hydrogéologie
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Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 1
Hydrogéologie
Chapitre IV :
Notions de modèles hydrogéologiques
Sylvain Payraudeau
1ère année (2006-2007)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 2
Outils de gestion de la ressource en eaux souterraines
Outils analytiques : échelle locale
Modèles hydrogéologiques : échelle régionale
Quantitatif : Prédire l’impact d’un pompage sur l’aquifère (chapitre II).
Qualitatif : Prédire le transport d’une pollution (stratégies de dépollution d’un aquifère) (chapitre III).
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 3
Plan
Notion de modèle
Différences finies
Eléments finis
Application d’un modèle hydrogéologique : gestion de l’eau
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 4
Qu’est-ce qu’un modèle ?
Représentation simplifiée d'un système complexe (tel le cycle de l'eau)• Qu'est ce qu'un modèle ? et à quoi sert un modèle ? = indissociables • c’est le problème posé qui conduit à la création/utilisation d'un modèle • ce sont les hypothèses posées qui conditionnent le choix de la modélisation.
•Qualité d'un modèle : adéquation des résultats avec les objectifs. • Caractère prédictif • Synthèse des connaissances sur une problématique
Vision simplifiée d'un système = réductionniste • Simplifications = f(hypothèses) pertinentes à une échelle spatiale et temporelle donnée. • Domaine de validité = limite le champ d’application
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 5
Modèle
Variables d’entrée (de forçage)indépendantes
Variables de sortie dépendantes
Paramètres
Caractéristiques du système
Qu’est-ce qu’un modèle ?
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 6
Modèle hydrogéologique
Modèle
Variables d’entrée (de forçage)Indépendantes : Pluie, ETP
Variables de sortie dépendantes : hauteur d’eau, vitesse, concentration
Paramètres : Porosité, Conductivité hydraulique,
Géométrie du réservoirNappe libre/captive
Caractéristiques du système
+ état initial+ conditions aux limites+ sollicitation (source/puits), contact rivière, …
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 7
Modèle
Caractéristiques du système
Lois de conservation : Conservation de la masseLoi de DarcyLoi de Fick, …
Loi de diffusivité
Ex : Ecoulement dans une nappe captive avec T isotrope
T .
h
xx
+ T .
h
yy
+ Q = S . h
t Eq 2.42
Conditions initialesConditions aux limites
Modèle hydrogéologique
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 8
Donnés nécessaires et calage du modèle
Conductivité hydraulique (K) : Connue qu’en quelques points (interprétation de pompage),
pouvant être modifier lors du calage du modèle (paramètre d’ajustement).
Débits d’échange et d’alimentation (Q + infiltration) : déterminés le plus précisément possible (difficulté de
l’estimation de la recharge Pluie – ETP – Ruissellement). Calage de la transmissivité (T) pour obtenir les charges observées (H) avec les débits pompés estimés.
Coefficient d’emmagasinement (S) : Uniquement si besoin de modéliser en régime transitoire. Mal connu, seulement en quelques points (essais de pompage)
En général : géométrie de l’aquifère (+)K, colmatage des cours d’eau et la recharge mal connus (-)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 9
Conditions aux limites
Conditions aux limites : 3 types (mathématique)
1 - Conditions de Dirichlet : charge (h) imposée : h lim = f(t)Contact nappe-rivière
2 - Conditions de Neumann : première dérivée de la charge imposée donc flux imposé
Limites flux nulles (substratum basal ou latéral)
Limites flux imposés (recharge de nappe, prélèvement par puits)
3 - Conditions de Cauchy : h et
h
nh
n lim= f(t)
h
na . h + b . lim = f(t)
h
n
Contact nappe-rivière – au travers d'une limite semi-perméable
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 10
Modèle Gardenia(global – conceptuel)
Spatial : Approche globale (réservoirs)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 11
Spatial : mono-couche (2D)
Intégration des propriétés (K, T) sur l'épaisseur de la couche
Aquifère (vue de dessus)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 12
Hydroexpert
Hypothèses :
1 - Empilements d’aquifères séparés par des semi-perméables
2 – Ecoulements bi-dimentionnels horizontaux (aquifères)
3 – Ecoulements verticaux (semi-perméables)
4 – Les semi-perméables sont soit réels (marnes) soit artificiels pour différencier 2 aquifères
5 – Les semi-perméables sont non capacitifs (permettent le passage entre 2 aquifères mais ne contient pas un volume d’eau conséquent)
Spatial : Aquifère complexe (3D)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 13
Situation réelle
Représentation par le modèle
Hydroexpert
Aquifère complexe (3D)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 14
Grille régulière
Aquifère (vue de dessus)
Sur chaque maille : •Transmissivité (T)•Coefficient d'emmagasinement (S)•Débit prélevé/injecté (Q)•Infiltration par la pluie efficace (si une seule couche)•Apport de la couche du dessus (si multicouche)
Niveau piézométrique
Méthode des différences finies : discrétisation spatiale
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 15
Discrétisation spatiale : tailles et nombres de mailles
Taille (et donc nombre) des mailles :
• Précision souhaitée sur les calculs • Contours +/- sinueux des limites• Nombres et éloignements des puits• Capacité de l'ordinateur
Taille de 5 m (étude d’une digue) à 5 km (étude régionale) Nbre de mailles 1000 à 10 000
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 16
Calcul par maille
Méthode des différences finies : ex nappe captive en régime permanent
a
N
S
O EC
flux de masses entrantes/sortantes = masse entrante/sortante
a
N
S
O EC?
Q
HC = inconnu
Flux de masse quittant C vers O :
n
M = superficie du côté . vitesse . Masse volumique
Bilan en eau sur maille centrale :
M = a.e . (- K . ) . = - a . . T . h
n
h
n
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 17
Flux quittant le côté vers E = - a . . T . = - . T . (HE - HC)
HE - HC
a
HO - HC
a
HS - HC
a
HN - HC
a
Approximation des dérivées par différence :
Flux quittant le côté vers O = - a . . T . = - . T . (HO - HC)
Flux quittant le côté vers S = - a . . T . = - . T . (HS - HC)
Flux quittant le côté vers N = - a . . T . = - . T . (HN - HC)
h
n
Flux du terme puits/source (Q) = - Q
T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + T. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q
T. (Hd – HC) = Q d = 1 si pas de terme
puits/source T. (Hd – HC) = 0
d = 1
d = directions (O, E, S, N)
4 4
Calcul par maille
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 18
a
S
O EC Ex. limite à flux imposé (au nord) : puits
T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + FluxN + T. ( HS - HC ) = Q
T. ( HN – HC ) remplacé par FluxN
Ex. limite à charge imposé (au nord) : rivière
TN. ( HN – HC )
T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + TN. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q
Résolution : 5 inconnues pour 5 mailles Soit r nombre de mailles dans le maillage et p nombre de mailles avec conditions aux limites
Matrice de ce système est régulière (inversable avec solution unique) si p >=1
Calcul aux limites
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 19
2 cas de figure :
Rivière 1 Rivière 2
L
h1 h2e K
Niveau piézométrique Surface du sol
x
z
Cas 1 : K est homogène et e constant sur l'ensemble de la nappe
Si K et e = constante T = Constante
T. (Hd – HC) = 0 d = 1 (Hd – HC) = 0
d = 1 HC =
HO + HE + HN + HS
4
d = directions (O, E, S, N)
44
Calcul avec K constant
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 20
HC = inconnu 6 6 6 6 6 6 6 6
LG C C C C C C LD
LG C C C C C C LD
LG C C C C C C LD
LG C C C C C C LD
LG C C C C LB LB LBD
LG C C C LD
LG C C C LD
LHG LH LH LH LH G C C C LD
LG C C C C C C C C C LH LH LHD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
LG C C C C C C C C C C C LD
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Charge imposé
Flux nul
H1 = 6m
H2 = 4m
HC =HO + HE + HN + HS
4
HC =HE + HE + HN + HS
4
Exemple de calcul
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 21
HC = inconnu H1 = 6m
H2 = 4m
Stabilisation de h : (10-2 mm)
6 6 6 6 6 6 6 6
5.88 5.88 5.89 5.89 5.90 5.91 5.92 5.92
5.76 5.76 5.77 5.79 5.81 5.83 5.84 5.84
5.64 5.64 5.65 5.68 5.71 5.74 5.77 5.78
5.50 5.51 5.52 5.55 5.60 5.67 5.72 5.73
5.35 5.36 5.38 5.42 5.48 5.63 5.69 5.71
5.19 5.20 5.22 5.25 5.27
5.01 5.04 5.06 5.08 5.09
4.56 4.57 4.58 4.61 4.67 4.76 4.87 4.91 4.93 4.93
4.56 4.56 4.58 4.60 4.65 4.70 4.76 4.79 4.80 4.77 4.67 4.63 4.62
4.54 4.54 4.56 4.58 4.61 4.65 4.68 4.70 4.70 4.68 4.64 4.61 4.61
4.52 4.52 4.53 4.54 4.57 4.59 4.61 4.62 4.62 4.61 4.60 4.58 4.58
4.49 4.49 4.49 4.51 4.52 4.54 4.55 4.56 4.56 4.56 4.55 4.54 4.54
4.45 4.45 4.46 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50 4.50 4.50 4.50 4.49 4.49
4.41 4.41 4.42 4.42 4.43 4.43 4.44 4.45 4.45 4.45 4.45 4.44 4.44
4.37 4.37 4.37 4.38 4.38 4.39 4.39 4.39 4.40 4.40 4.40 4.40 4.39
4.32 4.33 4.33 4.33 4.33 4.34 4.34 4.34 4.34 4.35 4.35 4.35 4.35
4.28 4.28 4.28 4.28 4.29 4.29 4.29 4.29 4.29 4.30 4.30 4.30 4.30
4.23 4.23 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.25 4.25 4.25 4.25
4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.20 4.20 4.20 4.20 4.20
4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15
4.09 4.09 4.09 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10
4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
245 itérations
Exemple de calcul
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 22
Cas 2 : K n'est homogène et/ou e n'est pas constant sur l'ensemble de la nappe : T variable
L1
h1 h2e K2
Surface du sol
x
zK1
L2Domaine 1 Domaine 2
Calcul de T par mailles calcul de T moyen par côté (TEC)
TEC. (HE – HC) + TOC. ( HO – HC ) + TNC. ( HN – HC ) + TSC. ( HS - HC ) = 0
HC =TEC. HE + TOC. HE + TNC. HN + TSC HS
TEC + TOC + TNC + TSC
Calcul avec K variable
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 23
Régime transitoire :
a² . S . H t + dt - Ht
dt T. (Hd – HC) + Q + infiltration = d = 1 directions (O, E, S, N)
4
Régime permanent :
T. (Hd – HC) + Q + infiltration = 0 d = 1 directions (O, E, S, N)
4
a² . S . T. (Hd – HC) + Q + infiltration = d = 1 directions (O, E, S, N)
4 h
t
Approximation exacte si dt infiniment petit
Calcul en régime transitoire
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 24
si dt trop grand <> solution analytique
Empiriquement :
dt <= 100 . S . a²
4 . T
S : coefficient d’emmagasinementT : transmissivitéa² : aire de la maille
Choix du pas de temps de calcul (dt)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 25
H1 = 6m
H2 = 4m
6 6 6 6 6 6 6 6
5.88 5.88 5.89 5.89 5.90 5.91 5.92 5.92
5.76 5.76 5.77 5.79 5.81 5.83 5.84 5.84
5.64 5.64 5.65 5.68 5.71 5.74 5.77 5.78
5.50 5.51 5.52 5.55 5.60 5.67 5.72 5.73
5.35 5.36 5.38 5.42 5.48 5.63 5.69 5.71
5.19 5.20 5.22 5.25 5.27
5.01 5.04 5.06 5.08 5.09
4.56 4.57 4.58 4.61 4.67 4.76 4.87 4.91 4.93 4.93
4.56 4.56 4.58 4.60 4.65 4.70 4.76 4.79 4.80 4.77 4.67 4.63 4.62
4.54 4.54 4.56 4.58 4.61 4.65 4.68 4.70 4.70 4.68 4.64 4.61 4.61
4.52 4.52 4.53 4.54 4.57 4.59 4.61 4.62 4.62 4.61 4.60 4.58 4.58
4.49 4.49 4.49 4.51 4.52 4.54 4.55 4.56 4.56 4.56 4.55 4.54 4.54
4.45 4.45 4.46 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50 4.50 4.50 4.50 4.49 4.49
4.41 4.41 4.42 4.42 4.43 4.43 4.44 4.45 4.45 4.45 4.45 4.44 4.44
4.37 4.37 4.37 4.38 4.38 4.39 4.39 4.39 4.40 4.40 4.40 4.40 4.39
4.32 4.33 4.33 4.33 4.33 4.34 4.34 4.34 4.34 4.35 4.35 4.35 4.35
4.28 4.28 4.28 4.28 4.29 4.29 4.29 4.29 4.29 4.30 4.30 4.30 4.30
4.23 4.23 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.25 4.25 4.25 4.25
4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.20 4.20 4.20 4.20 4.20
4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15
4.09 4.09 4.09 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10
4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Etat initial connu (t = 0)
Modélisation de l’effet d’un pompage jusqu’au régime permanent
Calcul en transitoire
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 26
Attention à l’exploitation du modèle : ex. charge (H) dans un puits
En général : a (côté de la maille) >>> rayon d’un puits
Pour comparer H simulée et H observée dans un puits : facteur de correction
a
rP
Hmaille – HPuits = ln - Q
2..T
2
a : côté de la maillerP : rayon du puitsT : transmissivité de la maille
Exploitation du modèle aux différences finies
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 27
1- discrétiser le domaine en petits éléments (triangle)2- calculer la variable (h) sur chaque nœud3- interpoler linéairement entre les sommets pour calculer h
h ?
h
1 2
3 4
Aquifère (vue de dessus)
AA'
A A'
1 2 3 4
h
xA A'
Si forte variabilité (
Diminution de la taille des éléments au voisinage de la rivière
Principe
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 28
Aquifère (vue de dessus)
Sur chaque noeud : •Transmissivité (T)•Coefficient d'emmagasinement (S)•Débit prélevé/injecté (Q)•Infiltration par la pluie efficace (si une seule couche)•Apport de la couche du dessus (si multicouche)
Niveau piézométrique Mesures représentatives ?
Aquifère Edwards (US) : www.edwardsaquifer.net/
Données nécessaires
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 29
Exemple d'application d'un modèle hydrogéologique
Utilisation des aquifères captifs de l’Albien et du Néocomien (bassin parisien) pour alimenter la population de la zone agglomérée d'Ile de France en eau potable en cas de scénario catastrophe (Roche, ENPC)
Coupe géologique schématique du bassin sédimentaire de Paris (formation lithostratigraphiques) (AESN)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 30
Besoins ultimes en eau potable ?
20 l.hab-1.jours-1 (15 domestiques, 4 hôpitaux et 1 agroalimentaire)11 millions d'habitants 220 000 m3. jours-1
Capacités actuelles des forages dans l'Albien et le Néocomien ?
33 forages : débit actuel 55 000 m3. jours-1 (20 million de m3. an-1)débit maximum de 105 000 m3. jours-1 (38 million de m3. an-1)
Complément nécessaire 115 000 m3. jours-1 En utilisant un ratio d'un puits de 150 m3. h-1 par zone de 180 000 hab. 32 puits (finalement 37 puits retenus)
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 31
Distribution de la transmissivité de l’Albien (m²/s) ajustée après calage (AESN)
Données requises/calage
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 32
Distribution de la transmissivité du Néocomien (m²/s) ajustée après calage (AESN)
Données requises/calage
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 33
Exploitation en crise réaliste ?
Débit actuel 55 000 m3. jours-1 (20 million de m3. an-1)Débit de crise = 4 . débit actuel
Modélisation hydrogéologique (HYDROEXPERT)
Réponse : exploitation de crise possible selon les potentialités de l'aquifère (durée de crise de 3 mois à 1 an)
Plutôt dans l'Albien que le Néocomien (cf. Transmissivité)
Démarche de modélisation
Modèle Différences finies Eléments finis Application
Chap 4 - 34
Conclusion
Choix du modèle :Domaine de définition du modèleProblématique poséeDonnées nécessairesCoût
Discrétisation spatiale :Fonction des données Fonction de la méthode numérique retenue (éléments finis)
Discrétisation temporelle :Fonction de la méthode numérique (instabilité)
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