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Matrices Exercices p���1

Matrices : coefficients et dimensions

Exercice n°1 : Trois athlètes participent à un triathlon. Les temps de parcours sont données dans ce tableau. On souhaite représenter les données par une matrice ��� où le coefficient ��� est le temps de parcours, en minutes, de l’athlète ��� lors de l’épreuve ��� .

1- Donner les valeurs des coefficients suivants : ��� et ��� .2- Écrire la matrice ��� .3- Quelle opération faut-il effectuer sur la matrice A pour obtenir la matrice ��� exprimant les temps de parcours en heures ? Écrire la matrice B.

Exercice n°2 : Soit les matrice ��� et ��� .

1- Donner les dimensions des matrices ��� et ��� .2- Lire sur la matrice ��� les coefficients : ��� ; ��� ; ��� et ��� .3- Lire sur la matrice ��� les coefficients : ��� ; ��� ; ��� et ��� .4- Peut-on calculer la somme de ��� et ��� ? Si oui, la calculer.

Somme de deux matrices, produit d’une matrice par un réel

Exercice n°3 : 1- Calculer les sommes matricielles suivantes :

a) ��� b) ���

2- Calculer les produits suivants :

a) ��� b) ��� c) ���

Exercice n°4 : Soit les matrices ��� , ��� et ��� .

Déterminer les réels ��� et ��� tels que ��� .

A = aij( )aij i j

1er athlète 2ème athlète 3ème athlète

Course à pied (épreuve 1) 45 62 34

Natation (épreuve 2) 35 24 28

Cyclisme (épreuve 3) 92 95 104

a13 a32A

B = bij( )

A =7 −3 −2 54 1 0 −53 1 9 −1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ B =

−2 1 4−5 −6 61 2 −43 0 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A BA a23 a34 a13 a31B b21 b42 b33 b13

A B

1 0 24 1 −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 0 2 1

−1 −1 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 34 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 5 −2

−1 −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −2 −1

0 −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3×1 05 20 −3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −5 ×

−2 / 5 1 4 / 53 /15 −2 00 2 /15 3 / 5

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

14×

32 48−12 −896 036 −20

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A = x 30 2x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B =y −21 y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ S = −1 1

1 7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x y A + B = S

Matrices Exercices p���2

Exercice n°5 : Soit ��� s , ��� et ��� .

Déterminer les réels ��� , ��� et ��� tels que ��� .

Produit de deux matrices, matrice identité

Exercice n°6 : 1- Justifier l’existence des produits et donner la dimension de ��� :

a) ��� b) ���

c) ��� d) ���

2- Dans chaque cas, calculer la matrice ��� .

Exercice n°7 : 1- Calculer les produits matriciels suivants :

a) ��� et ���

b) ��� et ���

2- Peut-on en déduire une règle sur les produits ��� et ��� de deux matrices ��� et ��� ?

Exercice n°8 : Soit les matrices ��� , ��� .

Donner la dimension de la matrice ��� puis la calculer. Que remarque-t-on ?

Exercice n°9 : 1- Calculer les produits matriciels suivants :

a) ��� b) ���

2- Quelle conjecture peut-on faire concernant une matrice carrée constituée de ��� sur la diagonale et de ��� partout ailleurs ?

A =0 −a aa 0 −a−a a 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

X =x y zy z xz x y

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

M =3 0 32 2 21 4 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

x y z A + X = M

A

A =1 35 −22 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟× −3

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A = 1 0 −14 2 −2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1 1 30 5 −21 2 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A = −25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 −3( ) A =1 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

5 −23 41 −1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A

1 32 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟× 3 3

2 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 32 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟× 1 3

2 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 11 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟× 0 3

2 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 32 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟× 2 1

1 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A × B B × A A B

A = 1 −11 −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B = 2 32 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A × B

1 −35 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟× 1 0

0 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ ×

1 −17 −5−2 3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

10

Matrices Exercices p���3

Puissance et inverse d’une matrice

Exercice n°10 : 1- Calculer le produit matriciel suivant : ��� .

2- Que peut-on dire de la matrice ��� ?

Exercice n°11 : Soit la matrice ��� .

1- Calculer les matrices ��� puis ��� . 2- En déduire, sans calcul supplémentaire, que ��� est inversible et donner ��� .

Exercice n°12 : Soit les matrices ��� et ��� .

1- a)Calculer la matrice produit ��� .b) En déduire que si ��� est non nul alors ��� est inversible puis donner ��� .

2- En déduire (sans calculatrice) si les matrices suivantes sont inversibles et, si oui,

donner les matrices inverses : a) ��� b) ��� .

Exercice n°13 : 1- À l’aide de la calculatrice, dire si les matrices suivantes sont inversibles et, si oui,

donner leur inverse : a) ��� b) ��� .

2- Calculer les matrices ��� , ��� , ��� et ��� .3- L’égalité suivante est-elle vérifiée pour ces matrices : ��� ?

Exercice n°14 : Soit les matrices ��� et ��� .

1- À l’aide de la calculatrice, dire si la matrice ��� est inversible.2- Calculer les matrices ��� puis ��� puis conjecturer la matrice ��� .3- a) Écrire la matrice ��� puis ��� .b) En déduire la matrice inverse de ��� .

9 3 44 1 26 2 3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟×

1 1 −20 −3 2−2 0 3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A =9 3 44 1 26 2 3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A = 12

−1 3− 3 −1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

A2 A3

A A−1

A = a bc d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B = d −b−c a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A × Bad − bc A A−1

A = 8 53 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A = 2 34 6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A =−1 1 −23 −2 33 −1 −1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

B =5 2 92 4 101 3 7

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A + B A × B A2 B2

A + B( )2 = A2 + 2AB + B2

A =2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

B = 2A − I3

AA2 A3 An

B B2

B