introduction aux isolants topologiques
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Introduction aux isolants topologiques
Laurent Lévy Institut Néel, Université de Grenoble
Plan
• Cours n° 1: Structure de bandes topologiques des solides - Structure de bande des solides; espace fibré de la physique quantique - Phase, courbure de Berry et indice de Chern - Mouvement semi-classique en présence de courbure de Berry - Application au mouvement en champ magnétique: mouvement semi-classique, quantification de Hall, application de la formule de Streda. Effets magnéto-galvanométriques Théorème TKNN: la conductance de Hall comme invariant topologique
- Les isolants topologique a 2D - Le modèle BZH - Observabilité de la phase de Berry: la polarisation électrique des solides
- Les isolants topologiques 3D
• Cours n° 2: Les états de surface des isolants topologiques - 3D: l’inversion de bande et les états de surfaces; le modèle le plus simple des états de surface - L’ARPES (spectroscopie de photoémission résolue en angle)
- Exemples de structure de bandes expérimentales; Bi2Te3, HgTe. La chiralité des états de surface (résolution en spin et dichroisme). - Exemple de système polaire BiTeI: le rôle de l’interaction Rashba (spin orbite) - calcul réaliste de structure de bande: le modèle de Kane (semiconducteur Zinc-Blende)
- Applications au tellurure de Mercure: spectre ARPES, dichroisme circulaire et polarisation de spin
• Cours n° 3: Les propriétés de transports
- 2D: Effet Hall de spin: expériences multicontacts, le filtrage et la détection du spin: premiers pas vers la spintronique des isolants topologiques - 3D: Propriétés des fermions de Dirac chiraux (différences avec le graphene) - L’effet de la phase de Berry et l’anti-localisation en présence de désordre - La quantification de Hall, le diagramme des phases de Hall des isolants topologique
Isolants vs états de Hall quantique
Argon solide: isolant atomique
aπ
−aπ0
Etat de Hall quantique: « isolant » 2D (σxx=0) mais henxy
2
=σ
Niveaux de Landau
B
qaπ
−qaπ
Zone de Brillouin magnétique
cω
Ne
Ar
Théorie des bandes dans les solides
)(2
2
rVm
pH += ( ) ( )rVRrV n
=+
Théorème de Bloch
( ) qrqi
qqRqi
qn ueeRT n
•• == ψψψ , rqirqi HeeqH
••−=)( ( ) nqn
nq uuqH
ε=
xq
yq
0
aπ
aπ
−
bπ
bπ
−
Structure de bande
( ) ( ) quqq nn ,ε→
Correspondance
Deux représentations
( ) ( )ruer nq
rqinq
•=ψ
( )rueqdrw nk
rqin
•∫= 2)(
( ) ( )∑ −= •−
ii
nRqinq Rrwer i
ψ
Bloch
Wannier
Invariant de surface (théorème de Gauss-Bonnet)
Courbure gaussienne
21
1RR
=κ R1, R2 rayons de courbure locale
Surfaces fermées: théorème de Gauss-Bonnet
0=g 1=g
( )gSdS
2222 −=∫∫ πκ g, genre de la surface (entier≡nombre de trous)
Généralisation: indice de Chern des espaces fibrés
L’espace fibré de la physique quantique
BH
•= σγ [ ] 0, =Hq
quq →
qqq
uquP
uuH
=
= ε
Espace des états |uq> (espace de Hilbert) Espace fibré: correspondance entre q (Zone de Brillouin, paramètres (B, Vg) ) → Espace des états |uq>
Topologie: propriétés globales de cette correspondance
Cas importants: l’espace sous-jacent (Zone de Brillouin, paramètres (flux magnétique, charge) est périodique
( ) ( )rUm
AeqH res
++
=2
2
La phase de Berry en physique quantique
Ambigüité de la phase en physique quantique
qi
q ueu qφ→
quq →
00 qi
q ueu Cγ→
∫=C
qqC duuiγ
transport parallèle
Phase de Berry
Connection de Berry ( ) qqq uuiqA
∇=
Comme un potentiel vecteur
( ) ( ) qqi
q qAqAueu q φφ ∇+→→,
Cγ ne dépend pas du choix de la phase de |uq>
Exemple important: la phase de Berry des spins-1/2
Courbure de Berry
qq AF
×∇=
dSnFC
C ∫∫ •= ˆ
γ Flux de F à travers la surface C devient l’indice de Chern pour des surfaces fermées
,
2cos
2sin
,
2sin
2cos
−
=−
=+qi
q
qqi
q
q
eeθ
θ
θ
θ
φφ
La phase de Berry de deux bandes (spin-1/2)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
−
=•=+
−
qdqdqdqd
qdqHz
z
σ
( ) ( )qdq ±=±ε
Cas d’une rotation de d autour de z (θ const),
φθφ deid qiq
=+2
sin
0
( ) Ω=−=−=++= ∫∫ θπφθγπ
cos12
sin2
0
2 ddiC
qqC
angle solide convert par d
Phase de Berry d’un spin ½ dans un champ magnétique tournant: ruban de Moebius
Cas d’un spin dans un champ magnétique orientable (sphère→sphère): notion d’indice de Chern
,
2cos
2sin
,
2sin
2cos
−
=−
=+θ
θ
θ
θ
φφ ii ee2b
±=±ε
φφ
θφ θ
θ
θθ
θ
eeb
iee ii
ˆ
2sin
2cos
sinˆ
2cos
2sin
21
+
−
=+∇
φθθ e
bAN ˆ
sin21cos −
=+∇+=+
Vector potential of a monopole of “charge” ½
( )bB
bbAB
δ21
2 3
−=•∇
−=×∇=
+
++
1
1421
21ˆ
21 2
2
=
−=−=•=
−
+ ∫∫C
bb
dSnBC πππ
φθθ e
bAS ˆ
sin2cos1+
=+∇+=+
( )φf
( )b
AAf SN 1,2
,2
−=
−
= φπφπφ
( ) Cbb
df ππφφπ
2212
0
=×−=∫
BbH ˆ2
•= σ
Mouvement semiclassique des états de Bloch
( ) ( )ruer nq
rqinq
•=ψ
Rappel: états de Bloch dans un potentiel périodique
( ) ( ) ( )rururdiqA nqq
nq
n
∇= ∫∫ *3Connection de Berry’s
qq A
ir
+
∇=Position moyenne
[ ] )(, qirr c
abcba Fε= Les coordonnées ne commutent pas !
( ) nnq dtqdq
dtrd
BdtrdeEe
dtqd
F
×+∇=
×+=
ε
( ) ( )qAq q
×∇=F
La courbure de Berry a le même effet dans l’espace des q qu’un champ magnétique dans l’espace réel
Dualité entre l’espace des q et l’espace réel
Effet de B et F sur le volume de l’espace des phases
( )( )
( )( )
∇∇
=
−qrU
qr
dtd
q
rBe
naq
a
b
b
cabc
ab
ba
cabc
εεδ
δε
F
[ ] [ ][ ] [ ]
−
baba
baba
rrqrrqqq
i,,,,
Crochets de Poisson (commutateurs)
( )( )
( ) ( ) ( )rUqqrH
qrHqrH
n
q
a
a
+=
∇∇
ε,
,),
Jacobien
( ) ( )
cb
abceBqqJ Fε+== 1det
Affecte le volume à intégrer dans l’espace des phases
Formule de Strěda
heout
xy
2
'νσ =
'νν − états de bords chiraux hein
xy
2
νσ =
( ) ( )
( ) ( )
eBllqX
Lmq
eXxyx
xUmeApH
BBmmy
m
yiqmnn
m
===
−=
++
=
,,2
,2
2
2
π
φψ
By
BB l
LllX <<=∆
π2
Filaments de largeur lB, le long d’équipotentielles
0,
2
2
2
=∂∂
=
=
∂∂
−∂∂
=
Tc
cabc
a
b
b
aab
Bn
ehK
Khe
EJ
EJ
µπ
πεσ (compressibilité)
( ) ( )qnqqJdn ∫∫= 2 occupation
de Fermi
( )qXU
qv qq
y ∂
∂=
∂
∂=
ε
Xm=centre de « guidage »
yBxA ˆ=
Jauge de Landau
Application de la formule de Strěda Gaz d’électrons libres
menD
τσ2
=Bne
c
D
c
cDxy =≈
+=→
τωσ
τωτωσσ 221
xy
xy
BK
Bne
σρ
σρ
=∂∂
=
==
Effet Hall quantique (porteurs massiques)
meBnn
+=
21εniveaux de Landau
BSheggN =
ΦΦ
=0 νρ B
he
SNene
2
===
# de niveaux de Landau remplis (incl. deg. de spin) h
eBxy
2
νρσ =∂∂
=
électrons sans int. sans états étendus au niveau de Fermi: entier ν
Généralisation (FQHE)
121,
12 ++
+=
qqν q de niveaux de
fermions composites remplis
Application de la formule de Strěda – cont. Généralisation a 3D
Pas d’états étendus (bulk) au niveau de Fermi
dG π2
= vecteur du réseau réciproque c
abcab Ghe ε
πσ
2
21
=dn
he2
→
Réseau de plans 2D périodiques (organiques, graphène)
Graphene, états de surface des isolants topologique
( ) cqq =ε enBcn 2=ε
BSheggN =
ΦΦ
=0
νρ Bhe
SNene
2
===
he
Bxy
2
νρσ =∂∂
= Même résultat que pour les électrons massiques
Analyse des trajectoires a la surface de Fermi
Exemples de surfaces de Fermi
δεδ
δεδ
δδεε
SeB
qdqeB
dt
Bdtq
eBdtedq nq
22
==
=∇= ⊥
( ) 0.
,
=∇
⊥
qdtqd
dtrdB
dtqd
q
ε
Mouvement à énergie constante
(reste vrai si F≠0)
( )qdtrd
Bdtrde
dtqd
nq
ε∇=
×=
Sδ
nε
δεε +n
ε∆∆
=S
eBT
2 Variation de l’aire ⊥ B lorsqu’on passe de ε a ε+∆ε
Cas simple
( ) ( )
*
*2
**
22
*
2222
*
2
,2,2
222
meB
eBmTmS
Sm
qm
qqqm
c
zzyx
===
+=++=
ωππδεδ
επ
ε
Quantification des orbites
( ) ( )επ
ε Sm
qm
qqqm zzyx
*
22
*
2222
*
2
222
+=++=Semiclassique
( ) πγ 2+=•∫ nrdp
( ) BreKqBdtrde
dtqd
×=−×= ,
( )γπ+= neBSn
2( ) ( )
( ) ( )[ ]εω
γωε
∆+−=
++=
cz
czzn
nnmnq
nqm
q
max2
2
*
2
2
2
Densité d’états: a ε0 donné, sélection des qz(n) tel que εn(qz(n))=ε0
Pour ε0 donne, n varie de 0 a nmax
Calcul de la densité d’états B
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ε
π
ωε
ωππε
εε
εε
πε
3
2/3*
*
2
02
*
002
*
2*
*
2
00
42
22
1
,
,22
max
max
m
mm
nqm
ddn
nqm
dndqndqnq
mqd
dndqLLL
ddN
cc
n
n z
z
zzzzn
n
n
zyxz
=
Φ→
Φ=
==
Φ=
∑
∑
=
=
Identique a celle d’un système sans champ
( )
( ) 2/132
2/3
2/332
2/3
2
33
3
42
62
634
81
επε
εππ
ππ
mddn
mqqVN
=
===
Par contre elle diverge lorsque Δε→0 i.e. lorsque
ε
ωε
men
B
n
n
cn
+=
+=
211
21
max
Oscillations periodiques en 1/B M→ deHaas-van Alphen ρxx →Shubnikov deHaas
Généralisation aux structures de bandes
Operateur p+eA Jauge symétrique
−=
Bx
ByA
2121
+
−=+=Π
Bxep
ByepAep
y
x
2
2
[ ]P
eBQ
eB
ieB
yx
yx
→Π
→Π
−=ΠΠ
,
,
Variables canoniques conjuguées d’un système 1D
+== ∫ 2
121 nPdQJπ
EBSK ( )dJ
JdH=ω
Aire délimitée par la trajectoire qans le plan Q-P
dSdeBT
SeB
J
eBq
PeBqQ yx
επωππ
2
2
222
,
==
=
→→
Formule très générale
Orbite dans le plan Q-P
Orbites fermées ou ouvertes suivant la direction de B
Singularité de la densité d’états
( )∑=Φ
=max
00
,n
n
z
dndqB
ddn
εε
πεCritère géométrique pour que dqz/dε→∞
( )( )nqznεε = Orbite quantifiée
( )
+=
212, neBqS z
πε0=+ zz
qdqdS
ddS δδε
ε
z
z
dqdSddS
ddq ε
ε−=
→0 pour les orbites extrémales
Pour chaque surface extrémale Si
+=
2121 n
Se
B iin
π
Fréquence magnétique détermine Si
( )θiSForme de la surface de Fermi
Gaz d’électrons en champ magnétique groupe de translation magnétique
( ) ( )rUm
AekH
+
+=
2
2
( )rUAekAekcH xyyyxx
+
+−
+= σσ
( ) ( )rURrU =+ bmanR
+= kRi
R eT
•= ( ) ( )RrfrfTR
+=
BrA
×=21
BRei
R
BrekRi
R eTeT
×
×+•
== 22
abi
ba TTeTT ϕ= q
pBab ππϕ 220
=Φ
=
Maille « magnétique »
bmanqR
+='
Cas d’un espace sous-jacent périodique (Zone de Brillouin): notion d’indice de Chern
Exemple/ espace sous-jacent est 2D-périodique≡tore
Espace des états: SU(2)≡SO(3)≡sphère
Indice de Chern: tore→sphère
( ) ( )qdmqH •+= σ1
dégénérescences
sphère autour de la dégénérescence
m: rayon du tore
Expression de la conductance de Hall en terme d’invariant topologique (TKNN)
Formule de Kubo ( )∑ −
−=
βα βα
αββααββασ
,2
2
EEvvvv
ie yxxy
xy
Indice de bandes (NdL)
dxdyuvuvqa b
βαβα ∫ ∫=0 0
* ( )11
ˆ1ku
EEkHvx ∂
∂−=
∂∂
= βαβ αβαβα
∑ ∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=βα
αααα ββββσ, 2112
2
ku
ku
ku
ku
ie
xy
( ) kk uukA ∇=def:
( )( ) αα
πσ
1
22
2
ˆ21 C
hezkAkd
ihe
kZBM
xy =•×∇= ∫
Zone de Brillouin 2D (tore)→SU(2)≡SO(3) Hamiltoniens de spin des systèmes 2D: indice de Chern ≡degré d’homotopie
( ) 1−= qSq Application inverse
au voisinage de S ≡1 si l’orientation est préservée ≡-1 si l’orientation est inversée Signe du Jacobien
Degré d’homotopie est la somme de ces signes Dégénérescences →zéros du Jacobien
L’indice de Chern (2D)≡nombre de dégénérescences à l’intérieur du tore
C1=q1
C2=q2
0=− ∑i
iT CC
Théorème de Gauss
ZqCi
iT ∈= ∑
Changement d’indice de Chern: sortie d’une dégénerescence du tore: Fermeture du gap en un point de la zone de Brillouin
Changement de phase autour de la maille magnétique
ψ état propre commun à H et TR’
bkeT
qakeT
bikb
qaikqa
πψψ
πψψ
20,
20,
2
1
2
1
<<=
<<=
Zone de Brillouin magnétique
),(),(
),(),(
),(),(
2121
2121
21
21
21
/
/
)(
yxuebyxu
yxueyqaxu
yxueyx
kkqapxi
kk
kkbpyi
kk
kkykxki
kk
π
π
ψ
=+
=+
=−
+
( )rikk
keruru
θ)()( =
kUM
ldp
θπ
∇•−= ∫21
La phase fait p tours autour de la maille magnétique
Contrainte topologique
( )( )
( )∫
∫
•=
•×∇=
ZBM
kZBM
xy
dkAih
e
zkAkdih
e
π
πσ α
21
ˆ21
2
22
Exemple: modèle BHZ de l’effet Hall de spin
Polarisation dans les solides et phase de Berry
A ( ) ( ) ( )rururu kk 10
αλ →→
transition ferroélectrique, λ, paramètre 0<λ<1
( ) ( )ruerk krki
λλψ •=,
λ
0
1
aπ
aπ
−
∫ ∇=C
kk di ξψψγ λξ
λ
ionPeP ∆+=∆πγ
( )ruekdrw krki λλ
•∫= 3)(
( ) λλλλ qqq uuqdrwrrdr ∇== ∫∫ 323
Calcule du dipôle electrique
( )
( ) ( )( )πγϕ
πλϕλϕ
π
λλ
π λ
edee
dPP
reP
C
===−=
=∂∂
=∆
=
∫
∫
0122
22
1
0
3
Reconnection des fonctions d’ondes
Pour une bande remplie: la phase θ de sa fonction d’onde est ±1. C’est l’indice de Chern de la bande
Cas 2D ∑=remplie
nCC Cas 3D ( )pC 11 −=±=entier
p: nombre de bandes P remplies sous εF Z
Z2
Etats d’interface des isolants topologiques
( )rUAekAekcH xyyyxx
+
+−
+= σσ
Modèle minimal pour les états de surface fermion hélicoïdaux de Dirac
xΠ yΠ
Confirmation expérimentale
( )[ ]( ) kckkc
kkc yyxx
=−×−×=
−=
θθθθ
σσε
sinsincoscos
Cas « idéal »
HgTe : plusieurs « branches » (autres bandes)
( ) [ ]
iii
i
kijkjii
ii
kbkcmkb
kbkbkbkH
sin,cos)(
,,,)()()(
4
10
4
150
=
−=
Γ=ΓΓ±=Γ+Γ=
∑
∑
=
±=
εε
Condition to get ( ) 0=±=± kb
ε
can be fulfilled only P symmetric system: 1 parameter m is enough !
8 critical points at BZ corners (Γi)
Questions: topology of what ? what’s special at the Γi ? How can do I find topological numbers
Le modèle BHZ se généralise a 3→4 D
Time reversal symmetry Θ Antiunitary op [e(iπσy) K] Θ2=−1
H(-k)=Θ H(k) Θ−1 T-symmetric Hamiltonian
)(),( ii uu ΓΘΓ αα
degenerate Kramers doublets
Liang Fu, C. L. Kane, PRB 76 045302 (2007)
[Η,Θ]=0 spin 1/2
at Γi H(Γi)=Θ H(Γi) Θ−1
consider matrix ( ) ( ) ( )kukukw nmmn Θ−=
antisymmetric at Γi [ ]( )
[ ]( ) 1Pfdet
±=ΓΓ
=i
ii w
wδ invariant
Z2 invariant ∏=
=8
10
iiδν 3 more ∏
=
=4
1iiδνα
Simplification [H,P]=0 )()( kuku
αα ±=− degenerate Kramers doublets
∏=m
mi ξδ # of odd-parity bands below Fermi level Push a P band above εF, topological phase transition
A 3dimensions: invariant Z2≡signe ±1
top related