planification séquentielle pour l'estimation de probabilités de défaillance

Planification séquentiellepour l’estimation de probabilités de défaillance

Julien Bect

En collaboration avec Ling Li et Emmanuel Vazquez

SUPELEC

4 mai 2010Atelier événements rares

GdR MASCOT-NUM

J. Bect (Supélec) Planification séquentielle 4 mai 2010 1 / 33

Le problème à résoudre. . .

Données du problème

un domaine X ⊂ Rd compact (espace des facteurs)

une fonction f : X → R coûteuse à évaluer

une loi PX sur l’espace des facteurs

un seuil T ∈ R

On veut calculer

α(f ) = PX

{x ∈ X : f (x) > T

1f >T dPX

Le problème à résoudre. . .

Données du problème

un domaine X ⊂ Rd compact (espace des facteurs)

une fonction f : X → R coûteuse à évaluer

une loi PX sur l’espace des facteurs

un seuil T ∈ R

On veut calculer

α(f ) = PX

{x ∈ X : f (x) > T

1f >T dPX

Important

Il ne s’agit pas (encore) d’un problème d’inférence statistique !

Événement rare ?

Fonction coûteuse à évaluer

par ex., le calcul de f (x) fait appel à un code aux éléments finisbudget limité d’évaluations« rare » 6⇒ α(f ) extrêmement petit

Événement rare ?

État de l’art pré-2004 (thèses : Lagnoux Renaudie, 2006 ; Piera-Martinez, 2008)

méthodes fondées sur des approximations paramétriquesex : FORM/SORM, surface de réponse polynomialeéconomique mais souvent peu précis

méthodes utilisant l’échantillonnage aléatoireMonte-Carlo, échantillonnage préférentiel, stratifié, etc.convergentes mais gourmand en évaluations

Événement rare ?

État de l’art pré-2004 (thèses : Lagnoux Renaudie, 2006 ; Piera-Martinez, 2008)

méthodes fondées sur des approximations paramétriquesex : FORM/SORM, surface de réponse polynomialeéconomique mais souvent peu précis

méthodes utilisant l’échantillonnage aléatoireMonte-Carlo, échantillonnage préférentiel, stratifié, etc.convergentes mais gourmand en évaluations

Idée : approche bayésienne non-paramétrique

info. a priori sur f −→ méthodes convergentes et économiques

Processus gaussiens / krigeage

Apparition du krigeage en fiabilité (surface de réponse non-paramétrique)Romero, Swiler et Giunta (Struct. Safety, 2004)

Kaymaz (Struct. Safety, 2005)

Shan et Wang (J. Mech. Design, 2006)

Premiers travaux en planification séquentielle, point de vue bayésienVazquez et Piera-Martinez (JdS 2007), Vazquez et Bect (SYSID’09)

Picheny, Ginsbourger, Roustant, Haftka (ENBIS’08)Picheny, Ginsbourger, Roustant, Haftka et Kim (J. Mech. Design (tbp))

Ranjan, Bingham et Michailidis (Technometrics, 2008)

Bichon, Eldred, Swiler, Mahadevan et McFarland (J. AIAA 2008)

Premiers travaux en planification séquentielle, point de vue bayésienVazquez et Piera-Martinez (JdS 2007), Vazquez et Bect (SYSID’09)

Picheny, Ginsbourger, Roustant, Haftka (ENBIS’08)Picheny, Ginsbourger, Roustant, Haftka et Kim (J. Mech. Design (tbp))

Ranjan, Bingham et Michailidis (Technometrics, 2008)

Bichon, Eldred, Swiler, Mahadevan et McFarland (J. AIAA 2008)

Dans cet exposé. . .

une introduction générale au sujet (biaisée)

les premiers résultats obtenus par Ling Li dans le cadre de sa thèse

1 Formalisme : théorie bayésienne de la décision

2 Processus gaussiens et modèles dérivés

3 Tour d’horizon des stratégies séquentielles existantes

4 Conclusion et perpectives

Cadre décisionnel (1/2)

Contrainte : on dispose d’un budget limité de N évaluations.

choisir x ∈ X −→ obtenir f (x) ∈ R

Questions1 comment choisir séquentiellement les entrées x1, . . . , xN ?2 comment estimer α(f ) à partir de f (x1), . . . , f (xN) ?

Contrainte : on dispose d’un budget limité de N évaluations.

choisir x ∈ X −→ obtenir f (x) ∈ R

Questions1 comment choisir séquentiellement les entrées x1, . . . , xN ?2 comment estimer α(f ) à partir de f (x1), . . . , f (xN) ?

Réponse dans un cadre bayésien (pré-requis)

choix d’une fonction de coût C (α, α̂) = (α − α̂)2

choix d’une loi a priori pour la fonction f inconnue⇒ f est maintenant vue comme un processus aléatoire ξ !

Notations : X1, . . . , XN points d’évaluations

In =(X1, ξ(X1), . . . , Xn, ξ(Xn)

)info. disponible au temps n

Fn = σ(In), α = α(ξ), α̂n = α̂n(In)

Réponse dans un cadre bayésien (suite)

On cherche X1, . . . XN et α̂N

qui minimisent E{

(α − α̂N)2}

avec Xn+1 Fn-mesurable, ∀n ≥ 1

Notations : X1, . . . , XN points d’évaluations

In =(X1, ξ(X1), . . . , Xn, ξ(Xn)

)info. disponible au temps n

Fn = σ(In), α = α(ξ), α̂n = α̂n(In)

Réponse dans un cadre bayésien (suite)

On cherche X1, . . . XN et α̂N

qui minimisent E{

(α − α̂N)2}

avec Xn+1 Fn-mesurable, ∀n ≥ 1

Généralisations possibles :

évaluations en batchs (utile pour paralléliser)

évaluations bruités (ex : code de calcul à base de MC)

décisions randomisées, autres critères d’arrêt, etc.

Estimateur optimal

Notations : Pn , P { · | Fn} et En , E { · | Fn}

Meilleur estimateur FN -mesurable (risque quadratique) :

α̂N = EN (α)

Estimateur optimal

Notations : Pn , P { · | Fn} et En , E { · | Fn}

Meilleur estimateur FN -mesurable (risque quadratique) :

α̂N = EN (α)

En posant pn(x) = Pn {ξ(x) > T}, on a

α̂N = EN

1f >T dPX

pN dPX ,

Important

On a transformé un problème de calcul d’intégrale en un autre problème decalcul d’intégrale ⇒ intéressant si la seconde est plus facile à calculer !

Estimateurs fondés sur une fonction de classification

On peut aussi chercher un estimateur « plugin » de la forme

α̂N =

gN dPX , avec gN : X → {0, 1} (1)

gN est une fonction de classification dure

ex : SVM dans la méthode SMART (thèse de F. Deheeger (LaMI))

Estimateurs fondés sur une fonction de classification

On peut aussi chercher un estimateur « plugin » de la forme

α̂N =

gN dPX , avec gN : X → {0, 1} (1)

gN est une fonction de classification dure

ex : SVM dans la méthode SMART (thèse de F. Deheeger (LaMI))

Meilleure fonction de classification à injecter dans (1) :

gN = 1pN>1/2 = 1ξ̂N>T,

avec ξ̂N(x) la médiane a posteriori de ξ(x) (au temps N).

Stratégie bayésienne optimale (1/2)

On fixe un estimateur α̂N (par ex : α̂N = EN (α)).

Stratégie bayésienne optimale ?

stratégie : suite X1, . . . , XN avec Xn+1 Fn-mesurable

bayésienne optimale : minimisant E{(α − α̂N)2

On fixe un estimateur α̂N (par ex : α̂N = EN (α)).

Stratégie bayésienne optimale ?

stratégie : suite X1, . . . , XN avec Xn+1 Fn-mesurable

bayésienne optimale : minimisant E{(α − α̂N)2

Formellement, la solution s’obtient par programmation dynamique

calcul par récurrence (rétrograde) du risque bayésien

RN(IN) = EN

{(α − α̂N)2

Rn(In) = minXn+1

En (Rn+1(In+1)) , n = N − 1, . . . , 1

stratégie optimale : Xn+1 = argmin En (Rn+1(In+1))

La stratégie optimale fait apparaître un critère d’échantillonnage optimal :

Jn (In, Xn+1) , En (Rn+1(In+1))

La stratégie optimale fait apparaître un critère d’échantillonnage optimal :

Jn (In, Xn+1) , En (Rn+1(In+1))

Malheureusement. . .

espace d’état continu, dim. n

espace d’actions continu également

}⇒ calcul exact impossible !

Problème

Comment construire de bonnes solutions sous-optimales ?

Pourquoi des processus gaussiens ?

verrou

besoin de savoir calculer (ou simuler) efficacement la loi a posteriori Pξ|Fn

modèles (a priori) construit à partir de processus gaussiens (GP)

verrou

Le GP comme a priori sur une fonction inconnue : un peu d’histoire . . .

les originesprédiction linéaire BLUP (Mathéron, Parzen ; années 60)processus de Wiener en optimisation (Kushner, 1964)splines & interprétation bayésienne (Kimeldorf & Wahba ; 70/71)

verrou

1978, année bayésienneen stats, trois articles dans JRSS (Wahba, O’Hagan, Leonard)en optimisation : critère EI (Mockus, Tiesis, Zilinskas)

verrou

1978, année bayésienneen stats, trois articles dans JRSS (Wahba, O’Hagan, Leonard)en optimisation : critère EI (Mockus, Tiesis, Zilinskas)

DACE (Design & Analysis of Computer Experiments)Sacks et al. (1989), Currin et al. (1991)

Propriété fondamentale des GP

Propriété

Si ξ ∼ GP (m(x), k(x , x ′)), alors ξ | Fn ∼ GP

(ξ̂n(x), kn(x , x ′)

avec ξ̂n et kn donnés par les équations du krigeage (simple).

Propriété fondamentale des GP

Propriété

Si ξ ∼ GP (m(x), k(x , x ′)), alors ξ | Fn ∼ GP

(ξ̂n(x), kn(x , x ′)

avec ξ̂n et kn donnés par les équations du krigeage (simple).

Etat de l’art : modèles hiérarchiques construits autour du GP

« DACE » : krigeage ordinaire + approche bayésienne empirique

krigeage bayésien (ex : méthodologie BACCO par O’Hagan et collab.)

treed GP (par Gramacy & Lee)

Note : krigeage bayésien, treed GP ⇒ (RJ)MCMC

Modèle « DACE » (le plus répandu ?)

On considère :moyenne constante inconnue m(x) = m ∈ R

covariance stationnaire de la forme k(x , x ′) = σ2 rθ(x − x ′)

propriété (en supposant σ2 et θ connus)

{ξ | m ∼ GP

(m, k(x , x ′)

m ∼ UR

alors ξ | Fn ∼ GP

(ξ̂n(x), kn(x , x ′)

avec ξ̂n et kn donnés par les équations du krigeage (ordinaire).

{ξ | m ∼ GP

(m, k(x , x ′)

m ∼ UR

(ξ̂n(x), kn(x , x ′)

Approche bayésienne empirique : σ2 et θ sont estimés par MML(maximisation de la vraisemblance marginale)

{ξ | m ∼ GP

(m, k(x , x ′)

m ∼ UR

(ξ̂n(x), kn(x , x ′)

Approche bayésienne empirique : σ2 et θ sont estimés par MML(maximisation de la vraisemblance marginale)

Mise en garde

Les procédures séquentielles qui ré-estiment les paramètres à chaqueétape par MML n’ont, à l’heure actuelle, aucun fondement théorique.

Quelques quantités utiles pour la suite (et faciles à calculer)

Notation : σ2n(x) = kn(x , x) ; Φ la FR de la loi N (0, 1).

Probabilité de dépassement du seuil T au point x ∈ X :

pn(x) = Pn {ξ(x) > T} = 1 − Φ

(ξ̂n(x) − T

σn(x)

Quelques quantités utiles pour la suite (et faciles à calculer)

Notation : σ2n(x) = kn(x , x) ; Φ la FR de la loi N (0, 1).

Probabilité de dépassement du seuil T au point x ∈ X :

pn(x) = Pn {ξ(x) > T} = 1 − Φ

(ξ̂n(x) − T

σn(x)

Probabilité de mauvaise classification au point x ∈ X :

τn(x) = Pn

{(ξ(x) − T )(ξ̂n(x) − T ) < 0

}= 1 − Φ

∣∣∣ξ̂n(x) − T∣∣∣

σn(x)

Remarque : τn = min (pn, 1 − pn).

Illustration

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

Illustration

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

Stratégies fondées sur une anticipation de k évaluations

Principe général (k-step look-ahead) :

Jn(In, Xn+1) = En

(minXn+2

(. . . min

En+k−1

(R̃n+k (In+k)

avec R̃n+k un substitut du risque bayésien Rn+k .

Jn(In, Xn+1) = En

(minXn+2

(. . . min

En+k−1

(R̃n+k (In+k)

Cas particulier : k = 1 (one-step look-ahead)

Jn(In, Xn+1) = En

(R̃n+1 (In+1)

Jn(In, Xn+1) = En

(minXn+2

(. . . min

En+k−1

(R̃n+k (In+k)

Cas particulier : k = 1 (one-step look-ahead)

Jn(In, Xn+1) = En

(R̃n+1 (In+1)

Stratégies OSL proposées dans la littérature :

SUR (Piera-Martinez & Vazquez, JdS’07 ; Vazquez & Bect, SYSID’09)

targeted IMSE (Picheny et. al, ENBIS8 (2008), J. Mech. Design (tbp))

SUR : Stepwise Uncertainty Reduction (1/2)

Principe (cf. algorithme IAGO, thèse Villemonteix, 2008)

Chercher à réduire au plus l’incertitude résiduelle.

Mise en œuvre

1 Approximation gloutonne du risque :

R̃n+1 = En+1

((α − α̂n+1)

⇒ Jn = En

((α − α̂n+1)

Mise en œuvre

1 Approximation gloutonne du risque :

R̃n+1 = En+1

((α − α̂n+1)

⇒ Jn = En

((α − α̂n+1)

2 Calcul d’une borne supérieure

Jn ≤ En

γn dPX

3 Discrétisation et minimisation de la borne (2).

Expression(s) de la fonction γn :

α̂n+1 = En+1 (α) γ2n(x) = pn(x) (1 − pn(x))

variance de l’indicatrice de dépassement

α̂n+1 =∫X1ξ̂n>T

dPX γ2n(x) = min (pn(x) , 1 − pn(x)) = τn(x)

probabilité de mauvais classement

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1er cas2eme cas

(àune

Illustration : X = [0; 1], PX = U[0;1], α(f ) = 2%

0 0.5 1−2.5

−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−1

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−2.5

−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−1

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

−0.78

10−0.75

10−0.72

10−0.69

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−2

−1.5

−0.5

0 0.5 110

−1.3

10−1.2

10−1.1

0 0.5 1

0 5 10 15

10−0.8

10−0.7

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−2

−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−1.3

10−1.2

10−1.1

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

−0.9

10−0.8

10−0.7

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−2

−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−1.6

10−1.5

10−1.4

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−2

−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−1.8

10−1.7

10−1.6

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−2

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−2

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−2

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−2

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−2.8

10−2.7

10−2.6

10−2.5

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−2

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−3.6

10−3.4

10−3.2

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−2

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−3.9

10−3.7

10−3.5

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−2

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−4

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−2

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−5

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−3

10−2

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 110

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

10−3

10−2

10−1

J n α̂n

|α̂n−

0 0.5 1−1.5

−0.5

0 0.5 1

10−7

0 0.5 1

0 5 10 15

0 5 10 1510

J n α̂n

|α̂n−

Targeted IMSE

Méthode fondée sur l’IMSE pondéré :

R̃n+1(In+1) =

σ2n+1(x) Wn+1(x) dPX

où g est une fenêtre ≥ 0 et Wn+1(x) = En+1

(g(ξ(x) − T )

Targeted IMSE

Méthode fondée sur l’IMSE pondéré :

R̃n+1(In+1) =

σ2n+1(x) Wn+1(x) dPX

où g est une fenêtre ≥ 0 et Wn+1(x) = En+1

(g(ξ(x) − T )

Le critère d’échantillonnage correspondant s’écrit :

Jn (In, Xn+1) =

σ2n+1(x) Wn(x) dPX

Pondération recommendée par les auteurs :

g(z) = e− z

2 σ2ε ⇒ Wn(x) ∝

1√σ2

ε + σ2n(x)

e− 1

(ξ̂n(x)−T)2

σ2ε+σ2

Une comparaison des critères existants : protocole

X = [0; 1] avec PX = U[0;1]

comparaison en moyenne sur 4000 trajectoires d’un GPGP centré, covariance de Matérn (σ2 = 1, ν = 2, ρ = 0.1)les algos utilisent la vraie fonction de covarianceT de façon à ce que α = 2%.

X = [0; 1] avec PX = U[0;1]

version discrétisée du problème (« méta-estimation »)

Y1, . . . , Ymiid∼ PX (m = 500)

on veut estimer l’estimateur αm = 1

∑j 1ξ(Yj )>T

on travaille sur X̃m = {Y1, . . . , Ym} avec P̃mX

∑j δYj

X = [0; 1] avec PX = U[0;1]

version discrétisée du problème (« méta-estimation »)

Y1, . . . , Ymiid∼ PX (m = 500)

on veut estimer l’estimateur αm = 1

∑j 1ξ(Yj )>T

on travaille sur X̃m = {Y1, . . . , Ym} avec P̃mX

∑j δYj

autres critères comparés (en plus de SUR et targeted IMSE)Ranjan, Bingham et Michailidis (Technometrics 2008)Bichon, Eldred, Swiler, Mahadevan et McFarland (J. AIAA 2008)Echard, Gayton et Lemaire (Journées Nat. de Fiabilité, 2010)

Une comparaison des critères existants : resultats (1/2)

5 10 15 20 25 30−40

nb évaluations

SURtIMSE, σε = 0tIMSE, σε = 0.1tIMSE, σε = 1.0

Une comparaison des critères existants : resultats (2/2)

5 10 15 20 25 30−40

RanjanBichonEchard

nb évaluations

SURtIMSE, σε = 0

Conclusions

A retenir :

Prise en compte d’information a priori sur f , dans un cadre bayésiennon-paramétrique −→ méthodes qui convergent rapidement

L’approche déplace le problème d’intégration mais ne le supprime pas−→ complément aux méthodes existantes (par ex. Monte Carlo)

Les premières études empiriques montrent le potentiel des stratégiesone-step look-ahead (SUR, targeted IMSE)

Conclusions

A retenir :

Conclusions

A retenir :

Perspectives

Mieux exploiter la complémentarité bayésienne/fréquentisteméta-estimation −→ intervalles de confiance

papier en cours de réaction avec E. Vazquez (bientôt sur arXiv. . . )

combinaison GP / techniques d’échantillonnage aléatoire

cf. exposé de Pierre Barbillon à MASCOT-NUM 2010

Perspectives

Poursuivre l’analyse des stratégies de planificationen simulation & sur cas tests industriels

collaboration SUPELEC / B. Iooss (code Cathare)D. Ginsbourger et collab. : projet de toolbox libre (R) ?

sur le plan théorique

convergence, vitesse de convergence

Perspectives

Poursuivre l’analyse des stratégies de planificationen simulation & sur cas tests industriels

collaboration SUPELEC / B. Iooss (code Cathare)D. Ginsbourger et collab. : projet de toolbox libre (R) ?

sur le plan théorique

convergence, vitesse de convergence

En cours : thèse de Li Ling (financement projet CSDL)

Bibliographie

Références traitant de la stratégie SUR :

E. Vazquez et M. Piera-Martinez, Estimation du volume des ensembles d’excursion

d’un processus gaussien par krigeage intrinsèque, 39èmes Journées de Statistiques

(JdS 2007), CD-ROM proceedings, Angers (France), 11–15 juin 2007 [clickme]

M. Piera-Martinez, Modélisation des comportements extrêmes en ingénierie, Thèse

de l’Université Paris-Sud 11 / Supélec, 29 septembre 2008 [clickme]

E. Vazquez et J. Bect, A sequential Bayesian algorithm to estimate a probability of

failure, 15th IFAC Symposium on System Identification (SYSID 2009), Saint-Malo,

France. IFAC-PapersOnLine / Elsevier, 2009 [clickme]

Bibliographie

Références traitant de la stratégie targeted IMSE :

V. Picheny, D. Ginsbourger, O. Roustant et R.T. Haftka, Iterative Designs of

experiments for constraint approximation, 8th European Network for Business and

Industrial Statistics conference (ENBIS8), CD-ROM proceedings, Athènes (Grèce),

21–25 septembre 2008

V. Picheny, D. Ginsbourger, O. Roustant, R.T. Haftka et N.-H. Kim, Adaptive

designs of experiments for accurate approximation of target regions, Journal of

Mechanical Design, to be published [clickme]

V. Picheny, Improving accuracy and compensating for uncertainty in surrogate

modeling, Thèse de l’École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne, 15

décembre 2009 [clickme]

Bibliographie

Autres références décrivant des stratégies séquentielles :

P. Ranjan, D. Bingham et G. Michailidis, Sequential experiment design for contour

estimation from complex computer codes, Technometrics, 50(4), 527–541, 2008

[clickme]

B. J. Bichon, M. S. Eldred, L. P. Swiler, S. Mahadevan et J. M. McFarland,

Efficient global reliability analysis for nonlinear implicit performance functions,

AIAA Journal, 46(10), 2459–2468, 2008 [clickme]

B. Echart, N. Gayton et M. Lemaire, Kriging based Monte Carlo simulation to

compute the probability of failure efficiently : the AK-MCS methods, 6èmes

Journées Nationales de Fiabilité, Toulouse, France, 2010

Bibliographie

Apparition du krigeage en fiabilité :

V. J. Romero, L. P. Swiler et A. A. Giunta, Construction of response surfaces

based on progressive-lattice-sampling experimental designs with application to

uncertainty propagation, Structural Safety, 26(2), 201–219, 2004 [clickme]

I. Kaymaz, Application of kriging method to structural reliability problems,

Structural Safety, 27(2), 133–151, 2005 [clickme]

S. Shan et G. G. Wang, Failure surface frontier for reliability assessment on

expensive performance function, Journal of Mechanical Design, 128(6),

1227–1236, 2006 [clickme]

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