introduction à la logique. 2 introduction aux fonctions logiques systèmes binaires ¤ deux états...

Introduction à la logique

Introduction aux fonctions logiques

Systèmes binaires¤ Deux états fondamentaux et distincts;¤ Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non.

Par convention:¤ Un état est représenté par « 0 »;¤ L’autre est représenté par « 1 ».

La logique Booléenne

En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires.¤ Il écrira « The Mathematical

Analysis of Logic », Cambridge,

Il définit 3 opérateurs de base, ainsi qu’une foule de règles et de postulats.

Types de représentation

Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons:¤ Équations logiques¤ Tables de vérités¤ Logigrammes¤ Diagrammes échelle (Ladder)

Ces représentations seront introduites avec les fonctions de base...

Fonctions logiques de base :

- NON- ET- OU

Fonction logique NON

En anglais: NOTReprésentation:

¤ F = A ou F = /A

Entrée Sortie

Table de vérité

Symbole graphique

Fonction logique ET

En anglais: ANDReprésentation:

¤ F = A * B

Entrée Sortie

Table de vérité

Symbole graphique

Fonction logique OU

En anglais: ORReprésentation:

¤ F = A + B

Entrée Sortie

Table de vérité

Symbole graphique

Autres fonctions logiques :

- NAND- NOR- EXOR- ID (EXNOR)- ...

Portes universelles

Fonction logique NON-ETEn anglais: NANDReprésentation:

¤ F = A * B

Entrée Sortie

Table de vérité

Symbole graphique

Fonction logique NON-OUEn anglais: NORReprésentation:

¤ F = A + B

Entrée Sortie

Table de vérité

Symbole graphique

Portes universelles

Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible de générer toutes les fonctions booléennes.

Ex. Avec NORNON /(A+A) = /A

ET /(/A +/B) = //A * //B = A*B

OU /(/(A +B)) = A +B

Portes universellesGrâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible

de générer toutes les fonctions booléennes.

Fonction OU-EXCLUSIFEn anglais: EXORReprésentation:

¤ F = A B

Entrée Sortie

Table de vérité

Symbole graphique

/B*A+B*/A

Fonction NON OU-EXCLUSIFEn anglais: EXNORReprésentation:

¤ F = A B

Entrée Sortie

Table de vérité

Symbole graphique

/B*/A+B*A

Fonctions de 2 variablesIl existe 16 fonctions logiques possibles

ayant 2 variables.A F0

Fonctions de 2 variablesF0 = 0 F1 = /A./B

F2 = /A.B

F3 = /A

F4 = A./B

F5= /B

F7=/(AB)

Réalisations des fonctions logiques :

- circuit électrique- relais (automatisme)- logigramme (carte de contrôle, circuit intégré,...)

Interrupteur normalement fermé

Lampe A

Fonction logique ET

Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en séries.

Lampe A B

Fonction logique OU

Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en parallèles.

Lampe A B

Fonction logique NON-ET

Utilise deux interrupteurs normalement fermés en parallèles.

Lampe AB A B

Fonction logique NON-OU

Utilise deux interrupteurs normalement fermés en série.

Lampe A B A B

Fonction OU-EXCLUSIF

Utilise deux interrupteurs à deux contacts

LampeABABAB

Fonction NON OU-EXCLUSIFUtilise deux interrupteurs à deux contacts

Lampe A B A B AB

Il est possible de représenter une fonction logique en utilisant cette approche.

Ex. F = AB + /C

Exercice (1)

F = (AB + /A./B)(BC+/CD)

Exercice (2)

Réalisations des fonctions logiques :

- circuit électrique- relais (automatisme)- logigramme (carte de contrôle, circuit intégré,...)

Fonctions logiques utilisant des relaisEn automatisation, on utilise les relais

pour réaliser des fonctions logiques.Le relais est une composante

électromécanique.

Contactnormalement

ouvert

Bobine Contactnormalement

ferméA AA A

Relais avec un contact normalement fermé

LampeB

Bobine d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)

Fonction logique ET

Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en séries.

LampeC

Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)

Fonction logique OU

Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en parallèles.

Fonction logique NON-ET

Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.

Fonction logique NON-OU

Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en parallèles.

LampeG

Fonction OU-EXCLUSIF

Lampe = K L = /K.L + K./L

Fonction NON OU-EXCLUSIF

Lampe = M N = M.N + /M./N

Réalisation : exercice

Réaliser (avec des circuits électriques et relais) :

- F = ab + c

- F = (ab + /a/b)(bc + /cd)

- F = (a + b +c)(/a + b/c + c)

L ’ALGEBRE DE BOOLEUn ensemble E possède une structure

d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois de composition interne associatives et commutatives notées + et * :

les lois + et * sont distributives l'une par rapport à l'autre et admettent un élément neutre (0 et 1 respectivement);

tout élément de E est idempotent pour chaque loi : x + x = x et x • x = x

Tout élément x de E possède un unique élément, dit complémenté de x, généralement noté généralement /x , vérifiant la loi du tiers exclu : x + /x = 1 et le principe de contradiction x * /x = 0.Dans cette algèbre, on peut écrire : /x = 1 - x.

L’algèbre Booléenne : lois fond.

Fermeture:¤ Si A et B sont des variables Booléennes,

alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes.

Commutativité¤ A + B = B + A¤ A * B = B * A

+ et * sont deux lois de composition interne :

Associativité¤ A + (B + C) = (A + B) + C¤ A * (B * C) = (A * B) * C

Distributivité¤ ET sur OU: A(B + C) = AB + AC¤ OU sur ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)

L’algèbre Booléenne : lois fond.

2+(3*2) (2*3) + (2*2)

L’algèbre Booléenne

Idempotence¤ A + A = A¤ A * A = A

Complémentarité¤ A + A = 1¤ A * A = 0¤ A = A

Identités remarquables¤ 1 + A = 1 et 1 * A = A¤ 0 + A = A et 0 * A = 0

Distributivité interne (très utile pour la simplification algébrique des fonctions booléennes). ¤ A + (B + C) = (A + B) + (A + C)¤ A * (B * C) = (A * B) * (A * C)

Théorème de De Morgan

(A + B) = A * B

A * B = A + B

L’algèbre Booléenne : théorèmes

# 1 0 0 A # 2 1 1 A# 3 1 A A # 4 0 A A# 5 A A A # 6 A A A # 7 A B B A # 8 A B B A # 9 A B C A B C # 1 0 A B C A B C

# 1 1 A A 0 # 1 2 A A 1# 1 3 A B C A B A C # 1 4 A B C A B A C # 1 5 A B C Z A B C Z # 1 6 A B C Z A B C Z # 1 7 A AB A # 1 8 A A B A # 1 9 A A B A B # 2 0 A A B AB # 2 1 A B B C A C A B A C # 2 2 AB BC A C AB A C

Le complément d’une expression quelconque s’obtient en complémentant les variables et en permutant les opérateurs ET et OU.

Simplification

Méthode algébrique : Appliquer les principes de l’algèbre de Boole.

Méthodes graphiques : KarnaughMahoney

Méthodes programmables : Utilisation des algorithmes de simplification

algébrique.

Règles de simplificationRègle 1 : On peut simplifier une fonction logique en regroupant des termes à l’aide des théorèmes.

ABC + AB/C + A/BCD =

= AB(C + /C) + A/BCD

= AB + A/BCD

= A(B + /BCD)

= A[(B +/B) (B+CD)]

= A[(B+CD)]

Distributivité + / *

Règle 2 : On peut ajouter un terme déjà existant à une expression logique.

ABC + /ABC + A/BC + AB/C =

= [ABC + /ABC] + [ABC + A/BC] + [ABC + AB/C]

= BC + AC + AB

L’algèbre Booléenne : simplification

X = X/Y + XY = (X+ Y)(X + /Y)

X = X + XY = X(X+Y)

X + /XY= X + Y

XY + /XZ + YZ = XY + /XZ

(X+Y)(/X+Z)(Y+Z) = (X+Y)(/X+Z)

X(/X +Y) = XY

XY + X/YZ = XY +XZ

(X + Y)(X + /Y + Z) = (X+Y)(X+Z)

…/...

L’algèbre Booléenne : expression avec

des fonctions NAND et NORRe-écrire l ’expression de la fonction Z en n ’utilisant :

- que des portes NOR, et puis- que des portes NAND (après simplification).

Z = (x + /y + z)(x + /z) (/x + /y)

Représentations d’une fonction logique

Table de vérité

Equation logique

Table de vérité vs logigrammes

Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver l’équation logique et le logigramme (ou diagramme échelle) correspondant

Il faut utiliser l’algèbre de Boole pour simplifier.

Table de vérité vs logigrammes

Construction d’une table de vérité¤ N variables¤ N+1 colonnes¤ 2^N lignes¤ Chaque ligne est représentative d’une

combinaison des variables parmi les 2^N possibles (N colonnes).

Table de vérité vs logigrammesExercice.

Soit un local ayant trois portes identifiées a, b et c. À proximité de chacune de ces portes nous trouvons un interrupteur à bascule que les gens manipuleront lorsqu’ils entreront ou sortiront. Ces interrupteurs commandent une ampoule qui éclaire le local. Ainsi, une personne qui entre par la porte “ a ” manipulera l’interrupteur “ a ” pour allumer l’ampoule et cette même personne sortant par la porte “ b ” manipulera l’interrupteur “ b ” pour éteindre l’ampoule. Lors de l’inauguration du local, a = 0, b = 0, c = 0, et l’ampoule L est éteinte (L = 0).

Formes canoniques des équations booléennes

1° forme : Somme de produits.F=ABC + B

2° forme : Produit des sommes.F = (A+B)(A+C)

3° forme : n’utilise que des NANDF = ABC * ABC * ABC * ABC

4° forme : n’utilise que des NOR¤ F = (A+B+C)+(A+B+C)

Ex. Mettre sous la forme 3 l’expression F=ABC+ ABC + ABC + ABC

Ex. Mettre sous la forme 4 l’expression F=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

Table de vérité Eq. logiqueTrouver l’équation de S. ()

Entrées Sortie

Exemple

Solution:¤ On construit l’équation de

S en écrivant tous les termes donnant S=1.

¤ Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.

Entrées Sortie

Exemple

On peut donc écrire:¤ S = /C.B./A + /C.B.A +

C./B.A + C.B./A

On peut simplifier:¤ S = /C.B + B./A + C./B.A

Autre solution possible:¤ S = /C.B + C.(AB)

Entrées Sortie

Si nous utilisions des relais...

S = /C.B + B./A + C./B.A = B.(/C + /A) + C./B.A

La simplification des équations

La simplification est essentielle.¤ Il faut avoir le circuit le plus simple que

possible...

La simplification peut être un processus long si le système est complexe.

Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.

Méthodes de simplification

Il est possible d ’obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique.

Méthodes de simplification graphique:¤ Tables de Karnaugh¤ Table de Mahoney

Principes de baseReprésentation de la table de vérité sous forme

graphique.Nombre de cases = nombre de lignes de la table de

vérité.¤ Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...), n = Nombre d ’entrées

Principe de simplification : Deux termes se simplifient s’ils ne diffèrent que par le fait qu’une variable est présente dans un terme et son inverse dans l’autre terme.

A/B + AB = AOn cherche à mettre en évidence les simplifications

possibles (les termes adjacents).

Deux termes adjacents par définition et adjacents sur la table de vérité.

Deux termes adjacents par définition mais non adjacents

sur la table de vérité.

Exemple (Karnaugh)

Entrées Sortie

BA00 01 11 10

TABLE DE VÉRITÉ

TABLE DE KARNAUGH

Principes de base (suite)

À partir de la table, on simplifie en groupant des 1 adjacents.

La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...).

Le groupe est soit rectangulaire ou carré.

Former les plus gands groupes possibles (Termes plus simples).

Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.

Exemples de table de Karnaugh

Avec n = 2:¤ Entrées B et A¤ 4 cases

AB 0 1

Avec n = 3:¤ Entrées C, B et A¤ 8 cases

BA00 01 11 10

000 001 011 010

100 101 111 110

Avec n = 4:¤ Entrées D, C, B et A¤ 16 cases

BA00 01 11 10

Codage !

0000 0001 0011 0010

0100 0101 0111 0110

1100 1101 1111 1110

1000 1001 1011 1010

Rappel : Codes binairesCode binaire naturel Code binaire réfléchi

0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 20 0 1 1 30 1 0 0 40 1 0 1 50 1 1 0 60 1 1 1 71 0 0 0 81 0 0 1 91 0 1 0 101 0 1 1 111 1 0 0 121 1 0 1 131 1 1 0 141 1 1 1 15

0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 1 20 0 1 0 30 1 1 0 40 1 1 1 50 1 0 1 60 1 0 0 71 1 0 0 81 1 0 1 91 1 1 1 101 1 1 0 111 0 1 0 121 0 1 1 131 0 0 1 141 0 0 0 15

Changer valeur

Symétrie

BA00 01 11 10

Exemple (Karnaugh)

Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A

/C.B.A+/C.B./A = /C.B

/C.B./A+C.B./A=B./AC./B.A

BA00 01 11 10

Principes de base (suite)Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.

¤ La table se referme sur elle même.

1 10 1/C./A

/D.C./B.A 0 01 0

0 00 0

1 10 1

0 1 5 4

2 3 7 6

Exemple (Mahoney)

Exemples de table de Mahoney

Avec n = 3:¤ Entrées C, B et A¤ 8 cases

0 1 5 4

2 3 7 6

Avec n = 4:¤ Entrées D, C, B et A¤ 16 cases

10 11 15 14

8 9 13 12

0 1 5 4

2 3 7 6

Avec n = 5:¤ Entrées E, D, C, B et A¤ 32 cases

10 11 15 14

8 9 13 12

0 1 5 4

2 3 7 6

30 31 27 26

28 29 25 24

20 21 17 16

22 23 19 18

Avec n = 6:

10 11 15 14

8 9 13 12

0 1 5 4

2 3 7 6

30 31 27 26

28 29 25 24

20 21 17 16

22 23 19 18

34 35 39 38

32 33 37 36

40 41 45 44

42 43 47 46

54 55 51 50

52 53 49 48

60 61 57 56

62 63 59 58

Exemple (Mahoney)

Entrées Sortie

TABLE DE VÉRITÉTABLE DE MAHONEY

Exemple (Mahoney)

Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A

/C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A

C./B.A

Exercices1 : Passer de la table de vérité au tableau de Karnaugh. Simplifier.

P Q F0 0 10 1 11 0 01 1 1

2 : Passer du tableau de Karnaugh à la table de vérité. Simplifier.

0 1"00" 0 1"01" 1 111 0 110 1 0

3 : Donner l’expression. Minimiser l’expression.

"00" 1

"01" 1

4 : Donner l’expression. Minimiser l’expression.

"00" 1 0

"01" 1 0

11 1 1

10 1 1

Exercices5 : Simplifier.

"00" "01" 11 10

"00" 1

"01" 1

11 1 1 1

10 1 1 1

"00" "01" 11 10

"00" x

"01" 1 1 x 1

11 1 1

"00" "01" 11 10

"00" 1 1

"01" 1

11 1 1 1 1

10 1 1 1 1

"00" "01" 11 10

"00" 1 1

"01" 1 x 1

11 x 1 x 1

"00" "01" 11 10

"00" 1

"01" 1

11 1 1 1

10 1 1 1

"00" "01" 11 10

"00" x

"01" 1 1 x 1

11 1 1

"00" "01" 11 10

"00" 1 1

"01" 1

11 1 1 1 1

10 1 1 1 1

"00" "01" 11 10

"00" 1 1

"01" 1 x 1

11 x 1 x 1

/a . b

/b . c

S = /a . b + /b . c

/a . b . d

/b . /d

S = /a . b . d + /b . /d + c

/a . d

/c . d

S = /a . d + /c . d = d . (/a . /c)

a . /b . /c

/a . b

/b . d

S = a . /b . /c + /a . b + /b . d = /a . b + /b . (a . /b + d )

"000" "001" "011" "010" 110 111 101 100

"00" x 1 1 1 x

"01" 1 x 1 x x

11 x x x x x x x x

10 x x x x x x x x

"000" "001" "011" "010" 110 111 101 100

"00" x x x x x x x x

"01" x x x x x x x x

11 1 x x 1 x

10 1 1 x x x 1

Exercices1 : Concevoir un circuit capable d’additionner deux bits, capable de générer leur somme S et leur report R.

2 : Concevoir un circuit de commande d’un afficheur 7 segments pour l’affichage des nombres 0, 1, 2, …, 9. (des états indifférents)e3 : le poids le plus importante0 : le poids le plus faible

Les états indifférents (don’t care)

Ils sont représentés par des X

En sortie, ils correspondent à des combinaisons d’entrées pour lesquelles la sortie n’a pas été définie.¤ Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide

et plein.

Contrôle de niveau d’un réservoir

Pompe 1

Pompe 2

Capteur de niveau hauth = 1 : plein

Capteur de niveau basb = 0 : vide Sélecteur de pompe

s = 0 : Pompe 1s = 1 : Pompe 2

Contrôle de niveau ...

Si réservoir plein: Aucune pompe en marche;

Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche;

Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».

Table de vérité:

b s P 1

Entrées Sorties

Réservoir vide1 11 1

Réservoir à 1/21 00 1

Réservoir pleinet vide ?!?

X XX X

Réservoir plein0 00 0

Pompe 1

Pompe 2

bs00 01 11 10

0 1 3 2

4 5 7 6

bs00 01 11 10

0 1 3 2

4 5 7 6

Tables de Karnaugh:

P2 = /b + /h.s

P1 = /b + /h./s

b s P 1

Entrées Sorties

1 11 1

1 00 1

X XX X

0 00 0

Diagramme échelle:

Seul risque:- si le capteur b est enpanne (b=0) alors quele réservoir est plein...

Les deux pompesseront en marche !!!

bs00 01 11 10

0 1 3 2

4 5 7 6

bs00 01 11 10

0 1 3 2

4 5 7 6

Si on considère les X comme des 0.

= /b./h + /h.s

= /b./h + /h./s

Diagramme échelle (sécuritaire):

Conclusion de l’exemple

Les « X » peuvent êtres utilisés dans des groupes de 1 pour en augmenter la taille.¤ Cela implique des équations plus simples;

Du point de vue sécurité, il peut s ’avérer nécessaire de considérer les « X » comme des « 0 ».

Les états indifférents (don’t care)

En entrée, ils permettent d’écrire les tables de vérité sous forme plus compacte.

b s P 1

Entrées Sorties

b s P 1

Entrées Sorties

Logique combinatoire

Logique séquentielle

Les premières méthodes d’automatisation pour les systèmes séquentiels.

La logique combinatoire et les automatismes

La logique combinatoire peut être utilisée pour étudier les automatismes simples.

L’exemple qui suit montre la marche à suivre...

Etapes de la démarche

Dénombrer tous les états possibles.Établir un diagramme des phases.Établir un diagramme des transitions.

Construire la table de vérité du système.

Trouver les équations logiques des actionneurs.

Plateau tournant

Cycle de fonctionnement:¤ poussée sur bouton m;¤ déverrouillage de W;¤ avance du vérin V, avec

rotation du plateau;¤ verrouillage de W;¤ retrait de V, le plateau

restant immobile.

Plateau tournant

La méthode utilisée repose sur le fait qu'en logique combinatoire, une combinaison d'entrées donne une seule combinaison de sorties.

Plateau tournant

Au départ, aucun capteur n'est actionné, et les deux vérins sont au repos.

Donc:¤ m = 0 et a = 0 et b =

0:¤ W = V = 0.

m a b W V

0 0 0 0 0

Plateau tournantPuis, en appuyant sur

m, le vérin W est déplacé.

m = 1 et a = 0 et b = 0

W = 1 et V = 0

m a b W V

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

Plateau tournantDès que le capteur a est

actionné, le vérin V provoque la rotation du plateau.

?a = 1 et b = 0 et ce pour m = 1 ou m=0 (m=X)

W = 1 et V = 1.

m a b W V

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

X 1 0 1 1

Plateau tournantSi le capteur b = 1, le vérin

W verrouille le plateau.

b = 1 et a = 1 , m = X

W = 0 et V = 1.

m a b W V

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

X 1 0 1 1

X 1 1 0 1

Plateau tournantLorsque le capteur a n'est

plus actionné, le vérin V reprend sa position initiale.

V = 0 et W = 0

a = 0 et b = 1 , m = X

m a b W V

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

X 1 0 1 1

X 1 1 0 1

X 0 1 0 0

Plateau tournant

Table de vérité

5 lignes représentant 8 états.

m a b W V

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

X 1 0 1 1

X 1 1 0 1

X 0 1 0 0

Diagramme des phases

1 2 3 4

m appuyéjusqu'à avoir a

m a b W V

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

X 1 0 1 1

X 1 1 0 1

X 0 1 0 0

La méthode utilisée repose sur le fait qu'en logique combinatoire, une combinaison d'entrées donne une seule combinaison de sorties.

Diagramme des transitions

W,V5011

1 2 3 4

m appuyéjusqu'à avoir a

Démarche :-chemin principal-assurer combinatoire-chemins supp. (var. en X)

Diagramme des transitions

1 2100

W W,V W,V V

2 lignes confondues de la table de érité

Tjrs 1 combinaison de sorties pour 1 combinaison d’entrées.

Plateau tournant

Tables de Mahoney

0 1 5 4

2 3 7 6

W = m./b + a./b = /b.(m+a)

W W,V W,V V

Plateau tournant

Tables de Mahoney

0 1 5 4

2 3 7 6

W W,V W,V V

Plateau tournant - Réalisation

24V 0V

Schéma de commandeélectromécaniquee

W (Verrouillage) V (Rotation)

Méthode de HuffmanExemple où la résolution combinatoire devient impossible.

Marche (m) et Arrêt (a) d ’un Moteur (C) :

Mise en Marche : Si (a = 0 ET m = 1 ) Alors (C = 1)

Moteur en marche : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 1)

Mise à l’arrêt : Si (a = 1 ET m = 0) Alors (C = 0)

Arret : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 0)

Huffman

Etapes de la démarche

Dénombrer tous les états possibles.Établir un diagramme des phases.Établir un diagramme des transitions.

Construire la table primitive des états.

Construire la table réduite des états. Définir des variables secondaires.

Trouver les équations logiques des actionneurs et des variables

secondaires.

Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme des phases.

1 2 3 4 1

Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme de transitions.

Construire la table primitive des états

Etat stable (1 par ligne)

Etat transitoire (montre l ’évolution possible d ’un état stable vers un autre)

Code binaire réfléchi

Etat indiff.

Construire la table réduite des états

Le regroupement de lignes de la matrice primitive doit obéir aux règles suivantes :

·Les niveaux logiques de la ou des sorties doivent être les mêmes sur les lignes à regrouper.

·Les états sur chacune des lignes à regrouper doivent être les mêmes ou correspondre à un X.

.Les états sont fusionnés selon la règle : > 3 > X

X 2 0C

4 X 2 0C

3 X 5 1

4 X 2 13

1 5 X 04

X 4 2 05

Deux sorties différentes pour les mêmes entrées.

Introduction d ’une variable secondaire.

X 2 0C

Trouver les équations : pour C

Pour remplir la table d'une sortie, il faut mettre dans chaque case la valeur de la sortie pour l'état stable correspondant au numéro d'état de la case correspondante de la matrice contractée.

C = (m+x)a

X 2 0C

Trouver les équations : pour x

Pour remplir la table d’une variable secondaire, il faut mettre dans chaque case la valeur de la variable secondaire pour l’état stable correspondant au numéro d’état de la case correspondante de la matrice contractée.

x = (m+x) a

X 2 0C

Exercice : Plateau tournant (huffmann)

Aucune contrainte pour l’opérateur.

Méthodes intuitives(fondées sur la méthode de Huffman)

Dans certains automatismes les variables secondaires sont les sorties du système.

Exemple

•Un moteur qui peut tourner vers la gauche (contacteur « G ») ou vers la droite (contacteur « D »). Ce moteur est commandé par trois boutons :

•« m » et « n » qui sont verrouillés mécaniquement (donc impossibles à actionner en même temps) et qui correspondent respectivement à une rotation à gauche et une rotation à droite;

•« a » qui est le bouton d’arrêt (prioritaire si appuyé en même temps que « m » et « n »).

Exemplem

1 2 3 4 1

5 6 4 1

5 6010

Gauche et droite en même temps (arrêt prioritaire)

États ayant les mêmes entréesÉtats ayant les mêmes entréesÉtats ayant les mêmes entrées

ExempleIl faut deux variables intermédiaires pour distinguer ces trois états.

Ils se différencient grâce à leur sortie.

Les Sorties seront les variables intermédiaires.

Choisissons : x = G et y = D

Matrice réduite des états

X X X X

4yx 8 7

5 6010

Equations de x

0 0 0 0

X X X X

1 0 X 0

X X 0 1

X X X 1

X X X X

X X 0 1

X X X X X

4 X 5 1

X X X 2

X X X X

4yx 8 7

x = x/n/a

x = m/a

x = (m/a + x/n/a) /y

Sécurité (pas de demande de rotation G et D)

Equations de y 5 0G

X X X X X

4 X 5 1

X X X 2

X X X X

4yx 8 7

y = y/m/a

y = n/a

0 0 0 1

1 0 0 1

X X X X

0 0 X 1

X X 0 0

X X X 0

X X X X

X X 0 0

y = (n/a + y/m/a) /x

Sécurité (pas de demande de rotation G et D)

Étude simplifiée des

automatismes à cycles

géométriques

Distributeur de caissettes

Suite à l’appui sur le poussoir « m »:

¤ Extension du vérin H pour pousser la caissette sur le tapis

¤ Extension du vérin V pour soulever la caissette 2 pendant la rétraction du vérin H.

¤ Rétraction du vérin H¤ Rétraction du vérin V

Au départ, capteurs b et d actionnés et deux vérins sont au repos.

m a b c d V H0 0 1 0 1 0 0

En appuyant sur “m”, extension du vérin H.

m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1

- b = 0.- Arrivée de H en fin de

course, extension de V

m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1

- d = 0.- Arrivée de V en fin de course, rentrée de H

m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1x 1 0 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 0

- a = 0.- Arrivée de H en fin de

course, rentrée de V

m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1x 1 0 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 0x 0 0 1 0 1 0x 0 1 1 0 0 0

- c = 0.- Fin du cycleAutres cas impossibles

car Vérins entrés et sortis en même temps.

m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1x 1 0 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 0x 0 0 1 0 1 0x 0 1 1 0 0 0x 0 1 0 0 0 0

/B /BB

H = m.d + /b.d+/ca = d(m+/b)+/ca

m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1x 1 0 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 0x 0 0 1 0 1 0x 0 1 1 0 0 0x 0 1 0 0 0 0

/B /BB

V = a + /b.c

Cycle géométriqueCycle carré.

Deux capteurs

actifs

Un capteur actif (associé au vérin qui

ne bouge pas)

Sortie actionnée

Cycle géométrique

H = (m+/b).d + a./c

V = a+c./b

Mise en équation directement du graphique ci-contre.

Système de perçage

Cycle en L.

Système de perçage

Variable x:¤ X=1 sur M-N-O;¤ X=0 sur O-N-M.

X = a + X./b

H = X + /h

V = X.c

Système de transfert

Cycle complexe:

Variables X,Y,Z:¤ X = 1 et Y = 0 et Z = 0

Sur M-N¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 0

Sur N-M¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 1

Sur M-O¤ X = 0 et Y = 1 et Z = 1

Sur O-M¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 1

Sur M-P¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 0

Sur P-M

X = c./Z + X.(/c + Y)Y = a + Y./bZ = b + Z./e

W = Z.cV = V.X.(/Y./Z+Y.Z)

Machine à remplir et à boucher

Identifier des cycles géométriques

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