phénomènes de propagation dispersifs i) dispersion et absorption dune onde 1) Équation de...

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

1) Équation de propagation

On-1 On On+1

n-1

n

n+1

x

y

z

Chaîne de pendules pesants couplés

n-1 est négatif ; n et n+1 sont positifs

Chaîne de pendules pesants couplés

Théorème du moment cinétique appliqué au pendule de rang n en On projeté sur l’axe Onx :

θ θ θ θ θ θ θ2

n n n 1 n n 1 n nm

C C mg sin f3 2

Dans l’approximation des milieux continus, a << , on définit la fonction continue de classe C2 des variables x et t, (x,t), qui coïncide à chaque instant t avec tous les n(t) : (x = n.a, t) = n(t)

Dans ces conditions, si (x = n.a, t) = n(t) = (x,t) alors : n-1(t) = (x – a, t) et n+1(t) = (x + a, t)

Donc l’équation de propagation,

devient avec :

θ θ θ θ θ θ θ2

n n n 1 n n 1 n nm

C C mg sin f3 2

θ θθ θ θ

2 2

n 1 2a

(x a,t) (x,t) a (x,t) (x,t)x 2 x

θ θθ θ θ

2 2

n 1 2a

(x a,t) (x,t) a (x,t) (x,t)x 2 x

Pour des petits angles :

θ θ θθ

2 2 22

2 2m

Ca mg f3 2 tt x

θ θ θθ

2 2 22

2 2m

Ca mg sin f3 2 tt x

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques

a) Définitions

Définition :

Nous appellerons pseudo – onde plane progressive harmonique, O.P.P.H*., une onde de la forme :

(x,t) = Re[(x,t)] avec (x,t) = A.expj(t – k.x)

où la pulsation de l’onde est réelle et le vecteur d’onde k = k.ux a priori complexe.A est l’amplitude complexe.

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques

a) Définitions

b) Relation de dispersion

L’équation de propagation et la forme de l’onde utilisée donnent la relation de dispersion :

ω ω2

2 2mC.a.k m.g jf 0

3 2

ω ω2 22

2 2 2mg jf

k m 3Ca 2Ca Ca

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques

a) Définitions

b) Relation de dispersion

c) Dispersion et absorption

θ

Récapitulatif : k = k’ + jk’’

Re(k) = k’ 0 donne la vitesse de phase.Si v dépend de , le milieu est dispersif.

Re(k) = k’ renseigne sur la propagation.• Si k’ = 0, il n’y a pas de propagation ;• Si k’ 0, il y a propagation.

Im(k) = k’’ donne l’absorption.Si k’’ dépend de , le milieu est dit filtrant.

Récapitulatif : k = k’ + jk’’

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques

d) Retour sur l’exemple

La relation de dispersion :

ω ω2 22

2 2 2mg jf

k m 3Ca 2Ca Ca

1er cas : on ne garde que le terme en 2

ω22

2k c

C’est le cas de D’Alembert pour l’O.P.P.H*.

k’’ = 0 et v = c :

Dans ce modèle, le milieu n’est ni absorbant, k’’ = 0, ni dispersif, v = cste.

2ème cas : on garde les termes en 2 et en

ω ω2 22

2 2jf

k m 3Ca Ca

Dans l’hypothèse supplémentaire : ω2mf

3

ω

ω

2 22

2 23jf

k m 1 3Ca m

ωω

2

2 2m 3jf

k 1 3Ca 2m

On obtient deux couples (k1, k2) :

ω2

1 12 2 2m 3

k k f3Ca 4m Ca

' ''

ω2

2 22 2 2m 3

k k f3Ca 4m Ca

' ''

Dans ce modèle, le milieu n’est pas dispersif :

φω

v Cstek '

3ème cas : on ne néglige que les frottements

ω2 22

2 2mg

k m 3Ca 2Ca

θ θθ

2 2 2

2 2m

Ca mg3 2t x

Equation dite de Klein – Gordon

3ème cas : on ne néglige que les frottements

ω ω2 22 c

2k c

2

23Ca

c m

ωc3g

2

Relation de dispersion de Klein – Gordon

3ème cas : on ne néglige que les frottements

ω ω2 2c

2

k k' c

k 0''

k est réel : le milieu n’est pas absorbant

Si > c :

v dépend de : le milieu est dispersif

3ème cas : on ne néglige que les frottements

ω ω2 2c

2

k jk'' jc

k 0'

k est imaginaire pur : le milieu est absorbant

Si < c :

(x,t) = A.exp(k’’.x).cos(t – k’.x) = A.exp(k’’.x).cost

k’’ dépend de : le milieu est filtrant

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe

a) Position du problème

Pour interpréter vg, considérons le groupe d’ondes constitué de deux O.P.P.H., de même amplitude et de pulsations 1 et 2 très proches, définies par :

= 2 – 1 << 0

δωω ω1 0

2 δω

ω ω2 0 2

k = k2 – k1 << k0

δω1 1 0

kk k k

2

δω2 2 0

kk k k

2

k0 = k(0)

θ θ θ1 2(x,t)

On observe des battements spatiaux :une onde moyenne de nombre d’onde k0, de pulsation 0 est enveloppée par une onde enveloppe de nombre d’onde k et de pulsation

θ ω ω1 1 2 2(x,t) A.cos t k .x A.cos t k .x

δω δθ ω0 0

k(x,t) 2A.cos t k .x .cos t x

2 2

t0

t1 > t0vg

v = 10 m.s–1 et vg = 3 m.s–1v

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe

a) Position du problème

b) Généralisation. Vitesse de groupe

On appelle paquet d’ondes ou groupe d’ondes un ensemble d’O.P.P.H*. de pulsations très voisines.

Définition :

Δωω0

2 Δω

ω0 2

Un paquet d’ondes localisé dans le temps et dans l’espace est une superposition d’O.P.P.H*. à spectre continu en fréquence.Leurs pulsations sont comprises entre :

<< 0

sans dispersion

avec dispersion

Phénomènes de propagation dispersifs

II) Retour sur l’effet de peau dans un conducteur ohmique

1) Équation de propagation

Effet de peau

z

vide

Conducteur ohmique, homogène, isotrope, de conductivité électrique réelle positive

E(0-,t) = E0.cost.ux

0div

EL’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB

rotE

L’équation locale de Maxwell – Ampère :

μ μ ε0 0 0. . .tE

rotB j

L’équation locale du flux magnétique : divB = 0

Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M à la date t :

||jD|| << ||j|| = .||E|| et = 0.

Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant.

Équation de propagation

rot(rotE) = – E + grad(divE) = – E

μ γ0( ) ( ) ( ) t t tB E

rot rotE rot rotB

Δ μ γ0 tE

E

Phénomènes de propagation dispersifs

II) Retour sur l’effet de peau dans un conducteur ohmique

1) Équation de propagation

2) Solutions et analyse