le dernier théorème de fermat récréations mathématiques du 1er octobre 2004 préhistoire
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Le dernier théorème de Fermat
récréations mathématiques du 1er Octobre 2004
préhistoire
chronologie-600 Thalès-500 Pythagore-300 Euclide+200 Diophante+400 Hépatie1000 Al Khayyam1200 Fibonacci1500 Bâchet1600 Fermat1750 Euler1800 Germain
mathêma : sciences
Souvenirs de collégien
Dans un triangle rectangle, le carré de de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
la corde tendue sous l’angle droit !
Théorème de Pythagore
une preuve…
Arithmétique
Euclide explore les propriétés des nombres au travers de la divisibilité : unité, nombre premier, nombres premiers entre-eux…
arithmos : nombre -300 : les éléments, livre vii
Divisibilité
Soient x, y et z trois entiers. Si x divise yz et si x et y sont premiers entre eux alors x divise z
Lemme d’Euclide
Tout nombre entier se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.
valuation dyadique
Unicité de la décomposition en facteurs premiers
valuation dyadique
Il s’agit de l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers d’un entier…
Incommensurable !
pair = impair
Triangle Pythagorique
Quelques instances
Remarques et Premières interrogations
Classification des triangles pythagoriques,par classe de similitude.
triangle pythagorique primitif
Arithmétiques de Diophante
Platon -400. Il existe une infinité de classes de triangles pythagoriques.
Euclide. caractérisation de toutes les solutions de x2 + y2 = z2.
Diophante. généralisations, nouvelles questions, nouvelles équations.
équations diophantiennes.
preuve
(1) Pythagoricité et (2) primitivité
Infinitude
triangle Pythagorique.
pythagoricité
Algébrique
primitivité
Arithmétique
x =
+ =
congruences
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 + 3 = 5 2 + 8 = 10
2 x 3 = 6 7 x 8 = 56
Exemple : entiers modulo 5
congruences
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
+ =
x =
compatibilité additive
multiple du module
compatibilité multiplicative
multiple du module
applications aux équations diophantiennes
Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers :
applications aux équations diophantiennes
Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers :
carrés modulo 4
réciproque
impair + impair = pair
Un et donc un seul de ces trois entiers est pair
est obligatoirement impair !
On peux supposer pair.
Soient x, y et z trois entiers.
un lemme fondamental
Si y et z sont premiers entre eux
+ 800 Al-kwarizmi
• Les mathématiques se réfugient au moyen orient. Traductions systématiques des œuvres grecques.
Algébraisation des mathématiques
+950 Al-Khujandi
La démonstration d’Al-Khujandi est incorrecte !Al-Khasin
1200 Léonard de Pise introduit les textes arabes, grecs en Italie. Traduction Latines.
L’école Italienne s’attaque aux équations polynomiales de degré 3, 4, 5
1540 Bâchet traduit les textes originaux Diophante renaissance de l’arithmétiques.
Renaissance de l’arithmétique.
1640 Fermat
Fermat utilise les triangles pythagoriques pour prouver l’absence de solution dans le cas de l’exposant n = 4 par un méthode merveilleuse, la descente infinie.
1640 Fermat 4
1753 Euler 3 F
1830 Legendre & Dirichlet 5
1840 Lamé 7
1847 Lamé & Cauchy n F
184x Germain
184x-1995 Kummer & successeurs 109
Premier cas de Fermat
Théorème de Sophie Germain. Si p et 2p+1 sont des premiers impairs alors le premier cas de Fermat estvérifié pour l’exposant p.
Résoudre le premier cas de Fermat pour un Exposant p premier c’est montrer l’implication :
Exercices
Etudier les cubes modulo 9 pour démontrer le premier cas de Fermat de l’exposant 3.
Etudier les puissances cinquième modulo 25 pour démontrer le premier cas de Fermat pour l’exposant 5.
langevin.univ-tln.fr/NOTES/FERMAT/fermat.ps
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