ministere de lenseignement superieur et de la
Post on 18-Jun-2022
5 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MINISTERE DE L‟ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
-oOo- UNIVERSITE D‟ANTANANARIVO
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D‟ANTANANARIVO
Mémoire de Fin d‟Etudes en vue de l‟obtention du :
DIPLOME D’INGENIEUR EN MATERIAUX
DEPARTEMENT SCIENCE DES MATERIAUX ET METALLURGIE
OPTION SCIENCE ET INGENIERIE DES MATERIAUX
Présenté par
Haingotiana Estelle RAKOTONDRASOA
ANALYSE NUMERIQUE DES PARAMETRES RHEOLOGIQUES
ETUDE DE CAS : MESURE DES CARACTERISTIQUES DE
SUSPENSION EAU – DECHETS CELLULOSIQUES
Encadré par :
Monsieur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriely
Monsieur ANDRIAMANAMPISOA Tsiry Angelos
Promotion 2013
Premier Partenaire des
Professionnels
MINISTERE DE L‟ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
-oOo- UNIVERSITE D‟ANTANANARIVO
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D‟ANTANANARIVO
Mémoire de Fin d‟Etudes en vue de l‟obtention du :
DIPLOME D’INGENIEUR EN MATERIAUX
DEPARTEMENT SCIENCE DES MATERIAUX ET METALLURGIE
OPTION SCIENCE ET INGENIERIE DES MATERIAUX
Présenté par
Haingotiana Estelle RAKOTONDRASOA
ANALYSE NUMERIQUE DES PARAMETRES RHEOLOGIQUES
ETUDE DE CAS : MESURE DES CARACTERISTIQUES DE
SUSPENSION EAU – DECHETS CELLULOSIQUES
Soutenu le 19 Septembre 2014 devant le jury composé de :
Professeur ANDRIANARY Philippe Antoine Président
Docteur RANDRIANARIVELO Frédéric Examinateur
Docteur RANARIVELO Michel Examinateur
Docteur RAKOTOMALALA Zolimboahangy Examinateur
Professeur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriely Encadreur
Monsieur ANDRIAMANAMPISOA Tsiry Angelos Rapporteur
Promotion 2013
Premier Partenaire des
Professionnels
REMERCIEMENTS
Remerciements
Page I
La réalisation de ce présent rapport requiert la coopération et le soutien de
nombreuses personnes.
Tout d‟abord, je remercie le Bon Dieu de m‟avoir donnée la grâce et de m‟avoir
toujours guidée vers le bon chemin. Que l‟honneur et la gloire Lui reviennent à Lui seul.
Ensuite, je tiens à témoigner ma gratitude aux nombreuses personnes physiques
ou morales qui, de près ou de loin, m‟ont apporté leur aide dans la rédaction de ce
rapport, plus particulièrement :
A Monsieur ANDRIANARY Philippe Antoine, Professeur titulaire, Directeur
de l‟Ecole Supérieure Polytechnique d‟Antananarivo qui a accepté de présider cette
soutenance de mémoire ;
Au Docteur RANDRIANARIVELO Frédéric, Chef du Département Science
des Matériaux et Métallurgie de l‟E.S.P.A qui a donné tant d‟efforts pour l‟amélioration
de nos formations au sein du Département ;
Au Docteur RANARIVELO Michel, Maître de conférences, qui a bien voulu
examiner mes travaux ;
Au Docteur RAKOTOMALALA Zolimboahangy, pour sa lecture attentive
de mon manuscrit et qui a accepté de juger ce travail ;
A Monsieur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriely, Professeur
titulaire au sein du département SMM, pour ses conseils qui se sont avérés cruciaux
pour l‟accomplissement de mon travail ;
A Monsieur Tsiry Angelos ANDRIAMANAMPISOA, Enseignant chercheur,
qui, en dépit de ses obligations, m‟a accordée son temps pour un encadrement
pédagogique sans faille ;
Tous les membres du corps professoral de l‟E.S.P.A, qui nous ont formés
tout au long de nos années d‟études, sans oublier tout le personnel du Bloc Technique
à Vontovorona, de nous avoir aidés pour la réalisation des différents essais.
Mes vifs remerciements s‟adressent aussi à tous les personnels du laboratoire du
Génie Industriel de l‟E.S.P.A qui nous ont facilité l‟accès aux matériels nécessaires pour
les travaux de recherches.
Enfin, je tiens à remercier ma famille et mes amis qui m‟ont soutenue
spirituellement, matériellement et moralement au cours de la préparation de ce rapport.
Sommaire
Page II
Remerciements
Sommaire
Glossaire
Acronymes
Notations et symboles
Liste des tableaux
Liste des illustrations
Introduction
PARTIE I. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
CHAPITRE I. GENERALITES SUR LA RHEOLOGIE
CHAPITRE II. LES THEORIES DE L‟AGITATEUR
CHAPITRE III. LES MODELES MATHEMATIQUES
PARTIE II. ETUDE EXPERIMENTALE
CHAPITRE IV. MATERIELS ET METHODES
CHAPITRE V. OUTILS DE RESOLUTION
PARTIE III. ETUDE EXPLOITATION
CHAPITRE VI. ACQUISITION DES DONNEES
CHAPITRE VII. EXPLOITATION DES DONNEES
Conclusion
Références bibliographiques
Annexes
Table des matières
Résumé
GLOSSAIRE
Glossaire
Page III
Bingham : un fluide qui ne s'écoule que si la tension de cisaillement est supérieure à
un certain seuil .
Broyage : une opération qui consiste à réduire la taille de particules solides, soit dans
une phase liquide, soit directement dans la phase sèche.
Dilatant : un fluide tel que sa viscosité apparente augmente avec le gradient de vitesse.
Dilution : le passage d'une solution concentrée à une solution plus diluée par ajout
d'une phase continue compatible avec la solution.
Dispersion : la mise en contact d'une phase solide divisée dans une phase liquide
continue, les particules de la phase solide n'étant pas solubles dans la phase liquide.
Dissolution : la mise en solution d'une phase solide, soluble dans une phase liquide
continue appelée solvant.
Emulsion : la mise en contact stable d'une phase dispersée discontinue dans une
phase dispersante continue, non miscible avec la première.
Froude : un nombre adimensionnel qui représente le rapport des forces d'inertie sur les
forces de pesanteur.
Homogénéisation : consiste à rendre homogène un milieu.
Indice de comportement : paramètre de la loi d'Ostwald-Dewaele, l'indice de
comportement définit le caractère pseudoplastique d'un fluide pour n<1 ou dilatant pour
n>1 Pour n=1, la viscosité apparente est indépendante du gradient de vitesse, ce qui
définit un fluide newtonien.
Indice de consistance : paramètre de la loi d'Ostwald-Dewaele, l'indice de consistance
définit la consistance du fluide.
Laminaire : un type d‟écoulement où les couches, ou filets, fluides glissent les unes
contre les autres sans se confondre.
Mélange : définit un système formé de plusieurs espèces chimiques qui peuvent être
sous différents états (solide, liquide, gazeux).
Glossaire
Page IV
Pseudoplastique : un fluide tel que sa viscosité apparente diminue lorsque le gradient
de vitesse croît.
Reynolds : un nombre adimensionnel qui représente le rapport des forces d'inerties sur
les forces de viscosité.
Rhéogramme : une représentation de la courbe d'évolution de la contrainte de
cisaillement en fonction du gradient de vitesse appliqué.
Rhéomètre : un appareil qui permet de tracer un rhéogramme.
Suspension : une mise en mouvement d'une phase solide divisée non soluble dans
une phase liquide au sein.
Thixotrope : un fluide tel que sa viscosité apparente diminue lorsque la durée
d'application de la contrainte augmente.
Turbine : désigne le terme générique d'un mobile d'agitation qui engendre un
écoulement principal radial, c'est à dire perpendiculaire à l'axe d'agitation.
Turbulent : un écoulement où les grandeurs caractérisant les mouvements du fluide
sont turbulentes.
Viscoélastique : un fluide tel qu'il comprend simultanément des propriétés visqueuses
(déformation sous l'effet d'une contrainte) et élastiques (retour à la forme initiale lorsque
la contrainte cesse).
Viscosimètre : un appareil qui permet de déterminer la viscosité d'un fluide dans des
conditions opératoires données.
ACRONYMES
Acronymes
Page V
BFGS : Broyden Fletcher Goldfarb Shanno
DFP : Davidon Fletcher Powell
ESPA : Ecole Supérieure Polytechnique d‟Antananarivo
GN : Gauss – Newton
GUI : Graphical User Interface
GUIDE : Graphical User Interface Development Environment
IDE : Integrated Developmnet Environment
IHM : Interfaces Homme Machine
LM : Levenberg – Marquardt
MO : Metzner et Otto
NM : Nelder – Mead
SD : Stepest Descent
SMM : Science des Matériaux et Métallurgie
NOTATIONS ET
SYMBOLES
Notations et symboles
Page VI
a, a‟: coefficients
b: largeur des chicanes
b‟ : distance d‟une chicane décollée de la paroi à la paroi
d : diamètre du mobile d‟agitation
c, C : constante
D : diamètre de la cuve agitée
Fr : nombre de Froude
g : accélération de la pesanteur
Gm, G‟m : gradient de vitesse (ou taux de cisaillement) moyen
k, k‟, k‟m : constante
: longueur des pales
L : dimension caractéristique
nc : nombre de chicanes collées contre la paroi
n*c : nombre de chicanes décollées de la paroi
np : nombre de pales du mobile d‟agitation
N : fréquence de rotation du mobile d‟agitation
NP : nombre de puissance
NP0 : nombre de puissance en régime turbulent
NQc : nombre de circulation
NQp : nombre de pompage
P : puissance d‟agitation
Qc : débit de circulation
Qe : débit d‟entraînement
Qp : débit de pompage du mobile d‟agitation
Re : nombre de Reynolds
Notations et symboles
Page VII
U : vitesse d‟écoulement
Ux : vitesse instantanée du liquide dans une direction Ox
: vitesse moyenne du liquide dans une direction Ox
ux : fluctuation de vitesse dans une direction Ox
u‟x : valeur quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse dans une direction Ox
V : volume de liquide contenu dans la cuve
Vp : vitesse périphérique du mobile d‟agitation
W : largeur (ou hauteur) des pales
We : nombre de Weber
Y : élévation du centre du mobile d‟agitation par rapport au fond de la cuve
: tension superficielle
: puissance dissipée par unité de masse
: viscosité dynamique de l‟eau
: viscosité apparente de la solution agitée
: dimension caractéristique d‟un petit tourbillon
: viscosité cinématique de la solution agitée
: masse volumique de l‟eau
: masse volumique de la phase liquide agitée
: contrainte de cisaillement
: courbe caractéristique de l‟agitateur
LISTE DES TABLEAUX
Liste des tableaux
Page VIII
Tableau 1 : Tableau des unités ....................................................................................... 5
Tableau 2 : Expression rhéologique ................................................................................ 8
Tableau 3 : Coefficients a et a‟ ...................................................................................... 24
Tableau 4 : Coefficient B de la théorie de Metzner et Otto ............................................ 35
Tableau 5 : Plaque signalétique du moteur d‟entrainement .......................................... 44
Tableau 6 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 1 avec de l‟eau .................................... 69
Tableau 7 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 2 avec de l‟eau .................................... 70
Tableau 8 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 3 avec de l‟eau .................................... 70
Tableau 9 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 1 avec de la pâte de papier ................. 71
Tableau 10 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 2 avec de la pâte de papier ............... 72
Tableau 11 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 3 avec de la pâte de papier ............... 72
Tableau 12 : Les évènements lors du lancement du programme .................................. 77
Tableau 13 : K, x et y selon la méthode de Simplexe .................................................... 78
Tableau 14 : K, x et y selon la méthode de Gauss-Newton ........................................... 79
Tableau 15 : k, x et y selon la méthode de Levenberg-Marquardt................................. 79
Tableau 16 : k, x et y de simplexe, de Gauss Newton et de Levenberg Marquardt à E21
................................................................................................................................ 80
Tableau 17 : Valeur de n et m selon NM et LM ............................................................. 91
Tableau 18 : B calculé de P1 selon NM et LM ............................................................... 91
Tableau 19 : B calculé de P2 selon NM et LM ............................................................... 92
Tableau 20 : B calculé de P3 selon NM et LM ............................................................... 93
Tableau 21 : Equations de la pâle 1 .............................................................................. 93
Tableau 22 : Equations de la pâle 2 .............................................................................. 94
Tableau 23 : Equations de la pâle 3 .............................................................................. 94
Tableau 24 : Valeur de P selon NM ............................................................................... 95
Tableau 25 : Valeur de P selon LM ............................................................................... 95
LISTE DES
ILLUSTRATIONS
Liste des illustrations
Page IX
Figure 1: Fluide newtonien(1), (2) de Bingham, (3) rhéofluidifiant, (4) rhéoépaississant. 7
Figure 2 : Fonction fluage ................................................................................................ 9
Figure 3 : Fonction relaxation .......................................................................................... 9
Figure 4 : Mobiles à débit axial et à débit radial ............................................................ 15
Figure 5 : Formes des courants créés par un mobile à débit axial ................................ 16
Figure 6 : Agitation de grands réservoirs ....................................................................... 17
Figure 7 : Proportion entre débit de pompage et turbulence suivant le mobile d‟agitation
................................................................................................................................ 18
Figure 8 : Cuves et mobiles : configurations possibles .................................................. 18
Figure 9 : Vitesse en un point donné : évolution en fonction du temps ......................... 20
Figure 10 : Courbes caractéristiques de puissance : allure générale ............................ 24
Figure 11 : Gradients de vitesse moyen et maximal pour une turbine à 6 pales droites 28
Figure 12 : Méthodologie pour la détermination de la courbe caractéristique du mobile
d‟agitation (ou de la relation Np-Re-Fr) ................................................................... 31
Figure 13 : Configuration de l‟ATV 28 ........................................................................... 45
Figure 14 : Branchement de l‟appareil avec le réseau triphasé ..................................... 46
Figure 15 : Configuration des paramètres ..................................................................... 47
Figure 16 : Visualisation des valeurs ............................................................................. 48
Figure 17 : Mesure de Puissance .................................................................................. 49
Figure 18 : Intégration de puissance sur une durée ...................................................... 49
Figure 19 : Transfert des données sur un ordinateur .................................................... 50
Figure 20 : Extraction vers Excel ................................................................................... 51
Figure 21 : Algorithme de Nelder et Mead ..................................................................... 55
Figure 22 : Algorithme de Gauss – Newton ................................................................... 57
Figure 23 : Création de M-file ........................................................................................ 60
Figure 24 : Les objets graphiques ................................................................................. 64
Figure 25 : Etape de la détermination des paramètres .................................................. 67
Figure 26 : Affichage des graphes ................................................................................. 75
Figure 27 : Les différents boutons ................................................................................. 75
Figure 28: Bouton info ................................................................................................... 76
Figure 29 : Bouton fermer.............................................................................................. 76
Figure 30 : Courbes caractéristiques de la pâle 1 ......................................................... 82
Figure 31 : Courbes caractéristiques de la pâle 2 ......................................................... 83
Figure 32 : Courbes caractéristiques de la pâle 3 ......................................................... 84
Liste des illustrations
Page X
Figure 33 : Courbe Npe- méthode de NM de la pale 1 avec de l‟eau ............................ 86
Figure 34 : Courbe Npp- méthode de NM de la pale 1 .................................................. 86
Figure 35 : Courbe de NpRe de la pale 1 - NM ............................................................. 88
Figure 36 : Courbe de NppRe de la pale 1 - NM ........................................................... 88
Figure 37 : Courbe Npe- méthode de LM de la pale 1 avec de l‟eau ............................ 89
Figure 38 : Courbe Npp- méthode de LM de la pale 1 .................................................. 89
Figure 39 : Courbe de NpRe de la pale 1 – LM ............................................................. 90
Figure 40 : Courbe de NppRe de la pale 1 – LM ........................................................... 90
Figure 41 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier carton ........................... 97
Figure 42 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier vélin ............................. 98
Figure 43 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier journaux ....................... 99
INTRODUCTION
Introduction
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 1
Généralement, la conception d‟un procédé industriel qui n‟ait au moins une
opération unitaire agitation-mélange, que ce soit la dissolution des phases miscibles ou
l‟agitation des différentes phases immiscibles, est difficile. Ainsi, cette opération joue un
rôle important dans la dissolution des solides-liquides ou liquides-liquides, de formation
des suspensions de solide dans un liquide ou des bulles de gaz dans un liquide.
Dans certains cas, l‟analyse de cette partie de procédé présente toujours des
complexités, il faut tenir compte d‟une part du phénomène hydrodynamique où
interviennent la géométrie de l‟élément de mélange, le débit de fluide et la vitesse de
l‟agitateur, la puissance consommée et la viscosité des différentes phases parmi
d‟autres paramètres tout aussi important. D‟autre part, il est primordial aussi de tenir
compte du phénomène physico-chimique du composant.
Par conséquent, la plupart des unités industrielles penche leur préférence pour un
certain type de mélangeur qui parait adapté aux particularités du produit et du procédé,
elles optent souvent pour un nouvel appareil par analogie avec un système existant.
Cette démarche empirique résulte de la complexité à quantifier tous les paramètres qui
définissent une bonne opération de mélange agitation. D‟où vient l‟idée de notre sujet
d‟étude concernant l‟analyse numérique des paramètres rhéologiques d‟un système de
mélange.
Des travaux de recherche ont été menés par les sociétés et laboratoires spécialisé
dans le domaine de l‟agitation et du mélange, certains auteurs ont effectués des
publications concernant la loi régissant les déchets cellulosiques. Pour notre cas,
l‟objectif de ce travail est de caractériser le comportement rhéologique des suspensions
eau-déchets cellulosiques par des essais expérimentaux pour paramétrer notre broyeur
un rhéomètre de procédé et d‟en tirer les paramètres de l‟agitateur. Ces informations
permettent d‟aider à comprendre et à contrôler le mélange dans la cuve agitée puis
d‟optimiser son fonctionnement dans différentes conditions.
Ce mémoire est ainsi divisé en trois parties. Dans la première partie, on a fait une
révision de la littérature concernant les généralités sur la rhéologie, les théories de
l‟agitateur ainsi que les modèles mathématiques.
Introduction
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 2
La deuxième partie porte sur les matériels et la méthodologie utilisés pour réaliser
la partie expérimentale. On discute entre autre le choix des méthodes ainsi que les
outils de résolution.
Enfin, la dernière partie expose l‟exploitation des données et les résultats du travail.
PARTIE I :
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 3
CHAPITRE I. GENERALITES SUR LA RHEOLOGIE
I.1 Introduction
La rhéologie, mot inventé par Bingham en 1929 à partir du verbe grec « rhéo » qui
veut dire couler, est l'étude des écoulements et des déformations. Devant l'impuissance
de la théorie de l'élasticité et de la mécanique des fluides à décrire et à expliquer les
propriétés de matériaux aux comportements mal définis et intermédiaires entre celui du
solide élastique parfait et celui du fluide newtonien, il est apparu nécessaire d'élaborer
cette nouvelle discipline. Les études expérimentales s'attachent à mesurer les
propriétés de l'écoulement des matériaux tandis que les approches théoriques
cherchent les équations constitutives reliant contraintes et déformations.
I.2 Définition [2] [3]
I.2.1 La rhéologie
La rhéologie est une branche de la physique qui étudie l‟écoulement ou la
déformation des corps sous l‟effet des contraintes qui leur sont appliquées, compte tenu
de la vitesse d‟application de ces contraintes ou plus généralement de leur variation au
cours du temps.
Les procédés de préparation de produits (solutions, pâtes, etc ...) ou de formage
de pièces (en métallurgie, en plasturgie, etc ...) nécessitent immanquablement
l‟écoulement de la matière, il est donc nécessaire de connaître le comportement de
cette matière pour déterminer les forces à mettre en jeu.
I.2.2 Les différentes études de la rhéologie
La rhéologie se décompose en plusieurs sortes d‟études :
rhéologie expérimentale ;
rhéologie structurale ;
rhéologie théorique.
La rhéologie expérimentale permet de déterminer expérimentalement les
relations de comportement (entre contraintes et déformation ou vitesse de déformation).
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 4
La rhéologie structurale consiste à expliquer les comportements à partir de la
structure du matériau.
La rhéologie théorique a pour rôle de fournir des modèles mathématiques en
nombre limité des comportements indépendamment de la structure microscopique.
I.3 Comportements rhéologiques des fluides [1] [3]
La rhéologie se limite aux déformations mécaniques, isothermes, macroscopiques
et stationnaires. Si, sous l‟action d‟une force appliquée constante, la déformation
augmente sans cesse, il y a écoulement. Il est du type plastique lorsque les forces
appliquées sont supérieures à un seuil critique pour que l‟écoulement se produise. Si
le seuil est nul, c‟est un écoulement visqueux qui correspond évidemment à une
déformation permanente irréversible.
I.3.1 Fluides newtoniens
Un fluide newtonien est défini comme un fluide satisfaisant une relation linéaire
entre sa contrainte et son taux de cisaillement
1
où : la contrainte ;
µ : la viscosité dynamique ;
: le taux de cisaillement.
Pour un écoulement à une dimension, on a :
2
La viscosité cinématique est aussi une des grandeurs rhéologiques les plus
employées. Elle est une grandeur qui doit son origine à des dispositifs de mesure
utilisant un temps d‟écoulement sous l‟effet de la pesanteur. Elle est égale au rapport
de la viscosité dynamique par la masse volumique du fluide considéré :
3
D‟où on a le tableau des unités
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 5
Tableau 1 : Tableau des unités
g.cm-1s-2 Pa
du/dy s-1 s-1
µ Poise (0,1 Pa.s) Pa.s
Stockes (cm2/s) m2/s
La loi de Newton est vraie pour tous les gaz et une proportion importante des
liquides usuels tel que l‟eau, le pétrole, l‟alcool, le glycérol, le miel ainsi que d‟autres
liquides.
I.3.2 Fluides non-newtoniens
Dans l'effort de cisaillement des liquides Newtoniens, est proportionnel au taux de
cisaillement .
Le comportement de fluides non-newtoniens indépendant du temps ne peut plus
être représenté par l‟équation simple (1), la liaison entre et est plus complexe et
peut prendre un grand nombre de formes.
Pour les liquides non newtoniens, nous pouvons trouver une fonction plus générale
de viscosité
( ), liquides non newtoniens 4
Si la connaissance du ( ) est satisfaisante pour interpréter toutes les propriétés
d'un matériel manifesté dans son écoulement et déformation, le matériel s'appelle le
liquide non newtonien purement visqueux.
Les données expérimentales ( ) peuvent être stockées comme tableaux,
graphiques, toutefois ils sont habituellement des paramètres déterminés dans diverses
formules empiriques, les modèles rhéologiques.
La valeur de l'index d'écoulement, n dans le modèle le plus populaire est le modèle
de la loi de puissance
5
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 6
Dans le cas où on a un comportement Newtonien, on a n=1, K=µ.
Les liquides obéissant le modèle de loi de puissance avec n<1, s'appellent les
liquides pseudoplastiques. La nature des liquides pseudoplastiques peut être expliquée
par rupture des liens de basse énergie entre les particules colloïdales ou les grandes
molécules par l'effet du cisaillement ou déformation.
Rarement, nous pouvons rencontrer également les matériaux dilatant avec n>1.
L'épaississement se produit dans les suspensions concentrées à des taux de
cisaillement plus élevés, fourni des particules qui deviennent verrouillés et en forme de
ponts incapables de se réorganiser.
Il existe aussi un autre modèle populaire et encore simple, le modèle plastique de
Bingham d'un matériel qui ne se déplace pas jusqu'à certain effort de fléchissement,
est croisé, et se comporte comme un liquide à un plus élevé :
pour
pour Modèle de Bingham 6
Les matériaux obéissant le modèle de Bingham s'appellent les matières plastiques.
La matière plastique idéale avec , (ou ), ne se déplace
pas au faible effort de cisaillement, toutefois à , la surface de glissade apparaît
avec une couche de glissade de zéro-épaisseur.
Les modèles complexes peuvent mieux s‟adapter aux données
expérimentales ( ), cependant, les formules des mesures compliquées n‟apportent
pas une amélioration significative. La figure suivante résume ces différents fluides.
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 7
Figure 1: Fluide newtonien(1), (2) de Bingham, (3) rhéofluidifiant, (4) rhéoépaississant.
Le tableau ci-après permet de résumer le comportement de fluide existant et de
présenter quelques catalogues en loi de comportement.
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 8
Tableau 2 : Expression rhéologique
Type de fluide Auteur Equation rhéologique
Plastique Bingham (
)
Plastique et rhéofluidifiant
Herschel-Bulkley
(
*
Plastique et rhéofluidifiant
Casson √ √ √ (
*
Pseudoplastique et dilatant
Ostwald de Waele
Pseudoplastique Carreau
(
( ⁄ )
)
Pseudoplastique Ellis
(
⁄
⁄ ,
Pseudoplastique Shandraw ( )
I.4 Rhéologie des liquides complexes [4] [5]
I.4.1 Viscoélasticité linéaire
La viscoélasticité fait partie du comportement non-newtonien. La réponse du fluide
à une déformation présente à la fois un aspect visqueux (où les contraintes sont
proportionnelles aux vitesses de déformation) et un aspect élastique (où les contraintes
sont proportionnelles aux déformations).
Les fonctions fluages et relaxation sont les fonctions essentielles en viscoélasticité
linéaire. Elles sont définies de la façon suivante :
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 9
La fonction fluage, f(t), est la déformation subie par le matériau lorsqu'on impose
à ce dernier une contrainte d'amplitude unité au temps t = 0, contrainte qui est
maintenue constante (voir la figure 2).
Figure 2 : Fonction fluage
La fonction relaxation, g(t), est la contrainte résultant de l'application d'une
déformation d'amplitude unité à l'instant initial t = 0, déformation qui est
maintenue constante au cours du temps (voir la figure 3).
Figure 3 : Fonction relaxation
La connaissance de la fonction fluage ou relaxation d'un matériau permet de
déterminer toutes les propriétés viscoélastiques du matériau. Lorsqu'on dispose d'un
rhéomètre imposant une contrainte constante, , on mesure une déformation
( ) ( ) . Lorsqu'on dispose d'un rhéomètre imposant une déformation
constante, , on mesure une déformation ( ) ( ).
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 10
I.4.1.1 Solide élastique parfait
Le premier modèle est le solide élastique parfait. Son équation rhéologique est
décrite par la loi de HOOKE.
7
: déplacement
G0 : Module de rigidité
Pour un solide élastique parfait, la déformation et la contrainte sont reliées par une
relation linéaire mais le coefficient de proportionnalité dépend du type de déformation
imposée (c'est-à-dire, dépend du module d'Young, du coefficient de Poisson ou du
module de compression uniforme).
De la loi de Hooke, on déduit les propriétés suivantes :
Dès qu'une contrainte est appliquée, instantanément une déformation prend
naissance, proportionnelle à la contrainte. Inversement, si la contrainte est
ramenée à zéro, immédiatement la déformation s'annule. La déformation
élastique est instantanée et récupérable.
Le comportement est bien solide. Soumis à une contrainte constante, le matériau
atteint instantanément un état d'équilibre.
Un solide élastique parfait est symbolisé par un ressort de complaisance
élastique G.
I.4.1.2 Liquide visqueux newtonien
Le second modèle de la viscoélasticité linéaire est le liquide visqueux newtonien. Il
est symbolisé par un amortisseur de coefficient de viscosité µ et son équation
rhéologique est décrite par la loi de Newton.
On en déduit les propriétés suivantes :
Le liquide visqueux newtonien se souvient de toutes les contraintes qui lui ont
été imposées dans le passé. En effet, l'expression de ( ) dépend de toutes les
valeurs prises par la contrainte de 0 à t.
Si la contrainte est ramenée à 0 à un instant donnée, la déformation demeure
constante et égale à la valeur à cet instant. La déformation est irrécupérable.
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 11
Le comportement est bien celui d'un liquide. Soumise à une contrainte
constante, , la déformation, croît linéairement avec le temps. Le matériau
s'écoule indéfiniment.
Nous avons présenté les deux comportements viscoélastiques linéaires
élémentaires. Le comportement viscoélastique linéaire général se définit en
construisant un modèle constitué d'un assemblage analogique et symbolique de
ressorts (solides élastiques parfaits) et d'amortisseurs (liquides visqueux newtoniens)
en série ou en parallèle.
I.4.2 Liquide non linéaire
Un des comportements pratiques les plus intéressants des fluides non-newtoniens
est leur relation non linéaire entre contrainte et vitesse de déformation. La structure
interne du fluide est complexe et peut être influencée par l'écoulement.
I.4.2.1 Fluide plastique
Dans ce type de fluide, on utilise principalement des modèles pour lesquels la
viscosité dépend du taux de cisaillement. Les liquides plastiques font partis de ce type
de fluide. Ce sont des liquides présentant une contrainte seuil d‟écoulement que nous
avons évoqués dans la section 3.2.
Les matériaux plastiques présentent le comportement soit d‟un solide, soit d‟un
liquide selon la contrainte de cisaillement qui est imposée. Ce sont des dispersions qui,
au repos, forment un réseau de forces par des liaisons intermoléculaires et
interparticulaires (polaires ou Van Der Waals). Ces forces limitent le changement de
position des éléments du volume et donnent à la substance un comportement de solide
ayant une viscosité infiniment élevée (figure 1, courbe n°4). Lorsque les forces
extérieures appliquées surpassent les forces du réseau, le dépassement du seuil de
contrainte , ou seuil d‟écoulement, force les éléments du volume à changer
irréversiblement de position. Il en résulte un effondrement du réseau qui correspond à
la transition solide-liquide.
Etude bibliographique Chapitre I
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 12
I.4.2.2 Fluide rhéofludifiant
Ce sont des liquides qui ont une viscosité qui décroît avec le taux de cisaillement et
que nous avons présentés dans la section 3.2.
Une loi empirique très utilisée pour la variation de la viscosité avec le taux de
cisaillement est la loi de puissance (proposée pour la première fois par Ostwald en
1925) :
où le coefficient k et l'exposant n < 1 sont à déterminer empiriquement. La viscosité
s'écrit donc :
8
Le cas où n=1 correspond au comportement newtonien.
I.4.2.3 Fluide rhéoépaississant
Ce sont des liquides qui ont une viscosité qui croît avec le taux de cisaillement et
que nous avons mentionnée dans la section 3.2. On utilise la loi de puissance pour les
représenter :
avec un exposant n > 1 qui est d'autant plus grand que le matériau s'écarte du
comportement newtonien.
La viscosité d‟un matériau rhéoépaississant s‟élève lorsque le gradient de vitesse
augmente. C‟est le cas des suspensions aqueuses de concentration élevée (fraction
volumique supérieure à 0,5). Au repos, chaque particule est entourée d‟une mince
couche de liquide. Lors du cisaillement, des zones sèches dues à l‟insuffisance de
phase continue apparaissent à la surface des particules et créent des forces de
frottements dont l‟intensité augmente avec le cisaillement. Il en résulte une
augmentation de la viscosité.
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 13
CHAPITRE II. LES THEORIES DE L’AGITATEUR
II.1 Introduction
Comme notre étude consiste à faire une analyse numérique de paramètre
rhéologique, il s‟avère alors important de développer tout d‟abord les théories des
agitateurs et mélangeurs.
Les agitateurs sont au cœur de nombreux procédés de fabrication. Sans eux, peu
de réactions chimiques ou de mélanges se réaliseraient spontanément. Ainsi, la tâche
principale de conception est le choix du système de mélange le plus approprié selon les
caractéristiques de processus.
La qualité de mélange doit être bien identifiée pendant une réaction chimique ou
dans un processus en continu. Beaucoup de types de mélangeurs sont disponibles.
Quelques mélangeurs sont conçus, spécifiquement pour une application spéciale, alors
que d'autres sont plus souples avec beaucoup d'options telles que la vitesse variable,
les roues à aubes variables et les axes, avec une large gamme de puissances de
moteur.
Les critères de sélection du système de mélange sont souvent basés sur
l‟homogénéisation du mélange et la puissance consommée. On doit prêter attention aux
processus spécifique lors du choix des conditions hydrodynamiques, particulièrement
en traitant les produits dépendant du temps de rhéologie. Puisqu‟il existe certains cas
où l‟on rencontre des produits qui ont une viscosité proche de celle de l‟eau au
commencement mais peut atteindre ensuite plusieurs Pascal-seconde, de ce fait
changeant le régime d'écoulement et la dynamique des fluides dans la cuve. Il devient
alors plus dur de contrôler la réaction dans le réservoir, spécialement dans la zone
d‟agitation d‟où l‟importance de faire une approche théorique des mélangeurs.
II.2 Généralités sur les agitateurs [6]
II.2.1 Définition d’un système d’agitation
Préconiser et dimensionner un type de mélangeur consiste à déterminer les
paramètres optimums à la mise en œuvre du procédé visé. Cette optimisation s‟effectue
très souvent sous contraintes, qu‟elles soient de coûts, d‟encombrements ou de limites
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 14
physiques. Cette démarche repose sur le choix d‟un certain nombre de paramètres
comme
Type d‟agitateurs et positionnement
o Mobiles à écoulement radial ;
o Mobiles à écoulement axial ;
o Mobiles à écoulement mixte ;
o Mobiles à écoulement tangentiel ;
o Mobiles de dispersion / émulsification.
Géométrie de la cuve (dimensions, formes)
Rotation du Mobile (vitesse, régime d‟écoulement)
Durée du mélange
Conditions physiques imposées (pression, température)
Un dispositif d‟agitation est constitué :
d‟un système d‟entraînement ;
d‟un arbre ;
d‟un ou plusieurs mobiles d‟agitation.
II.2.1.1 Description des mobiles
Il existe deux grandes classes de mobiles d‟agitation suivant le mouvement des fluides
engendré dans la cuve par rapport à l‟axe de rotation du mobile :
les mobiles à débit axial ;
les mobiles à débit radial.
II.2.1.1.1 Mobiles à débit axial
Ces mobiles créent un mouvement des fluides dans une direction axiale (vers le
haut ou vers le bas). Ils assurent une circulation des fluides importants (figure 4.a).
Cependant, certains mobiles présentent, en plus de la composante axiale
prépondérante, une composante radiale.
Les caractéristiques des principaux types de mobiles à débit axial et les données
techniques fournies par la littérature ou par les fabricants eux-mêmes ont été
rassemblées dans l‟annexe 1.
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 15
II.2.1.1.2 Mobiles à débit radial
Ces mobiles fournissent un débit perpendiculaire à l‟arbre d‟agitation. Ils créent des
effets de cisaillement relativement importants. Ce sont des mobiles de turbulence
(figure 4.b). Certains mobiles utilisés pour des produits visqueux ont une composante
tangentielle.
Les caractéristiques des principaux types de mobiles à débits radial et tangentiel
ont été rassemblées dans l‟annexe 2.
Figure 4 : Mobiles à débit axial et à débit radial
II.2.2 Régimes hydrodynamiques
Le régime hydrodynamique créé dépend non seulement du type de mobile
d‟agitation mais aussi de facteurs géométriques concernant la cuve :
présence ou non de chicanes ;
excentration de l‟arbre ;
inclinaison de l‟arbre ;
dimension de la cuve.
Pour chaque mobile d‟agitation, il existe donc une infinité de configurations
possibles. Sur la figure 5 sont indiquées les formes de courant créées dans plusieurs
cas par un mobile à débit axial.
Il est bien évident que, quel que soit le type de turbine, si la cuve n‟est pas munie de
chicanes et si l‟axe de l‟agitateur est confondu avec l‟axe de la cuve (figure 5 a), le
liquide est mis en rotation et les composantes verticales de vitesse seront extrêmement
faibles. Il y a par ailleurs formation d‟un vortex qui présente, comme on le verra au
paragraphe 3, l‟inconvénient de limiter la puissance dissipée et de ne pas favoriser
l‟homogénéisation des fluides. La présence de chicanes fixées sur les parois de la cuve
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 16
empêche la formation d‟un vortex (figure 5 b). En général, on dispose 3 ou 4 chicanes
de largeur b = 10−1 D (avec D diamètre de la cuve agitée), collées ou décollées de la
paroi (distance de la chicane à la paroi : b‟ = 2 x 10−2D). On peut aussi, pour éviter la
formation d‟un vortex dans une cuve exempte de chicanes, monter l‟arbre d‟agitation
excentré mais vertical (figure3 c) ou bien incliné sur la verticale (figure 3d). Il est
important de noter que ces deux dernières dispositions induisent des contraintes
mécaniques importantes et donc qu‟elles ne sont pas utilisables pour de fortes
puissances (≈ 3 kW) ou de grandes longueurs d‟arbre (≈ 1 à 2 m).
Pour des grands réservoirs, ayant jusqu‟à 150 000 à 200 000 l de volume,
contenant des liquides de faible viscosité (< 0,1 Pa · s), on place l‟arbre d‟agitation
horizontalement et un peu incliné par rapport au rayon (angle α). On voit, figure 6,
quelle est la position correcte à choisir ; si l‟on place l‟agitateur dans l‟une des positions
des figures 6 b ou 6 c, il se forme un vortex. Cette technique peut également être
utilisée dans des petits réservoirs ou dans des applications particulières (par exemple,
stockage de pâte de haute densité en papeterie, α peut alors être nul).
Figure 5 : Formes des courants créés par un mobile à débit axial
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 17
Figure 6 : Agitation de grands réservoirs
II.2.3 Turbulence et pompage
En général, on peut dire que deux actions bien distinctes sont demandées à un
mobile d‟agitation :
une action de pompage ;
une action de turbulence.
Suivant la forme et le type du mobile, les proportions relatives de turbulence et de
débit de pompage peuvent varier considérablement. On verra dans le paragraphe 3
comment évaluer ces deux actions.
Mais à titre de comparaison, on a représenté (figure 7) la proportion entre débit de
pompage et turbulence pour différents types d‟agitateurs consommant une puissance
donnée.
Chaque mobile crée dans sa zone d‟action des formes de cisaillement plus ou moins
grandes, qui peuvent être déterminantes pour certaines applications spécifiques
(dispersion, agitation de produits non newtoniens). Ces forces sont faibles dans le cas
de mobiles à débit axial mais peuvent être très importantes pour des mobiles à débit
radial. Les deux notions, pompage et turbulence, vont conditionner la sélection d‟un
mobile d‟agitation en fonction de l‟opération de mélange à réaliser.
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 18
Figure 7 : Proportion entre débit de pompage et turbulence suivant le mobile d’agitation
II.2.4 Géométrie d’un système d’agitation
Lors de ses travaux sur l‟agitation, Rushton a défini une cuve dite standard.
Les dimensions de cette cuve standard sont :
diamètre de la cuve = hauteur du liquide, soit D = H ;
diamètre du mobile d‟agitation d = D/3 ;
hauteur du mobile par rapport au fond de la cuve Y = d = D/3 ;
chicanes de largeur b = 10−1 D collées ou décollées de la paroi avec
b‟ = 2 x 10−2 D.
Figure 8 : Cuves et mobiles : configurations possibles
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 19
En réalité toutes les cuves ne sont pas standard ; en particulier les rapports d/D
s‟écartent plus ou moins de la valeur 1/3 et les rapports H/D peuvent être supérieurs à
1. Si H/D > 1, plusieurs mobiles d‟agitation peuvent être placés sur l‟arbre (figure 8).
II.2.5 Régimes d’écoulement
En mécanique des fluides, l‟écoulement d‟un fluide de vitesse U (m/s), de masse
volumique ρ (kg/m3), de viscosité dynamique µ (Pa. s), dans un tube de diamètre d‟,
est caractérisé par le nombre de Reynolds défini par :
9
avec U : vitesse d‟écoulement,
: viscosité cinématique :
d‟ : diamètre de la conduite.
Pour un mobile d‟agitation de diamètre donné d, tournant à une vitesse N, la vitesse
périphérique est proportionnelle à Nd.
Le nombre de Reynolds de l‟agitateur se définira par :
10
Selon la valeur de Re, on pourra distinguer trois régimes hydrodynamiques :
laminaire, intermédiaire, turbulent.
Le nombre de Reynolds correspondant au début du régime turbulent dépend du
type de mobile d‟agitation et de la configuration du système d‟agitation.
Pour les mobiles à débit radial : Re ≈ 104.
Pour les mobiles à débit axial : Re ≈ 105.
Le régime laminaire se traduit par l‟absence de mouvement du fluide dans une
direction différente de celle imposée par le mobile d‟agitation. Le seul mélange qui
puisse se faire entre les couches parallèles au courant est dû uniquement à la diffusion
moléculaire et est indépendant de la puissance fournie qui, d‟ailleurs, est dissipée sous
forme de chaleur.
Le régime turbulent se caractérise par des mouvements dans toutes les directions
et donc par un bon mélange des filets de fluides.
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 20
Pour caractériser le niveau de turbulence, il faut analyser en un point donné M de la
cuve le vecteur vitesse instantanée. Celui-ci subit des variations incessantes et
désordonnées, mais sa valeur moyenne reste en général constante si le régime
d‟écoulement est permanent. La figure 9 représente un enregistrement type de la
vitesse en un point M en considérant une seule direction : Ox, par exemple.
Figure 9 : Vitesse en un point donné : évolution en fonction du temps
À un instant donné, on peut poser :
11
Avec vitesse moyenne du liquide,
fluctuation de vitesse du fluide en M.
Les valeurs moyennes de dans le temps sont nulles. On utilise souvent , la
valeur quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse :
√
12
On appelle intensité de turbulence en un point donné M, dans une direction donnée
Ox, le rapport
⁄ .
Les définitions précédentes permettent de définir un mouvement moyen et un
mouvement de turbulence . Le mouvement moyen est constitué de gros
tourbillons, un mouvement passager de fluide de dimension caractéristique L, tandis
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 21
que le mouvement de turbulence ou tourbillonnaire est constitué de tourbillons
énergétiques de dimension caractéristique auxquels on associe un nombre de
Reynolds :
13
Les mouvements passager de fluide sont renouvelés en permanence par le mobile
d‟agitation et évoluent vers des structures fines dont l‟énergie cinétique se dissipe. La
puissance ε dissipée par unité de masse de solution dans les petits tourbillons est :
14
Elle est proportionnelle à la viscosité cinématique du fluide, au carré de la valeur
quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse , et inversement proportionnelle à la
taille des petits tourbillons.
Dans un système d‟agitation donné, on peut considérer que l‟énergie dissipée
localement ε est proportionnelle à la puissance d‟agitation volumique P/V (avec P
puissance d‟agitation et V volume du liquide agité), le coefficient de proportionnalité
étant fonction de la nature du mobile et du point considéré. Par conséquent, les valeurs
de la fluctuation de vitesse dépendent de la puissance fournie par le mobile
d‟agitation. Mais certains mobiles dissipent une part importante de l‟énergie sous forme
de turbulence (mobile radial), d‟autres sous forme de circulation (mobile axial).
II.3 Paramètres globaux d’un système d’agitation [6] [7]
II.3.1 Puissance dissipée
La puissance nécessaire pour agiter un milieu quel qu‟il soit, constitue toujours une
donnée importante pour l‟ingénieur. Dans le cas qui nous intéresse, nous avons pour
fonction de déterminer les paramètres rhéologiques de la matière en suspension et les
paramètres du système d‟agitation. Il est important alors de déterminer la puissance
nécessaire à son entraînement car c‟est un élément important puisqu‟elle permet de
comparer et de choisir, sur le plan consommation d‟énergie, les performances de
plusieurs mobiles.
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 22
II.3.1.1 Application de la similitude et de l’analyse dimensionnelle au calcul
de la puissance
Un problème d‟agitation fait intervenir un certain nombre de variables dont :
3 caractéristiques des fluides à agiter : la masse volumique ρ (kg/m3), la
viscosité dynamique µ (Pa · s) et la tension superficielle (N/m) ;
3 caractéristiques cinématiques et dynamiques : la vitesse de l‟agitateur N
(tr/s), l‟accélération de la pesanteur g = 9,81 m/s2 et la puissance absorbée pour
vaincre les forces de résistance P (W) ;
(au moins) 10 caractéristiques aussi bien de l‟agitateur lui-même que de
l‟appareil dans lequel il fonctionne et des accessoires qui y sont fixés, tels que :
serpentins, chicanes, etc.
Ce qui peut s‟écrire :
( )
Ces 16 variables peuvent s‟exprimer à partir des trois unités fondamentales :
masse, longueur et temps. L‟application du théorème de Vaschy-Buckingham permet
de transformer la relation précédente en une relation comportant 16 − 3 = 13 nombres
sans dimension. Ce sont les nombres suivants :
15
qui caractérise le rapport entre les forces d‟inertie et les forces de viscosité est le
nombre de Reynolds de l‟agitateur ;
16
qui caractérise le rapport entre les forces d‟inertie et les forces de gravité est le nombre
de Froude ;
17
est appelé nombre de puissance. C‟est le coefficient de traînée de l‟agitateur dans le
fluide ;
18
qui caractérise l‟action des forces de tension superficielle. C‟est le nombre de Weber ;
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 23
les rapports géométriques
L‟équation générale peut alors s‟écrire, soit :
(
) 19
soit encore en adoptant un développement en puissance :
20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
II.3.1.2 Courbes caractéristiques
Pour des systèmes cuves-agitateurs géométriquement semblables, quelle que soit
la nature des fluides, l‟équation se réduit à :
21
ou encore à la fonction
22
Cette relation se traduit par une courbe appelée courbe caractéristique d‟un mobile
d‟agitation, donnant les variations de Φ en fonction du nombre de Reynolds.
Les deux cas suivants peuvent se présenter :
en présence d‟un vortex (sans chicane) :
si Re< 300 :
si Re> 300 :
et
avec a et a‟ coefficients donnés dans le tableau 3 ;
en l‟absence d‟un vortex (avec chicanes) :
( ) 23
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 24
La figure 10 représente, en l‟absence et en présence d‟un vortex, l‟allure générale
de la courbe caractéristique d‟un mobile d‟agitation. Elle met en évidence les 3 zones
de fonctionnement définies au paragraphe 2.5.
Tableau 3 : Coefficients a et a’
Mobile d'agitation
np ou p
a a'
Turbine à np pales droites
np = 4 np =
6
3,3 3
2,7 à 3,9 2,7 à 3,9
0,75 à 1,3
0,75 à 1,3
1 1
40 40
Hélice marine de pas p
p=d 3 2,7 à 3,9 0,75 à
1,3 2,1 18
Figure 10 : Courbes caractéristiques de puissance : allure générale
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 25
II.3.1.2.1 Régime laminaire
Dans le cas où Re< 10 (zone AB, figure 10)
Dans l‟équation
x=-1 et y=0,
d‟où :
24
D‟après la définition de :
25
La puissance est indépendante de la masse volumique du fluide et de la présence
ou non de vortex, mais proportionnelle à la viscosité.
II.3.1.2.2 Régime intermédiaire
Dans le cas où 10 <Re< 104 (selon le type de mobile) (zones BC ou BE, Figure 10).
L‟expression mathématique de la courbe ( ) n‟est pas simple. On
détermine la puissance en utilisant directement la courbe
II.3.1.2.3 Régime turbulent
Dans le cas où 104 <Re< 105 (zones CD ou EF, figure 10). Ce régime se caractérise
par un constant et donc indépendant du nombre de Reynolds pour des valeurs de
:
avec un vortex,
26
sans vortex
27
et 28
Dans une cuve munie de chicanes (sans vortex) fonctionnant en régime turbulent,
la puissance dissipée est indépendante de la viscosité du fluide.
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 26
II.3.1.2.4 Influence du nombre de mobiles d’agitation
Dans le cas d‟un arbre comportant plusieurs mobiles d‟agitation (figure 8), la
puissance absorbée dépend de la position des mobiles les uns par rapport aux autres
et aussi du rapport H/D. En première approximation, on peut cependant dire que la
puissance totale absorbée est égale à la somme des puissances absorbées par chaque
mobile.
II.3.2 Débits de pompage et de circulation
II.3.2.1 Débit de pompage
Le débit de pompage est le débit de liquide qui passe effectivement dans le
mobile d‟agitation. Il est proportionnel à la vitesse de rotation N, et au cube du diamètre
du mobile d, soit :
29
Le coefficient de proportionnalité est appelé nombre de pompage. Il est
fonction du type de mobile d‟agitation et du régime hydrodynamique. Dans le cas du
régime turbulent peut être considéré comme constant et ses valeurs sont données
dans l‟annexe a3.
II.3.2.2 Débit de circulation
Le débit de pompage induit dans le volume de la cuve, par transfert de quantité de
mouvement, un débit d‟entraînement . Le débit de circulation est la somme du
débit d‟entraînement et du débit de pompage , soit :
30
D‟après les travaux de plusieurs auteurs [1, 2, 7], on admet que, quel que soit le
type de mobile d‟agitation, le rapport est à peu près constant et vaut environ
1,8. On pourra définir un nombre de circulation par :
31
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 27
II.3.3 Gradient de vitesse [8]
Le liquide quittant la pale de l‟agitateur crée des effets de cisaillement dans le
liquide. Le gradient de vitesse (appelé encore taux de cisaillement) se mesure à partir
de la pente de l‟enveloppe des vecteurs vitesses :
32
La contrainte de cisaillement se définit par la loi de Newton :
33
Oldshue a montré qu‟il fallait distinguer deux gradients de vitesse : un gradient
moyen et un gradient maximal. La figure 11a donne la variation de ces gradients de
vitesse moyenne et maximale pour une turbine disque à 6 pales droites, en fonction de
la vitesse de rotation. Le gradient maximal est environ égal à 2 fois le gradient moyen.
La figure 11b donne la variation des gradients de vitesse moyenne et maximale en
fonction du diamètre de la turbine pour une vitesse d‟agitation N constante. Le gradient
moyen reste constant tandis que le gradient maximal augmente avec le diamètre de la
turbine. Il s‟agit d‟un élément important pour l‟extrapolation d‟un système d‟agitation.
Le gradient de vitesse moyen (Gm) autour du mobile d‟agitation est proportionnel à la
vitesse de rotation du mobile :
34
Il est possible de définir un gradient de vitesse moyen dans toute la cuve proportionnel
à N :
35
et sont des valeurs constantes données par les constructeurs selon les types de
turbines.
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 28
Figure 11 : Gradients de vitesse moyen et maximal pour une turbine à 6 pales droites
II.4 Paramètres locaux d’un système d’agitation [6]
L‟analyse locale du comportement de la cuve agitée présente plusieurs intérêts. La
connaissance du champ de vitesse en tout point de la cuve donne accès à la
circulation globale, à la localisation des zones d‟eaux mortes et des zones à fort
gradient de vitesse. La connaissance du champ de vitesse induit par un mobile
d‟agitation permet de choisir la position et le type d‟agitateur le mieux adapté à un
procédé : mise en suspension, dispersion de particules solides ou dispersion de bulles
ou de gouttes. La connaissance du champ turbulent permet de quantifier le mélange en
estimant les échelles caractéristiques des tourbillons énergétiques, le niveau d‟énergie
associé et le taux de dissipation d‟énergie.
Pour accéder aux grandeurs locales, l‟analyse expérimentale serait alors indispensable.
II.4.1 Moyens de mesure
Nous voulons étudier le comportement et les caractéristiques des pâtes granulaires.
Mais comment mesurer, en pratique, la viscosité de cisaillement d‟un fluide? Comment
Etude bibliographique Chapitre II
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 29
mesurer ses contraintes normales? Comment obtenir ses profils de vitesse? Dans ce
paragraphe, nous exposons les techniques utilisées qui nous permettent d‟apporter une
réponse à ces questions.
II.4.1.1 Acquisition des données
Il existe différentes techniques pour obtenir tous les paramètres rhéologiques
mentionnés ci-dessus. Pour notre cas, l‟objectif consiste à caractériser, d‟une part, le
système d‟agitation en lui-même, et d‟autre part, l‟écoulement, lequel conditionne le
mélange. Deux méthodologies complémentaires sont mises en place à cette fin : d‟une
part, la réalisation d‟essais expérimentaux et d‟autre part, la réalisation de l‟analyse
numériques d‟écoulements. De ce fait, l‟obtention des données serait alors effectuées
par la réalisation de plusieurs expériences que nous allons développer dans la
deuxième partie de l‟ouvrage.
II.4.1.2 Traitement des données
Les essais expérimentaux nous permettent essentiellement de caractériser le
système d‟agitation et, en particulier, de déterminer la courbe caractéristique du mobile
d‟agitation. Concernant la détermination de la loi rhéologique de notre suspension eau-
déchets cellulosique, la réalisation des essais expérimentaux nous permet de mettre en
évidence les puissances consommées par l‟agitateur, puis de déterminer les différents
paramètres. A partir de ces essais expérimentaux réalisés, nous ne pouvant aboutir à la
réalisation des discussions des résultats que par le traitement des données statistiques.
II.4.2 Techniques numériques
Après avoir effectués les essais, le traitement des données ne peuvent être opérés
que par le biais de traitement numérique. Des concepts seraient alors présentés ainsi
que des outils permettant d‟aboutir à l‟obtention des objectifs visés et ce qui nous
conduit au chapitre suivant permettant d‟exposer les théories utilisés, cependant les
outils de traitement numériques des données seront présentés dans la partie II.
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 30
CHAPITRE III. LES MODELES MATHEMATIQUES
III.1 Mélange en cuve agitée
Dans les procédés de fabrication, toutes les industries mettent en œuvre l‟opération
unitaire d‟agitation-mélange, dont le but est toujours d‟obtenir une uniformité de
concentration ou de température. Cette homogénéisation est directement liée à la
nature des écoulements engendrés au sein du milieu par le mode d‟agitation choisi. La
qualité d‟un mélange résulte donc toujours des interactions entre les propriétés
rhéologiques du milieu, la géométrie de l‟agitateur et les conditions de sa mise en
œuvre.
III.1.1 Caractérisation du système d’agitation
Les systèmes d‟agitation utilisés expérimentalement, dans le cadre de ce travail, à
l‟échelle du laboratoire, pour la réalisation de l‟opération de mise en suspension eau-
déchets cellulosiques, ne correspondent pas aux cuves standards pour lesquelles de
nombreuses informations peuvent être trouvées dans la littérature. Il s‟agit dès lors de
caractériser le système d‟agitation, et en particulier de déterminer la courbe
caractéristique du mobile d‟agitation
. En pratique, nous préférons travailler
avec la relation Np-Re-Fr, donnée à l‟équation 21, et reprise à la figure 12.
La détermination de la relation Np-Re-Fr peut s‟effectuer en utilisant des fluides
newtoniens, dont la masse volumique, ρ (kg/m3), et la viscosité, µ (Pa.s), sont connues
(figure 12). Pour notre sujet d‟étude, le fluide newtonien que l‟on a choisi est l‟eau vu
que la masse volumique ainsi que sa viscosité sont tous connues.
La détermination de la puissance dissipée dans ce fluide, P (W), lorsqu‟il est agité
au moyen du mobile d‟agitation, de diamètre d (m) tournant à une vitesse de rotation,
N(1/s), permet de déterminer les trois nombres sans dimension : le nombre de
Reynolds, Re (équation 15), le nombre de Froude, Fr (équation 16), et le nombre de
puissance, Np (équation 17). La détermination de la puissance dissipée dans le fluide,
P, peut s‟effectuer expérimentalement ou numériquement. Les trois paramètres
inconnus, k, x et y, apparaissant dans la relation Np-Re-Fr (figure 12), sont déterminés
par une méthode d‟ajustement sur les données expérimentales. L‟annexe a3 montre les
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 31
différentes courbes caractéristiques ( ) de certains systèmes d‟agitation selon
les types de pâles.
Cette figure permet de mettre en évidence la méthode permettant d‟exposer la
démarche adoptée pour faire ressortir la courbe caractéristique du mobile. En premier
lieu, des essais expérimentaux avec du fluide newtonien vont être réalisé. Pour notre
cas, on a opté pour l‟eau vu que ρ et µ sont déjà connues.
Au cours de ces essais, les valeurs des puissances vont être relevées
numériquement à l‟issu de l‟analyseur de réseau. Grâce à ces informations comme P,
µ, ρ, d, N et g, le calcul de Np, Re et Fr peuvent être établies.
Ensuite, par la méthode d‟approximation, permettant de trouver les paramètres k, x
et y avec l‟outil de résolution mathématique, on peut obtenir les valeurs de Np.
Par conséquent, la courbe caractéristique de l‟agitateur peut être obtenue en
traçant ( ) .
Figure 12 : Méthodologie pour la détermination de la courbe caractéristique du mobile d’agitation (ou de la relation Np-Re-Fr)
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 32
III.2 Le concept de Metzner et Otto [9] [10]
III.2.1 Introduction
L'approche classique pour estimer le taux de cisaillement dans les cuves agités est
l'utilisation de la méthode de Metzner-Otto. En conséquence, un mobile d‟agitation
donnée avec une vitesse de rotation, N, produit un taux effectif de déformation, ,
dans le réservoir de mélange qui pourrait être estimé par :
36
où N est la vitesse de rotation, KS est le coefficient de Metzner-Otto. C‟est une
constante de proportionnalité qui doit être évalué expérimentalement pour chaque
système d‟agitation.
La valeur des KS dans l‟équation 36 est estimée en employant la mesure de
puissance d'énergie pour les fluides newtoniens et non newtoniens en utilisant la
vitesse de rotation du mobile d‟agitation identique et le même arrangement de système
de mélange.
Bien qu'à l'origine les constantes KS aient été postulés pour être une constante
vraie pour une géométrie de système de mélange donnée et indépendant du liquide
rhéologique, plus tard il s'est avéré fonction de l'index de loi de puissance proposant de
ce fait le taux efficace de cisaillement pour être fonction des propriétés rhéologiques.
III.2.2 Théorie
Metzner et Otto ont développé un ensemble de propositions qui vise à unifier le
traitement de la puissance d'agitation dans le cas de fluides à comportements
rhéologiques newtonien et pseudoplastique. La procédure qu‟ils recommandent et qui a
été adoptée par de nombreux chercheurs est la suivante :
1. déterminer les variations du nombre de puissance avec le nombre de Reynolds
dans le cas d'un fluide newtonien de viscosité connue. Tracer la courbe a ;
2. déterminer la rhéologie du fluide considéré dans le cadre du modèle d'Ostwald
de Waele. Tracer la courbe b, viscosité apparente en fonction du gradient de
vitesse :
37
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 33
3. mesurer la puissance nécessaire pour agiter le liquide pseudoplastique et
calculer le nombre de puissance Np. En utilisant la courbe a, on peut faire
correspondre à ce nombre de puissance une valeur , dite nombre de
Reynolds apparent. On en déduit une viscosité apparente
38
4. l'exploitation de la courbe b permet alors de faire correspondre à un gradient
de vitesse , appelé gradient de vitesse apparent.
5. au cours d'essais expérimentaux systématiques, Metzner et Otto, Metzner et
coll., ont alors montré qu'il existe une relation de proportionnalité entre et la
vitesse de rotation de l'agitateur, soit :
39
La constante B ne dépend que des caractéristiques géométriques de l‟ensemble
cuve-agitateur et est indépendante de la rhéologie du fluide.
La viscosité apparente s‟écrit alors :
( ) 40
et le nombre de Reynolds apparent :
41
Si le coefficient B, caractéristique de la géométrie utilisée, est connu, il suffit en
effet de disposer de la courbe de puissance établie avec un liquide newtonien, et de
l‟équation rhéologique du fluide.
Le tableau 4 suivant rassemble divers résultats obtenus par des auteurs en
appliquant la théorie de Metzner et Otto. Si certains auteurs vérifient bien
l‟indépendance de B par rapport à l‟indice de comportement n, d‟autres notent des
relations, essentiellement dans le cas de l‟ancre, agitateur le plus souvent étudié :
Calderbank et Moo-Young suggèrent que B est proportionnel à (
)
.
numériquement, ceci signifie que lorsque n croît de 0,3 à 0,9, B est divisé par
1,05 ;
Rieger et Novak proposent une corrélation qui est telle que lorsque n croît de 0,3
à 0,9, B est divisé par 4 environ, ce qui traduit une dépendance très marquée
vis-à-vis de n ;
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 34
De la relation de Shilo, lorsque
, nous observons qu‟une variation de n
de 0,3 à 0,9 entraîne une diminution de B, de 23 à 17 ;
Beckner et Smith notent également une diminution assez marquée de B avec n.
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 35
Tableau 4 : Coefficient B de la théorie de Metzner et Otto
AGITATEUR REFERENCE B
hélice marine, turbine,
agitateur à pâle
avec
KOEN (1978)
agitateur bipale
avec
HIRAOKA et coll. (1979)
ruban hélicoïdal EDWARDS et coll. (1976)
YAP et coll. (1979)
CHOWDHURY et
TIWARI (1979)
B voisin de 30
vis hélicoïdale EDWARDS et coll. (1976) B = 12
Ancre
;
;
EDWARDS et coll. (1976)
B = 21.5
dimensions
variables CALDERBANK et MOO-
YOUNG (1959)
[ (
)
( )
] (
*
;
;
;
RIEGER et NOVAK (1973)
dimensions
variables SCHILO (1969)
{
(
* (
)
[( )
]
}
dimensions
variables,
avec
BECKNER et SMITH
(1966) cites par
RIEGER et NOVAK
(1973)
[ (
*] ( )
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 36
III.2.3 Conclusion
Le concept de Metzner et Otto consiste, en utilisant le système d'agitation comme
un rhéomètre de procédé, à définir la viscosité apparente moyenne , comme égale
à celle d'un fluide newtonien qui nécessiterait la même puissance dans les mêmes
conditions géométriques et opératoires (diamètre et vitesse de rotation du mobile) ; en
se reportant au rhéogramme du fluide, on en déduit la viscosité pour chaque vitesse
de rotation de l‟agitateur N. A partir de cela donc, on peut faire ressortir le paramètre de
l‟agitateur selon Metzner et Otto.
III.3 Ajustement de courbe [11]
L'ajustement de courbe est une technique d'analyse d'une courbe expérimentale,
consistant à construire une courbe à partir de fonctions mathématiques et d'ajuster les
paramètres de ces fonctions pour se rapprocher de la courbe mesurée, on parle donc
aussi d'ajustement de paramètres.
Pour effectuer cet ajustement, on utilise des méthodes de régression. Dans les cas
simples, il s'agit de régression multilinéaire si la loi est linéaire pour tous les
paramètres, ou de régression polynomiale lorsque l'on utilise un polynôme pour simuler
le phénomène.
Les méthodes de régression classiques permettent de déterminer les paramètres à
partir de calculs sur les données, mais sont inapplicables si la fonction est trop
complexe. Il faut alors travailler par essai-erreur pour se rapprocher d'une solution, au
sens de la méthode des moindres carrés. La solution n'est pas nécessairement unique.
III.3.1 Ajustement algébrique ou géométrique
On distingue deux types d'ajustement :
les ajustements algébriques consistent à minimiser l'écart vertical (en y) entre la
courbe modèle et les points expérimentaux ;
les ajustements géométriques consistent à minimiser la distance
perpendiculairement à la courbe modèle ; c'est le cas par exemple de la
régression circulaire ou elliptique, qui consiste à trouver le cercle, l'ellipse, la plus
proche des points.
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 37
Dans le cas d'un ajustement géométrique, on parle de la méthode des moindres
carrés totaux. En effet, on prend en compte les deux coordonnées x et y pour la
détermination de l'écart quadratique.
III.3.2 Fonction modèle utilisée
Dans certains cas, on a un modèle théorique permettant de prévoir la forme de la
courbe ; la méthode d'ajustement permet de déterminer les paramètres de l'échantillon.
Dans d'autres cas, on utilise une fonction empirique ; on s'intéresse alors en général à
la surface, la largeur ou à la position du maximum de la fonction.
On utilise souvent des polynômes : ce sont des modèles qui se calculent
facilement. Pour les formes de type « pic » (distributions unimodales), on utilise
fréquemment des fonctions gaussiennes, lorentziennes ou bien des combinaisons
(fonctions ou pseudo-fonctions de Voigt), ou encore des fonctions de Pearson.
De manière générale, on a une fonction ƒ modèle ayant n paramètres p1, p2,…, pn
qui relie l'abscisse x à l'ordonnée y :
( ) 42
et l'on compare cette fonction avec les m points expérimentaux
[( ) (
) ( )] 43
La fonction ƒ peut être parfois décomposée en plusieurs fonctions ƒ1, ƒ2… soit
qu'elle en est la somme, le produit, le produit de convolution…
III.3.3 Démarche de régression
III.3.3.1 Considération générale
On calcule les points yical de la courbe simulée :
( )
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 38
Habituellement, on utilise un algorithme de régression visant à minimiser l'écart
quadratique entre la courbe simulée et la courbe expérimentale ; on parle d'algorithme
de minimisation de l'erreur.
On définit donc un facteur de fiabilité (reliability factor) R :
√∑ (
)
∑
44
où yiexp est le i-ème point mesuré et yi
cal est le i-ème point calculé. Le facteur R est
similaire dans son expression au coefficient de corrélation multiple (R² étant alors le
coefficient de détermination). On utilise plus couramment le facteur de fiabilité pondérée
(weighted reliability factor) Rwp :
√∑ (
)
∑
45
où wi est le poids attribué au point i ; ce poids représente l'incertitude associée au
point i.
La régression consiste à trouver le jeu de paramètres (p1, p2,…, pn) tel que Rwp est
minimal. On a donc notamment :
46
Dans les cas simples, le système d'équations que l'on obtient peut se résoudre
« simplement » ; en particulier pour les régressions multilinéaires, on peut le résoudre
par inversion de matrice.
III.3.3.2 Régression non linéaire [12]
Lorsqu'il n'est pas possible de résoudre simplement le système d'équations, on
peut utiliser la méthode de Newton-Raphson.
C'est un algorithme itératif où à chaque étape, on regarde de quelle manière une
petite variation d'un paramètre fait varier le facteur de fiabilité R. Le jeu de paramètre
retenu pour l'étape suivante est obtenu par extrapolation de ces petites variations, par
linéarisation c‟est-à-dire, on cherche les valeurs des paramètres qui rendraient R nul si
ses variations étaient proportionnelles à celles des paramètres. Le calcul s'arrête
lorsque l'on n'arrive plus à diminuer le facteur de fiabilité, on parle de convergence.
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 39
Si l'on note (pk) l'ensemble des paramètres, l'intensité calculée en chaque point i à
l'étape j s'exprime par
47
Pour simplifier les calculs, on peut faire un développement limité du premier ordre
de cette fonction ƒ, alors en appliquant des incréments Δpk aux paramètres, on peut
écrire
48
en imposant yical = yi
exp, on obtient ainsi un système d'équations linéaires (nous
omettons l'indice j pour plus de clarté) :
qui peut se résoudre par une pseudo-inversion de matrice, ce qui permet de calculer les
Δpk et donc les valeurs des paramètres à l'étape suivante j + 1 :
si l'on appelle A la matrice , le système d'équations s'écrit
49
La matrice pseudo-inverse B a les mêmes dimensions que tA (la matrice
transposée de A) et vérifie
A×B×A = A ;
B×A×B = B ;
A×B et B×A sont hermitiennes.
La matrice pseudo-inverse peut se calculer par décomposition en valeurs singulières.
On prend alors:
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 40
( )
(
) (
)
La pseudo-inversion est justifiée par le fait que le premier membre du système
d'équations s'écrit alors
( ) *(
) ( )
+ 50
si on le multiplie par B, il devient :
*( ) (
) + (
) ( )
51
et donc on a bien
* ( ) (
) + (
) 52
Notons qu'il s'agit d'une condition suffisante, mais pas nécessaire.
Il s'agit bien d'une application de la méthode de Newton-Raphson, puisque l'on
linéarise la fonction et que l'on cherche le point qui annule R (R = 0 si yical = yi
exp pour
tout i).
En remarquant que A est en fait la matrice jacobienne de ƒ (A = J), on voit que le
système d'équations est constitué des équations normales. Les incréments des
paramètres peuvent alors se calculer par
( ) ( ) *(
) ( )
+ 53
On retrouve alors l'algorithme de Gauss-Newton.
Parfois, la linéarisation est « trop violente » : si la fonction présente une
« courbure » importante lorsque les paramètres varient, l'application de la « loi
tangente » peut éloigner de la solution plutôt que rapprocher. On peut donc utiliser un
coefficient d'atténuation d ≤ 1, on a alors :
( )
(
) (
) 54
On peut aussi utiliser un algorithme plus complexe utilisant les dérivées secondes.
Il peut arriver que le programme converge vers un minimum local de R qui n'est pas
le minimum absolu. Pour éviter cette situation, on utilise l'algorithme de Metropolis-
Hastings : lorsque l'on a convergé, on fait varier les paramètres d'une certaine valeur et
on recommence le processus pour voir si l'on arrive à converger vers un autre jeu de
paramètres ayant un facteur de fiabilité plus faible.
Etude bibliographique Chapitre III
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 41
Si la simulation était parfaite, le facteur de fiabilité aurait une valeur dépendant du
rapport signal sur bruit. Si l'on sait calculer ce rapport signal sur bruit, c'est-à-dire si l'on
connaît la loi de probabilité régissant les fluctuations du signal, on peut alors déterminer
un facteur de fiabilité incompressible R0. Si la simulation est parfaite, on a alors
De ce fait, la qualité de la simulation est souvent exprimée par le rapport R/R0, qui
doit tendre vers 1 au fur et à mesure des étapes itératives.
PARTIE II :
ETUDE EXPERIMENTALE
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 42
CHAPITRE IV. MATERIELS ET METHODES
De très nombreuses méthodes expérimentales sont proposées dans la littérature
pour la détermination des grandeurs rhéologiques comme l‟utilisation des viscosimètres
capillaires, viscosimètres à cylindres coaxiaux, viscosimètres cône-plan ou viscosimètre
à chute de billes. Cependant, la plupart de ces méthodes ne sont pas adaptées à la
détermination de la viscosité de notre matière en suspension et de caractériser notre
système d‟agitation.
Metzner et Otto proposent alors d‟utiliser un système d‟agitation comme rhéomètre
et de définir la viscosité apparente de la suspension, considérée comme un fluide
homogène, qu‟il ait un comportement newtonien ou non, comme étant égale à celle
d‟un fluide newtonien de référence qui nécessiterait la même puissance dissipée dans
les mêmes conditions géométriques et opératoires.
IV.1 Méthodologie générale
L‟idée de départ est de se baser sur la définition de la viscosité apparente des
suspensions telle qu‟elle est donnée par Metzner et Otto en faisant une comparaison
avec le résultat des fluides newtoniens.
En pratique donc, la viscosité apparente inconnue d‟un fluide, quel qu‟il soit, se
détermine par comparaison entre les courbes obtenues par les valeurs de Np du fluide
de référence et du liquide étudié. La figure 12 (III.1.1 p 31) illustre les démarches à
suivre à la réalisation des essais expérimentaux.
Pour notre cas, nous avons utilisé de l‟eau comme fluide de référence vu que c‟est
un fluide newtonien et que nous allons comparer avec la pâte de papier.
Il s‟agit donc de déterminer la puissance dissipé P, de l‟eau par la mise en rotation,
à une vitesse N, d‟un mobile d‟agitation de diamètre d au sein du système d‟agitation.
Ensuite, effectuer le même processus pour le cas de la pâte à papier. A partir de
plusieurs essais expérimentaux, des données sont obtenus afin de tracer les courbes
caractéristiques de l‟agitateur et de faire une comparaison entre les résultats obtenus
par le fluide newtonien et notre fluide étudié.
A l‟issu de la comparaison des courbes, la viscosité apparente de la suspension,
telle qu‟elle est définie par Metzner et Otto, est alors déterminée.
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 43
IV.2 Installation et protocole expérimentaux
La réalisation des essais expérimentaux a été effectuée au Bloc Technique
Vontovorona. Le type de mélange à réaliser est un mélange de solide-liquide où l‟on a
utilisé du papier et de l‟eau. L‟opération consiste à mettre en suspension les matières
dont on déterminera son comportement rhéologique à partir de la théorie que nous
avons déjà mentionné dans la partie bibliographique.
Trois différents types de papier ont été considérés afin d‟aboutir à nos objectifs : le
papier carton, le papier vélin et le papier journal.
Ainsi, des appareils ont été utilisés afin de réaliser les recueils des données à citer :
Le broyeur ;
Le variateur de vitesse ;
L‟analyseur de réseau.
IV.2.1 Le broyeur
Le système d‟agitation utilisé est une cuve ronde de capacité 50l, de volume 75l
avec trois types de mobile d‟agitation du fait de ses angles d‟inclinaison qui sont de 45°,
60° et de 90°.
Comme la fonction principale de l‟agitateur est de disperser les matières en
suspensions, le mobile est de type rotor-stator. D‟après le chapitre 2 sur les théories de
l‟agitateur, le flux principal créé par ce mobile est de type radial, ces mobiles fournissent
un débit perpendiculaire à l‟arbre d‟agitation. Ils génèrent de très fort pouvoir de
cisaillement. La présentation des caractéristiques géométriques du broyeur est figurée
dans l‟annexe a4.
Le système d‟agitation est entraîné par un moteur asynchrone triphasé dont les
caractéristiques sont les suivantes :
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 44
Tableau 5 : Plaque signalétique du moteur d’entrainement
Moteur asynchrone: Rotor CTLT CS 11 60
Type: LS 112 M1 4 KW
Cos ϕ: 0,88
Rdt: 82%
Tr: 1430 tr/min
Classe d'isolation: E
Fréquence: 50 Hz Phase 3
ΔV: 220 A 14,5
YV: 380 A 8,4
S1: 71
Ambiante C°: 40
N°: 159367 IP 44
IV.2.2 Le variateur de fréquence
Comme notre principal objectif est de déterminer la puissance dispersée par un
mobile varient en fonction de cube de la vitesse de rotation, un variateur de vitesse pour
moteur asynchrone ATV 28 a été installé afin d‟optimiser la vitesse de rotation et de
faciliter les recueilles des données.
Grace à cet appareil, nous avons eu l‟opportunité d‟imposer les valeurs de la
fréquence de 2, 5, 8, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 et de 50 Hz afin d‟obtenir des
données complètes.
La figure suivante13 représente les touches ainsi que leur fonction permettant de
configurer l‟appareil.
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 45
Figure 13 : Configuration de l’ATV 28
IV.2.3 L’analyseur de réseau - Qualistar
Nombreux sont les appareils que l‟on peut utiliser pour obtenir les valeurs de la
puissance à partir de l‟agitation du fluide mais grâce à l‟installation d‟un analyseur de
réseau de Chauvin Arnoux, nous avons pu acquérir des données de puissance fiables
du fait de la précision de l‟appareil. Ce dispositif est destiné aux services de contrôle
des installations industrielles et permet d‟obtenir une image instantanée des principales
caractéristiques de la qualité du réseau électrique.
Les différentes fonctionnalités que cet appareil offre sont les suivantes :
Affichage en temps réel des formes d‟onde avec 4 tensions et 4 courants ;
Mesures des tensions et courants efficaces à la ½ période ;
Reconnaissance automatique des différents capteurs de courant ;
Mesure sur tout type d‟installation ;
Mesure des puissances P, Q, S et D, totales et par phase ;
Mesure des énergies, totales et par phase ;
Sauvegarde et enregistrement des captures d‟écran (image et données) ;
Enregistrement et exportation sur PC ;
Logiciel de rapatriement des données et de communication en temps réel
avec un PC.
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 46
Ce dispositif mesure donc des paramètres de tension, courant et puissance utiles
d‟une installation électrique. Aussi, il capture et enregistre simultanément ces différents
paramètres.
IV.2.3.1 Branchements
Les analyseurs Qualistar conviennent aux applications sur tous les types de
réseaux électriques, du plus simple au plus complexe, donc cela nous a facilité les
tâches de branchements avec le réseau triphasé.
Figure 14 : Branchement de l’appareil avec le réseau triphasé
IV.2.3.2 Configuration
Après avoir installé tous les dispositifs et accessoires, l‟appareil doit être paramétré,
c'est-à-dire l‟utilisateur entre directement les paramètres généraux comme
la date, l‟heure, le contraste d‟affichage, couleur …
le type de réseau sur lequel le Qualistar est connecté ;
les paramètres de mesure et d‟enregistrement.
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 47
Figure 15 : Configuration des paramètres
Pour notre cas, les paramètres importants qui nous intéressent sont les valeurs de
la puissance. Lors de la configuration, nous avons créés un code pour nommer les
différents fichiers et pour ne pas se perdre lors de l‟enregistrement, lors de l‟importation
et l‟exportation des données.
Pour le cas des essais avec de l‟eau, nous avons mis : Ex Fy Pz où
Ex permet d‟indiquer la quantité d‟eau [en l] incorporé dans la cuve ;
Fy permet d‟indiquer la valeur de la fréquence [en Hz] que l‟on a varié avec l‟ATV
28 ;
Pz permet d‟afficher le numéro de la pale employé.
x a pour valeur : 0, 3, 9, 15, 21 et 27.
y a comme valeur : 2, 5, 8, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 et 50 ;
z prend comme valeur : 1, 2 et 3.
Pour le cas des essais en charge c'est-à-dire des essais avec de la pâte de papier,
nous avons convenu de codifier : Ex PAw PzT avec :
Ex permet d‟indiquer la quantité d‟eau [en l] incorporé dans la cuve ;
PAw indique la quantité de papier [en kg] utilisé lors de l‟essai ;
Pz permet d‟afficher le numéro de la pale employé ;
T indique le type de papier utilisé lors de l‟essai, il peut être C : carton ; V : vélin
ou J : journaux ;
x a pour valeur : 21, 27.
w prend comme valeur : 1, 1.280, 2, 2.560 ;
z prend comme valeur : 1, 2, 3.
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 48
Exemples :
E27PA1P1 C : nous avons travaillé avec la quantité d‟eau 27l, 1 kg de papier
carton avec la pâle 1.
E27PA2.560P2 V : la quantité d‟eau que nous avons utilisée est de 27l avec
2.560 kg de papier vélin pour la pâle 2.
E21PA1P3 J : nous avons utilisé la pâle 3 pour effectuer un mélange de 1 kg
de papier journaux avec 21l d‟eau.
IV.2.3.3 Observation
Suite à cette opération de tous les réglages, la période d‟enregistrement et la
cadence de mémorisation programmables, on peut visualiser instantanément les
caractéristiques d‟un réseau. L‟analyseur permet de voir toutes les entrées
simultanément car il a la capacité de visualisation d‟évènement jusqu‟à quelques
dizaines de µs. Les mesures s‟affichent sous forme d‟ondes, de valeurs ou encore sous
la forme d‟une représentation de Fresnel.
Figure 16 : Visualisation des valeurs
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 49
IV.2.3.4 Mode Puissance
Pour notre cas, les valeurs qui nous intéressent sont les valeurs des puissances. Le
mode Puissance/Energie affiche toutes les valeurs relatives à la puissance et à
l‟énergie. Les touches « start » et « stop » permettent, respectivement, de déclencher et
d‟arrêter le cumul des énergies.
Figure 17 : Mesure de Puissance
Figure 18 : Intégration de puissance sur une durée
IV.2.3.5 Acquisition et analyse des données
Pendant l‟acquisition, le dispositif effectue un fonctionnement en parallèle de
plusieurs modes. La consultation des données sont possible en cours de campagne.
Par conséquent donc, le manipulateur a la possibilité de visualiser l‟ensemble des
paramètres, facilitant la consultation à tout moment.
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 50
Comme les données sont ensuite enregistrées, la phase analyse poursuit cette
tâche. L‟exploitation des mesures réalisées avec les analyseurs Qualistar s‟effectue à
partir de logiciel QualiStar View V2.6 qui a pour fonction de :
configurer l‟appareil ;
traiter des données enregistrées et des alarmes ;
transférer des impressions d‟écran et des transitoires ;
exporter des données sur tableur Excel ;
exporter des données sous forme graphique sous Windows.
IV.2.3.6 Le logiciel QualiStar View V2.6
IV.2.3.6.1 Transfert des données vers l’ordinateur
Ce logiciel livré avec le dispositif nous a été un outil de traitement des données
important vu qu‟il nous a permis d‟importer les valeurs enregistrées par l‟appareil vers
notre PC. L‟importation de ces données s‟effectue, tout d‟abord par le lancement du
programme QualiStar View V2.6, ensuite d‟entrer sur le menu File et choisir Import
pour transférer les données enregistrées dans l‟analyseur. Le nom du fichier sera codé
selon le nom que l‟on a convenu lors de la configuration avec une extension .mon.
Figure 19 : Transfert des données sur un ordinateur
Etude expérimentale Chapitre IV
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 51
IV.2.3.6.2 L’extraction des données vers Excel
Comme les données de puissance ont été ensuite enregistrées sur l‟ordinateur,
nous avons dû les exporter sur tableur Excel afin d‟être exploitable. Mais avant
d‟effectuer l‟extraction, nous devons procéder comme suit :
Choisir le menu File ;
Ouvrir les fichiers contenant le données transférées sur le PC ;
Afficher les courbes de puissance avec les trois lignes ;
Choisir l‟option « Export to EXCEL ».
Figure 20 : Extraction vers Excel
Les résultats de données obtenues à l‟issue de cette extraction est une feuille Excel
dans laquelle figure le nom du fichier, la date, l‟heure du début de l‟enregistrement et la
date et l‟heure de la fin de l‟enregistrement qui se situe sur la première ligne de la
feuille. Les valeurs de puissance des trois lignes sont réparties dans le tableau selon la
date et l‟heure d‟enregistrement, ces tableaux sont nombreux mais un extrait de ces
données est présenté dans l‟annexe a11. Ainsi, nous avons dû effectuer une
récapitulation afin de rassembler toutes les données recueillies dans le but de procéder
à l‟analyse numérique et ce qui nous a amené au chapitre suivant.
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 52
CHAPITRE V. OUTILS DE RESOLUTION
L‟objectif principal de notre travail est d‟effectuer une analyse numérique de
paramètres rhéologiques pour le cas des déchets cellulosiques avec de l‟eau. Après
avoir procédé à des documentations, certains ouvrages mentionnent que notre matière
en question fait partie des fluides non newtonien. Un des comportements pratiques les
plus intéressants de ces fluides est la relation non linéaire entre contrainte et vitesse de
déformation. La structure interne du fluide est complexe et peut être influencée par
l‟écoulement. Avant d‟entamer sur l‟exploitation des données, il s‟avère importants
d‟exposer les méthodes qui interviennent à la résolution de ce problème.
V.1 Les méthodes de résolution
Comme nous nous trouvons dans une situation d‟optimisation qui n‟est pas linéaire,
donc les outils mathématiques que nous allons utiliser est la régression non linéaire.
L‟optimisation sans contrainte de fonctions continues non linéaires a pour objectif,
étant donnée une fonction continue de dans , de trouver un vecteur tel que
( ) soit un extremum de . Usuellement, est appelée fonction objectif (ou critère)
et variable de décision. Etant donné que la maximisation de est équivalente à la
minimisation de , tous les algorithmes recherchent un minimiseur de la fonction
objectif. Autrement dit, on cherche tel que :
( )
Il existe plusieurs algorithmes qui permettent de résoudre ce problème mais pour
notre cas, on a cherchée la méthode la mieux adaptée et on a opté pour la méthode du
simplexe, de Gauss-Newton et Levenberg-Marquardt.
V.1.1 Définitions
Définition 1 (minimum global).
Soit une fonction. ( ) est le minimum global de si et seulement si :
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 53
( ) ( )
est un minimiseur global de .
Définition 2 (minimum local).
Soit une fonction. ( ) est un minimum local de si et seulement si :
] [ ( ) ( )
est un minimiseur local de .
Théorème (condition suffisante de minimalité locale).
Soit une fonction . Si vérifie les conditions :
{ ( )
( )
Alors, ( ) est un minimum local strict de f.
Définition 3 (gradient).
Soit une fonction différentiable. La fonction notée
( ) est appelée le gradient de f et est définie par : ( )
(
( )
( )
)
V.1.2 La méthode du Simplexe de Nelder-Mead
La méthode de Nelder-Mead souvent appelée « méthode du simplexe » est un
algorithme d‟optimisation non linéaire. C‟est une méthode qui cherche à minimiser une
fonction continue dans un espace à plusieurs dimensions.
L‟algorithme exploite le concept de simplexe qui est un polytope de sommets
dans un espace à dimensions. Partant initialement d‟un tel simplexe, celui-ci subit des
transformations simples au cours des itérations car il se déforme, se déplace et se
réduit progressivement jusqu‟à ce que ses sommets se rapprochent d‟un point où la
fonction est localement minimale.
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 54
Algorithme :
Soit la dimension de l'espace où f prend ses valeurs. L'algorithme débute par la
définition d'un simplexe non dégénéré choisi dans cet espace. Par itérations
successives, le processus consiste à déterminer le point du simplexe où la fonction est
maximale afin de le substituer par la réflexion de ce point par rapport au centre de
gravité des points restants. Si la valeur de la fonction en ce nouveau point est
inférieure aux valeurs prises sur les autres points, le simplexe est étiré dans cette
direction. Sinon, il est supposé que l'allure locale de la fonction est une vallée, et le
simplexe est réduit par une similitude centrée sur le point du simplexe où la fonction est
minimale.
La figure 21 présente l‟algorithme de Nelder et Mead (Algorithme 1)
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 55
Figure 21 : Algorithme de Nelder et Mead
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 56
V.1.3 Méthode de Gauss-Newton
L‟algorithme de Gauss-Newton est une méthode de résolution des problèmes de
moindres carrés non linéaires. Elle peut être vue comme une modification de la
méthode de Newton dans le cas multidimensionnel afin de trouver le minimum d‟une
fonction (à plusieurs variables). Mais l'algorithme de Gauss-Newton est totalement
spécifique à la minimisation d'une somme de fonctions au carré et présente le grand
avantage de ne pas nécessiter les dérivées secondes, parfois complexe à calculer.
Les problèmes de moindres carrés non linéaires visent à minimiser des fonctions
objectifs de la forme :
( )
∑
( )
On utilise généralement la fonction vectorielle définie par :
( ) ( ( )
( )
+
On a donc :
( )
( ) ( )
Le gradient de est :
( ) ∑ ( )
( ) ( ) ( )
Avec ( ) la matrice de
Le hessien de s‟écrit :
( ) ∑ ( )
( ) ∑ ( )
( )
( ) ( ) ∑ ( )
( )
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 57
Le deuxième terme est très difficile à calculer et peut être négligé en pratique (car il
est relativement faible au voisinage d‟un minimum). On approche le hessien par le
premier terme uniquement qui est une matrice semi définie positive :
( ) ( ) ( )
En pratique, la direction de descente ( ) ( ) est calculée sans
inverser R(X) mais en résolvant :
( ( ) ) ( )
Où est une matrice diagonale telle que ( ) soit définie positive afin de garantir
que la direction soit une direction de descente.
L‟algorithme de Gauss-Newton est un algorithme robuste car la matrice
( ) ( ) est presque toujours définie positive et ainsi la direction calculée est une
direction de descente. On doit cependant initialiser l‟algorithme en un point assez
proche d‟un minimiseur local.
Algorithme
La figure 22 représente l‟algorithme de Gauss – Newton (Algorithme 2)
Figure 22 : Algorithme de Gauss – Newton
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 58
V.1.4 La méthode de Levenberg-Marquardt
Cette méthode permet d'obtenir une solution numérique au problème de
minimisation d'une fonction, souvent non linéaire et dépendant de plusieurs variables.
Elle utilise comme direction de descente, le vecteur solution de l‟équation :
( ( ) ) ( ) avec
Si est nul, la direction est celle d‟un algorithme de Gauss-Newton. Quand tend
vers l‟infini, la direction est celle de la plus forte pente.
est calculé à chaque itération et favorise la direction de la plus forte pente dans les
cas où la méthode de Gauss-Newton n‟est pas adaptée. On peut par exemple diminuer
si tout se passe bien (la fonction objectif diminue) et l‟augmenter si il y a divergence
(la fonction objectif augmente).
La méthode de Levenberg-Marquardt est particulièrement robuste et efficace. Elle
est devenue l‟algorithme de référence pour la minimisation de problèmes de moindres
carrés non linéaire.
V.2 Matlab
Comme les méthodes de résolution ont été déjà définies précédemment, nous
allons à présent exposer l‟outil de traitement de ces données : Matlab.
V.2.1 Introduction
Matlab est destiné essentiellement à l‟analyse numérique et à l‟algèbre linéaire à
l‟origine mais actuellement, il est devenu un outil que l‟on peut utiliser pour mener des
simulations dans de très nombreux domaines et pour développer des applications avec
une interface graphique. C‟est l‟une des raisons pour laquelle nous l‟avons choisie vu
que c‟est une application qui a été conçue afin de fournir un environnement de calcul
matriciel simple, efficace, interactif et portable.
Il est constitué d‟un noyau relativement réduit, capable d‟interpréter puis d‟évaluer
les expressions numériques matricielles qui lui sont adressées :
soit directement au clavier depuis une fenêtre de commande ;
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 59
soit sous forme de séquences d‟expressions ou scripts enregistrées dans des
fichiers-texte appelés m-files et exécutées depuis la fenêtre de commande ;
soit plus rarement sous forme de fichiers binaires appelés mex-files .mex
générés à partir d‟un compilateur C ou fortan.
V.2.2 Matlab et ses bibliothèques
Matlab est un logiciel qui dispose d‟une collection de fonctions/programmes, que
l‟on désigne aussi par des fichiers à extension .m. Ces .m sont classés par thèmes et
constituent alors des boîtes à outils (ou toolboxes en anglais). On dispose ainsi des
toolboxes „general‟, „identification‟, „signal‟, etc. Matlab ayant été créé à partir d‟une
bibliothèque dédiée au calcul matriciel, de nombreuses bibliothèques sont relatives à
l‟algèbre linéaire („elmat‟, „specmat‟, „matfun‟).
Ces bibliothèques sont mises en place au moment de l‟installation de Matlab. Elles
sont très utiles car elles regroupent des traitements de bases (par exemple, le calcul du
déterminant d‟une matrice, l‟obtention des valeurs propres ou singulières et des
vecteurs associés, etc.). En général, chaque programme débute par un commentaire de
quelques lignes décrivant l‟objectif du programme, les entrées, etc.
Comme les bibliothèques doivent être accessibles de n‟importe quel point où l‟on se
place dans l‟arborescence du disque, une variable PATH doit être configurée pour
définir les chemins d‟accès.
On peut sinon créer des bibliothèques personnelles contenant ses propres
fonctions. Pour cela, il faut définir des répertoires où elles seront placées. De la même
manière que précédemment, il faut configurer une variable PATH.
V.2.3 Les variables
Les variables définies par l'utilisateur sont rangées dans l'espace mémoire de
Matlab, ces variables sont dites globales.
V.2.4 Script et m-files
Un script est une séquence d‟expressions ou de commandes. Un script peut se
développer sur une ou plusieurs lignes. Les différentes expressions ou commandes
doivent être séparées par une virgule, un point-virgule ou par le symbole de saut de
ligne constitué de trois points . . . suivis de <entrer> (le rôle des trois points est d‟inhiber
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 60
le mécanisme d‟évaluation lors d‟un passage à la ligne). Comme pour une expression
unique, la frappe de <entrer> déclenche le processus d‟évaluation. Les expressions
sont évaluées dans leur ordre d‟écriture. Seule la valeur des expressions suivie d‟une
virgule ou d‟un saut de ligne est affichée, celle des expressions suivies d‟un point-
virgule, ne l‟est pas.
Les m-files permettent d‟enregistrer les scripts sous forme de fichiers-texte et
servent en particulier à définir de nouvelles fonctions (une grande partie des fonctions
prédéfinies de Matlab sont stockées sous forme de m-files dans la toolbox matlab.
Pour créer un m-file, on utilise le menu File -> new -> M-file.
Figure 23 : Création de M-file
V.2.5 Fonctions
Les fonctions ont des rôles très importants dans Matlab puisque ce sont elles qui
constituent un de ses principaux atouts. Ces fonctions sont utilisables à partir d‟un script
ou directement de l‟espace de travail.
Une fonction est définie par :
Son nom ;
Ses entrées ;
Ses sorties.
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 61
V.2.6 Structures de programmation usuelles
On rappelle dans ce paragraphe les principales structures de programmation que
l‟on rencontre en général. Sous Matlab, le nombre de ces structures est très réduit
puisque l‟on en a deux types :
Le contrôle de l‟exécution ;
L‟instruction de choix.
V.2.6.1 Le contrôle de l’exécution
V.2.6.1.1 Boucle FOR
La boucle FOR permet d'exécuter des opérations pour un nombre d'itérations
définis. L'avantage de la boucle FOR sur la boucle WHILE est sa simplicité d'écriture
dans le cas d'un nombre d'itérations définis et bien connu à l'avance (par exemple, le
parcours d'un tableau).
Lors de l'exécution de la boucle FOR, la variable qui sert à boucler est accessible
en lecture et en écriture. Il est donc possible de réduire ou d'augmenter le nombre
d'itérations au cours de l'exécution de la boucle.
V.2.6.1.2 Boucle WHILE
La boucle permet d‟exécuter des opérations de manière répétée jusqu'à ce qu'une
condition soit falsifiée. (Par exemple : tant que la solution n'est pas précise à 4
décimales, continuer à chercher une solution précise)
V.2.6.2 L’instruction de choix
V.2.6.2.1 Boucle IF
L'instruction IF est une instruction de choix. Autrement dit, en fonction que sa
condition sera évaluée vrai ou faux, la commande exécutera un groupe d'instructions ou
l'autre.
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 62
V.2.6.2.2 Boucle SWITCH
L'instruction SWITCH est une instruction de choix comme le IF mais avec la
particularité de pouvoir effectuer plus de branchements que le IF.
La commande SWITCH doit être utilisée dans le cas ou, par exemple, en fonction
de la valeur d'une variable, on effectue différentes opérations.
V.2.7 Les fonctions utilisées
Il a été exposé précédemment que Matlab dispose des boîtes à outils ou toolboxes
qui regroupent toutes les fonctions ou programmes nécessaires pour les traitements
des données. Pour notre cas, ce qui nous intéresse est la fonction d‟optimisation, ainsi
nous nous sommes inspirés de la fonction Banana pour résoudre la fonction de
Rosenbrock qui est
( ) ( ) ( )
Nombreux sont les algorithmes permettant de résoudre la fonction dont le BFGS,
DFP, SD, Simplex, GN et LM. Mais pour notre cas, nous avons déjà évoqué la raison
de notre choix de méthodes de résolution qui sont NM, GN et LM dans la section
précédente. Le paragraphe suivant met en évidence l‟application de ces algorithmes sur
Matlab.
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 63
V.2.7.1 L’algorithme de Simplexe
Le processus de calcul est présenté dans le paragraphe 1.2 du chapitre 5. Lors de
la mis en pratique avec Matlab, on doit définir la fonction objectif dans un fichier « .m ».
L‟algorithme de Nelder-Mead est accessible via la commande fminsearch :
V.2.7.2 L’algorithme de Gauss-Newton
Pour utiliser les méthodes des moindres carrés non linéaires sous Matlab, on doit
définir la fonction vectorielle F et son jacobien dans un fichier .m, par exemple :
Les algorithmes de Gauss-Newton et de Levenberg-Marquardt sont accessibles via
la commande lsqnonlin dont le paramétrage s'effectue aussi grâce la fonction optimset.
V.2.7.3 L’algorithme de Levenberg-Marquardt
Pour utiliser la méthode de Levenberg-Marquardt, on écrit
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 64
V.2.8 Graphique
Tout tracé avec Matlab, s'effectue dans une fenêtre graphique que l'on crée par la
commande figure ou quand on exécute une commande de dessin (plot …). On peut
créer autant de fenêtres graphiques que l'on veut celles-ci étant numérotées de 1 à N
au fur et à mesure de leur création.
V.2.9 Programmation des interfaces graphiques GUI
Les IHM (Interfaces Homme Machine), sont appelées GUI (Graphical User
Interfaces) dans Matlab. Elles permettent à l'utilisateur, grâce à des objets graphiques
(boutons, menus, cases à cocher, ...) d'interagir avec un programme informatique.
Des interfaces graphiques sont alors créées du fait de l‟existence de l‟outil I.D.E
(Integrated Development Environment) que Matlab possède. Cet outil s‟appelle le
GUIDE (Graphical User Interface Development Environment) et qui permet de
concevoir intuitivement des interfaces graphiques. En effet, ce sous programme de
Matlab nous présente tous les objets de la base de donnée de Matlab et nous propose
de les agencer comme bon nous semble.
V.2.9.1 Objets graphiques et leur fonctionnement
Sous Matlab, les objets graphiques sont arrangés selon une hiérarchie pyramidale
parent-enfant :
Figure 24 : Les objets graphiques
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 65
L‟Objet Root est invisible, c‟est un objet dont on ne se sert que très rarement mais il
peut être très utile lorsqu‟on désire faire communiquer plusieurs objets Figure entre eux.
L‟objet Figure correspond à la fenêtre qui contiendra tous les autres objets.
L‟objet Axes se rapporte à des objets qui créent une zone réservée à la création
d‟objets graphiques 2D ou 3D. Les enfants de cet objet correspondent à des références
mathématiques.
Au même niveau se trouvent les UI Objects qui se réfèrent à tous les objets cités
plus haut. Ils permettent à l‟utilisateur d‟interagir avec la souris.
A la création de tout objet, Matlab leur attribue un identifiant (« handle ») qui prend
la forme d‟un nombre réel unique qui est stocké dans une variable. Cet identifiant
permet de trouver à tout moment un objet graphique existant, et ceci pendant toute la
durée du fonctionnement de l‟interface. Dès que l‟objet est détruit (par exemple à la
fermeture de l‟interface), son identifiant s‟efface.
Pour manipuler tous ces objets, le programmeur utilise en général un certain
nombre de fonctions récurrentes dans un programme :
GUIHANDLES, qui permet de gérer les handles de chaque objet ;
GCA, (get current axes handles) qui récupère l‟identifiant de l‟objet Axes ;
GCBF, qui récupère l'identifiant de l'objet Figure où se trouve l'objet graphique
dont l'action est en cours ;
GCBO, qui récupère l'identifiant de l'objet graphique dont l'action est en cours ;
GCO, qui récupère l'identifiant de l'objet graphique courant ;
Guidata, qui va enregistrer les rectifications apportées au GUI.
Chaque objet graphique possède des propriétés (position, couleur, nom de l‟objet,
taille…) qu‟il est possible de modifier pendant l‟exécution de l‟interface. Elles sont
définies par défaut lors de la création du GUI mais elles peuvent être remaniée en
utilisant les fonctions get et set.
Une fois que la mise en place des objets sur l‟I.D.E. est réalisée, la compilation de
ce fichier .fig, créé par le GUIDE, permet la création d‟un nouveau fichier .m qui servira
de support à tout le code. En effet, tout le code Matlab est alors généré
automatiquement.
Etude expérimentale Chapitre V
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 66
Le fichier .m ainsi créé correspond à l‟exécutable du programme que l‟on a réalisé.
A son lancement, une première fonction d‟initialisation se sert d‟une boucle pour créer
tous les objets que la fenêtre doit contenir en appelant les « create function » de
chaque élément. Ces « create functions » ne s‟exécutent qu‟une fois mais on peut déjà
y rajouter des lignes de code pour initialiser un élément graphique selon ses besoins.
Ensuite, c‟est la fonction « opening function » qui s‟exécute et qui a pour rôle de
rendre visible la figure avec tous ses objets préalablement créés. On peut, ici aussi,
ajouter des lignes de code permettant d‟initialiser la fenêtre et ses composant de la
manière qui nous semble la plus appropriée.
Enfin, dans le fichier .m, on peut modifier les fonctions « callback functions ». Ce
sont ces fonctions qui sont appelées lorsque l‟utilisateur interagi avec un objet. C‟est
donc ici que l‟on va coder toutes les actions que l‟on veut associer à chaque objet.
Un dernier élément important du fonctionnement d‟une interface est la structure
« handles ». Elle constitue en quelque sorte la colonne vertébrale du programme car
elle permet d‟accéder à tous les objets de la fenêtre. C‟est une structure de données
créée par le GUIDE dans laquelle tous les identifiants de chaque objet sont enregistrés
dans un champ repéré par le nom de l‟objet (tag). On peut par ailleurs, à volonté, y
rajouter des champs dans lesquels n‟importe quelle sorte de variable peut être
enregistrée.
Finalement, cette structure « handles » va être utilisée en paramètre pour
énormément de fonctions puisqu‟elle permet d‟accéder à tous les éléments de la
fenêtre depuis n‟importe quel endroit du programme ; à condition que le « handles » ait
déjà été créé, c'est-à-dire après le lancement de la « opening function ». Il est important
de sauvegarder chaque modification du « handles » après son utilisation dans une
fonction. On utilise alors la fonction guidata.
Comme les matériels et méthodes de résolution ont été présentés dans cette
deuxième partie, nous allons à présent entamer dans la dernière partie de l‟ouvrage qui
est l‟étude exploitation consistant à appliquer les outils que nous avons mentionnés sur
notre sujet d‟étude.
PARTIE III :
ETUDE EXPLOITATION
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 67
CHAPITRE VI. ACQUISITION DES DONNEES
L‟objectif principal de notre travail consiste à faire une analyse numérique de
paramètres rhéologiques cas des déchets cellulosiques – eau. Pour ce faire, les
théories et méthodes ont été déjà développées dans les deux premières parties de
l‟ouvrage. A présent, nous allons procéder à l‟application de ces méthodes pour en faire
des analyses et interpréter les résultats obtenus.
Comme il a été déjà mentionné dans le chapitre 4, nous allons déterminer les
caractéristiques de notre agitateur en déterminant la viscosité apparente de notre fluide
par l‟application de la théorie de Metzner et Otto.
Dans cette théorie, il est primordial de connaitre tout d‟abord les puissances lors de
l‟agitation des fluides, puis de calculer afin de déterminer les trois paramètres
inconnus : k, x et y ; ensuite, de calculer la viscosité apparente et enfin d‟en tirer les
constantes caractéristiques de notre fluides, et la constante de l‟agitateur B dans le but
d‟affirmer la loi de comportement de notre fluide en question qui est la pâte de papier.
Les différentes étapes sont présentées dans la figure ci-dessous.
Figure 25 : Etape de la détermination des paramètres
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 68
D‟après cette figure, nous allons utiliser de l‟eau comme liquide de référence et
pour les déchets cellulosiques, nous avons opté pour trois types de papiers à cité le
papier vélin, journaux et carton tous découpés en morceaux de 1cm² afin d‟acquérir
plusieurs données.
En ce qui concerne notre démarche pour l‟obtention des valeurs de la puissance,
nous avons enregistré les valeurs de la puissance par l‟issu de l‟appareil analyseur de
réseau en effectuant sa configuration de sorte à obtenir des valeurs instantanées sur
une période de 1s pour que nos données soit exploitables et fiables à interpréter.
La vitesse de rotation est obtenue à partir du variateur de fréquence vu qu‟il existe
une relation entre la fréquence et la vitesse par la formule :
Où F : la fréquence
N : la vitesse de rotation
p : le nombre de pôle
VI.1 Description du déroulement des essais
Après avoir réunit tous les matériels nécessaires pour l‟essai et effectuer
l‟installation de tous les appareils, nous avons procédé comme suit lors des essais:
Effectuer des essais à vide ;
Effectuer des essais avec de l‟eau ;
Effectuer des essais avec de la pâte de papier.
Il est à noter que pour chaque essai, nous l‟avons réalisé avec les trois pâles
différentes P1, P2, P3 ; avec les trois différents types de papier (vélin, journaux et
carton). Nous avons varié la fréquence de : 2, 5, 8, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 et de
50 Hz
Lors des essais avec de l‟eau, nous avons varié la quantité de 0, 3, 6, 9, 21 et 27l.
Pour les essais réalisés avec de la pâte à papier, nous avons utilisé la quantité
d‟eau de 21 et 27 l et une quantité de 1, 1.280, 2, 2.560 kg de papier carton, journaux et
vélin.
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 69
VI.2 Exportation des données de l’analyseur vers Excel
L‟analyseur est doté de la capacité d‟enregistrer et de stocker des données. Mais
celles qui nous intéressent sont les valeurs de la puissance. Afin de mieux analyser les
valeurs enregistrées, nous avons dû les exporter vers Excel.
Les résultats issus de cette extraction est une longue liste de chiffre regroupé sur
une feuille Excel. Une partie de cette extraction est représenté dans l‟annexe a11.
Pour que ce dernier soit un outil exploitable, nous l‟avons regroupé dans un tableau
après avoir calculer les valeurs moyennes de la puissance des trois lignes à chaque
fréquence. Ainsi, nous avons les différents tableaux suivants.
Tableau 6 : Puissance de l’agitateur de la pâle 1 avec de l’eau
P MESUREES [W]
F [Hz] N [s-1] E0 E3 E9 E15 E21 E27
2,00 1,000 65,4 65,0 54,7 54,6 52,8 63,4
5,00 2,500 197,6 65,0 198,3 194,5 196,9 196,2
8,00 4,000 258,8 258,8 260,4 270,0 276,0 294,8
10,00 5,000 275,5 276,9 290,2 303,7 322,3 363,8
15,00 7,500 329,5 330,3 358,9 398,7 473,0 519,7
20,00 10,000 265,6 278,0 336,1 403,1 550,3 633,3
25,00 12,500 250,4 266,8 352,8 574,8 734,5 826,6
30,00 15,000 241,7 265,8 386,7 744,8 915,7 1084,3
35,00 17,500 250,7 276,6 428,7 904,3 1176,4 1416,0
40,00 20,000 264,4 307,6 486,8 1091,3 1463,9 1832,0
45,00 22,500 300,5 332,7 581,7 1321,4 1761,5 2210,1
50,00 25,000 335,6 368,5 657,4 1605,3 2146,4 2600,8
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 70
Tableau 7 : Puissance de l’agitateur de la pâle 2 avec de l’eau
P MESUREES [W]
F [Hz] N [s-1] E0 E3 E9 E15 E21 E27
2,00 1,000 63,6 57,3 52,9 53,2 55,1 48,8
5,00 2,500 200,7 189,4 192,1 195,1 199,2 192,5
8,00 4,000 263,4 252,5 256,5 274,3 284,7 276,3
10,00 5,000 287,9 272,5 283,1 311,3 333,2 330,8
15,00 7,500 354,7 327,9 358,8 430,6 497,8 519,9
20,00 10,000 289,9 265,8 336,0 482,0 606,0 637,2
25,00 12,500 272,7 250,3 358,7 601,1 780,7 867,9
30,00 15,000 270,7 253,5 403,5 777,2 989,8 1148,5
35,00 17,500 276,3 276,3 481,5 986,9 1276,3 1460,8
40,00 20,000 287,2 307,6 542,7 1182,7 1597,8 1763,5
45,00 22,500 313,8 326,9 606,6 1411,1 2302,3 2302,3
50,00 25,000 362,3 363,0 700,6 1738,0 2365,1 2784,1
Tableau 8 : Puissance de l’agitateur de la pâle 3 avec de l’eau
P MESUREES [W]
F [Hz] N [s-1] E0 E3 E9 E15 E21 E27
2,00 1,000 61,1 55,3 56,9 57,4 64,5 65,0
5,00 2,500 199,0 190,3 197,8 197,9 196,8 197,5
8,00 4,000 259,2 246,2 262,7 270,5 275,0 279,9
10,00 5,000 282,9 266,0 291,9 303,9 320,7 334,0
15,00 7,500 318,2 281,6 350,7 386,2 440,4 559,3
20,00 10,000 280,0 240,5 339,1 392,6 506,4 569,7
25,00 12,500 256,6 224,1 346,6 440,8 642,7 730,5
30,00 15,000 246,2 222,9 375,9 511,2 840,1 949,9
35,00 17,500 263,4 235,6 424,0 599,5 1087,0 1217,4
40,00 20,000 271,8 280,5 466,4 703,2 1359,3 1541,8
45,00 22,500 279,9 306,3 518,1 814,9 1602,3 1906,8
50,00 25,000 299,3 325,7 588,1 938,7 1798,7 2283,6
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 71
Ensuite, les tableaux ci-après affichent les valeurs de la puissance consommée des
essais que nous avons réalisés pour chaque type de pâle et à chaque type de papier.
Pour le cas de la pâle 1, nous avons eu les relevées suivantes :
Tableau 9 : Puissance de l’agitateur de la pâle 1 avec de la pâte de papier
F [Hz] N [s-1] E21PA1P1 J E21PA1P1 V E21PA1P1 C E21PA2P1 V
2,00 1,000 52,2 63,1 53,3 58,00
5,00 2,500 192,4 195,8 195,9 200,00
8,00 4,000 280,5 284,2 279,1 290,00
10,00 5,000 338,6 335,1 332,2 344,00
15,00 7,500 523,9 572,1 512,2 545,00
20,00 10,000 672,4 862,2 669,0 691,00
25,00 12,500 1049,5 1193,7 1115,9 869,00
30,00 15,000 1748,4 1492,1 1606,5 1049,00
35,00 17,500 2668,5 1766,7 1928,7 1237,00
40,00 20,000 3496,6 2130,5 2373,9 1409,00
45,00 22,500 4147,1 2557,7 2820,6 1566,00
50,00 25,000 4317,6 3013,3 3191,2 1827,00
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 72
Le tableau suivant affiche les valeurs de la pâle 2.
Tableau 10 : Puissance de l’agitateur de la pâle 2 avec de la pâte de papier
F [Hz] N [s-1] E21PA1P1 J E21PA1P1 V E21PA1P1 C E27PA1.280P2
V E27PA2.560P2
V
2,00 1,000 51,4 55,2 52,7 58,00
5,00 2,500 191,8 191,6 196,4 197,00
8,00 4,000 281,9 289,9 279,0 314,00
10,00 5,000 357,2 370,7 358,5 410,00 74,000
15,00 7,500 622,7 631,0 640,3 691,00
20,00 10,000 1000,7 839,8 948,3 949,00
25,00 12,500 1615,3 1082,6 1280,0 1274,00 2580,000
30,00 15,000 2224,7 1286,7 1666,6 1632,00
35,00 17,500 2860,2 1596,0 2106,9 2038,00
40,00 20,000 3346,8 1952,1 2574,6 2538,00
45,00 22,500 4078,9 2675,9 3101,4 3047,00 6917,000
50,00 25,000 4731,5 2800,8 3640,4 3676,13 7330,269
En ce qui concerne le cas de la pâle 3, nous avons eu le tableau suivant :
Tableau 11 : Puissance de l’agitateur de la pâle 3 avec de la pâte de papier
F [Hz] N [s-1] E21PA1P1 J E21PA1P1 V E21PA1P1 C
2,00 1,000 52,68 58,01 53,22
5,00 2,500 195,35 195,26 192,87
8,00 4,000 280,32 274,91 270,33
10,00 5,000 327,03 316,50 322,68
15,00 7,500 447,89 475,44 479,42
20,00 10,000 488,74 647,18 620,99
25,00 12,500 573,76 964,92 895,30
30,00 15,000 685,37 1390,51 1395,68
35,00 17,500 855,12 1906,26 2027,29
40,00 20,000 1032,05 2144,60 2666,67
45,00 22,500 1336,73 2477,65 3303,88
50,00 25,000 2323,57 2957,32 4007,98
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 73
Comme les valeurs des puissances ont été déjà obtenues, que ce soit lors des
essais réalisés avec de l‟eau ou avec de la pâte à papier, pour la suite donc, nous
allons les intégrés dans le programme présenté sous Matlab. Mais avant de développer
l‟outil de résolution, nous allons dégager la méthode de calcul. Le paragraphe suivant
exposera la démarche que notre outil va exécuter dans le programme.
VI.3 Méthode de calcul
Après avoir obtenues les valeurs des puissances, nous pouvons à présent calculer
le (de l‟eau) qui a été défini auparavant dans l‟équation 17 par :
Ces valeurs de vont être nommées expérimentales notées et , vu
que ces données sont issues des essais expérimentaux.
Grâce à ces résultats, nous pouvons tracer alors la courbe de ( ).
Des courbes expérimentales de l‟agitateur vont alors être obtenues.
Selon la théorie de l‟agitateur, nous avons comme équation (21) :
Nous allons procéder à l‟ajustement des paramètres d‟où la nécessité de faire
appel à la méthode de résolution qui est la régression non linéaire.
Pour notre cas, nous avons étudié trois méthodes de résolution qui sont la méthode
de Neldear-Mead ou de Simplexe, la méthode de Gauss-Newton et la méthode de
Levenberg-Marquardt pour déterminer les valeurs de k, x et y.
A partir des valeurs de ces paramètres, nous avons alors théoriques. Par la
suite, les courbes caractéristiques de l‟agitateur de l‟agitateur ϕ vont être définies
puisque que l‟on a les paramètres nécessaires.
Vu le nombre des informations à considérer et la difficulté de la méthode de
résolution à effectuer, nous allons traiter ces données par matlab.
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 74
VI.4 Utilisation de l’outil Matlab
Plusieurs outils et applications sont disponibles de nos jours pour faire de l‟analyse
numérique. Pour notre cas, nous avons opté pour Matlab vu qu‟il offre plusieurs options
possibles qui répondent à nos exigences.
VI.4.1 Le script
Par définition, le script n‟est rien d‟autre qu‟un fichier contenant une suite
d‟instructions. Après avoir établi sur papier les méthodes de calcul, nous avons écrit un
script contenant la méthode de résolution de notre problème. Il peut manipuler les
données contenues dans l‟espace de travail. Ainsi, ces données sont les variables et
les constantes qui interviennent dans les phases de calcul à citer : F, P, d, g, ρ, ρp, .
Dans ce script qui est un M-fichier, on rencontre des fonctions qui peuvent accepter
des arguments d‟entrées et des arguments de retour. Etant donné que le nom des M-
fichiers et de la fonction doivent être rigoureusement identique, nous avons intitulé notre
projet « OPTIMGLOBAL ». Les fonctions opèrent sur des variables qui leurs sont
locales. Elles sont dans un espace de travail propre complètement séparé du
workspace principal.
Les fonctions utilisées dans le script sont nombreuses : banana function, la
méthode de Simplexe, la méthode de Gauss-Newton et Levenberg-Marquardt. Comme
les méthodes de résolution utilisent des itérations et plusieurs alternatives, la structure
algorithmique de la programmation la plus utilisée est l‟instruction des choix.
Dans ce script figure aussi les commandes permettant d‟afficher l‟interface lors du
lancement du programme.
VI.4.2 Organisation de l’interface
Lors de l‟exécution du programme, une fenêtre s‟ouvre. Nous pouvons constater
que trois objets différents se place sur cette fenêtre active :
la fenêtre des graphes ;
les palettes des boutons ;
le volet d‟affichage des résultats.
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 75
VI.4.2.1 La fenêtre des graphes
Cette zone est une partie réservée à l‟affichage des graphes. Elle est constituée de
deux axes où l‟on rencontre les valeurs de N sur l‟axe des abscisses et les valeurs de
Np sur l‟axe des ordonnées. La visualisation des courbes ne peut s‟effectuer que
lorsque l‟on appuie sur les boutons de commandes.
Figure 26 : Affichage des graphes
VI.4.2.2 Les boutons
Les boutons font parties des objets graphiques dans le G.U.I de Matlab. Ils
permettent à l‟utilisateur d‟interagir avec la souris. Un seul clic de l‟un de ces boutons
fait appel à leur propre fonction et exécute le programme.
Figure 27 : Les différents boutons
A partir de cette figure, nous pouvons visualiser qu‟il existe plusieurs boutons.
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 76
VI.4.2.2.1 Les boutons
Les trois premiers boutons qui s‟affichent sur l‟interface sont les boutons de
Simplex, Np G-N et Np L-M. Ils ont pour fonction de lancer le code pour calculer les
valeurs des paramètres k, x, y selon les méthodes de Simplexe, de Gauss-Newton et
de Levenberg-Marquardt.
Lorsque la fenêtre de l‟interface s‟ouvre alors et que lorsque l‟utilisateur appui sur
l‟un de ces boutons, le programme se déclenche et effectue le calcul des paramètres
selon les algorithmes prescrits. Cependant, au cours du lancement du programme, le
graphe des ainsi que de ajustés sont affichés sur la fenêtre des graphes en
même temps.
VI.4.2.2.2 Le bouton Info
Il a pour fonction d‟afficher les informations correspondantes que l‟utilisateur doit
effectuer au moment de la manipulation du programme.
Figure 28: Bouton info
VI.4.2.2.3 Le bouton fermer
Ce dernier pushbouton permet d‟effectuer la fermeture du programme lorsque
l‟utilisateur souhaitera quitter l‟application.
Figure 29 : Bouton fermer.
VI.4.2.3 La fenêtre d’affichage
Cette partie est constituée d‟un cadre et d‟un slider ou barre de défilement
permettant d‟afficher les résultats lors de la manipulation de l‟application.
Le tableau suivant permet de résumer les évènements qui peuvent se produire au
moment de l‟exécution du programme.
Etude exploitation Chapitre VI
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 77
Tableau 12 : Les évènements lors du lancement du programme
BOUTONS FENETRE D’AFFICHAGE GRAPHE
1 Np simplex Nombre d'itération, nombre de fonction, k, x, y de Simplex Np = f(N)
2 Np G-N Nombre d'itération, nombre de fonction, k, x, y de G-N Np = f(N)
3 Np L-M Nombre d'itération, nombre de fonction, k, x, y de L-M Np = f(N)
4 Info Instructions -
5 Fermer - -
Après avoir lancé le programme, quand on appuie sur l‟un des trois premiers
boutons de Np le programme essai de trouver les valeurs des paramètres k, x, y jusqu‟à
ce qu‟il trouve les solutions optimales. Ainsi, les résultats vont être transférer
automatiquement sur la fenêtre d‟affichage où on trouvera le nombre d‟itération, le
nombre de fonction d‟évaluation, les valeurs de k, x et y. Dans la partie réservée pour le
graphique, on visualisera la courbe Np en fonction de N.
Ainsi, les résultats vont être étalés dans la cadre de la partie affichage où nous
pouvons visualiser le Re, Fr. Comme les résultats sont une longue liste de chiffre, le
slider permet de faire le défilement sur cette fenêtre.
Le bouton info permet d‟afficher les instructions nécessaires pour manipuler le
programme.
VI.5 Manipulation du programme
Pour démarrer le programme et voir sa fonctionnalité, l‟utilisateur doit ouvrir le
programme de Matlab ; ensuite rechercher le fichier Optimglobal contenant l‟application
le lancer ; puis compléter les données de P et F pour que le programme soit
exécutable.
Lorsque l‟on se trouve sur la phase de l‟affichage de l‟interface, il suffit de cliquer
sur les différents boutons. Le tableau 12 permettra de mieux comprendre les
fonctionnalités de chaque bouton et les évènements qu‟il commande. Enfin, pour quitter
le programme, il suffit de cliquer sur le bouton Fermer.
Comme les méthodes expérimentaux et les recueilles des données ont été définies
et réalisés alors nous allons passer dans le dernier chapitre qui est consacré à l‟analyse
et à l‟interprétation des résultats
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 78
CHAPITRE VII. EXPLOITATION DES DONNEES
VII.1 Introduction
L‟objectif principal de notre travail est de déterminer les paramètres de l‟agitateur
ainsi que de faire la caractérisation rhéologique de la suspension eau - déchets
cellulosiques. Comme les méthodes de résolution ainsi que les recueilles des données
ont été effectué, ce dernier chapitre est consacré à l‟exploitation de ces informations.
Grâce à l‟outil de développement de Matlab, nous avons eu l‟occasion d‟obtenir des
résultats de calcul en quelques clics et dans un délai de quelque minute. Dans ce qui
suit alors, nous allons présenter les étapes permettant de déterminer ces paramètres,
de faire des analyses et d‟effectuer l‟interprétation des résultats.
De ce fait donc, les résultats vont être présentés sur la fenêtre d‟affichage où il y
aura le nombre de fonction d‟évaluation et le nombre d‟itération lors de la recherche
des résultats, le k, x et y selon la méthode choisie.
VII.2 Méthode de Nelder-Mead
Après avoir calculé les à l‟issu des valeurs de puissance du tableau 8, 9 et
10, et utilisé le programme Matlab, nous avons eu comme résultat les valeurs de k, x et
y selon la résolution de NM. D‟où le tableau suivant :
Tableau 13 : K, x et y selon la méthode de Simplexe
NELDER - MEAD
PALE 1 PALE 2 PALE 3
k x y k x y k x y
E0 0,648 0,163 -1,033 0,719 0,159 -1,011 0,741 0,157 -0,999
E3 0,680 0,162 -1,023 0,726 0,156 -0,990 0,766 0,153 -0,976
E9 0,891 0,148 -0,948 0,869 0,148 -0,946 0,836 0,151 -0,965
E15 0,896 0,148 -0,946 0,943 0,146 -0,931 0,849 0,151 -0,964
E21 0,987 0,145 -0,927 0,970 0,147 -0,932 0,716 0,160 -1,014
E27 0,781 0,158 -0,994 1,092 0,139 -0,891 0,734 0,160 -1,010
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 79
VII.3 Méthode de Gauss-Newton
Le même procédé de calcul a été effectué pour retrouver ces paramètres selon la
résolution de GN et ce qui nous donne les résultats ci-après
Tableau 14 : K, x et y selon la méthode de Gauss-Newton
GAUSS - NEWTON
PALE 1 PALE 2 PALE 3
k x y k x y k x y
E0 2,487 0,056 -0,980 2,494 0,060 -0,962 2,420 0,063 -0,952
E3 2,501 0,058 -0,971 2,310 0,064 -0,944 2,241 0,068 -0,933
E9 2,369 0,070 -0,909 2,312 0,070 -0,907 2,403 0,067 -0,923
E15 2,494 0,066 -0,905 2,520 0,068 -0,892 2,485 0,066 -0,921
E21 2,600 0,068 -0,883 2,712 0,065 -0,891 2,750 0,053 -0,960
E27 2,906 0,053 -0,941 2,626 0,069 -0,856 2,857 0,051 -0,956
VII.4 Méthode de Levenberg-Marquardt
Aussi, les valeurs suivantes sont les paramètres obtenues par la méthode de LM.
Tableau 15 : k, x et y selon la méthode de Levenberg-Marquardt
LEVENBERG - MARQUARDT
PALE 1 PALE 2 PALE 3
k x y k x y k x y
E0 2,225 0,065 -0,984 2,221 0,069 -0,966 2,174 0,071 -0,956
E3 2,238 0,067 -0,976 2,068 0,073 -0,948 2,042 0,075 -0,937
E9 1,682 0,097 -0,923 1,633 0,098 -0,920 2,014 0,076 -0,928
E15 1,681 0,098 -0,921 1,689 0,100 -0,908 2,165 0,077 -0,927
E21 1,713 0,101 -0,899 1,750 0,100 -0,909 2,245 0,069 -0,968
E27 2,277 0,072 -0,951 1,708 0,104 -0,873 2,276 0,069 -0,965
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 80
VII.5 Etude comparative par les trois méthodes
Après avoir effectué l‟approximation des nos résultats expérimentaux par la
méthode de régression non linéaire, nous avons eu les paramètres k, x et y.
A partir de ces valeurs, nous avons pu constater que chaque méthode possède ces
propres valeurs de k, x et y et ceci est dû au procédé que la méthode effectue au cours
de l‟approximation.
La méthode de Nelder Mead n‟utilise que la valeur de la fonction et ne nécessite
pas le calcul du gradient pour trouver les solutions. Cependant, elle présente un
inconvénient en termes d‟occupation de mémoire vu qu‟elle nécessite une grande
place. Cela est démontré par le nombre d‟itération et le nombre de fonction d‟évaluation
lors de la recherche des résultats.
Pour illustrer ce propos, le tableau suivant permet de mettre en évidence le nombre
de la fonction d‟évaluation et le nombre d‟itération relevé lors de la recherche de k, x et
y à 21 l d‟eau selon les différentes pâles.
Tableau 16 : k, x et y de simplexe, de Gauss Newton et de Levenberg Marquardt à E21
PALE 1 PALE 2 PALE 3
k x y NI NF k x y NI NF k x y NI NF
S 0,987 0,145 -0,927 37 72 0,970 0,147 -0,932 40 77 0,716 0,160 -1,014 50 92
GN 2,601 0,068 -0,882 4 14 2,711 0,065 -0,891 4 14 2,749 0,053 -0,960 4 14
LM 1,713 0,101 -0,899 5 18 1,750 0,100 -0,909 5 18 2,245 0,069 -0,968 4 15
Pour le cas de la pale 3, le NF et le NI (92 ; 50) sont considérables par rapport aux
deux autres pâle 2 (77 ; 40) et pale 1 (72 ; 14). Alors que pour le cas du GN et LM, les
NI ne sont qu‟au nombre de 4 ou de 5 itérations et les nombres d‟évaluations de
fonctions sont au nombre de 14, 15 ou 18.
L‟algorithme de Gauss-Newton ne nécessite pas le calcul des dérivées secondes,
parfois complexes à calculer pour effectuer la recherche de la fonction objectif, et ce qui
permet à la méthode d‟être plus efficace à trouver les solutions.
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 81
Pour le cas de la méthode de Levenberg-Marquardt, elle est particulièrement
robuste et efficace du fait qu‟elle est plus stable que celui de Gauss-Newton et trouve
une solution même si l‟algorithme est démarré très loin d‟un minimum.
Nous avons pu observer que GN et LM sont des méthodes les plus efficaces à la
régression non linéaires. Pourtant, la méthode de Simplexe possède aussi ses points
forts comme sa généralité, sa simplicité lors de la mise en œuvre, son efficacité pour
une fonction non dérivable.
VII.6 Courbes caractéristiques de l’agitateur
Vu que les données de puissances ont été collectées et que les k, x et y ont été
déterminés, nous pouvons à présent afficher les courbes caractéristiques de l‟agitateur
Np-Re tel que le chapitre 2 du paragraphe 3.1.2 a défini.
VII.6.1 Cas de la pâle 1
Pour le cas de P1, nous avons eu les courbes ci-après selon les trois méthodes
que l‟on a procédé lors de la résolution sur Matlab.
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 82
Figure 30 : Courbes caractéristiques de la pâle 1
3
4
5
6
7
8
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique NM pale 1
Np27
Np21
Np15
Np9
Np0
Np3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique GN pale 1
Np27
Np21
Np15
Np9
Np3
Np0
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique LM pale 1
Np27
Np21
Np15
Np9
Np3
Np0
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 83
VII.6.2 Cas de la pâle 2
Figure 31 : Courbes caractéristiques de la pâle 2
3
4
5
6
7
8
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique NM pale 2
Np27
Np21
Np15
Np9
Np3
Np0
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique GN pale 2
Np27
Np21
Np15
Np9
Np3
Np0
4
5
5
6
6
7
7
8
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique LM pale 2
Np27
Np21
Np15
Np9
Np3
Np0
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 84
VII.6.3 Cas de la pâle 3
Figure 32 : Courbes caractéristiques de la pâle 3
3
4
5
6
7
8
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique NM pale 3
Np27
Np21
Np15
Np9
Np3
Np0
4
5
5
6
6
7
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique GN pale 3
Np27
Np21
Np15
Np9
Np3
Np0
4
5
5
6
6
7
0 2 4 6 8 10 12
ϕ
Re
x 100000
Courbe caractéristique LM pale 3
Np27
Np21
Np15
Np9
Np3
Np0
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 85
Les valeurs de k, x et y nous ont permis de calculer (
).
En se référant à la théorie de l‟agitateur énoncé dans le chapitre 2, paragraphe
3.2.1, nous remarquons que les courbes des figures 30, 31, 32 ne présentent qu‟une
partie de la courbe caractéristique. Cela s‟explique par le fait que notre domaine d‟étude
se situe entre le régime d‟écoulement intermédiaire et turbulent. Ainsi, la théorie de
l‟agitateur est vérifiée et que notre type de pâle est spécialement conçu pour créer un
régime d‟écoulement turbulent.
VII.7 Analyse rhéologique des équations viscosimétriques
VII.7.1 Calcul de n, B et m
VII.7.1.1 Cas de la pale 1 – Méthode de NM
Comme les paramètres ont été obtenus, nous pouvons écrire les deux relations
suivantes :
Donc, le rapport
Où
et
Ainsi,
Nous avons donc l‟expression de la viscosité apparente
(
)
Les valeurs de Npe et Npp sont déjà obtenues à partir du programme de Matlab, les
figures suivantes représentent l‟allure de Npe et Npp en fonction de N.
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 86
Figure 33 : Courbe Npe- méthode de NM de la pale 1 avec de l’eau
Figure 34 : Courbe Npp- méthode de NM de la pale 1
Pour le cas de la pale 1 avec du papier carton, après avoir représenté les courbes
de Npe et Npp en fonction de N, nous avons trouvés que :
Npe = 168.8 N-1.71
Npp=156.4 N-1.74
μa = 1.679.10-3 N-0.206
Par identification avec l‟équation de
y = 168,82x-1,71 R² = 1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20 25 30
Npe
N
Npe
Npe
Puissance (Npe)
y = 156,48x-1,74 R² = 0,9925
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20 25 30
Npp
N
Npp
NpC
Puissance (NpC)
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 87
On a
( )
Et
Par la relation de Np.Re, nous pouvons avoir la deuxième équation Npe.Re et Npp.Rea.
En procédant de la même manière, le rapport Npe.Re et Npp.Rea nous donne
or,
Donc, (
*
( )
Pour le cas de la pale 1, l‟expression de Np.Re est
Ainsi, l‟expression de B est fonction de Re et la valeur de m est obtenue à partir de
l‟équation
( ).
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 88
Figure 35 : Courbe de NpRe de la pale 1 - NM
Figure 36 : Courbe de NppRe de la pale 1 - NM
On effectue le même processus de calcul avec du papier vélin et journaux pour la
même pâle.
Lors des calculs des paramètres k, x et y, nous avons pu constater qu‟il n‟existe
que peu de différence entre les résultats de calcul issus de la résolution de GN et LM.
Du fait de la robustesse et de l‟efficacité de LM, nous allons par la suite effectuer le
même processus de calcul mais avec la résolution de LM.
y = 1E+10x-0,71 R² = 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 2 4 6 8 10 12
NpRe
Mill
ion
s
Re
x 100000
NpRe
NpRe
Puissance (NpRe)
y = 2E+10x-0,74 R² = 0,9599
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 2 4 6 8 10 12
NppRe
Mill
ion
s
Re
x 100000
NppRe
NpReC
Puissance (NpReC)
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 89
VII.7.1.2 Cas de la pale 1 – Méthode de LM
Par la méthode de LM, nous avons pu tracer la courbe de Npe et Npp suivante :
Figure 37 : Courbe Npe- méthode de LM de la pale 1 avec de l’eau
Figure 38 : Courbe Npp- méthode de LM de la pale 1
A partir de ces courbes, nous avons
Npe = 165.2 N-1.69
Npp = 156.4 N-1.74
μa = 1.70.10-3 N-0495
y = 165,28x-1,697 R² = 1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20 25 30
Npe
N
Npe
Npe
Puissance (Npe)
y = 156,48x-1,74 R² = 0,9925
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20 25 30
Npp
N
Npp
Npp
Puissance (Npp)
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 90
Par identification, nous avons obtenues .
B et m sont obtenus par la deuxième relation Np.Re à l‟issue des courbes NppRea et
NpeRe.
NppRea = 1.1010Rea -0.69
NpeRe = 2.1010Re -0.74
Figure 39 : Courbe de NpRe de la pale 1 – LM
Figure 40 : Courbe de NppRe de la pale 1 – LM
y = 1E+10x-0,697 R² = 1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15
NpRe
Mill
ion
s
Re
x 100000
NpRe
NpRe
Puissance (NpRe)
y = 2E+10x-0,74 R² = 0,9599
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 5 10 15
NppRe
Mill
ion
s
Re
x 100000
NppRe
NppRe
Puissance (NppRe)
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 91
Pour déterminer les paramètres du fluide, nous avons dû procéder de la même
manière que précédemment. Par conséquent, nous avons récapitulé les résultats des
valeurs de n et m.
Tableau 17 : Valeur de n et m selon NM et LM
n m
NM LM NM LM
CARTON 1,207 1,496 0,0024 0,0020
VELIN 1,622 2,090 0,0007 0,0003
JOURNAUX 0,308 0,207 0,0065 0,0072
Les valeurs de B pour le cas de la pâle 1 avec les deux méthodes de résolution ont
été récapitulées comme suit :
Tableau 18 : B calculé de P1 selon NM et LM
CARTON VELIN JOURNAUX
F [Hz] N [s-1] NM LM NM LM NM LM
2,00 1,000 0,129 0,676 0,479 0,799 1,316 0,885
5,00 2,500 0,150 0,754 0,551 0,885 1,569 1,008
8,00 4,000 0,162 0,798 0,592 0,933 1,717 1,078
10,00 5,000 0,168 0,820 0,613 0,957 1,792 1,113
15,00 7,500 0,180 0,861 0,652 1,001 1,936 1,179
20,00 10,000 0,189 0,891 0,682 1,034 2,046 1,228
25,00 12,500 0,196 0,915 0,705 1,060 2,136 1,267
30,00 15,000 0,201 0,935 0,725 1,082 2,211 1,300
35,00 17,500 0,207 0,953 0,743 1,101 2,278 1,329
40,00 20,000 0,211 0,968 0,758 1,117 2,337 1,355
45,00 22,500 0,215 0,982 0,772 1,132 2,390 1,378
50,00 25,000 0,219 0,994 0,784 1,145 2,439 1,398
VII.7.1.3 Cas des pâles 2 et 3
Afin de déterminer les valeurs de la constante B pour le cas des pâles 2 et 3, il suffit
d‟appliquer l‟expression de µa avec les valeurs de n et m trouvés de la pale 1.
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 92
Par les valeurs des Npe et Npp, nous pouvons tirer les valeurs de . Ensuite, nous
obtenons l‟équation suivante :
Où C et c sont les valeurs des constantes issu de la courbe de tendance de .
Donc (
)
Les résultats de calcul des pâles 2 et 3 sont présentés dans les tableaux suivants :
Tableau 19 : B calculé de P2 selon NM et LM
CARTON VELIN JOURNAUX
F [Hz] N [s-1] NM LM NM LM NM LM
2,00 1,000 0,610 1,439 6,334 8,115 2,149 0,940
5,00 2,500 0,133 0,397 1,695 2,316 3,045 1,911
8,00 4,000 0,061 0,205 0,862 1,217 3,641 2,749
10,00 5,000 0,042 0,150 0,625 0,897 3,964 3,267
15,00 7,500 0,022 0,085 0,349 0,515 4,625 4,470
20,00 10,000 0,013 0,057 0,231 0,347 5,159 5,584
25,00 12,500 0,009 0,041 0,167 0,256 5,616 6,637
30,00 15,000 0,007 0,032 0,129 0,199 6,019 7,642
35,00 17,500 0,005 0,026 0,103 0,161 6,383 8,610
40,00 20,000 0,004 0,021 0,085 0,134 6,715 9,547
45,00 22,500 0,003 0,018 0,072 0,114 7,023 10,458
50,00 25,000 0,003 0,016 0,060 0,099 7,310 11,346
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 93
Tableau 20 : B calculé de P3 selon NM et LM
CARTON VELIN JOURNAUX
F [Hz] N [s-1] NM LM NM LM NM LM
2,00 1,000 1020,378 5319,474 11,556 36,885 13,914 11,320
5,00 2,500 4,880 29,215 2,426 6,283 1,481 1,426
8,00 4,000 0,315 2,024 1,090 2,534 0,469 0,493
10,00 5,000 0,086 0,570 0,745 1,647 0,272 0,297
15,00 7,500 0,008 0,057 0,373 0,753 0,101 0,119
20,00 10,000 0,002 0,011 0,229 0,432 0,050 0,062
25,00 12,500 0,000 0,003 0,156 0,281 0,029 0,037
30,00 15,000 0,000 0,001 0,115 0,197 0,019 0,025
35,00 17,500 0,000 0,000 0,088 0,146 0,013 0,018
40,00 20,000 0,000 0,000 0,070 0,113 0,009 0,013
45,00 22,500 0,000 0,000 0,057 0,090 0,007 0,010
50,00 25,000 0,000 0,000 0,048 0,074 0,005 0,008
VII.7.2 Equations de µa et σ
Après avoir obtenu les résultats de calcul permettant d‟obtenir les valeurs de n, B et
m ; nous pouvons écrire les équations viscosimétriques ainsi que σ.
Les tableaux suivants rassemblent les équations sur les trois types de papier selon
les deux méthodes de résolution : NM et LM
Tableau 21 : Equations de la pâle 1
µa σ
NM LM NM LM
CARTON
VELIN
JOURNAUX
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 94
Tableau 22 : Equations de la pâle 2
µa σ
NM LM NM LM
CARTON
VELIN
JOURNAUX
Tableau 23 : Equations de la pâle 3
µa σ
NM LM NM LM
CARTON
VELIN
JOURNAUX
Par ces équations, nous pouvons déterminer la viscosité du mélange ainsi que σ
selon les différentes pâles. Aussi, grâce à ces tableaux, nous pouvons représenter la
courbe d‟évaluation de la contrainte de cisaillement en fonction du gradient de vitesse.
VII.7.3 Valeurs de puissance de l’agitateur
Comme tous les paramètres que ce soit de l‟agitateur ou du fluide sont tous
connus, nous pouvons à présent afficher les résultats de calculs des valeurs de
puissance de l‟agitateur pour chaque type de pâle et chaque type de papier.
Pour le cas des résultats de calcul de la méthode de NM, nous avons le tableau suivant
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 95
Tableau 24 : Valeur de P selon NM
PC PV PJ
F [Hz] P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3
2 49,66 50,21 45,54 57,80 48,22 52,54 42,89 44,06 62,26
5 157,56 165,57 148,90 173,60 161,96 158,16 153,31 162,17 151,83
8 284,89 305,33 273,38 305,16 301,50 278,36 294,67 316,41 239,84
10 377,41 408,29 364,80 398,88 404,97 364,06 401,85 434,58 297,99
15 629,10 692,26 616,18 648,91 692,21 592,89 706,09 773,58 442,08
20 904,00 1006,84 893,77 916,51 1012,59 838,02 1053,30 1164,64 584,84
25 1197,55 1346,34 1192,65 1197,98 1360,08 1096,02 1436,41 1599,61 726,63
30 1506,88 1707,12 1509,66 1491,01 1730,83 1364,76 1850,78 2073,12 867,64
35 1829,97 2086,60 1842,58 1794,03 2122,12 1642,79 2293,11 2581,27 1008,01
40 2165,34 2482,87 2189,77 2105,88 2531,89 1929,01 2760,86 3121,11 1147,84
45 2511,82 2894,44 2549,94 2425,64 2958,55 2222,59 3252,05 3690,25 1287,19
50 2868,48 3313,09 2389,50 2752,61 3400,77 2795,47 3765,03 4286,78 1940,27
Pour celui de LM, nous avons le tableau 25
Tableau 25 : Valeur de P selon LM
PC PV PJ
F [Hz] P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3
2 49,67 50,21 45,54 57,82 48,22 52,54 42,91 44,06 62,26
5 156,53 165,58 148,89 172,46 161,97 158,15 152,30 162,17 151,83
8 282,02 305,36 273,36 302,08 301,52 278,34 291,69 316,44 239,84
10 372,96 408,33 364,76 394,18 405,00 364,02 397,11 434,63 297,99
15 619,78 692,35 616,09 639,29 692,30 592,81 695,63 773,68 442,08
20 888,65 1006,98 893,63 900,95 1012,73 837,89 1035,42 1164,80 584,84
25 1175,23 1346,55 1192,44 1175,65 1360,29 1095,82 1409,63 1599,86 726,63
30 1476,74 1707,40 1509,37 1461,19 1731,12 1364,50 1813,77 2073,46 867,64
35 1791,27 2086,97 1842,21 1756,10 2122,50 1642,45 2244,61 2581,73 1008,01
40 2117,40 2483,34 2189,31 2059,25 2532,37 1928,60 2699,73 3121,69 1147,84
45 2454,01 2895,00 2549,37 2369,81 2959,12 2222,10 3177,20 3690,97 1287,19
50 2800,21 3320,75 2427,07 2687,10 3401,45 2738,10 3675,43 4287,64 1908,77
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 96
A partir de ces deux tableaux, nous pouvons voir que les deux méthodes affichent à
peu près les mêmes résultats. L‟analyse de ces valeurs nous ont permis d‟affirmer que
lors du broyage de la pâte à papier, la pâle 2 consomme beaucoup plus d‟énergie par
rapport à P1 et P3. La pâle 3 est celle qui consomme le moins d‟énergie par rapport aux
deux autres. D‟ailleurs ce propos est aussi vérifié pour le cas des essais réalisés avec
de l‟eau.
Nous pouvons affirmer alors que ces résultats de calcul seront un outil d‟aide pour
le manipulateur de la machine à prendre une décision.
VII.7.4 Rhéogramme du fluide
Vu que les paramètres du fluide ainsi que ceux de l‟agitateur ont été définis, nous
pouvons à présent établir le rhéogramme du fluide selon la théorie de Metzner et Otto.
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 97
VII.7.4.1 Papier carton
Figure 41 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier carton
y = 0,0024x1,1783 R² = 1
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
0 1 2 3 4 5 6
τ [Pa.s]
γ [s-1]
Sigma NM
Sigma
Puissance (Sigma)
y = 0,002x1,4424 R² = 1
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0 5 10 15 20 25 30
τ [Pa.s]
γ [s-1]
Sigma LM
Sigma
Puissance (Sigma)
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 98
VII.7.4.2 Papier vélin
Figure 42 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier vélin
y = 0,0008x1,5398 R² = 1
0,000
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0 5 10 15 20 25
τ [Pa.s]
γ [s-1]
Sigma NM
Sigma
Puissance (Sigma)
y = 0,0004x1,9803 R² = 1
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0 10 20 30 40
τ [Pa.s]
γ [s-1]
Sigma LM
Sigma
Puissance (Sigma)
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 99
VII.7.4.3 Papier journaux
Figure 43 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier journaux
y = 0,0047x0,4196 R² = 1
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0 20 40 60 80
τ [Pa.s]
γ [s-1]
Sigma NM
Sigma
Puissance (Sigma)
y = 0,0056x0,3057 R² = 1
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0 10 20 30 40
τ [Pa.s]
γ [s-1]
Sigma LM
Sigma
Puissance (Sigma)
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 100
VII.7.5 Analyse et interprétation des résultats
Lors des essais expérimentaux, nous avons effectué des relevés de puissances de
E0, E3, E9, E15, E21 et E27 avec les trois pales. Pour le cas des essais avec de la
pâte à papier, nous avons fait des essais de E21PA1, E21PA2, E271280 et E27PA2560
pourtant, nous n‟avons considéré que les données de E21PA1 pour les trois pales
puisque c‟est à cette proportion que nous avons observé un bon écoulement et
homogénéisation du fluide.
Les valeurs expérimentales de ces puissances nous permettent d‟obtenir les Np
expérimentaux qui nous ont ensuite conduit à l‟expression théorique de l‟équation de
l‟agitateur. Grâce à cela, nous avons pu acquérir les courbes caractéristiques. Du fait
de la structure géométrique de notre pâle, qui a été classé parmi les types de pâle
permettant de créer une grande vitesse de rotation et de créer une zone de turbulence
selon la théorie, nous n‟avons obtenus qu‟une partie des courbes montrant que notre
domaine d‟étude est en en régime turbulent.
La détermination des paramètres k, x et y a permis de calculer le Npe, puis
d‟évaluer la viscosité apparente de notre mélange et d‟en déterminer les
caractéristiques rhéologiques de notre fluide. A partir de ces courbes Npe et Npp, nous
avons pu ressortir les valeurs de n d‟une part. La détermination de NpeRe et NppRe a
pu donner les valeurs de B d‟autre part.
D‟après les résultats de calcul de B, nous avons pu remarquer que B croît avec la
vitesse de rotation pour le cas des papiers journaux selon P1 et P2 alors que c‟est
totalement l‟inverse pour les autres cas.
En dressant une comparaison de la même matière pour différents types de pâles,
nous pouvons constater que les valeurs de B3 sont beaucoup plus importantes par
rapport à celui de B2 et B1. Ainsi, l‟explication de ses valeurs est ramenée à l‟angle
d‟inclinaison des mobiles d‟agitation car plus l‟angle d‟inclinaison est grand, plus nous
avons une valeur de B considérable.
Concernant les valeurs des paramètres du fluide résumé dans le tableau 17, nous
pouvons visualiser qu‟il existe une différence entre les résultats de la résolution de NM
et LM. Cependant, ce qui est mis en évidence est la valeur de l‟indice de consistance m
par rapport à n : au fur et à mesure que n augmente, nous remarquons que m décroit. A
cet effet, nous pouvons conclure alors que l‟indice de consistance est fonction de n.
Etude exploitation Chapitre VII
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 101
Enfin, comme les paramètres rhéologiques ont été déterminés, nous avons pu
établie la loi de comportement de notre mélange.
Pour la pâte à papier avec des journaux, le fluide est un liquide non Newtonien vu
que les valeurs de n données par les résultats de NM et LM sont tous inférieurs à 1
donc c‟est un fluide rhéofluidifiant. D‟ailleurs, les courbes de la contrainte en fonction du
taux de cisaillement (figure 43) renforcent cette affirmation. Plus, on augmente les
valeurs de BN, plus, nous disposerons d‟un liquide encore plus fluide du fait de sa
structure ainsi que sa composition.
Etant donné que les résultats des paramètres rhéologiques ainsi que les figures 41
et 42 du papier carton et papier vélin ont été affichés, nous pouvons à présent affirmer
que ces deux types de papier ont un comportement rhéoépaississant car les valeurs de
n sont supérieures à 1. La viscosité du mélange accroit autant qu‟on augmente la
contrainte, qui est proportionnelle à la vitesse de rotation, du fait de la structure des
papiers carton et papier vélin.
Suite à ces résultats de calcul, nous avons pu tirer les équations viscosimétriques
de notre fluide ainsi que les puissances consommées. L‟application de ce travail de
recherche sera ensuite de pouvoir piloter le système à travers nos résultats de calcul,
les équations de la viscosité seront alors les paramètres d‟entrés du système pour
pouvoir automatiser le procédé.
VII.7.6 Conclusion partielle
Cette dernière partie de l‟ouvrage nous a permis d‟exposer les méthodes que nous
avons adopté lors des recueilles des informations dans un premier temps et vient
ensuite l‟exploitation des données.
Des dispositifs de mesure ont été utilisés pour pouvoir acquérir les valeurs de
puissances, puis Matlab nous a été utile pour pouvoir traiter les données
numériquement. Par ces résultats de calcul, nous avons pu obtenir les courbes
caractéristiques de l‟agitateur. Puis, les paramètres du mélange et celui de l‟agitateur.
Grâce à la connaissance de ces paramètres, nous avons pu aboutir à la détermination
de la loi de comportement de notre fluide. Aussi, à l‟issu de ces résultats, nous avons
pu tirer les équations viscosimétriques du mélange ainsi que les puissances qui vont
être par la suite des données d‟entrées du système permettant de l‟automatiser.
CONCLUSION
Conclusion
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 102
L‟opération de mélange est une opération unitaire mécanique du Génie des
Procédés qui ne doit pas être négligée en aucun cas. Elle a pour fonction principale
d‟atteindre une uniformité de concentration ou de température reposant sur la nature
des écoulements engendrés au sein du milieu par le mode d‟agitation choisi.
Comme la qualité d‟un mélange résulte toujours des interactions entre les
propriétés rhéologiques du milieu, la géométrie de l‟agitateur et les conditions de sa
mise en œuvre, nous avons menés une étude sur un mélangeur permettant de
déterminer ces paramètres.
Au cours de cette recherche, afin d‟atteindre les objectifs, nous nous sommes basé
sur la théorie de Metzner et Otto. Ils proposent d‟utiliser un système d‟agitation comme
rhéomètre et de définir la viscosité apparente de la suspension comme étant égale à
celle d‟un fluide de référence qui nécessiterait la même puissance dissipée dans les
mêmes conditions géométriques et opératoires.
Pour se faire, nous avons utilisé l‟eau comme fluide de référence. Ensuite les
relevés de puissance ont été obtenus grâce à un analyseur de réseau. Ces valeurs
permettent de déterminer les courbes caractéristiques de l‟agitateur et d‟en déterminer
la viscosité apparente du mélange.
L‟utilisation de la théorie de Metzner et Otto nous a permis de tracer les courbes
Np-Re-Fr qui conduisent à la détermination des paramètres B de l‟agitateur, ainsi que
d‟affirmer le comportement rhéologique de la pâte à papier. Ces informations sont d‟une
grande importance pour permettre le choix le plus favorables à l‟accomplissement du
procédé et à l‟optimisation du fonctionnement de l‟agitateur notamment sur le plan
économique. Autrement dit, l‟application immédiate de ce travail est de piloter le
broyeur en fonction de la viscosité.
Toutefois, nous tenons à signaler que lors des essais réalisés, notre régime
d‟écoulement est dans le domaine turbulent, et ce qui nous a donné ces résultats de
calcul ainsi qu‟une partie de la courbe caractéristique de l‟agitateur. De plus, plusieurs
autres paramètres doivent être aussi étudiés en parallèle avec notre sujet d‟étude à
citer la composition physico-chimique de la pâte, l‟influence de la température, etc…
Une perspective s‟ouvre alors qu‟il est envisageable de faire une étude sur la
modélisation de l‟écoulement en tenant compte des dynamiques moléculaires.
REFERENCES
BIBLIOGRAPHIQUES
Références bibliographiques
[1] J. BERTRAND – Agitation de fluides visqueux cas de mobiles à pales, d‟ancres
et de barrières. Thèse Doctorat ès physiques, Institut National Polytechnique de
Toulouse (1983).
[2] ROUSTAN (M.) – Contribution à l‟étude des phénomènes d‟agitation et de
transfert de matière des réacteurs gaz-liquide. Thèse Doctorat ès sciences,
Université Paul Sabatier Toulouse (1978).
[3] Tsiry Angelos ANDRIAMANAMPISOA – Cours rhéologie 4ème année. ESPA,
2012.
[4] J. BESSON, G. CAILLETAUD, S. FOREST – Lois de comportement non
linéaires des matériaux. Ecole des Mines de Paris
[5] S. PONCET – Initiation à la rhéologie. IUT Génie Thérmique et Energie –
Marseille.
[6] Michel ROUSTAN, Jean Claude PHARAMOND, Alain LINE – Agitation. Mélange
concept théoriques de base. Institut National des Sciences appliquées Toulouse.
[7] RUSHTON (J.H.), COSTICH (E.W.) et EVERETT (H.J.). – Power characteristics
of mixing impellers. (Part. 2) Chem. Eng. Progress 46, no 9, p. 467-76 (1950).
[8] Oldshue, J.Y. – Geometric relationships for scale-up of diverse mixing processes.
AIChE - Symposium Series, Process Mixing – Chemical and Biochemical
Applications: Part II, 89(293), 158-163 (1992).
[9] Metzner, A.; Otto, R. – Agitation of non-Newtonian fluids. AIChE Journal, 3(1), 3-
10 (1957).
[10] Bertrand, J.; Couderc, J.P.; Angelino, H. “Power consumption, pumping capacity
and turbulence intensity in baffled stirred tanks. Comparison between several
turbines”. Chem. Eng. Sci., 35, 2157 (1980).
[11] http://www.ajustement de courbe_Wikipédia .htm (10-01-14).
[12] http://www.régression non linéaire_Wikipédia .htm (07-03-14)
ANNEXES
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a1
Les principaux types de mobiles à débit axial
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a2
Les principaux types de mobiles à débit radial et tangentiel
Valeur de Np et Nq des mobiles d’agitation de type radial et axial :
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a3
Nombre de puissance des mobiles d’agitation Missenard-Quint en fonction du
nombre de Reynolds
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a4
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a5
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a6
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a7
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a8
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a9
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a10
Annexe
Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a11
3F45P1 28/12/2013 11:42:00 > 28/12/2013 11:42:59 Date Time W W W W
L1 L2 L3 S
28/12/2013 11:42:00 0 0 0 0 0
28/12/2013 11:42:01 0 0 0 0 0
28/12/2013 11:42:02 377,2085571 431,1989136 372,9479065 1181,355377 118,1355377
28/12/2013 11:42:03 1181,064331 1412,544067 1210,985474 3804,593872 380,4593872
28/12/2013 11:42:04 1551,086792 1671,832642 1650,007324 4872,926758 487,2926758
28/12/2013 11:42:05 1164,553223 1237,702026 1267,511597 3669,766846 366,9766846
28/12/2013 11:42:06 1033,584473 1130,112183 1105,558472 3269,255127 326,9255127
28/12/2013 11:42:07 1018,602844 1184,61084 1038,535522 3241,749207 324,1749207
28/12/2013 11:42:08 985,4488525 1165,705078 1133,963013 3285,116943 328,5116943
28/12/2013 11:42:09 1054,708984 1198,033813 1112,214966 3364,957764 336,4957764
28/12/2013 11:42:10 1063,730957 1142,196533 1116,084106 3322,011597 332,2011597
28/12/2013 11:42:11 1058,046387 1184,739136 1062,722534 3305,508057 330,5508057
28/12/2013 11:42:12 1012,514832 1140,417847 1142,783325 3295,716003 329,5716003
28/12/2013 11:42:13 979,7092896 1098,00354 1137,483887 3215,196716 321,5196716
28/12/2013 11:42:14 939,7522583 1121,420288 1152,777222 3213,949768 321,3949768
28/12/2013 11:42:15 1103,926514 1266,028687 1141,829834 3511,785034 351,1785034
28/12/2013 11:42:16 1055,479248 1154,977661 1107,153931 3317,61084 331,761084
28/12/2013 11:42:17 1072,294556 1131,689209 1127,123291 3331,107056 333,1107056
28/12/2013 11:42:18 1014,90033 1134,138794 1127,1427 3276,181824 327,6181824
28/12/2013 11:42:19 1035,069824 1152,135376 1097,563477 3284,768677 328,4768677
28/12/2013 11:42:20 951,4880981 1124,812744 1156,517944 3232,818787 323,2818787
28/12/2013 11:42:21 965,6262207 1188,681641 1119,238159 3273,546021 327,3546021
28/12/2013 11:42:22 1039,342407 1158,755127 1183,89563 3381,993164 338,1993164
28/12/2013 11:42:23 1053,975464 1155,051025 1116,707642 3325,734131 332,5734131
28/12/2013 11:42:24 1017,337585 1191,634033 1196,67688 3405,648499 340,5648499
28/12/2013 11:42:25 1086,267578 1154,464233 1160,240479 3400,97229 340,097229
28/12/2013 11:42:26 1021,940186 1102,514526 1136,658691 3261,113403 326,1113403
28/12/2013 11:42:27 1033,584473 1101,560913 1118,339722 3253,485107 325,3485107
28/12/2013 11:42:28 969,2936401 1153,290649 1160,753906 3283,338196 328,3338196
28/12/2013 11:42:29 1020,840027 1168,987427 1092,245605 3282,073059 328,2073059
28/12/2013 11:42:30 986,0723877 1098,810303 1125,949707 3210,832397 321,0832397
28/12/2013 11:42:31 1016,970825 1185,490967 1205,313721 3407,775513 340,7775513
28/12/2013 11:42:32 986,4391479 1142,343262 1098,425293 3227,207703 322,7207703
28/12/2013 11:42:33 1082,654785 1167,128174 1103,571289 3353,354248 335,3354248
28/12/2013 11:42:34 1031,952393 1167,520386 1096,059814 3295,532593 329,5532593
28/12/2013 11:42:35 1080,161255 1182,887085 1090,30188 3353,35022 335,335022
28/12/2013 11:42:36 977,1971436 1211,126709 1154,390869 3342,714722 334,2714722
28/12/2013 11:42:37 952,6800537 1153,675659 1135,723389 3242,079102 324,2079102
28/12/2013 11:42:38 1076,21875 1213,693848 1149,47644 3439,389038 343,9389038
28/12/2013 11:42:39 1069,672363 1092,465576 1067,306763 3229,444702 322,9444702
28/12/2013 11:42:40 1032,777588 1164,549683 1153,767334 3351,094604 335,1094604
28/12/2013 11:42:41 987,5577393 1137,410522 1149,586426 3274,554688 327,4554688
28/12/2013 11:42:42 1040,699341 1145,350464 1146,615845 3332,665649 333,2665649
28/12/2013 11:42:43 1104,98999 1170,270996 1172,434814 3447,695801 344,7695801
28/12/2013 11:42:44 947,0688477 1180,503174 1207,990967 3335,562988 333,5562988
28/12/2013 11:42:45 972,5394287 1206,799072 1124,794312 3304,132813 330,4132813
28/12/2013 11:42:46 1003,841248 1229,078857 1178,046021 3410,966125 341,0966125
28/12/2013 11:42:47 1089,77002 1189,121826 1147,917847 3426,809692 342,6809692
28/12/2013 11:42:48 979,0491333 1185,894409 1162,6427 3327,586243 332,7586243
28/12/2013 11:42:49 1051,818115 1178,591064 1143,054443 3373,463623 337,3463623
28/12/2013 11:42:50 1046,879028 1190,185303 1172,618286 3409,682617 340,9682617
28/12/2013 11:42:51 1070,570801 1152,612183 1088,798218 3311,981201 331,1981201
28/12/2013 11:42:52 1014,055115 1187,471436 1165,026611 3366,553162 336,6553162
28/12/2013 11:42:53 1024,397339 1127,28833 1098,223633 3249,909302 324,9909302
28/12/2013 11:42:54 1061,713867 1156,554688 1098,865356 3317,133911 331,7133911
28/12/2013 11:42:55 1104,880005 1168,033813 1093,914307 3366,828125 336,6828125
TABLE DES MATIERES
Table des matières
Remerciements…………………………………………………………………………………-I
Sommaire………………………………………………………………………………………. II
Glossaire……………………………………………………………………………………….. III
Acronyme………………………………………………………………………………………. V
Notations et symboles……………………………………………………………………...… VI
Liste des tableaux…………………………………………………………………………… VIII
Liste des illustrations………………………………………………………………………..... IX
Introduction…………………………………………………………………………………….. 1
PARTIE I. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
CHAPITRE I. GENERALITES SUR LA RHEOLOGIE ................................................. 3
I.1 Introduction .................................................................................................................. 3
I.2 Définition ..................................................................................................................... 3
I.2.1 La rhéologie ...................................................................................................... 3
I.2.2 Les différentes études de la rhéologie .............................................................. 3
I.3 Comportements rhéologiques des fluides ................................................................... 4
I.3.1 Fluides newtoniens ........................................................................................... 4
I.3.2 Fluides non-newtoniens .................................................................................... 5
I.4 Rhéologie des liquides complexes .............................................................................. 8
I.4.1 Viscoélasticité linéaire ....................................................................................... 8
I.4.1.1 Solide élastique parfait .............................................................................. 10
I.4.1.2 Liquide visqueux newtonien ....................................................................... 10
I.4.2 Liquide non linéaire ......................................................................................... 11
I.4.2.1 Fluide plastique .......................................................................................... 11
I.4.2.2 Fluide rhéofludifiant ................................................................................... 12
I.4.2.3 Fluide rhéoépaississant ............................................................................. 12
CHAPITRE II. LES THEORIES DE L‟AGITATEUR .................................................... 13
II.1 Introduction ................................................................................................................ 13
II.2 Généralités sur les agitateurs ................................................................................... 13
II.2.1 Définition d‟un système d‟agitation .................................................................. 13
II.2.1.1 Description des mobiles ............................................................................. 14
II.2.1.1.1 Mobiles à débit axial ............................................................................ 14
II.2.1.1.2 Mobiles à débit radial .......................................................................... 15
II.2.2 Régimes hydrodynamiques ............................................................................. 15
II.2.3 Turbulence et pompage .................................................................................. 17
Table des matières
II.2.4 Géométrie d‟un système d‟agitation ................................................................ 18
II.2.5 Régimes d‟écoulement .................................................................................... 19
II.3 Paramètres globaux d‟un système d‟agitation .......................................................... 21
II.3.1 Puissance dissipée ......................................................................................... 21
II.3.1.1 Application de la similitude et de l‟analyse dimensionnelle au calcul de la
puissance ........................................................................................................... 22
II.3.1.2 Courbes caractéristiques ........................................................................... 23
II.3.1.2.1 Régime laminaire ................................................................................ 25
II.3.1.2.2 Régime intermédiaire .......................................................................... 25
II.3.1.2.3 Régime turbulent ................................................................................. 25
II.3.1.2.4 Influence du nombre de mobiles d‟agitation ........................................ 26
II.3.2 Débits de pompage et de circulation ............................................................... 26
II.3.2.1 Débit de pompage ..................................................................................... 26
II.3.2.2 Débit de circulation .................................................................................... 26
II.3.3 Gradient de vitesse ........................................................................................ 27
II.4 Paramètres locaux d‟un système d‟agitation ............................................................. 28
II.4.1 Moyens de mesure .......................................................................................... 28
II.4.1.1 Acquisition des données ............................................................................ 29
II.4.1.2 Traitement des données ............................................................................ 29
II.4.2 Techniques numériques .................................................................................. 29
CHAPITRE III. LES MODELES MATHEMATIQUES ................................................... 30
III.1 Mélange en cuve agitée ............................................................................................. 30
III.1.1 Caractérisation du système d‟agitation ........................................................... 30
III.2 Le concept de Metzner et Otto .................................................................................. 32
III.2.1 Introduction ..................................................................................................... 32
III.2.2 Théorie ............................................................................................................ 32
III.2.3 Conclusion ...................................................................................................... 36
III.3 Ajustement de courbe ............................................................................................... 36
III.3.1 Ajustement algébrique ou géométrique ........................................................... 36
III.3.2 Fonction modèle utilisée ................................................................................. 37
III.3.3 Démarche de régression ................................................................................. 37
III.3.3.1 Considération générale .............................................................................. 37
III.3.3.2 Régression non linéaire ............................................................................ 38
Table des matières
PARTIE II. ETUDE EXPERIMENTALE
CHAPITRE IV. MATERIELS ET METHODES ............................................................. 42
IV.1 Méthodologie générale .............................................................................................. 42
IV.2 Installation et protocole expérimentaux ..................................................................... 43
IV.2.1 Le broyeur ....................................................................................................... 43
IV.2.2 Le variateur de fréquence ............................................................................... 44
IV.2.3 L‟analyseur de réseau - Qualistar ................................................................... 45
IV.2.3.1 Branchements ........................................................................................ 46
IV.2.3.2 Configuration .......................................................................................... 46
IV.2.3.3 Observation ............................................................................................ 48
IV.2.3.4 Mode Puissance ..................................................................................... 49
IV.2.3.5 Acquisition et analyse des données ....................................................... 49
IV.2.3.6 Le logiciel QualiStar View V2.6 .............................................................. 50
IV.2.3.6.1 Transfert des données vers l‟ordinateur .............................................. 50
IV.2.3.6.2 L‟extraction des données vers Excel ................................................... 51
CHAPITRE V. OUTILS DE RESOLUTION ................................................................. 52
V.1 Les méthodes de résolution ....................................................................................... 52
V.1.1 Définitions ....................................................................................................... 52
V.1.2 La méthode du Simplexe de Nelder-Mead ...................................................... 53
V.1.3 Méthode de Gauss-Newton ............................................................................ 56
V.1.4 La méthode de Levenberg-Marquardt ............................................................. 58
V.2 Matlab ........................................................................................................................ 58
V.2.1 Introduction ..................................................................................................... 58
V.2.2 Matlab et ses bibliothèques ............................................................................. 59
V.2.3 Les variables ................................................................................................... 59
V.2.4 Script et m-files ............................................................................................... 59
V.2.5 Fonctions ........................................................................................................ 60
V.2.6 Structures de programmation usuelles ............................................................ 61
V.2.6.1 Le contrôle de l‟exécution .......................................................................... 61
V.2.6.1.1 Boucle FOR ......................................................................................... 61
V.2.6.1.2 Boucle WHILE ..................................................................................... 61
V.2.6.2 L‟instruction de choix ................................................................................. 61
V.2.6.2.1 Boucle IF ............................................................................................. 61
V.2.6.2.2 Boucle SWITCH .................................................................................. 62
Table des matières
V.2.7 Les fonctions utilisées ..................................................................................... 62
V.2.7.1 L‟algorithme de Simplexe .......................................................................... 63
V.2.7.2 L‟algorithme de Gauss-Newton.................................................................. 63
V.2.7.3 L‟algorithme de Levenberg-Marquardt ....................................................... 63
V.2.8 Graphique ....................................................................................................... 64
V.2.9 Programmation des interfaces graphiques GUI .............................................. 64
V.2.9.1 Objets graphiques et leur fonctionnement ................................................. 64
PARTIE III. ETUDE EXPLOITATION
CHAPITRE VI. ACQUISITION DES DONNEES .......................................................... 67
VI.1 Description du déroulement des essais ..................................................................... 68
VI.2 Exportation des données de l‟analyseur vers Excel ................................................... 69
VI.3 Méthode de calcul ...................................................................................................... 73
VI.4 Utilisation de l‟outil Matlab ......................................................................................... 74
VI.4.1 Le script .......................................................................................................... 74
VI.4.2 Organisation de l‟interface .............................................................................. 74
VI.4.2.1 La fenêtre des graphes........................................................................... 75
VI.4.2.2 Les boutons ............................................................................................ 75
VI.4.2.2.1 Les boutons .................................................................................. 76
VI.4.2.2.2 Le bouton Info ..................................................................................... 76
VI.4.2.2.3 Le bouton fermer ................................................................................. 76
VI.4.2.3 La fenêtre d‟affichage ............................................................................. 76
VI.5 Manipulation du programme ...................................................................................... 77
CHAPITRE VII.EXPLOITATION DES DONNEES ......................................................... 78
VII.1Introduction ............................................................................................................... 78
VII.2Méthode de Nelder-Mead78
VII.3Méthode de Gauss-Newton……………………………………………………………79
VII.4Méthode de Levenberg-Marquardt……………………………………………………79
VII.5Etude comparative par les trois méthodes…………………………………………...80
VII.6Courbes caractéristiques de l‟agitateur……………………………………………….81
VII.6.1 Cas de la pâle 1 ............................................................................................ 81
VII.6.2 Cas de la pâle 2 ............................................................................................ 83
VII.6.3 Cas de la pâle 3 ............................................................................................ 84
VII.7Analyse rhéologique des équations viscosimétriques………………………………85
Table des matières
VII.7.1 Calcul de n, B et m ........................................................................................ 85
VII.7.1.1 Cas de la pale 1 – Méthode de NM ........................................................ 85
VII.7.1.2 Cas de la pale 1 – Méthode de LM ......................................................... 89
VII.7.1.3 Cas des pâles 2 et 3 ............................................................................... 91
VII.7.2 Equations de µa et σ ...................................................................................... 93
VII.7.3 Valeurs de puissance de l‟agitateur .............................................................. 94
VII.7.4 Rhéogramme du fluide .................................................................................. 96
VII.7.4.1 Papier carton .......................................................................................... 97
VII.7.4.2 Papier vélin ............................................................................................. 98
VII.7.4.3 Papier journaux ...................................................................................... 99
VII.7.5 Analyse et interprétation des résultats ........................................................ 100
VII.7.6 Conclusion partielle ..................................................................................... 101
Conclusion………………………………………………………………………..…………. 102
Références bibliographiques
Annexes
Table des matières
Résumé
Nom : RAKOTONDRASOA
Prénoms : Haingotiana Estelle
Titre du mémoire : ANALYSE NUMERIQUE DES PARAMETRES RHEOLOGIQUES
ETUDE DE CAS : MESURE DES CARACTERISTIQUES DE SUSPENSION EAU –
DECHETS CELLULOSIQUES
Nombre de page : 102
Nombre de figure : 43
Nombre de tableau : 25
RESUME
Dans cet ouvrage, nous faisons l‟analyse numérique des paramètres rhéologiques
d‟une matière en suspension eau – déchets cellulosiques ainsi que la détermination des
paramètres du broyeur. Pour atteindre nos objectifs, nous avons opté pour la méthode de
Metzner et Otto proposant d‟utiliser un système d‟agitation comme rhéomètre et de définir
la viscosité apparente de la suspension comme étant égale à celle d‟un fluide de référence
qui nécessiterait la même puissance dissipée dans les mêmes conditions géométriques et
opératoires. Un analyseur de réseau a été utilisé pour la recueille des données. Ces
données ont été traitées numériquement sur Matlab pour obtenir les paramètres de k, x et
y. Enfin, les valeurs de n, m et B pour chaque type de pâle sont obtenues en utilisant Excel.
ABSTRACT
In this work, the numerical analysis of rheological parameters of suspended material
cellulose and the determination of parameters of water-mill waste is performed. To achieve
our goals, the method of Metzner and Otto is applied, proposing to use a stirring system as
rheometer and to define the apparent viscosity of the suspension as being equal to that of
the reference fluid which would require the same power dissipated in the same geometric
and operating conditions. A network analyzer was used to collecte the data. These data
were digitally processed by Matlab to obtain the parameters of the shaker k, x and y.
Finally, the values of n, m and B for each type of blade are processed by Excel.
Mots clés : Rhéologie, viscosité, analyse numérique, régression non linéaire, Metzner et Otto.
Directeur de mémoire : Monsieur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriel
Monsieur ANDRIAMANAMPISOA Tsiry Angelos.
Coordonnées de l’auteur :
Adresse : Lot II A 73 TA Ambatomainty Antananarivo
Mail : haingoestelle@yahoo.fr
Contact: 032 40 292 09
top related