Helie Thomas, Roze David, Sound synthesis of a nonlinear string using Volterra series. Journal of Soundand Vibration. 2008, vol. 314, p. 275-306

Helie Thomas, Volterra series and state transformation for real-time simulations of audio devices includingsaturations: application to the Moog ladder filter. IEEE Transactions on Audio, Speech and LanguageProcessing. 2010

représentation de systèmes non linéaires par les séries...

Documents

d etermina tion exp eriment ale des param etres m...

de l’ambiance a l’information sonore` dans un espace...

© 2008, johns hopkins university. tous droits réservés....

un portail pour la musique contemporaine -...

enjeux et défis en matière du paludisme : implications du...

michel-ange (1475-1564) portrait de michel-ange par daniele...

consorsio turistico volterra - campagna soci 2016

natale a volterra 2015 - programma

groupe stratégique franco-américain projet johns hopkins

etrusca -...

sciences humaines 8 chapitre 4 colonial building à st....

modélisation du rayonnement des instruments à vent à...

les equations de lotka-volterra - univ-tlemcen.dz

i.n.r.i.a. rocquencourt le 9 janvier 2013. position du...

les fibres minérales artificielles siliceuses -...

exposition de picasso à jasper johns - dossier de presse

8 2 次元の微分方程式（lotka-volterra...

rapport de projet de fin d’etude cartographie de...

aristotle and modern historical criticism · harold...

patrimoine archÉologique des poteries, briqueteries ... ›...