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Plan du cours
Mecanique des fluides geophysiques
Mahdi Ben Jelloul
Laboratoire de Physique des OceansUniversite de Bretagne Occidentale
Master 2eannee. Annee universitaire 2005–2006
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Plan du cours
Plan
1 Entropie, energie interne et conservation de l’energie
2 Fluide stratifie
3 Effets combines de la rotation et de la stratification
4 Dynamique lente de grande echelle
5 Stabilite des ecoulements
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Fluides stratifies dans un referentiel tournant
1Ondes internes d’inertie-gravite1 1.1Stratification et rotation :mouvement en bloc1 1.2Ondes d’inertie-gravite2 2Cas des enveloppesfluides minces3 2.1Approximation hydrostatique3 2.2Multi-couches32.3Continuement stratifie7
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Etude dynamique la plus simple : etude lineaire que l’on saittoujours conduire.
Etat de base : etat de repos a l’equilibre hydrostatique.
u =0
v =0
w =0
∂z p =b(z)
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Mouvement spatialement homogenes
Considerons tout d’abord le cas particulier les mouvementshomogenes d’un fluide stratifie au repos dans un referentieltournant selon un axe k.
Seul le champ de densite moyen admet des variations selon laprofondeur represente par b(z) mais ∂z b = N2 constant.
Equations lineaires (f = 2Ω)
∂tu − fv = 0,
∂tv + fu = 0,
∂tw − b = 0,
∂tb + w∂z b = 0,
Oscillation due a la stratification : ∂ttw + N2w = 0
Oscillation inertielles : ∂ttu + f 2u = 0 Film
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Mouvement spatialement homogenes
Considerons tout d’abord le cas particulier les mouvementshomogenes d’un fluide stratifie au repos dans un referentieltournant selon un axe k.
Seul le champ de densite moyen admet des variations selon laprofondeur represente par b(z) mais ∂z b = N2 constant.
Equations lineaires (f = 2Ω)
∂tu − fv = 0,
∂tv + fu = 0,
∂tw − b = 0,
∂tb + w∂z b = 0,
Oscillation due a la stratification : ∂ttw + N2w = 0
Oscillation inertielles : ∂ttu + f 2u = 0 Film
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Mouvement spatialement homogenes
Considerons tout d’abord le cas particulier les mouvementshomogenes d’un fluide stratifie au repos dans un referentieltournant selon un axe k.
Seul le champ de densite moyen admet des variations selon laprofondeur represente par b(z) mais ∂z b = N2 constant.
Equations lineaires (f = 2Ω)
∂tu − fv + ∂xp = 0,
∂tv + fu + ∂yp = 0,
∂tw + ∂zp − b = 0,
∂tb + w∂z b = 0,
∇ · u = 0.
Oscillation due a la stratification : ∂ttw + N2w = 0
Oscillation inertielles : ∂ttu + f 2u = 0 Film
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Mouvement spatialement homogenes
Considerons tout d’abord le cas particulier les mouvementshomogenes d’un fluide stratifie au repos dans un referentieltournant selon un axe k.
Seul le champ de densite moyen admet des variations selon laprofondeur represente par b(z) mais ∂z b = N2 constant.
Equations lineaires (f = 2Ω)
∂tu − fv + ∂xp = 0,
∂tv + fu + ∂yp = 0,
∂tw + ∂zp − b = 0,
∂tb + w∂z b = 0,
∇ · u = 0.
Oscillation due a la stratification : ∂ttw + N2w = 0
Oscillation inertielles : ∂ttu + f 2u = 0 Film
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Mouvement spatialement homogenes
Considerons tout d’abord le cas particulier les mouvementshomogenes d’un fluide stratifie au repos dans un referentieltournant selon un axe k.
Seul le champ de densite moyen admet des variations selon laprofondeur represente par b(z) mais ∂z b = N2 constant.
Equations lineaires (f = 2Ω)
∂tu − fv = 0,
∂tv + fu = 0,
∂tw − b = 0,
∂tb + w∂z b = 0,
Oscillation due a la stratification : ∂ttw + N2w = 0
Oscillation inertielles : ∂ttu + f 2u = 0 Film
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Mouvement spatialement homogenes
Considerons tout d’abord le cas particulier les mouvementshomogenes d’un fluide stratifie au repos dans un referentieltournant selon un axe k.
Seul le champ de densite moyen admet des variations selon laprofondeur represente par b(z) mais ∂z b = N2 constant.
Equations lineaires (f = 2Ω)
∂tu − fv = 0,
∂tv + fu = 0,
∂tw − b = 0,
∂tb + w∂z b = 0,
Oscillation due a la stratification : ∂ttw + N2w = 0
Oscillation inertielles : ∂ttu + f 2u = 0 Film
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Mouvement spatialement homogenes
Considerons tout d’abord le cas particulier les mouvementshomogenes d’un fluide stratifie au repos dans un referentieltournant selon un axe k.
Seul le champ de densite moyen admet des variations selon laprofondeur represente par b(z) mais ∂z b = N2 constant.
Equations lineaires (f = 2Ω)
∂tu − fv = 0,
∂tv + fu = 0,
∂tw − b = 0,
∂tb + w∂z b = 0,
Oscillation due a la stratification : ∂ttw + N2w = 0
Oscillation inertielles : ∂ttu + f 2u = 0 Film
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Ondes internes dans un referentiel tournant
Equations lineaires :
∂tu − fv + ∂xp = 0,
∂tv + fu + ∂yp = 0,
∂tw + ∂zp − b = 0,
∂tb + wN2 = 0,
∇ · u = 0.
Dans un domaine infini homogene (N2 = cst), il est legitimechercher des solutions sous forme d’ondes planesmonochromatiques (e i(k·r−ωt)).
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Equation d’onde et relation de dispersion
L’equation d’ondes s’ecrit (N2 constant) :
∂t
[(∂2
tt + N2)∇2p − (∂2tt + f 2)∂zzp
]= 0.
puis la relation de dispersion
ω2 =f 2m2 + N2k2
h
k2= N2 cos2 θ + f 2 sin2 θ
ou θ est l’angle du vecteur d’onde k avec l’horizontale.
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Proprietes des ondes d’inertie-gravite
Proprietes
f ' 10−4 s−1 ≤ ω ≤ N ' 10−2 s−1.La frequence ne depend pas de la norme du vecteur d’onde.les ondes internes sont anisotropes (cone de dispersion)les ondes sont transversales i.e. k · u = 0 (car ∇ · u = 0)
Rotation vs. Stratification
ω2 =f 2m2 + N2k2
h
k2
Les deux effets ont des influences comparables pour desechelles verifiant :
m f
N k' f L
N H' 1
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite
Proprietes des ondes d’inertie-gravite
Proprietes
f ' 10−4 s−1 ≤ ω ≤ N ' 10−2 s−1.La frequence ne depend pas de la norme du vecteur d’onde.les ondes internes sont anisotropes (cone de dispersion)les ondes sont transversales i.e. k · u = 0 (car ∇ · u = 0)
Rotation vs. Stratification
ω2 =f 2m2 + N2k2
h
k2
Les deux effets ont des influences comparables pour desechelles verifiant :
m f
N k' f L
N H' 1
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Limite de l’eau peu profonde
L’ocean et l’atmosphere sont des fluides
stratifies (mais N2(z) pas forcement constant) et soumis a lagravite
en referentiel tournant
en couches minces, le rapport d’aspect δ = H/L 1.
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Adimensionalisation
Equations lineaires :
∂tu − v + ∂xp = 0,
∂tv + u + ∂yp = 0,
∂tw + ∂zp − b = 0,
∂tb + w N2(z) = 0,
∂xu + ∂yv + ∂zw = 0.
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Adimensionalisation
Equations lineaires :
U
T∂tu − f Uv +
P
L∂xp = 0,
U
T∂tv + f Uu +
P
L∂yp = 0,
W
T∂tw +
P
H∂zp − Bb = 0,
B
T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,
U
L(∂xu + ∂yv) +
W
H∂zw = 0.
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Adimensionalisation
Equations lineaires :
U
T∂tu − f Uv +
P
L∂xp = 0,
U
T∂tv + f Uu +
P
L∂yp = 0,
W
T∂tw +
P
H∂zp − Bb = 0,
B
T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,
U
L(∂xu + ∂yv) +
W
H∂zw = 0. =⇒ U
L=
W
H
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Adimensionalisation
Equations lineaires :
U
T∂tu − f Uv +
P
L∂xp = 0, =⇒ P = f U L
U
T∂tv + f Uu +
P
L∂yp = 0,
W
T∂tw +
P
H∂zp − Bb = 0,
B
T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,
U
L(∂xu + ∂yv) +
W
H∂zw = 0. =⇒ U
L=
W
H
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Approximation hydrostatique
Apres avoir utilise UL = W
H et P = f U L :
1
f T∂tu − v + ∂xp = 0,
1
f T∂tv + u + ∂yp = 0,
W H
T f U L∂tw + ∂zp −
B H
f U Lb = 0,
B
T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,
∂xu + ∂yv + ∂zw = 0
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Approximation hydrostatique
Apres avoir utilise UL = W
H et P = f U L :
1
f T∂tu − v + ∂xp = 0,
1
f T∂tv + u + ∂yp = 0,
1
f T
H2
L2∂tw + ∂zp −
B H
f U Lb = 0,
B
T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,
∂xu + ∂yv + ∂zw = 0
ou δ = HL , B = f U L
H
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Approximation hydrostatique
Apres avoir utilise UL = W
H et P = f U L :
1
f T∂tu − v + ∂xp = 0,
1
f T∂tv + u + ∂yp = 0,
δ2
f T∂tw + ∂zp −
B H
f U Lb = 0,
B
T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,
∂xu + ∂yv + ∂zw = 0
ou δ = HL , B = f U L
H
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Approximation hydrostatique
Apres avoir utilise UL = W
H et P = f U L :
1
f T∂tu − v + ∂xp = 0,
1
f T∂tv + u + ∂yp = 0,
δ2
f T∂tw + ∂zp − b = 0,
f U L
H∂tb + N2 W w N2(z) = 0,
∂xu + ∂yv + ∂zw = 0
ou δ = HL , B = f U L
H et Bu = N2H2
f 2L2
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Approximation hydrostatique
Apres avoir utilise UL = W
H et P = f U L :
1
f T∂tu − v + ∂xp = 0,
1
f T∂tv + u + ∂yp = 0,
δ2
f T∂tw + ∂zp − b = 0,
1
f T∂tb + Bu w N2(z) = 0,
∂xu + ∂yv + ∂zw = 0
ou δ = HL , B = f U L
H et Bu = N2H2
f 2L2
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Approximation hydrostatique
Apres avoir utilise UL = W
H et P = f U L :
1
f T∂tu − v + ∂xp = 0,
1
f T∂tv + u + ∂yp = 0,
δ2
f T∂tw + ∂zp − b = 0,
1
f T∂tb + Bu w N2(z) = 0,
∂xu + ∂yv + ∂zw = 0
ou δ = HL , B = f U L
H et Bu = N2H2
f 2L2
Pour Bu ' 1 et δ 1 : l’acceleration verticale est negligeable.
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modele bi-couches en eau peu profonde (Saint-Venant)
H2ρ2
ρ1H1
z
η2
η1
0
∂tuhi + uhi ·∇huhi + f k ∧ uhi = −∇hpi
ρi,
∂thi + ∇h · (uhihi ) = 0,
−∂zp + ρg = 0,
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Gravite reduite
Integrons l’equilibre hydrostatique :
p1(z) = p0 − [ρ1gz ]zη1= p0 − ρ1gz + ρ1η1,
p2(z) = p0 − [ρ1gz ]−H1+η2η1
− [ρ2gz ]z−H1+η2
= p0 − (ρ2 − ρ1)gH1 + (ρ2 − ρ1)gη2 − ρ2gz + ρ1gη1
= p0 − ρ2g′H1 + ρ2g
′η2 − ρ2gz + ρ1gη1
ou g ′ = g ρ2−ρ1ρ2
est la gravite reduite.
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Gravite reduite
Integrons l’equilibre hydrostatique :
p1(z) = p0 − [ρ1gz ]zη1= p0 − ρ1gz + ρ1η1,
p2(z) = p0 − [ρ1gz ]−H1+η2η1
− [ρ2gz ]z−H1+η2
= p0 − (ρ2 − ρ1)gH1 + (ρ2 − ρ1)gη2 − ρ2gz + ρ1gη1
= p0 − ρ2g′H1 + ρ2g
′η2 − ρ2gz + ρ1gη1
ou g ′ = g ρ2−ρ1ρ2
est la gravite reduite.
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modele bi-couches en eau peu profonde : equationsnonlineaires
∂tuh1 + uh2 ·∇huh1 + f k ∧ uh1 = −∇hp1
ρ1= −g∇hη1,
∂th1 + ∇h · (uh1h1) = 0, ou h1 = (η1 + H1 − η2)
∂tuh2 + uh2 ·∇huh2 + f k ∧ uh2 = −∇hp2
ρ2= −g ′∇hη2 + g∇hη1,
∂th2 + ∇h · (uh1h2) = 0, ou h2 = (η2 + H2)
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modele bi-couches : equations lineaires
∂tuh1 + f k ∧ uh1 = −g∇hη1,
∂t(η1 − η2) + H1∇h · uh1 = 0,
∂tuh2 + f k ∧ uh2 = −g ′∇hη2 − g∇hη1,
∂tη2 + H2∇h · uh2 = 0,
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modele bi-couches : equations lineaires (2)
En passant en variables :
vorticite (verticale) : ζ = ∂xv − ∂yu,
divergence : ∇h · uh,
∂t (∇h · uh1)− f ζ1 = −g∇2hη1,
∂tζ1 + f ∇h · uh1 = 0,
∂t(η1 − η2) + H1∇h · uh1 = 0,
∂t (∇h · uh2) + f ζ2 = −ρ1
ρ2g∇2
hη1 − g ′∇2hη2,
∂tζ2 − f ∇h · uh2 = 0,
∂tη2 + H2∇h · uh2 = 0,
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modele bi-couches : equations lineaires (3)
∂t
[(∂tt + f 2
)(η2 − η1) + gH1∇2
hη1
]= 0,
∂t
[(∂tt + f 2
)η2 −
ρ1
ρ2gH2∇2
hη1 − g ′H2∇2hη2
]= 0.
En eliminant le mode vortical (ω = 0), les ondesmonochromatiques ηi = ηie
i(ωt−k·br) verifient :(−ω2 + f 2
)(η2 − η1) + gH1∇2
hη1 = 0,(−ω2 + f 2
)η2 −
ρ1
ρ2gH2∇2
hη1 − g ′H2∇2hη2 = 0.
On cherche des solution sous la forme : ω2 = f 2 + c2k2h.
On notera c2i = gHi .
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modele bi-couches : relation de dispersion
(c21 − c2)η1 + c2η2 = 0,
ρ1
ρ2c2
2 η1 + (g ′H2 − c2)η2 = 0.
Solutions non triviale si et seulement si :
c4 − c2(c21 + c2
2 ) + c21g ′H2 = 0.
Solutions de la relation de dispersion :
c2 =1
2
[(c2
1 + c22 )±
√(c2
1 + c22 )2 − 4c2
1g ′H2
].
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Structure des modes
En phase
g ′ g
En opposition de phase
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Cas limite g ′
g = ρ2−ρ1
ρ2 1
Solutions de la relation de dispersion :
c2 =1
2
[(c2
1 + c22 )±
√(c2
1 + c22 )2 − 4c2
1g ′H2
].
Mode barotrope
c2+ ' c2
1 + c22 = g(H1 + H2),
h1 = (η1 − η2) ' c21
c22
η2
Mode barocline
c2− '
2c21g ′H2
c21 + c2
2
= g ′H1H2
H1 + H2
.η1 ' 0, h1 = (η1 − η2) ' −η2
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Rayon de deformation de Rossby
Rayon de deformation barotrope :
R+d =
√gH
f' 6000 km
ω2+ = f 2(1 + k2
hR+2d )
Rayon de deformation barocline :
R−d =
√g ′H1H2
H
f' 40 km
ω2− = f 2(1 + k2
hR−2d )
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Conditions aux limites en surface libre
Condition aux limites a la surface :
w |z=η = ∂tη + uh∇h · η,p|z=η = patm et ∂zp = −ρ0g − ρ(z)g − ρ′g
=⇒ p|z=0 = ρ0gη + patm
La pression ne depend que de l’elevation a la surface.
On peut donc ecrire la conditions aux limites :
Dp
Dt= ρ0gw en z = η(x , y , t)
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Conditions aux limites en surface libre
Condition aux limites a la surface :
w |z=η = ∂tη + uh∇h · η,p|z=η = patm et ∂zp = −ρ0g − ρ(z)g − ρ′g
=⇒ p|z=0 = ρ0gη + patm
La pression ne depend que de l’elevation a la surface.
On peut donc ecrire la conditions aux limites :
Dp
Dt= ρ0gw en z = η(x , y , t)
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Conditions aux limites en surface libre
Condition aux limites a la surface :
w |z=η = ∂tη + uh∇h · η,p|z=η = patm et ∂zp = −ρ0g − ρ(z)g − ρ′g
=⇒ p|z=0 = ρ0gη + patm
La pression ne depend que de l’elevation a la surface.
On peut donc ecrire la conditions aux limites :
Dp
Dt= ρ0gw en z = η(x , y , t)
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Conditions aux limites en surface libre
Condition aux limites a la surface :
w |z=η = ∂tη + uh∇h · η,p|z=η = patm et ∂zp = −ρ0g − ρ(z)g − ρ′g
=⇒ p|z=0 = ρ0gη + patm
La pression ne depend que de l’elevation a la surface.
On peut donc ecrire la conditions aux limites :
Dp
Dt= ρ0gw en z = η(x , y , t)
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Equation primitives linearisees
∂tu = −∂xp + fv
∂tv = −∂yp − fu
0 = −∂zp + b
∂tb = −N2w
∂xu + ∂yv + ∂zw = 0
Conditions aux limites linearisees a la surface :
w |z=η ' w |z=0 + ∂zw |z=0η ' w |z=0 = ∂tη,
p|z=0 = gη + patm, =⇒ ∂tp = gw
A la surface :w = g−1∂tp =⇒ N−2∂tzp + g−1∂tp = 0, (z = 0)Au fond : w = −N−2∂tzp = 0, (z = −H).
Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques
Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Equation primitives linearisees
0 = −∂zp + b
∂tb = −N2w
Conditions aux limites linearisees a la surface :
w |z=η ' w |z=0 + ∂zw |z=0η ' w |z=0 = ∂tη,
p|z=0 = gη + patm, =⇒ ∂tp = gw
A la surface :w = g−1∂tp =⇒ N−2∂tzp + g−1∂tp = 0, (z = 0)
Au fond : w = −N−2∂tzp = 0, (z = −H).
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Equation primitives linearisees
0 = −∂zp + b
∂tb = −N2w
Conditions aux limites linearisees a la surface :
w |z=η ' w |z=0 + ∂zw |z=0η ' w |z=0 = ∂tη,
p|z=0 = gη + patm, =⇒ ∂tp = gw
A la surface :w = g−1∂tp =⇒ N−2∂tzp + g−1∂tp = 0, (z = 0)
Au fond : w = −N−2∂tzp = 0, (z = −H).
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Equation primitives linearisees
0 = −∂zp + b
∂tb = −N2w =⇒ w = −N−2∂tb = −N−2∂t∂zp
Conditions aux limites linearisees a la surface :
w |z=η ' w |z=0 + ∂zw |z=0η ' w |z=0 = ∂tη,
p|z=0 = gη + patm, =⇒ ∂tp = gw
A la surface :w = g−1∂tp =⇒ N−2∂tzp + g−1∂tp = 0, (z = 0)
Au fond : w = −N−2∂tzp = 0, (z = −H).
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Equation primitives linearisees
0 = −∂zp + b
∂tb = −N2w =⇒ w = −N−2∂tb = −N−2∂t∂zp
Conditions aux limites linearisees a la surface :
w |z=η ' w |z=0 + ∂zw |z=0η ' w |z=0 = ∂tη,
p|z=0 = gη + patm, =⇒ ∂tp = gw
A la surface :w = g−1∂tp =⇒ N−2∂tzp + g−1∂tp = 0, (z = 0)
Au fond : w = −N−2∂tzp = 0, (z = −H).
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Equation d’onde
L’equation d’ondes s’ecrit :
∂t
[(∂2
tt + f 2)∂z(N−2∂zp) +∇2p]
= 0.
Il est possible de separer les variables horizontales et verticales etchercher des solution sous la forme :
p(z) = p0φ(z)e i(k x+l y−ω t)
L’equation d’onde devient :
∂zN−2∂zφ
φ=
k2 + l2
f 2 − ω2
Il faut trouver la structure des modes propres φ associes auxfrequences ω.
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Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Approximation du toit rigide
L’equivalent de la gravite reduite en continuement stratifie :
g ′ = g∆ρ/ρ = −gH∂zρ/ρ0 ' N2H g
Pour des faibles gravite reduites,
g ′ = N2H g ,
on a des faibles deviations de l’interface.
Traduction en terme de conditions aux limites a la surface :
w = ∂tη ' 0 =⇒ N−2∂tzp = 0, (z = 0)
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modes propres : N2(z) quelconque
Pour N(z) donne, l’operateur ∂zN−2∂z est auto adjoint pour le
produit scalaire
〈f |g〉 =
∫ 0
−Hdz f (z) g(z)
dans l’espace des fonctions verifiant les conditions aux limites :
∂zφ = 0 en z = −H
∂zφ+ φN2/g = 0 en z = 0
L’operateur est donc diagonalisable dans une base orthonormee devecteurs propres φn(z) verifiant
∂z(N−2∂zφn) = − 1
c2n
φn = − 1
f 2R2n
φn∫ 0
−Hφn(z)φm(z) dz = δn,m
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modes propres : Cas particulier de N2 constant
La resolution dans le cas N(z) = cste nous conduit a
∂zzφn +N2
c2n
φn =⇒ φn(z) ∝ cos(N
cn(z + H))
et la relation de dispersion (issue des cond. aux lim. verticales)
tan
(HN
cn
)=
Ncn
g 1 = 0 toit rigide
avec ω(ω2 − f 2 − c2n(k2 + l2) = 0
mode barotrope c20 ∼ gH R0 ∼
√g H/f
modes baroclines n = 1, 2, . . . cn ∼ NH/(nπ), Rn ∼ NH/(fnπ)On a egalite en toit rigide
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Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces
Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modes propres : Cas particulier de N2 constant
La resolution dans le cas N(z) = cste nous conduit a
∂zzφn +N2
c2n
φn =⇒ φn(z) ∝ cos(N
cn(z + H))
et la relation de dispersion (issue des cond. aux lim. verticales)
tan
(HN
cn
)=
Ncn
g 1 = 0 toit rigide
avec ω(ω2 − f 2 − c2n(k2 + l2) = 0
mode barotrope c20 ∼ gH R0 ∼
√g H/f
modes baroclines n = 1, 2, . . . cn ∼ NH/(nπ), Rn ∼ NH/(fnπ)On a egalite en toit rigide
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Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modes propres (faible N2)
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Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie
Modes propres (fort N2)
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