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11
MODÉLISATION GÉOLOGIQUE 3D MODÉLISATION GÉOLOGIQUE 3D ET CARACTÉRISATION DES ET CARACTÉRISATION DES
INCERTITUDES PAR LA MÉTHODE INCERTITUDES PAR LA MÉTHODE DU CHAMP DE POTENTIELDU CHAMP DE POTENTIEL
Christophe Christophe AugAugCentre de GéostatistiqueCentre de Géostatistique
JuryRapporteur: J.-L. Mallet Examinateur: J.-P. ChilèsRapporteur: A. Parriaux Examinateur: G. CourriouxExaminateur: J.-P. Brun Examinateur: Ch. Lajaunie
Ecole des Mines de Paris, 13 décembre 2004
22
?
Cartographie géologique
N
2
33
Comment interpoler une surface Comment interpoler une surface géologique ?géologique ?
qq Il nous faut:Il nous faut:ØØ intégrer dintégrer des donnéeses donnéesØØ choisir uchoisir une ne approcheapprocheØØ respecter drespecter des règleses règles
qq Il Il nene faut faut paspas ::ØØ oublier qu’il s’agit d’une interprétation…oublier qu’il s’agit d’une interprétation…
44
Les donnéesLes donnéesqq interfaces (contours, intersections dans les interfaces (contours, intersections dans les
forages…)forages…)qq directions structuralesdirections structuralesqq faillesfaillesqq géophysiquegéophysique
55
Approches géostatistiquesApproches géostatistiquesqq Les surfaces d’élévation: z=f(x,y) (Ex. MNT)Les surfaces d’élévation: z=f(x,y) (Ex. MNT)
ØØ faciles à utiliser, adaptées pour multicouches.faciles à utiliser, adaptées pour multicouches.ØØ visualisation 3D, mais modélisation 2Dvisualisation 3D, mais modélisation 2D
⇒⇒ certains objets ne peuvent être reconstruits.certains objets ne peuvent être reconstruits.
qq Les surfaces implicites: Les surfaces implicites: VV00=f(x,y,z)=f(x,y,z)
⇒⇒ Une Une surface est définie par une surface est définie par une isovaleurisovaleur particulière d’un particulière d’un champ scalaire dans l’espace 3D (champ de potentiel).champ scalaire dans l’espace 3D (champ de potentiel).
Deux étapes:Deux étapes:ØØ Phase d’interpolation: exprimer f Phase d’interpolation: exprimer f →→ calculer f(x,y,z).calculer f(x,y,z).ØØ Phase de reprPhase de repréésentation: expliciter les surfaces sentation: expliciter les surfaces isovaleursisovaleurs →→
dessiner les surfaces dessiner les surfaces VV00.
66
Les règlesLes règles
qq La pile La pile stratigraphiquestratigraphique
qq Les relationsLes relationsØØ «« erodeerode »»ØØ «« onlaponlap » »
F3
F2-1
F1
F2-2
F4-1
F4-2
F4-3
Serie_F3(ERODE)
Serie_F4(ONLAP)
Serie_F2(ONLAP)
Serie_F1(ERODE)
77
L’L’EditeurEditeur GéologiqueGéologique
qq Outil développé au Outil développé au BRGMBRGM..qq Approche implicite: méthode du champ de potentiel Approche implicite: méthode du champ de potentiel
((LajaunieLajaunie et et alal.., 1997)., 1997).
qq Construction automatique de modèles géologiques Construction automatique de modèles géologiques volumiques.volumiques.
qq Méthode adaptée aux besoins et aux spécificités de la Méthode adaptée aux besoins et aux spécificités de la cartographie géologique:cartographie géologique:ØØ modélisation de différents types d’objets géologiques (bassins modélisation de différents types d’objets géologiques (bassins
sédimentaires, séries métamorphiques, intrusions granitiques…)sédimentaires, séries métamorphiques, intrusions granitiques…)ØØ intégration de plusieurs types de données (MNT, carte intégration de plusieurs types de données (MNT, carte
géologique, données structurales, sondages, géophysique…)géologique, données structurales, sondages, géophysique…)
qq Nombreux exemples d’études sur Nombreux exemples d’études sur http://www.3dweg.brgm.frhttp://www.3dweg.brgm.fr
88
Objectifs de la thèseObjectifs de la thèseqq CadreCadre: Thèse sous la direction de Jean: Thèse sous la direction de Jean--Paul Chilès, en Paul Chilès, en
partenariat avec le BRGM. partenariat avec le BRGM. Projet de recherche en modélisation 3D des corps Projet de recherche en modélisation 3D des corps géologiques.géologiques.
qq Editeur GéologiqueEditeur Géologique: Développer dans cet outil des : Développer dans cet outil des techniques géostatistiques permettant de construire des techniques géostatistiques permettant de construire des modèles géologiques plausibles. modèles géologiques plausibles.
qq Axes de rechercheAxes de recherche::ØØ Caractérisation des incertitudes affectant les modèles Caractérisation des incertitudes affectant les modèles
construits.construits.ØØ Traitement des sondages incomplets.Traitement des sondages incomplets.
99
PlanPlanqq Présentation de la méthode du champ de potentielPrésentation de la méthode du champ de potentiel
qq Caractérisation de la covariance du potentielCaractérisation de la covariance du potentielØØ Inférence à partir des données de gradientInférence à partir des données de gradientØØ Illustrations par les données du LimousinIllustrations par les données du Limousin
qq Détermination des incertitudes :Détermination des incertitudes :ØØ sur la position des interfacessur la position des interfacesØØ sur les paramètres du modèlesur les paramètres du modèle
qq Autres problèmes :Autres problèmes :ØØ Gestion de plusieurs formations et des faillesGestion de plusieurs formations et des faillesØØ Traitement des fins de sondagesTraitement des fins de sondages
1010
La méthode du champ de La méthode du champ de potentielpotentiel
Deux types de données:- points de passage (x, y, z) sur les interfaces géologiques ;- données ponctuelles d’orientation: vecteurs normaux aux lignes iso valeurs (azimut, pendage, polarité).
Les interfaces sont interpolées en 3D en assimilant les points àLes interfaces sont interpolées en 3D en assimilant les points à desdes potentiels(on travaille en fait sur des incréments) et les orientations à (on travaille en fait sur des incréments) et les orientations à des des gradients du potentiel..
Points équipotentiels sur l’interface
Dérivées du champ de potentiel
1111
Le cadre de la géostatistiqueLe cadre de la géostatistique
qq MultivariableMultivariableDeux types de données: Deux types de données:
ØØ Potentiel (incréments) Potentiel (incréments) ØØ Gradients Gradients
qq NonNon--stationnairestationnaireDérive polynomialeDérive polynomiale
⇒⇒ CokrigeageCokrigeage universel universel (dual)(dual)
⇒⇒ Choisir une covarianceChoisir une covariance
( ) ( ) 0P P ′− =j jx x
( )
( )
( )
PxPyPz
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
i
i
i
x
G x
x
Fonction Aléatoire P: potentiel
1212
Caractérisation de la Caractérisation de la variabilité spatiale du variabilité spatiale du
potentielpotentiel
⇒⇒ Inférence à partir des données Inférence à partir des données d’orientationd’orientation
1313
Le choix de la covarianceLe choix de la covariance
qq Jusqu’à présent: modèle «Jusqu’à présent: modèle « conventionnelconventionnel »»
qq Modèle de covariance par défautModèle de covariance par défaut⇒⇒ Cubique isotrope, portée arbitrairement prise égale Cubique isotrope, portée arbitrairement prise égale àà la taille du champ, la taille du champ,
variance du gradient unité, effet de pépite du gradient de 0.01variance du gradient unité, effet de pépite du gradient de 0.01
qq Problème: incréments de potentiel nuls !Problème: incréments de potentiel nuls !
qq Solution: exploiter les données d’orientationSolution: exploiter les données d’orientationØØ Mesures angulaires d’orientation des plans de litage (stratificaMesures angulaires d’orientation des plans de litage (stratification, tion,
schistosité, foliation).schistosité, foliation).IllustrationIllustration (photos de foliations dans des granites)(photos de foliations dans des granites)
ØØ Dans le cas d’étude Dans le cas d’étude LimousinLimousin: foliations cartographiques.: foliations cartographiques.⇒⇒ X, Y, (Z), Azimut, Pendage, PolaritéX, Y, (Z), Azimut, Pendage, Polarité
1414
©Ledru et al. 2001 T
ectonophysicsS
S
2 cm
1515
Covariance du potentiel et Covariance du potentiel et covariance du gradientcovariance du gradient
qq Lien algébrique:Lien algébrique:
qq Calcul des Calcul des variogrammesvariogrammes expérimentaux dans différentes directions.expérimentaux dans différentes directions.
22 2 2
2
22
2 3
(h)(h)
( ) 1(h) ( ) (h) ( )
u
u
PG x y z
u
uP G u
KK r h h h
h
hC rK C r K h C r
r r r
∂= − = + +
∂
′′ ′= ⇒ = − + −
1γ(h)
0 a ha/2
14/a2
γ(h)h // u
h ⊥ u
0 a ha/2
Variogramme du potentiel Z Variogramme de la dérivée ∂Z/∂u
1616
Ajustement IAjustement Iq Paliers variant avec la direction.q Anisotropie zonale: le variogramme ne dépend que de
certaines composantes du vecteur h.
⇒ Schéma gigogne.
q Ajustement manuel:Ø Structure 3D ajustée sur GZ.Ø Structure 2D ajustée sur GX.Ø (Structure 1D ajustée sur GY.)
( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 2 1( )P x y z x y yh h h h h h hΓ = Γ + + + Γ + + Γ
1717
Ajustement IIAjustement IIq 3 paramètres à déterminer pour chaque variogramme de
composante de gradient: portée, palier, effet de pépite.
q Ajustement automatique: détermination des paramètres optimaux en minimisant une fonction d’erreur.
q Méthode de régression non-linéaire (Levenberg-Marquardt): méthode à gradient adaptatif⇒ Chaîne de traitement entièrement automatique.
( ) 2
2
1
;( )
Ni i
i i
hγ γχ
σ=
− =
∑
aa
1818
Caractérisation de la Caractérisation de la variabilité spatiale du variabilité spatiale du
potentielpotentiel
⇒⇒ Illustrations par des données du Illustrations par des données du LimousinLimousin
1919
Présentation des donnéesPrésentation des donnéesTaille ≈ 70 × 70 km 1485 données de foliation (roches métamorphiques)128 points (carte géologique)tous situés sur la surface topographique
2020
ÉÉtude exploratoiretude exploratoire
0.03140.03140.74910.74911.00001.00000.31680.3168GGzz
0.20760.2076--0.11040.11040.89320.8932--0.86590.8659GGyy
0.18760.18760.01080.01080.86590.8659--0.89130.8913GGxx
VarVarMoyMoyMaxMaxMinMin
N=1485
-1 -10 1 0 1 0.3 0.7 1
GX GY GZ
2121
VariogrammesVariogrammes expexpéérimentauxrimentaux
0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0 2 5 0 0 0
D i s t a n c e
0.0
0.1
0.2
0.3
Var
iogr
amm
e
γY//
γX⊥
γY⊥
γX//
γZ⊥
2222
Ajustement des Ajustement des variogrammesvariogrammes
0 5000 10000 15000 20000 250000.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Var
iogr
amm
e
Distance
0 5000 10000 15000 20000 250000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Var
iogr
amm
e
Distance
0.08250.08250.07330.0733
0.07500.07500.07070.0707
170001700085608560
2D2DAutoAuto
0.05000.0500//
0.07500.0750//
5500055000//
1D1Dautoauto
0.01750.01750.01790.0179
0.01650.01650.01660.0166
25000250002670726707
3D3Dautoauto
PalierPalierEffet Effet pépitepépite
Portée Portée (en m)(en m)
StructStruct..
γZ
γX
⊥
0 5000 10000 15000 20000 25000
Distance
0.0
0.1
0.2
0.3
Var
iogr
amm
e
⊥
//
γY
//
2323
Synthèse de l’étude Synthèse de l’étude variographiquevariographique
qq Belle structuration des Belle structuration des variogrammesvariogrammes..qq Effet de pépite relativement important.Effet de pépite relativement important.qq Portée de l’ordre de la dizaine de kilomètres.Portée de l’ordre de la dizaine de kilomètres.qq Palier de la composante verticale bien inférieur à Palier de la composante verticale bien inférieur à
ceux des composantes horizontales.ceux des composantes horizontales.qq Ajustement facile pour la composante verticale, Ajustement facile pour la composante verticale,
plus délicat pour les composantes horizontales.plus délicat pour les composantes horizontales.
2424
Impact du modèle sur les surfacesImpact du modèle sur les surfacesCalcul du potentiel en tout point de la grille, puis tracé de l’isopotentielle passant par les points de données.
128 points sur l’interface considérée
Topographie – altitude constante Z=500
Comparaison
Modèle par défautModèle ajusté
Coupe 1
C1
Différence de 450 m
70 km
70 km
N
17
km
2525
Représentation 3DReprésentation 3D
Algorithme Marching Cubes:
• Evaluation du potentiel en tous nœuds d’un maillage de cube • Détermination de l’éventualité de rencontre de la surface et d’un cube• Construction de l’intersection surface/cube si nécessaire, toutes les solutions des différentes configurations sont répertoriées
2626
La détermination des La détermination des incertitudes sur la position incertitudes sur la position
des interfacesdes interfaces
2727
Probabilité d’appartenance d’un point Probabilité d’appartenance d’un point à une formationà une formation
q Calcul des variances σ2CK des incréments de potentiel.
q Probabilité pour un point donné x d’appartenir à une formation:
{ } ( ) ( )2 11 2Pr ( )
( ) ( )CK CK
P P P PP P P G G
σ σ
∗ ∗ − −< ≤ = −
x xx
x x
P1
P2
P(x)
2828
Le «Le « potentiel réduitpotentiel réduit »»q Calcul du “potentiel réduit” Φ : x0 étant un point de l’interface
q Hyp. gaussienne: l’interface estimée est comprise dans 95% des cas entre les courbes Φ=-2 et Φ=+2.
q Cartographie de l’incertitude du toit de l’unité géologique. → Carte du “potentiel réduit” (iso-Φ).
( ) ( )( )
( )CK
P Pσ
∗ ∗−Φ = 0x x
xx
Φ= + 2
Φ= - 2
InterfaceP=P(x0)
Exemple dans une coupe: 3 données d’interface et 2 données d’orientation.
2929
Cartographie de l’incertitude sur Cartographie de l’incertitude sur la position des interfacesla position des interfaces
>=32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5<-3
Plan Z=500
C 1
Coupe 1
Z=500
3030
La détermination des La détermination des incertitudes sur les incertitudes sur les
paramètres du modèleparamètres du modèle
3131
Incertitudes sur le modèle de Incertitudes sur le modèle de covariancecovariance
Utilisation d’une approche Utilisation d’une approche bayésiennebayésienne pour inférer les paramètres pour inférer les paramètres ?? du modèle:du modèle:
qq Loi Loi a posteriori: a posteriori: qq Loi Loi a priori:a priori:qq Fonction de vraisemblance:Fonction de vraisemblance:
⇒⇒ Simulations selon la loi Simulations selon la loi a posterioria posteriori
( )2, ,θ σ β ν=
( ) ( ) ( )| |zz ππ θθ θ π∝( ) ?π θ
( ) ( ) ( ) ( )2 1 22 1
2
1exp2
|n tz Fz z Fν νσ β β
σπ θ
− − −− ∝ Σ − Σ −
[ ] ( )( ) ( )2
( )
( ), ,
tE Z x f x
Cov Z x Z x x xν
β
σ
=
′ ′= Σ
3232
Résultats de l’approche Résultats de l’approche bayésiennebayésienne II
α β
ν τ
Histogrammes et densités des paramètres a posteriori
Limousin Gz
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.01
0.02
0.03
5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000
0.0E0
2.0E-5
4.0E-5
6.0E-5
8.0E-5
1.0E-4
0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90
0
2
4
6
8
10
12
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
3333
Résultats de l’approche Résultats de l’approche bayésiennebayésienne IIII
16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000
Portée
0.15
0.17
0.19
0.21
0.23
0.25
Pal
ier
10 30 50 70 90
Alpha
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
Tau
Variogramme et relations entre paramètres
Gx ; τ=0.3
Gx
Gz
0 5000 10000 15000 20000 25000
Distance
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Var
iogr
amm
e
Gz
3434
Autres problèmes:Autres problèmes:la gestion de plusieurs formations la gestion de plusieurs formations
et des failleset des failles
3535
Le cas de formations subLe cas de formations sub--parallèlesparallèles
1
2
3
4
5
6
⇒ Utilisation d’un seul champ de potentiel.
1
2
3
4
56
3636
Le cas de formations Le cas de formations nonnon--parallèlesparallèles II
1
2
3
4
5
6
7
Sans prise en compte des relations ⇒ problème de croisements
⇒ Nécessité d’utiliser plusieurs champs de potentiel.
3737
1
2
3
4
5
6
7 erode
erode
erode
onlap
onlap
onlap
onlap
⇒ Utilisation de plusieurs champs de potentiel en exploitant les règles « erode » et « onlap ».
Le cas de formations Le cas de formations nonnon--parallèlesparallèles IIII
On peut alors remplir les volumes créés à travers le modèle.
3838
Les discontinuitésLes discontinuités
0
1
0
Profil longitudinal
1
0
Profil transversal
Failles finies
Profil longitudinal
0
1
Failles infinies
Profil transversal
1
00
Prise en compte des failles: des fonctions de dérive discontinues sont ajoutées aux équations de cokrigeage
3939
Autres problèmes:Autres problèmes:le traitement des fins de le traitement des fins de
sondagessondages
4040
Les données d’inégalitéLes données d’inégalitéModéliser une interface géologique à partir de données Modéliser une interface géologique à partir de données
exactes et de données d’inégalité.exactes et de données d’inégalité.
-- Données «Données « duresdures »: incertitude attachée à la mesure de »: incertitude attachée à la mesure de la valeur considérée comme négligeable.la valeur considérée comme négligeable.
-- Données «Données « souplessouples »: contraintes accompagnées d’une »: contraintes accompagnées d’une information sur l’incertitude. Données d’inégalité.information sur l’incertitude. Données d’inégalité.
ZB = Z(F1)ZB < Zfin(F2)ZB > Zdeb(F3)
A
B
C
ZB
ZC
F1 F2
F3
4141
Comment prendre en compte les Comment prendre en compte les contraintes d’inégalité ?contraintes d’inégalité ?
Principe:Remplacer les données souples par des données dures respectant:– la structure spatiale– les inégalités
Algorithme de validation des contraintes: simulations de vecteurs gaussiens tronqués par une approche MCMC (échantillonneur de Gibbs) (Freulon, de Fouquet, 1993)
– Valable pour le krigeage simple.– Reste robuste pour le cokrigeage ordinaire ou universel dans le cadre des applications.
KS KSi i i iZ Z Uσ= +
4242
Objectif: remplacer l’inégalité par l’espérance conditionnelle de la valeur compte tenu de l’ensemble des données.
Initialisation: tirage au sort d’une valeur dans l’intervalle.
Cycle de p itérations:
i) Choix d’un site
ii) Relaxation du site
iii) Itérations sur l’ensemble des sites
Itérations sur p cycles → 1 simulation pour chaque siteMonte - Carlo: N simulations de p cycles
L’échantillonneur de GibbsL’échantillonneur de GibbsGeman et Geman, 1984
4343
Cas d’une seule passeCas d’une seule passe
Passe uniquement composée de B: différence de potentiel positive
Passe uniquement composée de A: différence de potentiel négative
Pile stratigraphique
B
A
4444
Cas de deux interfacesCas de deux interfaces
B
A
B en onlapA érodante
Sans validation Avec validation
4545
Le cas de lacunesLe cas de lacunes
SANS
AVEC
B
A
C
D
Pile stratigraphique
C en onlapB érodanteA en onlap
4646
Conclusion IConclusion Iqq «« Editeur GéologiqueEditeur Géologique »: modeleur utilisant la méthode »: modeleur utilisant la méthode
du champ de potentiel afin de construire des modèles du champ de potentiel afin de construire des modèles géologiques 3D géométriquement cohérents et géologiques 3D géométriquement cohérents et respectant les données d’origine diverse.respectant les données d’origine diverse.
Apports principaux de la thèseApports principaux de la thèse::
qq Mise en place dMise en place d’’une procune procéédure ddure d’’infinféérence des rence des paramparamèètres du modtres du modèèle de covariancele de covarianceØ Meilleure prise en compte de la structure spatiale grâce à la
modélisation des variogrammes des données d’orientation.Ø Procédure entièrement automatique: on fournit en entrée le
fichier des données et les paramètres du modèle sont mis à jour dans le logiciel.
4747
Conclusion IIConclusion IIApports principaux de la thèseApports principaux de la thèse::
qq Quantification de l’incertitude affectant les modèles Quantification de l’incertitude affectant les modèles géologiques construitsgéologiques construitsØ Cartographie des incertitudes sur la position des interfaces en
profondeur et détermination de la variance de la cote.ØØ L’approche L’approche baybayéésiennesienne permet de dpermet de dééterminer les incertitudes sur terminer les incertitudes sur
les paramles paramèètres du modtres du modèèle de covariance.le de covariance.
qq Traitement automatique des sondages incomplets.Traitement automatique des sondages incomplets.ØØ Testé dans une approche multicoucheTesté dans une approche multicoucheØØ Résultats encourageants sur données synthétiquesRésultats encourageants sur données synthétiques
4848
PerspectivesPerspectives
qq A préciser:A préciser:qq Etude d’un cas réel de traitement des inégalités .Etude d’un cas réel de traitement des inégalités .qq Impact sur le Impact sur le cokrigeagecokrigeage de l’utilisation de vecteurs de l’utilisation de vecteurs
normés à la place des gradients réels.normés à la place des gradients réels.
qq Développements ultérieurs:Développements ultérieurs:qq Mise en place d’un voisinage glissant à la place d’un Mise en place d’un voisinage glissant à la place d’un
voisinage unique.voisinage unique.qq Meilleure prise en compte des réseaux de failles.Meilleure prise en compte des réseaux de failles.qq Meilleure intégration de la géophysique.Meilleure intégration de la géophysique.qq Simulations conditionnelles.Simulations conditionnelles.……
4949
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