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L’approche d’état dans la L’approche d’état dans la modélisation et la commande des modélisation et la commande des

systèmes d’optique adaptativesystèmes d’optique adaptative

Caroline Kulcsár♦, Henri-François Raynaud♦, Cyril Petit●, Jean-Marc Conan●

♦ L2TI – Institut Galilée – Université Paris 13 ● DOTA – ONERA – Châtillon

Plan de l’exposéPrésentation du système d’OAA quoi sert un modèle d’état ?Établir le modèle d’étatComment calculer la commande optimale

Le théorème de séparation à la rescoussePrédiction par filtrage de KalmanExpression de la loi de commande

Quelques résultatsAvantages et inconvénientsPerspectives

Présentation du système d’OA

Critère de performance

= variance de la phase résiduelle

ASO SH : Analyseur de front d’onde Shack-Hartmann

Correcteur : u constant sur T

miroirdéformable

capteurASO SH

correcteur

ϕ tur

uϕ cor

+ ϕ res y

–

+w

pentes

dsst

uJt

t ∫+∞→

=0

2c )(1lim)( resϕ

A quoi sert le modèle d’état ?

1. Modèle linéaire complet du système

(dynamique/stochastique)

2. Critère de performance = variance minimale

3. (1)+(2) ⇒ commande optimale obtenue

simplement par séparation

Cas déterministe (tout est connu)

Cas stochastique (il faut estimer→ filtre de Kalman)

Établir le modèle d’état

Forme d’un modèle d’état en OA

Il faut définirL’état XkLes matrices A, B, CLes matrices de covariance des bruits vket wk

1k k k k

k k k

X AX Bu vy CX w

+ = + + = +

Établir le modèle d’état

Équation du miroir déformablecor

1( ) kt Nuϕ −= pour (k–1) T ≤ t < kT

⇒ constant sur (k–1) T ≤ t < kTcor ( )tϕ

cor1k kNuϕ −=

Établir le modèle d’état

Équation de mesure

( )( 1)

res

( 2)d

k T

k kk T

y D t t wϕ−

−= +∫

res1k k ky D wϕ −= + res tur cor

1 1 1k k kϕ ϕ ϕ− − −= −

( )tur cor1 1k k k ky D wϕ ϕ− −= − +

Établir le modèle d’état

Équation de la phase turbulente

Matrice de covariance de v définie par

matrice de covariance de ϕtur , Kolmogorov

tur tur tur1k k kA vϕ ϕ+ = +

( )ttur turvA Aϕ ϕΣ = Σ + Σ

ϕΣ

Établir le modèle d’état

Modèle d’état( )tur cor

1 1k k k ky D wϕ ϕ− −= − +

cor1k kNuϕ −=

1 turtur turk k kA vϕ ϕ+ = +

tur1 2k k k ky D DNu wϕ − −= − +

tur tur1 tur

tur tur1

1

1 2

0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

k k k

k kk

k k

k k

A vI

uIu u

Iu u

ϕ ϕ

ϕ ϕ+

−

−

− −

= + +

( )0 0k k ky D DN x w= − +

tur

tur1

1

2

k

kk

k

k

Xuu

ϕ

ϕ −

−

−

= ⇒

Établir le modèle d’état

Modèle d’état

cor1k kNuϕ −=

1 turtur turk k kA vϕ ϕ+ = +

tur1 2k k k ky D DNu wϕ − −= − +

tur tur1 tur

tur tur1

1

1 2

0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

k k k

k kk

k k

k k

A vI

uIu u

Iu u

ϕ ϕ

ϕ ϕ+

−

−

− −

= + +

( )0 0k k ky D DN x w= − +

tur

tur1

1

2

k

kk

k

k

Xuu

ϕ

ϕ −

−

−

= ⇒

( )tur cor1 1k k k ky D wϕ ϕ− −= − +

Xk+1= A Xk + Buk +νk

Yk = C Xk+wk

Comment calculer la commande optimale

Le théorème de séparation à la rescousseCalcul de la commande quand la phase est connue

Calcul de la commande quand la phase est

inconnue

( ) 1t t tur1k ku N N N ϕ

−

+= 2tur1k kNuϕ + −∑

( ) 1t t tur1|ˆk k ku N N N ϕ

−

+=

minimise

2tur1Var k kNuϕ + −minimise

Comment calculer la commande optimale

Prédiction par filtrage de Kalman

Commande optimale

( )1 1 1ˆ ˆ ˆk kk k k k k kx Ax Bu L y Cx+ − −= + + −

( ) tur1

ˆ0 0 0k k ku P X +=

Gain de Kalman calculé hors-ligne

Quelques résultats

OA classique : banc BOA (ONERA-DOTA)

Intégrateur (g#0.5)

SR = 89.5 %

Commande optimale

SR = 91.5 %

RÉSULTATSEXPÉRIMENTAUX

Cyril Petit (ONERA)RTC-linux Shaktiware

Montage expérimental d’OAMCsimplifiée : la correction hors-axe

1 une couche turbulente en altitude

1 étoile sur axe

1 étoile hors axe

Off axis pupil

DM

metapupil

On axis pupil

WFS

+ =

C. Petit et al., C. R. Physique, 6, 2005

intégrateur

LQG

SR = 10% SR = 10%

SR = 90% SR = 34%

SR = 43% SR = 80%

Étoile sur-axe Étoile hors-axeRÉSULTATS

EXPÉRIMENTAUX

OAMC sur un système de type VLT (Paranal – Chili)

altitude

0 km

3,5 km

7,8 km

V = 12,5 m.s

V = 8 m.s

V = 20 m.s

2nC

15%

25%

60%

5,15 km

altitude

0 km

actuators

15*15

9*9

control law

2 arcmin

D/ro = 9 (@ 2,2 µm)

Seeing = 0.69’’Samp. Frequency = 200 Hz

OA classique

Intégrateur, 1MD

SR max = 66%

OA classique

Intégrateur, 1MD

SR max = 66%

Performances OAMC

OAMC avec intégrateurgénéralisé

OAMC avec commande optimale

SIMULATIONS (Experimental results on HOMER is coming soon…)

Performances OAMC

OAMC avec intégrateurgénéralisé

OAMC avec commande optimaleSR max = 62%SR centre = 55%

SR max = 57%SR centre = 32%

SIMULATIONS (Experimental results on HOMER is coming soon…)

Avantages/inconvénients

Inconvénients : modèle de phase turbulente explicitecomplexité

Avantages :Performances robustesStabilitéExtension à de multiples configurations

PerspectivesGestion des saturationsGestion du multicadencePrise en compte de dynamiques miroir oude non-linéaritésModélisation de la turbulenceSynthèse robusteCommande adaptative (identification en ligne des modèles)Optimisation de coût de calcul pour les systèmes à grand nombre de degrés de liberté