mathématiques et radiosité m. leblond laboratoire de mathématiques pures et appliquées...

Mathématiques et Radiosité

M. Leblond

Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées

Laboratoire d’Informatique du Littoral

Université du Littoral Côte d’Opale

28 janvier 2002 GdR ALP 2

Cadre de mes travaux

• Thèse de mathématiques (juin 2001) : « Propriétés des matrices de la radiosité. Application à la résolution du système de la radiosité. »

• Deux domaines :– mathématiques appliquées : M. Prévost du LMPA

– informatique graphique : C. Renaud du LIL

• Articles :– « H-selfadjoint matrices. Application to radiosity. »

M. LeblondNumerical Linear Algebra with Applications (janvier 2002).

– « Hybridization techniques for fast radiosity solvers » M. Leblond, F. Rousselle, C. RenaudCGI 2000 Genève. Proceedings in IEEE Computer Society

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Plan de l'exposé

• Introduction

• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes

– Propriétés principales des matrices de la radiosité

• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution

– Accélération de la convergence

• Quelques résultats expérimentaux

• Conclusion et perspectives

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Plan de l'exposé

• Introduction

• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes

– Propriétés principales des matrices de la radiosité

• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution

– Accélération de la convergence

• Quelques résultats expérimentaux

• Conclusion et perspectives

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Introduction : la radiosité classique

• Modèle simplifié d'illumination globale (Goral 1984) :– Simulation de tous les échanges d'énergie dans un milieu fermé

– Émission et réflexion sont les seuls phénomènes physiques pris en compte

– Énergie rayonnant de la surface d'un objet est diffuse

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Introduction : la radiosité classique

• Discrétisation de la scène en n facettes

système linéaire

(90 % du temps)

• résolution

(10% du temps)

base de données

illumination

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Introduction : le système de la radiosité

• Φ = I - RF est la matrice des interactions

• R = diag(1,…,n) avec i la réflectance de la ième facette

• F est la matrice des facteurs de forme • b est le vecteur des exitances énergétiques• x est le vecteur inconnu des radiosités• x, b et R dépendent de la longueur d'onde• F ne dépend pas la longueur d'onde. Elle est uniquement

déterminée par la géométrie de la scène• Résolution des systèmes pour plusieurs longueurs d'onde

I-RFx x b

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Introduction : résolution numérique du système de la radiosité

• Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise)

– temps de calcul très long de F

Nombre defacettes

Temps moyen decalcul par ligne

Temps totalestimé

5000 0,43 s 40 mn10000 0,58 s 1h 40 mn50000 1,8 s 1 jour100000 3,3 s 4 jours1000000 1 mn 2 ans

Pentium II à 300 Mhz

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Introduction : résolution numérique du système de la radiosité

• Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise)

– temps de calcul très long de F

– très grande quantité de mémoire pour stocker F

Nombre de facettes Mémoire requise5000 95,4 Mo10000 380 Mo50000 9,3 Go100000 37,3 Go1000000 3,6 To

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Introduction : résolution numérique du système de la radiosité

• Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise)

– temps de calcul très long de F

– très grande quantité de mémoire pour stocker F

• Les algorithmes de radiosité progressive (Cohen 1988) :– à chaque itération une seule ligne de F est calculée

• La radiosité hiérarchique (Hanrahan 1991) :– discrétisation dynamique de la scène– réduction importante du nombre de facteurs de forme à calculer

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Introduction : nos motivations

• Faire le point sur les propriétés des matrices de la radiosité

• Identifier des algorithmes efficaces pour résoudre le système de la radiosité quand F peut être stockée

• Applications possibles des résultats :– accélération de la méthode Group Accelerated Shooting Method

(F. Rousselle et C. Renaud EGRW’99)

– accélération des simulations de transferts radiatifs :(ex : simulation de la croissance des plantes)

• Préparer des travaux de recherche futurs

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Plan de l'exposé

• Introduction

• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes

– Propriétés principales des matrices de la radiosité

• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution

– Accélération de la convergence

• Quelques résultats expérimentaux

• Conclusion et perspectives

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Matrices H-hermitiennes : introduction

• La prémultiplication de par H, s.d.p., donne symétrique

1

1

AAH diag , , et Hn

n

• Soit

ijA F A F et ρ F A F A Fi ij j ji i ij ij i ij j ji jii j • Pour

• Généralisation au cas complexe

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Matrices H-hermitienne : espace H-hermitien

Soit H une matrice hermitienne définie positive :

• Produit scalaire H-hermitien : *

H, , Hnx y x y x y C

• H-norme vectorielle : HH,x x x

• H-norme matricielle : HH

0H

MM sup

x

x

x

• Ensemble H-orthonormal, M matrice H-orthonormale

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Matrices H-hermitiennes : définitions et théorème

• La H-adjointe de , notée , est définie par : MàM n n nC

1 *, M , ,M M H M Hn

H Hx y x y x y  í í

Définitions :

Théorème fondamental :• M est H-hermitienne

• Ψ=HM hermitienne

• Θ=H½M H-½ est hermitienne

11P MP diag , , n

• M est diagonalisable par une matrice H-orthonormale P et ses valeurs

propres sont réelles :

• M est H-auto-adjointe ou H-hermitienne M M

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Matrices H-hermitiennes : propriétés

• Théorème : extension du théorème de Courant-Fischer

• Proposition : soit HM : M M M MMn n  í í

M H-hermitienne HM M

M H-hermitienne maxH

min

(M)cond M

(M)

Si M est inversible où

plus grande et plus petite valeur propre

de

1 maxH H H

min

(M)cond M M M

(M)

max min(M) et (M)

MM í

• Corollaire :

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Plan de l'exposé

• Introduction

• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes

– Propriétés principales des matrices de la radiosité

• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution

– Accélération de la convergence

• Quelques résultats expérimentaux

• Conclusion et perspectives

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Propriétés des matrices de la radiosité

• F, = I-RF, = H et = H½ H-½ sont irréductibles

symétrique est H-symétrique

est diagonalisable et ses valeurs propres sont réelles

et symétriques diagonalisables à valeurs propres réelles

, et sont des M-matrices

(éléments hors diagonaux 0, régulière, inverse non négative)

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Propriétés des matrices de la radiosité (suite)

et M-matrices symétriques et matrices de Stieltjes et symétriques définies positives

• conditionnement :ni=1

MH 2 2

nMi=1

1 ρmax A

ρ1 ρcond ( ) cond ( ) cond ( )

1 ρ 1 ρmin A

ρ

ii

i

ii

i

En général, en radiosité : cond2 (Θ) cond2(Ψ)

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Plan de l'exposé

• Introduction

• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes

– Propriétés principales des matrices de la radiosité

• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution

– Accélération de la convergence

• Quelques résultats expérimentaux

• Conclusion et perspectives

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Les algorithmes de relaxation

• Les approximations xk de la solution x* sont définies par : xk+1 = Gxk + c

• G est appelée matrice d’itération– Jacobi : G = J – relaxations successives (SR) et SOR ( > 1) : G = L

– Gauss-Seidel (GS) : G = L1

• Convergence (G) < 1. (G) rayon spectral de G

• Plus (G) est proche de 0, plus rapide est la convergence (nombre d’itérations)

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Les algorithmes de relaxation :application à la radiosité

(L1) (J) < 1 – Gauss-Seidel converge plus vite que Jacobi

(L1) M – faible réflectance convergence rapide de GS

• 0 < 1 (L1 ) (L ) < 1 – GS converge plus vite que toute méthode SR avec 0 < < 1– parmi les méthodes SR seule une méthode SOR ( > 1) peut

améliorer la vitesse de convergence de GS

est une matrice de Stieltjes (théorème d’Ostrowski) méthode SOR avec 1< 2 converge

est une M-matrice [Nonnegative Matrices in

the Mathematical Sciences (Berman et Plemmons 1994)]

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Méthode du gradient conjugué (GC)

• Préconditionnements du système de la radiosité : H x = H b x = c

H½ H-½x= H½b z = H½ b avec z = H-½x

et s.d.p. GC peut être utilisée (GC et GC )• Rappel : plus le 2-conditionnement de la matrice du

système est grand plus lente est la convergence de GC

• cond2( ) cond2( ) GC est plus lente que GC

• peu sensible aux fortes réflectances

GC moins affectée que GS par de fortes réflectances

M2

M

1cond

1

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Plan de l'exposé

• Introduction

• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes

– Propriétés principales des matrices de la radiosité

• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution

– Accélération de la convergence

• Quelques résultats expérimentaux

• Conclusion et perspectives

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• Soit et deux suites convergeant vers

Leurs résidus sont notés

*x kx kx ' " et k k k kr b x r b x

Hybridation : la méthode (C. Brezinski et M. Redivo Zaglia (1994))

kkkkk xxx )1( kkkkkk xbrrr )1(

• Soit k R . Nous construisons une nouvelle suite :

kx

• But : minimiser la norme euclidienne du résidu kr

• Le bon choix :

kkkk

kkkk rr,rr

rr,rα

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Hybridation : propriétés

kkk rrr ,min

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Les algorithmes d'hybridation

• durée d'une itération de la méthode hybride = temps de calcul des itérés des deux méthodes + temps de calcul de l'hybride

• Soit T1, T2 les temps de convergence des méthodes 1 et 2 et soit T celui de la méthode hybridePeut-on avoir T < min(T1, T2) ? Difficile !

• Choisir deux méthodes itératives et hybrider leurs itérés

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Hybridation : cas 1

• Soit {xk} une suite produite par une méthode itérative (par exemple GS)

• L'hybridation à l'étape k est réalisée avec 1 et k k k kx x x x

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Hybridation : cas 2

• Choisir une méthode itérative (par exemple GS)

• À l'étape k :

– calculer xk avec cette méthode à partir de zk-1, l'hybridé obtenu à l'étape k-1

– hybrider ' "

1 et k k k kx z x x

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Plan de l'exposé

• Introduction

• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes

– Propriétés principales des matrices de la radiosité

• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution

– Accélération de la convergence

• Quelques résultats expérimentaux

• Conclusion et perspectives

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Résultats expérimentaux : scènes tests

Scène (a) 480 ou 8544 facettes Scène (b) 680 facettes

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Résultats expérimentaux : courbes

Scène (a) 480 facettes Processeur 300 Mhz, 2 Mo de mémoire cache, 2 Go de RamCritère d'arrêt : 1

1p pM

r e

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Résultats expérimentaux : courbes

Scène (b) 680 facettes

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Résultats expérimentaux : courbes

Scène (b) 680 facettes Scène (a) 8544 facettes

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Conclusion

• Comparaison de la convergence des méthodes :– mathématiquement Gauss-Seidel est meilleure que Jacobi – la vitesse de convergence de GS est liée à la réflectance maximale – au contraire GC (GC) semble bien adaptée aux scènes ayant une

réflectance moyenne importante et de nombreuses occultations– SOR est meilleure que GS. Mais trouver le paramètre de relaxation

optimal est coûteux – HGS1, HGS2 et GC sont de bonnes alternatives à SOR

• Perspectives :– chercher une formule analytique pour le paramètre optimal de SOR– appliquer l’hybridation aux méthodes de radiosité progressive– entreprendre des travaux similaires dans le cadre de la radiosité non

classique.

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Je vous remercie de votre attention