prix marcel dassault 2001
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Prix Marcel Dassault 2001
1
Prix Marcel Dassault 2001 Prix Marcel Dassault 2001
***
Prix Marcel Dassault 2001
2
Optimisation de forme Optimisation de forme
Méthodes et AlgorithmesUniversité Paris VI, INRIA & IUF
Olivier Pironneau
Conférence dédiée à Jacques-Louis Lions
3
ApplicationsApplications
Diminution du poids Amélioration de la solidité Diminution de la trainée Diminution de la visibilité radar Manoeuvrabilité (avion déformable?) Avion, bateau, voiture, moteur, électronique
Références:
G. Allaire, Thèse Baron
Un nombre très varié d’applications:
Simulation => Contrôle
4
FormulationFormulation
Sd=ensemble des formes admissibles u est la fonction « état »
min{ ( , ) : ( , ) 0}ds SJ s u A s u
2
{ : | | 1}min { | | : 0, | 0, | }ss s
u u p u u u
Su
Exemple didactique
la forme optimale à très petite vitesse
5
Références:
OP: Springer 1982
P. Neittaanmakki, J. Cea, P. Zolezio, M. Delfour…
HistoriqueHistorique
Hadamard (1907): 1ère variation / forme NASA: une optimisation de tuyère ~ 1970 Autour de J.L. Lions 1973-1976
Cea et al Optimization topologique, ‘’ Chenais Existence S/ Lipschitz uniform
‘’ Dervieux… Vitesse de déformationF. Murat et al Transformation de domaine
O. Pironneau Variation normale
L. Tartar Fonction caractéristique
Ph. Morice
T
n
x
q q+vt
6
Condition d’optimalitéCondition d’optimalité
Calcul des variations
( ) | 0, | 0 |x n xu u u u u n 2| |J u
Théorème
2 2| | 2 | |J u J u u u
0, 0u p u avec
n
x
2 21 ( )m m m mu u => algorithme:
7
Premières solutionsPremières solutions
Une itération de gradient à la main Etendu au cas laminaire => adjoint Angles (Lighthill) => sensible / C.L. Cas discret (avec A.Marrocco)
Références:
O. Pironneau JFM(72 & 73) ,
Glowinski-OPJFM(75), Marrocco-OP(Num Meth eng(77)
( )i ii
i
J q J q
8
OscillationsOscillations
Le pb du poids minimal est mal posé (L. Tartar)
Ref. G. Allaire
Les itérations de gradient sortent de l’espace des contraintes défini par F. Murat ou D. Chenais
9
L’homogénéisationL’homogénéisation
Murat, Tartar, Lurie, Kikuchi, Bensoe Cioranescu, Sverak
Références:
Bensoussan-Lions-Papanicolaou
C. Conca, Y. Achdou (thèse)
0
lim A
• La difficulté est elle physique ou algorithmique?
• Sverak: s’il y a un nombre fini de trous alors l’objet de trainée minimale existe
•Trouver le bon espace et régulariser le critère
SolutionSolutionS
J J dx
10
Normes / régularisationNormes / régularisation
Le Problème régularisé
Références:
DiCesaré: Thèse (1999)
22
{ : | | 1}min { | | : 0, | 0, | }
H ss
u u p u u u
Le Problème discrétisé FEM (2D)
2
{ }min{ | | : : 0, | 0" ...|Sh h h h sq Q
q q
u u v uq
. 0 ( ) ( )det ( )j Th j h h h hq q w q n I q I q I q Id
Convergence: h->0 OK car
n
x
Gradient Conjugué dans H2 smoother
11
De la théorie aux applicationsDe la théorie aux applications
Solveurs Géométries complexes Equations transsoniques => Euler => N.S. Chimie (Desideri-Rostand) Turbulence (Begue-Chacon) Lois de Parois (Mohammadi)
Le Cray
Références:
B. Mohammadi+OP Oxford U. Press 2001
12
Méthodes variationnellesMéthodes variationnelles
Navier-Stokes incompressible.
Taylor-Hood, par gradient conjugué (+Glowinski),
l’élément P1isoP2/P1 (+Bercovier),
le décentrage (v.s. R. Lohner, T. Hughes).
Euler Compressible
Lax-Roe-Van Leer: Vyjayasundaram, Dervieux -Stoufflet v.s. Jameson
Navier-Stokes Compressible.
Maillage adaptatif (C. Johnson), formulation entropique (T. Hughes, M. Mallet), correction potentielle (+Eldabaghi).
Références: OP: Wiley 1989 : Finite element methods for fluids
Thanks P. Perrier–J. Periaux
13
TurbulenceTurbulence
Homogénéisation (+Mclaughin,
Papanicolaou, Begue, Chacon, Ortegon)
K-epsilon (Launder-Spalding): existence de solution (+Bardos-Mohammadi-Lewandowski) Algorithmes positifs (+Coron-Mohammadi)
Implémentation implicite des lois de parois
(+Mohammadi-Saiac-Hecht)
Références:
B.Mohammadi ,O.P. Wiley 1997: Analysis of the k- model
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CAO et MaillageCAO et Maillage
La CAO est propriété de l’industriel Le maillage adaptatif est crucial mais module externe => Maillage adaptatif de surfaces par reconstruction
de l’objet CAO a partir d’un maillage grossier (Farin) Maillage adaptatif + estimation d’erreur a posteriori
Références:
M. Gopalsamy, P.L. George, F. Hecht, F. Saltel, P. Frey
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Differentiation automatiqueDifferentiation automatique
class ddouble { public: float v[2];
ddouble(double a, double b=0){ v[0] = a; v[1]=b;}
friend ddouble operator*(const ddouble& a,const ddouble& b)
{ ddouble c; c.v[1] = a.v[1] * b.v[0] + a.v[0] * b.v[1]; c.v[0] = a.v[0] * b.v[0]; return
c;}
friend ddouble sin(const ddouble& a)
{ ddouble c; c.v[1] = cos(a.v[0])*a.v[1];
c.v[0] = sin(a.v[0]); return c;}
}; Références: Masmoudi, Thèse Dicésaré, Griewank (academic press), Odyssee (INRIA)
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Calcul parallèleCalcul parallèle
Mortar Element Method (Bernardi-Maday-Patera)
Solveur iteratif (+ Achdou-Kuznetsov) Navier-Stokes (+ Achdou, Hontand, Prud’homme) Constructive Solid Geometry (+JL Lions-DelPino)
Références:
Thèses: Hontand, Prud’homme, DelPino. En cours + JL LionsEtudes faites en liaison avec le Pôle Scientifique
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Intégration à l’optimum designIntégration à l’optimum design
Euler/N.S.+ k-e+wall laws Différentiation automatique Adaptation de maillage Algorithmique optimisée Choix des bonnes normes
Références: Bijan Mohammadi
221 1. | | L
S
J F u dx a F u C
18
Optimisation d’un avion d’affairesOptimisation d’un avion d’affaires
Références:
B. Mohammadi+OP Oxford U. Press 2001
19
Optimisation d’un ventilateurOptimisation d’un ventilateur
3 parameterizations:
Camber, sweep, by-section
at given Q, P,
3 paramètres par sectionscambrure, torsion, aire
Références: Mohammadi-Bouigt
R
Q P
T
10% de gain
20
EvolutionsEvolutions
Liens avec la VR
Autres Méthodes (domaines fictifs)
Automatisation: le projet freefem
Hecht,DelPino
border d(t=1,0) { x=0; y=t }; border b(t=0,1) { x=1; y=t };border a(t=0,1) { x=t; y=0 }; border c(t=0,1) { x=1-t; y=1 };border e(t=0,2*pi) {x=0.7+0.15*cos(t); y=0.5+0.15*sin(t)};
E := 21.5; sigma := 0.29; mu := E/(2*(1+sigma));lambda := E*sigma/((1+sigma)*(1-2*sigma));
mesh Sh = buildmesh( b(30)+c(20)+d(20)+a(20) + e(-50));
for i:=0 to 250 do{
varsolve(Sh,0) bb(uu,w,vv,s) with { e11 = dx(uu); e22 = dy(vv); e12 = (dx(vv)+dy(uu))/2; w11 = dx(w); w22 = dy(s); w12 = (dx(s)+dy(w))/2; bb = int()( 2*mu*(e11*w11+e12*w12+e22*w22) + lambda*(e11+e22)*(w11+w22)/2 -s ) + on(a,c)(w)(uu=0) + on(a,c)(s)(vv=0) };sigmanx = (2*mu*e11+lambda*(e11+e22)/2)*nrmlx + mu*e12*nrmly;sigmany = (2*mu*e22+lambda*(e11+e22)/2)*nrmly + mu*e12*nrmlx;surf := int(e)(1);sgx := int(e)(sigmanx)/surf; sgy := int(e)(sigmany)/surf;rho:= 1.5e-6*sqrt(int(e)((sigmanx/sgx-1)^2 + (sigmany/sgy- 1)^2))/surf;
solve(u,v){ pde(u) -laplace(u)*0.1- dxx(u)-dxy(v)=0; on(a,b,c,d) u= 0; on(e) u= rho*(sigmanx/sgx-1); pde(v) -laplace(v)*0.1- dyy(v)-dxy(u)=0; on(a,b,c,d) v= 0; on(e) v= rho*(sigmany/sgy-1);}; mesh Sh = movemesh(Sh,x+u,y+v);}
Références
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Problèmes ouvertsProblèmes ouverts
Le contrôle actif Estimations a posteriori et optimum design Optimisation global, algorithmes génétiques Boîtes-noires: quasi-gradients/algo génétiques Multi-physique (fluides structures…) Multi-critères: Pareto, Nash… Optimum design avec modélisation LES.
Références:
Bernardi,Girault,Maday,Hecht, Schoenauer,
Periaux, Dervieux, Desideri, Lesieur, Candel,
Poinsot, Bercovier, Mohammadi…
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