la symétrie
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La symétrie
La symétrie
LAVAL
LAVAL
SHINZOX
SHINZOX
ININI
ININI
ININI
ININI
andin basnoda a une epouse qui pue
andin basnoda a une epouse qui pue
and inb asnoda aun e epouseq uipue
Georges Pérec
b dp q
b dp q
Définitions
• Symétrie (symmetry): • Du grec (sun) "avec" (metron) "mesure"• Même étymologie que "commensurable"• Jusqu'au mi-XIXe : symétrie "gauche-droite"
• Transformation, Groupe• Évariste Galois 1831, 1846.
Symétrie :
Propriété d'invariance d'un objetsous une
transformation de l'espace.
DéfinitionsSymétrique :
Invariant parau moins deux
transformations de l'espace.
Asymétrique :
Invariant par unetransformation de l'espace.
Dissymétrique…
Transformation
• Bijection (d’une partie) d’un ensemble géométrique dans lui-même
M f(M)=M’
• Transformation affine : deux points (P,P’) et O linéaire
f(M) = P’ + O(PM)
PP’
f : positionsO : vecteurs
P
Transformation affine
• Translation : O identité
• Homothétie : O(PM)=k.PM
• Affinité : Homothétie une direction
• Isométrie : Conserve les distances
• Similitude : Conserve les rapports
P
Conserve droites, plans, parallélisme
P’P
P P
P P
P
P P
P
Translation
• Réseaux périodiques infinis
Homothétie• Objets auto-similaires
• Fractals infinis
Similitude
Fractals infinisSpirale logarithmique (r=aeb)
’
’
r -> re-b’
e-b’
• Deux types d’opération de symétrie :
• Symétries de position : f(M)• Agissent sur de points.• Propriétés microscopiques des cristaux (structure électronique)
• Symétries d’orientation O(PM)• Agissent sur des vecteurs (directions)• Propriétés macroscopiques des cristaux (fonctions de réponse)
Les isométries
• Isométrie ||O(u)||=||u||
• Hélice de pas P
(, P /2)
• Translation• Rotations• Réflexions
E ?60°
• Rotations• Réflexions
f(M) = P’ + O(PM)
Symétrie d’orientation - 2D
• Dans le plan (2D)
• Transformation linéaire• ||O(u)|| = ||u||
• Rotations • Symétries orthogonales (réflexions par rapport à une droite)
• Déterminant +1 • Valeurs propres ei, e-i
• Déterminant -1 • Valeurs propres -1, 1
Symétrie d’orientation - 3D
c) Inversion ()d) Inversion rotatoire ()c) Réflexion (0)
• Dans l’espace (3D) :• ||O(u)|| = |||u||
Valeurs propres |= 1
• : équation 3e degré à coefficients réels
±1, ei, e-i (dét. = ± 1)
Rotations Réflexions rotatoires
• dét. = 1• Symétrie directes
• dét. = -1• Symétrie indirectes
a) Rotation d’angle b) Réflexion rotatoire
O
N
M
P
P
P’
P’M’
S
N
Projection stéréographique
• Représentation des directions
• Conservation des angles sur la sphère
Direction OM
P, projection de OM :Intersection de SM et l’équateur
• Transformation conforme (conserve les angles) mais pas affine
Les opérations de symétrie principales
• Conventionnellement
• Rotations (An)• Réflexions (M)• L’inversion (C)
• Inversions rotatoires (An)
• Indirectes• Réflexions rotatoires (An) • Réflexion (M)• Inversion (C)• Inversions rotatoires (An)
...
. .
.
..
..
..
.
..
A2 vertical A2 horizontal A3 A4 A5
.
M vertical
..
Inversion
.
M horizontal M de biais
... .
A4
.
• Directes• Rotation An d’ordre n (2/n)• Représentée par un polygone de même sym.
~
_
_
• Élément de symétrie• Ensemble des points invariants
Composition de symétries
• Produit de deux réflexions faisant un angle = rotation 2
• Produit de deux rotations = rotation
M’M=A
M
M’
AN1
AN2AN3
/N1/N2
AN2AN1=AN3
• Construction d’Euler
• Ne donne pas de relations entre N1, N2 et N3
Les groupes ponctuels : définition
• L’ensembles des éléments de symétrie d’un objet muni de la loi de composition des symétries possède une structure de groupe G
• Si A et B à G, AB à G (ensemble est fermé)• La loi produit est associative (AB)C=A(BC)• Il existe un élément neutre E (rotation d ’ordre 1)• Chaque élément A à un inverse A-1
• Pas de commutativité en général (rotation 3D)
• Exemple groupe de symétrie d’une table rectangulaire 2mm
* E Mx My A2
E E Mx My A2
Mx Mx E A2 My
My My A2 E Mx
A2 A2 My Mx E
1
2 1
2
Mx
My
A2
2mm• Multiplicité du groupe : nombre d’éléments
Composition de rotations
AN1AN2AN3
/N1/N2
Triangle sphérique, vérifie l’inégalité :
22N (N qcq), 233, 234, 235 Groupes diédraux Groupes multiaxiaux
234
Contraintes :
Les groupes ponctuels
• Classés par degré de symétrie• Groupes limites de Curie
• Chiraux, propres
• Impropres
• Centrosymétriques
m3 43m m3m /m /m
3 4 6=3/m2=m1
32 422 622222
_ _ _ _ _
3 4 621
4/m 6/m2/m
3m 4mm 6mm2mm
3m 42m (4m2) _ _ _
62m (6m2) _ _
4/mmm 6/mmmmmm
43223
_ _ _
/m
2
m
/mm
Tri
clin
iqu
e
Mon
oclin
iqu
e
Ort
horh
om
biq
ue
Tri
gon
al
Tétr
ag
on
al
Hexag
on
al
Cu
biq
ue
Gro
up
es lim
ites
de C
uri
e
...
An An’
An
AnA2
An
An/M
AnM
AnM
An/MM’
An An’
_
_
_
Les groupes multiaxiaux
23 432 532
m3_
43m_
m3m_
53m__
Tétraèdre Octaèdre
Cube
Icosaèdre
Dodécaèdre
Groupes ponctuels : Notations
• Schönflies : Cn, Dn, Dnh
• Hermann-Mauguin(Notations internationales)
• Donne les éléments générateurs du groupe (pas le mini.)• Notion de direction de symétrie
• Direction d’une réflexion ( _ ) : normale au plan de réflexion
Direction primaire : de plus haute symétrie
Direction secondaire : de degré inférieur
Direction tertiaire : de degré inférieur
4 2 2mmm
4mmmNotation
réduite
Les 7 groupes limites de Pierre Curie
/m /m
2
/m
/mm
m
Cône tournant
Cylindre tordu
Cylindre tournant
Cône
Cylindre
Sphère tournante
Sphère
Vecteur axial + polaire
Tenseur axial d’ordre 2
Vecteur axial (H)
Vecteur polaire (E, F)
Tenseur polaire d’ordre 2 (susceptibilité)
Scalaire axial (chiralité)
Scalaire polaire (pression, masse)
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