introduction aux graphes
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Introduction aux graphes
Johanne Cohen1
1LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 1 / 15
Plan
1 Rappel sur la theorie des graphesLes graphesLes arbres
2 Representation des graphesMatrice d’adjacencesListe de successeurs
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 2 / 15
Un grapheUn graphe 1 donne par un couple G = (V ,E ), ou
I V est un ensemble.I E ⊂ V × V est un ensemble de paires {u, v} avec u, v ∈ V .
Les elements de V sont appeles des sommets (ou nœuds).
Les elements de E sont appeles des aretes.
La paire {u, v} peut etre representee par (u, v) ou (v , u).Autrement dit, (u, v) et (v , u) denotent la meme arete.
Exemple :I V = {0, 1, . . . , 6}I E = {(0, 1), (3, 4), (5, 1), (6, 3), (6, 4)}.
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1. Lorsqu’on ne precise pas, par defaut, un graphe est non-oriente.Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 3 / 15
Vocabulaire
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u et v sont dits voisins s’il y a une arete entre u et v .
Le degre de u est le nombre de voisins de u.
Remarque : (sauf autre convention explicite)I Les boucles ne sont pas autorisees.
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 4 / 15
Vocabulaire : chemins et cycles
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Un chemin du sommet s vers le sommet t est une suite e0, e1, · · · , ende sommets telle que
e0 = s, en = t, (ei−1, ei ) ∈ E , pour tout 1 ≤ i ≤ n.
I n est appele la longueur du chemin,I on dit que t est joignable a partir de s.I Le chemin est dit simple si les ei sont distincts deux-a-deux.
Un cycle est un chemin de longueur non-nulle avec e0 = en.
s est dit a distance n de t s’il existe un chemin de longueur n entre set t, mais aucun chemin de longueur inferieure.
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 5 / 15
Vocabulaire : composantes connexes
La relation “etre joignable” est une relation d’equivalence.
Les classes d’equivalence sont appelees les composantes connexes.
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Un graphe est dit connexe s’il n’y a qu’une seule classe d’equivalence.I Autrement dit, tout sommet est joignable a partir de tout sommet.
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 6 / 15
Les graphes sont partout !
Beaucoup de problemes se modelisent par des objets et des relationsentre objets.
Exemples :I Le graphe routier.I Les reseaux informatiques.I Le graphe du web.
D E F G HCBA
D E F G HCBA
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Funiculaire deMontmartre
Tarification spéciale
RER: au delà de cette limite,en direction de la banlieue,la tarification dépend de la distance. Les tickets t+ ne sont pas valables.
Légende
Pôle d’échange multimodal,métro, RER, tramway
Correspondances
Fin de lignesen correspondance
Meudonsur-Seine
Parcde St-Cloud
Les Coteaux
Les Milons
SuresnesLongchamp
Belvédère
Puteaux
Muséede Sèvres
Brimborion
LesMoulineaux
Hôtel de Villede La Courneuve
HôpitalDelafontaine Cosmonautes
La Courneuve6 Routes
Cimetièrede St-Denis
Marchéde St-Denis
Basilique deSt-Denis
ThéâtreGérard Philipe
Hôtel de Villede Bobigny
La Ferme
Libération
Escadrille Normandie–Niémen
Auguste Delaune
Pontde Bondy
PetitNoisy
Jean Rostand
Gaston Roulaud
Hôpital Avicenne
La Courneuve–8 Mai 1945
Maurice Lachâtre
Danton
Stade Géo André
Drancy–Avenir
Jacques-HenriLartigue
Poternedes Peupliers
StadeCharléty
Montsouris
JeanMoulin
DidotBrancion
Desnouettes
GeorgesBrassens
HenriFarman
SuzanneLenglen
Ported’Issy
ColonelFabien
Stade de FranceSaint-Denis
Saint-DenisPorte de Paris
Basiliquede St-Denis
Portede Saint-Ouen
LamarckCaulaincourt
JulesJoffrin
Saint-Denis
GuyMôquet
Porte de Clichy
ChâteletLes Halles
Stalingrad
MarcadetPoissonniers
Hôtel de Ville
Arts etMétiers
ChâteauRouge
StrasbourgSaint-Denis
Saint-Mandé
Maisons-AlfortAlfortville
Hoche
MarxDormoy
La CourneuveAubervilliers
Le Bourget
Parcdes Expositions
Jaurès
Placedes FêtesBelleville
Jourdain Télégraphe
Ourcq Portede Pantin
JacquesBonsergent Saint-Fargeau
Pelleport
Portede Bagnolet
Danube
BotzarisButtes
Chaumont
République
Parmentier
SèvresBabylone
RichelieuDrouot
Palais RoyalMusée du
Louvre
RéaumurSébastopol
Raspail
Pyramides
MontparnasseBienvenüe
Mabillon
ClunyLa Sorbonne
MalakoffRue Étienne Dolet
Chausséed’Antin
La Fayette
BonneNouvelle
GrandsBoulevards
Bourse Sentier
BarbèsRochechouart La Chapelle
Pigalle
Poissonnière
Liège
Notre-Damede-Lorette
Saint-Georges
Abbesses
Anvers
La Fourche
Placede Clichy
Pereire–Levallois Blanche
Villiers
Opéra
Auber
HavreCaumartin
Trinitéd’Estienne
d’Orves
FranklinD. Roosevelt
Neuilly–Porte Maillot
Avenue Foch
Bir-Hakeim
Invalides
Pasteur
Pontde l’Alma
JavelAndréCitroën
Javel
MichelAnge
Molitor
La Muette
MichelAnge
Auteuil
BoulainvilliersChamp de MarsTour Eiffel
ChampsÉlysées
Clemenceau
TrocadéroAvenue
Henri Martin
Avenuedu Pdt Kennedy
Commerce
Félix Faure
Ruede la Pompe Iéna
Ranelagh
Jasmin
Exelmans
ChardonLagache
Églised’Auteuil
Duroc
La MottePicquetGrenelle
Assemblée Nationale
Varenne
St-MichelNotre-DameSolférino
Musée d’Orsay
Concorde Les Halles
Jussieu
Odéon
ÉtienneMarcel
Vavin
SaintGermaindes-Prés
Saint-Sulpice
St-Placide
PlaceMonge
Pont NeufTuileries
Notre-Damedes-Champs
Luxembourg
Port-Royal
LouvreRivoli
St-Michel
Bastille
Daumesnil
Reuilly–Diderot
PèreLachaise
Oberkampf
Quai dela Rapée
SaintMarcel Bercy
Fillesdu Calvaire
Chemin Vert
St-SébastienFroissart
Ruedes Boulets
Charonne
SèvresLecourbe
Cambronne
Pont Marie
SullyMorland
PhilippeAuguste
AlexandreDumas
Avron
Voltaire
Quatre Septembre
Saint-Ambroise
RueSaint-Maur
Porte deVincennes
Vincennes
Maraîchers
Porte de Montreuil
Robespierre
Croix de Chavaux
Buzenval
Pyrénées
Laumière
Châteaud’Eau
Porte Dorée
Porte de Charenton
Ivrysur-Seine
Portede Choisy
Ported’Italie Porte
d’Ivry
Créteil–Université
Créteil–L’Échat
Maisons-AlfortLes Juilliottes
Maisons-Alfort–Stade
DenfertRochereau
MaisonBlanche
CensierDaubenton
Tolbiac
Le KremlinBicêtre
VillejuifLéo Lagrange
VillejuifPaul Vaillant-Couturier
Glacière
Corvisart
Nationale
Chevaleret
CitéUniversitaire
Gentilly
OrlyOuestAntony
MalakoffPlateau de Vanves
MoutonDuvernet
Gaîté
EdgarQuinet
Bd Victor
Issy
Meudon–Val-Fleury
Chaville–Vélizy
Portede St-Cloud
Pantin
Magenta
LaplaceVitrysur-Seine
Les Ardoines
Le Vertde Maisons
Saint-Ouen
Les Agnettes
Gabriel Péri
Les Grésillons
Ledru-Rollin
Ménilmontant
Couronnes
Montgallet
Michel Bizot
Charenton–Écoles
Liberté
FaidherbeChaligny
École Vétérinairede Maisons-Alfort
St-Paul
MaubertMutualité
CardinalLemoine
Temple
ChâteauLandon
Bolivar
Église de Pantin
Bobigny–PantinRaymond Queneau
Riquet
Crimée
Corentin Cariou
Porte de la Villette
Aubervilliers–PantinQuatre Chemins
Fortd’Aubervilliers
LesGobelins
CampoFormio
Quaide la Gare
CourSt-Émilion
Pierre et MarieCurie
Dugommier
Bel-Air
Picpus
Saint-Jacques
Dupleix
Passy
Alésia
Pernety
Plaisance
Porte de Vanves
Convention
Vaugirard
Porte de Versailles
Corentin Celton
Volontaires
Falguière
Lourmel
Boucicaut
Ségur
Ruedu Bac
Rennes
SaintFrançoisXavier
Vaneau
ÉcoleMilitaire
La TourMaubourg
AvenueÉmile Zola
CharlesMichels
MirabeauPorte
d’AuteuilBoulogne
Jean Jaurès
Billancourt
Marcel Sembat
Cité
AlmaMarceau
Boissière
KléberGeorge V
Argentine
Victor Hugo
Les Sablons
Porte Maillot
Pont de Neuilly
Esplanadede La Défense
Saint-Philippedu-Roule
Miromesnil
Saint-Augustin
Courcelles
Ternes
Monceau
RomeMalesherbes
Wagram
Porte de Champerret
Anatole FranceLouise Michel
Europe
Le Peletier
Cadet
Pereire
Brochant
Mairiede Clichy
Garibaldi
Mairie de Saint-Ouen
CarrefourPleyel
Simplon
Bérault
RichardLenoir
Goncourt
BréguetSabin
Rambuteau
La PlaineStade de France
Arcueil–Cachan
Bourg-la-Reine
Bagneux
Madeleine
BibliothèqueFr. Mitterrand
IssyVal de Seine
Orly
Portede Clignancourt
Garede Saint-Denis
Orry-la-Ville–Coye
Garede l’Est
Garede Lyon
Saint-Denis–Université
Portede la Chapelle
La Courneuve8 Mai 1945
AéroportCharles de Gaulle
Mitry–Claye
BobignyPablo Picasso
PréSt-Gervais Mairie des Lilas
Mairiede Montreuil
Gallieni
LouisBlanc
Porte des Lilas
Gambetta
Gare du Nord
Charlesde Gaulle
Étoile
Pont de LevalloisBécon
PorteDauphine
St-Germainen-Laye La Défense
BoulognePont de St-Cloud
Châtelet
Gared’Austerlitz
Nation
Châteaude Vincennes
Créteil–Préfecture
Olympiades
Mairie d’Ivry
Malesherbes Melun
Massy–PalaiseauVersailles–ChantiersRobinson
DourdanSaint-Martin-d’Étampes
Saint-Rémylès-Chevreuse
Placed’Italie
Villejuif–Louis Aragon
OrlySud
Mairie d’Issy
Châtillon–Montrouge
Pontde Sèvres
Gare Saint-Lazare
GareMontparnasse
ChellesGournay
Noisy-le-Sec
HaussmannSaint-Lazare
Asnières–GennevilliersLes Courtilles
Saint-Quentin-en-Yvelines
Ported’Orléans
Balard
Versailles–Rive Gauche
Marne-la-Vallée
Boissy-Saint-Léger
Pontoise
Poissy
Cergy
Saint-Lazare
Tournan
Pontdu Garigliano
CréteilPointe du Lac
Parc des Expositions
CDG
Château de Versailles
Grande Arche
Parcs Disneyland
Paris
32 46 • wap.ratp.frwww.ratp.fr
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Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 7 / 15
Les graphes sont partout !
Beaucoup de problemes se modelisent par des objets et des relationsentre objets.
Exemples :I Le graphe routier.I Les reseaux informatiques.I Le graphe du web.
Beaucoup de problemes se ramenent a des problemes sur les graphes.
Theorie des graphes :I Euler, Hamilton, Kirchhoff, Konig, Edmonds, Berge, Lovasz,
Seymour,. . .
Les graphes sont omnipresents en informatique.
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 7 / 15
Type de graphes
Un graphe est dit planaire s’il peut se representer sur un plan sansqu’aucune arete n’en croise une autre.
Un graphe est dit biparti si l’ensemble V des sommets est partitionneen deux sous-ensembles A et B telle que chaque arete ait uneextremite dans A et l’autre dans B.
K3,3
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 8 / 15
Type de graphes
Un graphe est dit planaire s’il peut se representer sur un plan sansqu’aucune arete n’en croise une autre.
Un graphe est dit biparti si l’ensemble V des sommets est partitionneen deux sous-ensembles A et B telle que chaque arete ait uneextremite dans A et l’autre dans B.
K3,3
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 8 / 15
Exemple : Coloriage de graphe.
Allouer des frequences GSM correspond a colorier les sommets d’ungraphe (planaire).
I sommets : des emetteurs radio.I arete entre u et v : le signal de u perturbe v ou reciproquement.I couleur : frequence radio.
Le probleme de coloriage d’un graphe : colorier les sommets d’ungraphe de telle sorte qu’il n’y ait aucune arete entre deux sommetsd’une meme couleur.
Un coloriage avec 4 couleurs
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Les arbres sont partout !
Un graphe connexe sans cycle est appele un arbre.
Un graphe sans-cycle est appele une foret :I chacune de ses composantes connexes est un arbre.
Des qu’on a des objets, des relations entre objets, et pas de cycle, ona donc un arbre ou une foret.
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Les arbres sont omnipresents en informatique.
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Les arbres sont partout !
Un graphe connexe sans cycle est appele un arbre.
Un graphe sans-cycle est appele une foret :I chacune de ses composantes connexes est un arbre.
Des qu’on a des objets, des relations entre objets, et pas de cycle, ona donc un arbre ou une foret.
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Les arbres sont omnipresents en informatique.
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Les arbres sont partout !
Un graphe connexe sans cycle est appele un arbre.
Un graphe sans-cycle est appele une foret :I chacune de ses composantes connexes est un arbre.
Des qu’on a des objets, des relations entre objets, et pas de cycle, ona donc un arbre ou une foret.
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Les arbres sont omnipresents en informatique.
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 10 / 15
Quelques proprietes
Soit G = (V ,E ) un graphe.Les proprietes suivantes sont equivalentes :
G est un arbre ;
G est connexe, mais ne l’est plus si on enleve n’importe laquelle deses aretes ;
G est connexe et |E | = |V | − 1 ;
G est sans cycle et |E | = |V | − 1 ;
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Plan
1 Rappel sur la theorie des graphesLes graphesLes arbres
2 Representation des graphesMatrice d’adjacencesListe de successeurs
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 12 / 15
Representation des graphes : matrice d’adjacence
Soit G = (V ,E ) avec V = {1, 2, . . . , n},G peut etre represente par une matrice M n × n.
Mi ,j =
{1 si (i , j) ∈ E0 sinon
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Representation des graphes : liste de successeurs
On associe a chaque sommet i , la liste des sommets j tels que(i , j) ∈ E .
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L[0] = (1)
L[1] = (0, 5)
L[2] = ()
L[3] = (4, 6)
L[4] = (3, 6)
L[5] = (1)
L[6] = (3, 4)
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 14 / 15
Meilleure representation ?
Matrice : memoire O(n2)
Listes : memoire O(n + m)ou n nombre de sommets, m nombre d’aretes.
Quelle est la meilleure representation ?Cela depend du contexte.
La methode plus efficace est
Tester si (u, v) est dans le graphe. matrice d’adjacencesTester si calculer le degre de v liste de successeursStocker des graphes denses matrice d’adjacencesStocker des graphes creux liste de successeursInserer ou supprimer des aretes matrice d’adjacences
Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 15 / 15
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