mathématiques sn les vecteurs réalisé par : sébastien lachance
Post on 04-Apr-2015
164 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Mathématiques Mathématiques SNSN
Les Les VECTEURSVECTEURS
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
Vecteur Vecteur ABAB
Notions de vecteurNotions de vecteur
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les VECTEURSVECTEURS --
A) A) DéfinitionsDéfinitions
C’est une quantité (ou scalaire) ayant :C’est une quantité (ou scalaire) ayant : une une grandeurgrandeur (ex.: 4 cm)(ex.: 4 cm)
une une directiondirection (ex.: 32(ex.: 32oo))
un un senssens (flèche A vers B)(flèche A vers B)
AA
BB
4 cm4 cm
3232oo
ScalaireScalaire = nombre = nombre
OrientationOrientation = Direction + Sens = Direction + Sens
AA
BB
330330oo
Vecteurs…Vecteurs…
ÉgauxÉgaux (ou équipollents) : (ou équipollents) : Même grandeur, direction et sens.Même grandeur, direction et sens.
Nul Nul :: Grandeur 0. Noté Grandeur 0. Noté O O ..
Opposés Opposés à à ABAB est est BABA (ou (ou – AB – AB ))
B) B) Dans le plan cartésienDans le plan cartésien
(x(x11, y, y11))
(x(x22, y, y22))
vv
Composante horizontaleComposante horizontale
ComposanteComposante
verticaleverticale
xx22 – x – x11 = = x x
yy22
– y
– y
11 =
=
y y
vv = (= ( xx ,, yy ))
(2, 1)(2, 1)
(8, 6)(8, 6)
vv
+ 6+ 6
+ 5+ 5
vv = (= ( 66 ,, 55 ))
Exemple #1 :Exemple #1 :
(2, 8)(2, 8)
(6, 3)(6, 3)
ww
+ 4+ 4
- 5- 5
ww = (= ( 44 ,, - 5 - 5 ))
Exemple #2 :Exemple #2 :
Norme Norme = Grandeur du vecteur = Grandeur du vecteur (toujours positif)(toujours positif)
(x(x11, y, y11))
(x(x22, y, y22))
vv
x x
y y
|||| v v ||||22 = (= (xx))22 ++ ((yy))22
Par Pythagore :Par Pythagore :
|||| v v |||| = (= (xx))22 ++ ((yy))22
VecteurVecteur unitaire unitaire :: |||| v v |||| = 1= 1
VecteurVecteur nul nul :: |||| v v |||| = 0= 0 ( ( O O ))
(1, 3)(1, 3)
(11, 6)(11, 6)
vv
+ 10+ 10
+ 3+ 3
vv = (= ( 1010 ,, 33 ))
Exemple #3 :Exemple #3 :
|||| v v |||| = (= (xx))22 ++ ((yy))22
|||| v v |||| = (= (1010))22 ++ ((33))22
|||| v v |||| 10,4410,44
Relations entre 2 vecteursRelations entre 2 vecteurs
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les VECTEURSVECTEURS --
A) VecteursA) Vecteurs orthogonaux orthogonaux
Orthogonaux = perpendiculairesOrthogonaux = perpendiculaires
Ex. :Ex. :
vv
uu
B) VecteursB) Vecteurs colinéaires colinéaires (ou linéairement indépendant)(ou linéairement indépendant)
Colinéaires = parallèlesColinéaires = parallèles
Ex. :Ex. :
uu
(peu importe le sens et la grandeur)(peu importe le sens et la grandeur)
vv
C) VecteursC) Vecteurs opposés opposés
Même Même grandeur grandeur etet direction direction
SensSens contrairecontraire
Ex. :Ex. :uu
AA BB
vvDD CC
AB est opposé à CDAB est opposé à CD
On note - v opposé à vOn note - v opposé à v
- AB ou BA est opposé à AB- AB ou BA est opposé à AB
Si v = (a, b) alors - v = (- a, - b)Si v = (a, b) alors - v = (- a, - b)
ProjectionProjection d’un vecteur d’un vecteur
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les VECTEURSVECTEURS --
La La projectionprojection orthogonaleorthogonale du vecteur du vecteur
AB sur la AB sur la droite droite dd est le vecteur est le vecteur AB’AB’
AA
BB
dd
B’B’ est le est le projetéprojeté orthogonalorthogonal de B sur la de B sur la droite droite dd
B’B’
Ex. :Ex. :
AA
BB
110110oo
dd
B’B’
Calculer la norme du vecteur obtenu par la projection du Calculer la norme du vecteur obtenu par la projection du vecteur vecteur vv sur la sur la droite droite dd..
||v|| = 50||v|| = 50
Mesure de Mesure de BAB’ ( BAB’ ())
180180oo – 110 – 110oo = 70 = 70oo
Mesure de la projectionMesure de la projection
orthogonale de orthogonale de vv sur sur dd
((vecteur AB’vecteur AB’))
cos cos = mesure du côté adjacent = mesure du côté adjacent
mesure de l’hypothénusemesure de l’hypothénuse
==
5050
|| AB’ |||| AB’ ||cos 70cos 70oo
|| AB’ |||| AB’ ||17,117,1 Réponse :Réponse : Environ 17,1Environ 17,1
OpérationsOpérations sur les vecteurs sur les vecteurs
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les VECTEURSVECTEURS --
A) A) SommeSomme
Méthode du triangleMéthode du triangle
Ex. :Ex. :
vv
uu
vv
uu
vv
vvuu ++
Méthode du parallélogrammeMéthode du parallélogramme
Ex. :Ex. :
vv
uu
vv
uu
vv
vvuu ++
+ 3+ 3
Dans un plan cartésienDans un plan cartésien
Ex. :Ex. :
A (-3, 1)A (-3, 1)
B (1, 3)B (1, 3)
+ 4 + 4
+ 2 + 2
C (4, -4)C (4, -4)
- 7 - 7
+ 7 + 7
- 5 - 5
ABAB == ((44, , 22))
BCBC == ((33, , -7-7))
ABAB ++ BCBC == ((44, , 22)) ((33, , -7-7))++
== ((4 + 34 + 3, , 2 + -72 + -7))
== ((77, , -5-5))
ABAB ++ BCBC == ACAC
Relation de CHASLESRelation de CHASLES
B) B) DifférenceDifférence
Méthode du triangleMéthode du triangle
Ex. :Ex. :
vv
uu
vv
uu
vv
vvuu ––
Transformer en SOMMETransformer en SOMME
-v-v
vvuu – – == -v-vuu + +
Dans un plan cartésienDans un plan cartésien
Ex. :Ex. : Effectuer AB – BC si AB = (4, 2) et BC = (3, -7).Effectuer AB – BC si AB = (4, 2) et BC = (3, -7).
ABAB ––
BCBC == ++ABAB (- BC)(- BC)
== ++(4, 2)(4, 2) (-3, 7)(-3, 7)
== (1, 9)(1, 9)
Si BC = (3, -7)Si BC = (3, -7) - BC = (-3, 7)- BC = (-3, 7)
C) Calcul de la C) Calcul de la normenorme de la de la résultanterésultante (vecteur somme)(vecteur somme)
Ex. :Ex. :
uu
vv
vvuu ++
Si :Si : ||u|| = 5 cm||u|| = 5 cm
||v|| = 6 cm||v|| = 6 cm
= 140= 140oo
Calculer || u + v || .Calculer || u + v || .
* * RappelRappel : Loi des COSINUS : Loi des COSINUS
aa
bbcc
cc22 = a = a22 + b + b22 – 2ab cos – 2ab cos
Donc :Donc : || u + v |||| u + v ||22 = ||u|| = ||u||22 + ||v|| + ||v||22 – 2 ||u|| ||v|| cos – 2 ||u|| ||v|| cos
= 5= 522 + 6 + 622 – 2 (5) (6) cos 140 – 2 (5) (6) cos 140oo
≈≈ 106,96106,96
|| u + v || || u + v || ≈≈ 10,34 cm 10,34 cm
+1 +1
D) Produit : D) Produit : Scalaire Scalaire XX Vecteur Vecteur
Soit v = (a, b) et Soit v = (a, b) et kk un scalaire, un scalaire,
Alors Alors kkv = v = kk(a, b) = ((a, b) = (kka, a, kkb) .b) .
Ex. #1 :Ex. #1 : Si v = (3, 7) et Si v = (3, 7) et kk = 4, calculer = 4, calculer kkv .v .
44v =v = 44(3, 7)(3, 7)
= (12, 28)= (12, 28)
= (= (44 x 3, x 3, 44 x 7) x 7)
Ex. #2 :Ex. #2 : Si u = (1, 2) et Si u = (1, 2) et kk = 3, calculer || = 3, calculer ||kku||.u||.
uu+2 +2
33u =u = 33(1, 2)(1, 2)
= (3, 6)= (3, 6)
uu+1 +1
+2 +2
uu+1 +1
+6 +6
+3 +3
+2 +2
Donc Donc kk ||u|| = || ||u|| = ||kku||u||
Calculons ||u|| : Calculons ||u|| :
||u||||u|| = (1)= (1)22 ++ (2)(2)22 = 5= 5
Calculons ||Calculons ||33u|| : u|| :
||||33u||u|| = = 33 5 5
Ex. #3 :Ex. #3 : Trouver les composantes de Trouver les composantes de 22v + v + 33w .w .
(-3, 1)(-3, 1)
(-2, 3)(-2, 3)
(1, 1)(1, 1)(2, 1)(2, 1)
vv == (1, 2)(1, 2)
ww == (1, 0)(1, 0)vv
ww
22vv == (2, 4)(2, 4)
33ww == (3, 0)(3, 0)
++ == (2, 4)(2, 4) (3, 0)(3, 0)++
== (5, 4)(5, 4)
22vv 33ww
E) Produit : E) Produit : Vecteur Vecteur XX Vecteur Vecteur (produit scalaire)(produit scalaire)
Avec les Avec les COMPOSANTESCOMPOSANTES : : Si u = (a, b) et v = (c, d),Si u = (a, b) et v = (c, d),
alors alors u u v = ac + bd v = ac + bd
Avec les Avec les NORMESNORMES : : u u v = ||u|| ||v|| cos v = ||u|| ||v|| cos
vv
uu
vv
4545oo
Ex. :Ex. : Trouver le produit scalaire de u et v si :Trouver le produit scalaire de u et v si :uu vv
u = (u = (22, , 33))
v = (v = (55, , 11))
= 45= 45oo vv
Avec les Avec les COMPOSANTESCOMPOSANTES : : u u v = v = ((22, , 33) ) ( (55, , 11))
= (= (2 x 52 x 5) + () + (3 x 13 x 1))
= = 1010 + + 33
= 13= 13
Avec les Avec les NORMESNORMES : : u u v = ||u|| ||v|| cos v = ||u|| ||v|| cos
||u||||u|| = (2)= (2)22 ++ (3)(3)22 = 13= 13
||v||||v|| = (5)= (5)22 ++ (1)(1)22 = 26= 26
u u v = ||u|| ||v|| cos v = ||u|| ||v|| cos
= = 13 13 26 26 cos (45 cos (45oo))
= = 1313
Si Si u u v v , , alors alors u u v = 0 v = 0
Note importanteNote importante : :
(car (car = 90 = 90oo et cos (90 et cos (90oo) = 0 )) = 0 )
F) F) PropriétésPropriétés des opérations sur les vecteurs des opérations sur les vecteurs
Addition Addition commutativecommutative
++ ==uu vv ++vv uu
Addition Addition associativeassociative
++ ==uu vv ++ ww ++uu vv ++ ww( )( ) ( )( )
DistributivitéDistributivité de Scalaire X Vecteur de Scalaire X Vecteur
++ ==uu vvkk ( )( ) ++uu kk v vkk
Addition de Addition de vecteurs opposésvecteurs opposés
++ ==ABAB (-AB)(-AB) OO == BABA(-AB)(-AB)etet
F) F) PropriétésPropriétés des opérations sur les vecteurs des opérations sur les vecteurs
Relation de Relation de ChaslesChasles
Ex. #1 :Ex. #1 : ABAB ++ BCBC == ADAD++ CDCD
Ex. #2 :Ex. #2 : ABAB ++ EFEF ==–– DCDC –– EDED –– CBCB ABAB ++ EFEF ++ CDCD ++ DEDE ++ BCBC
== ABAB ++ BCBC ++ CDCD ++ DEDE ++ EFEF
== AFAF
F) F) PropriétésPropriétés des opérations sur les vecteurs des opérations sur les vecteurs
Vecteurs Vecteurs colinéairescolinéaires
Si deux vecteurs sont colinéaires, alors on peut multiplier l’un d’eux par un Si deux vecteurs sont colinéaires, alors on peut multiplier l’un d’eux par un scalairescalaire pour trouver l’autre. pour trouver l’autre.
SoitSoit u u etet v v colinéairescolinéaires, , alorsalors u = u = kkv v ouou v = v = kku , u , oùoù kk est unest un scalaire. scalaire.
Ex. #2 :Ex. #2 : Est-ce que u et v sont colinéaires si :Est-ce que u et v sont colinéaires si :
uu vv
u = (2, 3)u = (2, 3)
v = (5, 1)v = (5, 1)
+2 +2
+3 +3
+5 +5
+1 +1
Ex. #1 :Ex. #1 : Est-ce que u et v sont colinéaires si :Est-ce que u et v sont colinéaires si :
uuvv
u = (2, 3)u = (2, 3)
v = (4, 6)v = (4, 6)
+2 +2
+3 +3
+4 +4
+6 +6
v =v = kkuu
(4, 6) =(4, 6) = kk(2, 3)(2, 3)
(4, 6) =(4, 6) = 22(2, 3)(2, 3)
v =v = 22uu
u et v sont u et v sont colinéairescolinéaires
v =v = kkuu
(5, 1) =(5, 1) = kk(2, 3)(2, 3)
kk ne peut pas ne peut pas avoir de valeuravoir de valeur
u et v ne sont u et v ne sont paspas colinéairescolinéaires
Combinaisons linéairesCombinaisons linéaires
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les VECTEURSVECTEURS --
DéfinitionDéfinition : : Définir un vecteur en utilisant d’autres vecteurs prédéfinis Définir un vecteur en utilisant d’autres vecteurs prédéfinis (comme une somme vectorielle).(comme une somme vectorielle).
uu
vv
Ex. #1 :Ex. #1 : Définir le vecteur Définir le vecteur ww comme une comme une combinaison linéairecombinaison linéaire des vecteurs des vecteurs uu et et vv..
vv
uu
wwvv
++== 22uu 33vvwwRéponse :Réponse :
Donc, 2Donc, 2uu + 3 + 3v v est une est une combinaison linéairecombinaison linéaire de de uu et et vv..
Ex. #2 :Ex. #2 : Quelle est la valeur de Quelle est la valeur de aa dans la dans la combinaison linéairecombinaison linéaire w = w = aau + 1v si :u + 1v si :
u = (u = (11, , 11))
v = (v = (11, , 22))
w = (w = (33, , 44))
++== aauu 1v1vww
== aa((11, , 11) + 1() + 1(11, , 22))((33, , 44))
== ((11aa, , 11aa) + () + (11, , 22))((33, , 44))
Comp. Comp. horizontaleshorizontales : : 33 = = aa + + 11
2 = 2 = aa
Comp. Comp. verticalesverticales : : 44 = = aa + + 22
2 = 2 = aa
aa = 2 = 2Réponse :Réponse :
== ((aa, , aa) + () + (11, , 22))((33, , 44))
Ex. #3 :Ex. #3 : Exprimer r dans une Exprimer r dans une combinaison linéairecombinaison linéaire de u et v si : de u et v si :
u = (u = (11, , 22))
v = (v = (-2-2, , 00))
r = (r = (55, , 22))
++== aauu bbvvrr
== aa((11, , 22) + ) + bb((-2-2, , 00))((55, , 22))
== ((11aa, , 22aa) + () + (-2-2bb, , 00bb))((55, , 22))
Comp. Comp. horizontaleshorizontales : : 55 = = aa + + -2-2bb
Comp. Comp. verticalesverticales : : 22 = = 22aa + + 00
1 = 1 = aa
== ((aa, , 22aa) + () + (-2-2bb, , 00))((55, , 22))
(1)(1)
(2)(2)
(2) dans (1) :(2) dans (1) : 55 = 1 + = 1 + -2-2bb
-2 = -2 = bb
Réponse :Réponse : – – == uu 22vvrr
Ex. #4 :Ex. #4 : Exprimer w dans une Exprimer w dans une combinaison linéairecombinaison linéaire de u et v si : de u et v si :
u = (u = (22, , -1-1))
v = (v = (-1-1, , 33))
w = (w = (-2-2, , 33))
++== aauu bbvvww
== aa((22, , -1-1) + ) + bb((-1-1, , 33))((-2-2, , 33))
== ((22aa, , -1-1aa) + () + (-1-1bb, , 33bb))((-2-2, , 33))
Comp. Comp. horizontaleshorizontales : : -2-2 = = 22aa – – bb
Comp. Comp. verticalesverticales : : 33 = - = -aa + + 33bb
(1)(1)
(2)(2)
(1) + 2x(2) :(1) + 2x(2) : -2 = 2-2 = 2aa – – bb
6 = -26 = -2aa + 6 + 6bb
(1)(1)
2x(2)2x(2)++
4 = 04 = 0aa + 5 + 5bb 0,8 = 0,8 = bb (3)(3)
(3) dans (1) :(3) dans (1) : -2-2 = = 22aa – 0,8 – 0,8 -0,6 = -0,6 = aa
Réponse :Réponse : + + == -0,6-0,6uu 0,80,8vvww
Point de partagePoint de partage
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les VECTEURSVECTEURS --
Ex. :Ex. : Quelles sont les coordonnées d’un point Quelles sont les coordonnées d’un point P(x, y)P(x, y) qui partage le qui partage le segment ABsegment AB dans un dans un rapportrapport de de 3 : 23 : 2 à partir de A si : à partir de A si : A(-3, 8)A(-3, 8)
B(5, -2)B(5, -2)
Ex. :Ex. : Quelles sont les coordonnées d’un point Quelles sont les coordonnées d’un point P(x, y)P(x, y) qui partage le qui partage le segment ABsegment AB dans un dans un rapportrapport de de 3 : 23 : 2 à partir de A si : à partir de A si : A (-3, 8)A (-3, 8)
B (5, -2)B (5, -2)
A (-3, 8)A (-3, 8)
B (5, -2)B (5, -2)
P (x, y)P (x, y)
33
22
O (0, 0)O (0, 0)
PP est aux est aux 3/53/5 de AB de AB
Utilisons le vecteur Utilisons le vecteur OPOP pour pour trouver les coordonnées de trouver les coordonnées de P(x, y)P(x, y)..
== ++OPOP OAOA APAP
== ++OPOP OAOA ABAB3 3
5 5
== (-3, 8)(-3, 8)(x, y)(x, y) 3 3
5 5
++ (8, -10)(8, -10)
== (-3, 8)(-3, 8)(x, y)(x, y) 24 24
5 5
++ ( , -6)( , -6)
== ((-3-3 + , + , 88 + + -6-6))(x, y)(x, y) 24 24
5 5
== ( , 2)( , 2)(x, y)(x, y) 9 9
5 5
Réponse :Réponse : ( , 2)( , 2)9 9
5 5
top related