rapide approche historique de la géométrie… pour quelques implications pédagogiques…
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Rapide Approchehistorique de la géométrie…
pour quelques implications pour quelques implications pédagogiques…pédagogiques…
Les débuts de la géométrieLes débuts de la géométrie
Géométrie: « mesure de la terre »Géométrie: « mesure de la terre »Textes mathématiques les plus anciens: Textes mathématiques les plus anciens: tablettes babyloniennes tablettes babyloniennes (1800/1500 av JC)(1800/1500 av JC)
Papyrus de Rhind Papyrus de Rhind (vers 1650 av J.C)(vers 1650 av J.C)
Le grec Hérodote(486-420 av J.C) lie la géométrie à la Le grec Hérodote(486-420 av J.C) lie la géométrie à la redistribution des terres après chaque crue du Nilredistribution des terres après chaque crue du Nil
Origine liée à des problèmes pratiquesOrigine liée à des problèmes pratiques
PERIODE CLASSIQUEPERIODE CLASSIQUE
Les Grecs Les Grecs (VIème siècle avant JC)(VIème siècle avant JC)::
Apparition avec les grecs d’une scienceApparition avec les grecs d’une science
déductive s’appuyant sur des démonstrations,déductive s’appuyant sur des démonstrations,
théorèmes, définitions et axiomes.théorèmes, définitions et axiomes.
Dégagement du monde sensible en dépassant lesDégagement du monde sensible en dépassant les
simples observationssimples observations
Les principaux fondateursLes principaux fondateurs
Thalès de Milet
Triangles semblablesTriangles semblables
Pythagore de Samos école pythagoricienneécole pythagoricienne(philosophie, mathématiques et sciences naturelles)(philosophie, mathématiques et sciences naturelles) Carré de l’hypoténuse Carré de l’hypoténuse Construction des cinq polyèdres réguliers convexesConstruction des cinq polyèdres réguliers convexes Quadrature du cercleQuadrature du cercle
Hippias d’ElisHippias d’ElisLa quadatriceLa quadatrice
Hippocrate de ChioHippocrate de Chio Carrer des lunulesCarrer des lunules
PlatonPlaton« Nul ne doit entrer sous mon toit s’il « Nul ne doit entrer sous mon toit s’il
n’est géomètre »n’est géomètre »La démonstration devient la spécificité La démonstration devient la spécificité
des mathématiques, s’éloignant de la des mathématiques, s’éloignant de la simple observation et de l’expériencesimple observation et de l’expérience
EUCLIDE ET LA PERIODE EUCLIDE ET LA PERIODE HELLENISTEHELLENISTE
« Les éléments » (420-380 av JC)
13 livres avec au total 465 énoncés et leurs démonstrations
Illustration de la notion de système déductifArchimède et Apollonius Traité
Ptolémée -> Astronomie et trigonométrie
Erasthogène Duplication des cubes …/…
Trois problèmes grecs Trois problèmes grecs
La trisection de l'angle : La trisection de l'angle :
la duplication du cube : la duplication du cube :
la quadrature du cercle : la quadrature du cercle :
La trisection de l'angle, la duplication du cube, et la La trisection de l'angle, la duplication du cube, et la quadrature du cercle sont trois problèmes grecs quadrature du cercle sont trois problèmes grecs
classiques qui ont été résolu grâceclassiques qui ont été résolu grâce Pour ces trois problèmes, la réponse est NON!Pour ces trois problèmes, la réponse est NON!
leur résolution est due aux progrès de la théorie leur résolution est due aux progrès de la théorie des corps au XVIIIè et XIXè siècle. des corps au XVIIIè et XIXè siècle.
Leur point commun est de vouloir construire à partir Leur point commun est de vouloir construire à partir d'une figure, une autre figure vérifiant certaines d'une figure, une autre figure vérifiant certaines
propriétés, en n'utilisant que la règle et le compas. propriétés, en n'utilisant que la règle et le compas.
Derrière ce théorème se cachent des Derrière ce théorème se cachent des considérations assez profondes concernant la considérations assez profondes concernant la
nature de nombres comme pi, ou racine cubique de nature de nombres comme pi, ou racine cubique de 2. Par exemple, l'impossibilité de la quadrature du 2. Par exemple, l'impossibilité de la quadrature du cercle est une conséquence de la transcendance cercle est une conséquence de la transcendance
de pide pi
LA CHINE ET L’INDELA CHINE ET L’INDE
Chine:Chine: « Neuf chapitres sur l’art mathématique » « Neuf chapitres sur l’art mathématique »
Problèmes et solutions: Arpentage, Problèmes et solutions: Arpentage, dimensions des greniers, construction de digues dimensions des greniers, construction de digues et canaux et canaux
Liu Hui : donne une approximation de Pi, Liu Hui : donne une approximation de Pi, volume d’une pyramide et prouve le théorème de volume d’une pyramide et prouve le théorème de PythagorePythagore
Inde:Inde: « Les védas » contiennent des « Les védas » contiennent des éléments de géométrie pour la éléments de géométrie pour la constructions de monumentsconstructions de monuments
« Sulvasutra » le traité du cordeau« Sulvasutra » le traité du cordeau
LES APPORTS DES ARABESLES APPORTS DES ARABES Du IX ème au XIIème siècle Du IX ème au XIIème siècle
Traduction des textes grecsTraduction des textes grecs pour appropriation, pour appropriation, critiques et ajoutscritiques et ajouts
Calculs des aires et des volumes (Banu, Thabit Calculs des aires et des volumes (Banu, Thabit Ibn Qurra, Al-Karadji)Ibn Qurra, Al-Karadji)
Trigonométrie (Al-Battani, Abu al Wafa)Trigonométrie (Al-Battani, Abu al Wafa) Constructions géométriques fondamentalesConstructions géométriques fondamentalesThéorie des parallèlesThéorie des parallèles
Traduction latine de textesTraduction latine de textes arabes favorise la arabes favorise la découverte d’exposés mathématiquesdécouverte d’exposés mathématiques
LA RENAISSANCELA RENAISSANCEDu XIV ème au XVIIème siècle: diffusion des Du XIV ème au XVIIème siècle: diffusion des travaux des savants arabes par les échanges travaux des savants arabes par les échanges commerciauxcommerciaux
Italie : Luca Pacioli Italie : Luca Pacioli summa,summa, Nicolas de CuesNicolas de Cues (approximation de pi (approximation de pi
à partir des polygones),à partir des polygones), Règles de perspectivesRègles de perspectives
De Vinci De Vinci Représentation de l’espace Représentation de l’espace Parution de nombreux traités (Dürer, Della Parution de nombreux traités (Dürer, Della
Francesca…)Francesca…)
GEOMETRIE ANALYTIQUEGEOMETRIE ANALYTIQUE
Descartes Descartes la «Géométrie » (1637) la «Géométrie » (1637) applique l’algèbre à la géométrieapplique l’algèbre à la géométrie
Pierre de Fermat Pierre de Fermat équation des courbes équation des courbes
XVIIIème XVIIIème combinaison du calcul combinaison du calcul infinitésimal combinés aux progrès de la infinitésimal combinés aux progrès de la géométrie analytique sont à l’origine de la géométrie analytique sont à l’origine de la géométrie différentiellegéométrie différentielle
Alexis Clairaut Alexis Clairaut Équations des surfaces Équations des surfaces
Gaspard Monge Gaspard Monge géométrie descriptive géométrie descriptive
LE RENOUVELLEMENT LE RENOUVELLEMENT GEOMETRIQUEGEOMETRIQUE
XIX ème XIX ème Théorie des ensembles (étude Théorie des ensembles (étude des relations entre les objets )des relations entre les objets )Géométrie non-euclidienne (Gauss, Géométrie non-euclidienne (Gauss, Bolyai, Labatchevski) remise en cause des Bolyai, Labatchevski) remise en cause des postulats pour avancer dans la recherche postulats pour avancer dans la recherche Riemman (1867) Riemman (1867) Notion de géométrie Notion de géométrie adaptée à la théorie de la relativité adaptée à la théorie de la relativité (elliptique)(elliptique)Klein (1871) Klein (1871) présentation réunifiée des présentation réunifiée des 3 géométries3 géométries
Quelques implications pédagogiquesQuelques implications pédagogiques
Se confronter avec des situations Se confronter avec des situations concrètes (complexité)concrètes (complexité)
Passage de la géométrie «du voir » à un Passage de la géométrie «du voir » à un géométrie « argumentée » vers une géométrie « argumentée » vers une géométrie « démontrée »géométrie « démontrée »
Utiliser un vocabulaire adaptéUtiliser un vocabulaire adapté
Confronter, valider, communiquer les Confronter, valider, communiquer les résultatsrésultats
Mettre en œuvre (anticiper, concevoir, Mettre en œuvre (anticiper, concevoir, suivre) des stratégies personnelles puis suivre) des stratégies personnelles puis expertesexpertes
Importance des écrits (transmission, Importance des écrits (transmission, mémoire, représentation)mémoire, représentation)
Orienter les activités autour de la:Orienter les activités autour de la:
Représentation, Représentation,
Description,Description,
Reproduction,Reproduction,
Construction Construction
BibliographieBibliographie
Enseigner la géométrie, A.Bertotto BordasEnseigner la géométrie, A.Bertotto Bordas
Aider les élèves en difficulté en Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1, mathématiques CP/CE1,
C.Berdonneau, Hachette ÉducationC.Berdonneau, Hachette Éducation
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