processus de hawkes applications en finance
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PROCESSUS DE HAWKESAPPLICATIONS EN FINANCE
Soutenance du projet Innovation
Sami BEN EL MAMOUN
Edouard MAFTEI
PLAN: I) Présentation du projet II) Introduction des processus
1) Processus de poisson 2) Processus de Hawkes monodimensionnel 3) Processus de Hawkes multidimensionnel
III) Applications IV) Conclusion
PROCESSUS DE POISSON
Processus de comptage {N(t), t≥0} tel que:•N(0)=0•Accroissements indépendants et stationnaires•Pas d’occurrences simultanéesOn a que:•N(t) suit une loi de Poisson•Le temps d’attente suit une loi exponentielle•Ex: Théorie des queues, l’émission radioactive
PROCESSUS DE POISSON HOMOGÈNE
λ = 1.8
λ>0, P{N(t+τ)-N(t)=k}= e-λτ (λτ)k/k!, k=0, 1...
PROCESSUS DE POISSON NON-HOMOGÈNE λa,b=∫a
b λ(t)dt, P{N(b)-N(a)=k}= e-λτ (λa,bτ)k/k!
λ(t)= λ0+αe-βt ,
λ0=0.1, α=4.5, β=0.7
MODÈLE DE PRIX
2 processus de comptage {N+(t), t≥0} et {N-(t), t≥0} et le prix P est:
P(t)=Δp(N+(t)- N-(t)) On utilise le théorème de Donsker pour faire le
scaling de prix et le faire tendre en loi vers un mouvement brownien
THÉORÈME DE DONSKER
Suite des v.a d’espérance nulle et variance σ²>0, et
tend en loi vers un MB
1ER CAS: SCALING DES PROCESSUS DE POISSON
[(N+(t)- N-(t))-∫t λ(t)+- λ(t)-dt]/t1/2 → N(0, ∫t λ(t)++ λ(t)-dt)
PROCESSUS DE HAWKES
et avec v un noyau exponentiel (le cas mono-varié)
Processus ponctuel linéaire auto-excité ou l’intensité λ(t) a la forme suivante:
SIMULATION D’UN HAWKES MONO-VARIÉ
λ=1, α=0.6 β=0.8
STATIONNARITÉ
La condition pour avoir stationnarité de processus est que le rayon spectral de la matrice (αmn/βmn)m,n=1,...M soit plus petit que 1.
λ=1, α=0,99 β=1
SCALING
3) PROCESSUS DE HAWKES MULTIDIMENSIONNEL
a) Simulation du processus b) Vérification de la simulation c) Détermination des prix pour un scaling
donné
A) SIMULATION DU PROCESSUS
simulation des instants d’arrivée t[i]. attribution à un processus donné.
B) VÉRIFICATION DE LA SIMULATION
Calcul des intégrales entre deux instants d’arrivée ti et ti+1 :
=
Etude de leur distribution Calcul de la moyenne et de la variance Test de Kolmogov Smirinov.
C) DÉTERMINATION DES PRIX POUR UN SCALING DONNÉ ) - - E(
- E() – (
III) APPLICATIONS
1) The lead-lag effect:
MICROSTRUCTURE NOISE
CONCLUSIONS Clustering Cross correlation Lead-lag effet
Calibration d’un système(déterminer les paramètres)
Carnet d’ordre Processus de Hawkes marqué
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