génération et détection optique d’ondes de spin dans les puits quantiques cdmnte dopés n

1

Génération et détection optique d’ondes de spin dans les puits quantiques CdMnTe dopés n

Philippe Barate

Groupe d’Etude des Semiconducteurs CNRS

Université Montpellier 2 France

2

Thèse dans le cadre de l’ANR: Génération Optique d’ondes de SPIN pour le transport d’INFOrmation

-GOSPININFO-

Florent PEREZBernard JUSSERAND

Henri MARIETTEHervé BOUKARIDavid FERRANDJoël CIBERT

Michel DYAKONOVMasha LIFSHITZ

Groupes participant à l’ANR:Collaboration:

Alexandre DimitrievDenis SCALBERTMasha VLADIMIROVASteeve CRONENBERGERPhilippe BARATE

3

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

4

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

5

Objectifs de l’ANR

L’Objectif de l’ANR est d’étudier les ondes de spin dans les gaz 2D d’électrons dans le but d’utiliser ces ondes pour transporter de l’information. Pour ce faire, il y a deux grande étape :

Générer et détecter optiquement les ondes de spins. On peut générer de manière cohérente ou non les ondes de spin.

Utiliser ces ondes pour transporter de l’information. Dans ce cas il nous faut générer de manière cohérente l’onde de spin, et

contrôler son vecteur d’onde.

On utilise donc des impulsions lasers pour générer les ondes de spins de manière cohérente soit en Raman stimulé soit en Pompe-sonde.

Le contrôle du vecteur d’onde de l’onde de spin s’éffectue avec une technique de mélange à 4 ondes

k1

Bk2

k

k

//

k//-q

k//+q

Les résultats obtenus pendant la thèse portent sur les ondes de vecteur d’onde nul.

6

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

7

Les ondes de spin

Onde de spin de vecteur d’onde q=1/

Dans les ferromagnétiques l’onde de spin est une

excitation du réseau de spin.Elle a été prédite en 1930 par Bloch et observé en 1957 par Brockhouse.

B

Onde de spin ≠ courant de spin

On peut transporter de l’information sans déplacer de

charge électriqueB.N. Brockhouse Phys. Rev 106,859 (1957)

Fe3O4

/2

8

Utilisation d’un dispositif d’interférométrie de type Mach-Zehnder pour créer des portes

logiques.

T. Schneider et al. APL 92, 022505 (2008)

A. Khitun et K.L. Wang Journal of Nanoelectronics and Optoelectronics 1,71-73 (2006)

Utilisation des ondes de spin

9

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

10

Introduction : Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués

Te

Cd

Mn

B

k

E

J=3/2

J=1/2

lhhh

c

B=0 B>0

)(,

kiki

kiech JSRrKH

Approximation du champ moyen+ cristal virtuel

zeffBe JxNBg 0

zeffBh JxNBg 0

11

Le renouveau des DMS

T. Dietl et al. Science 287, 1019-1022 (2000)

Semiconducteur de type pxeff=5% nh=3.5 1020 cm-3

• Modèle de Zener où le ferromagnétisme provient de l’interaction d’échange p-d.• Ce modèle a entrainé une forte recherche dans le domaine• Le record actuel dans GaMnAs est une température de Curie de 173K.•Dans les matériaux à grand gap la phase ferromagnétique est observée à température ambiante, mais le sujet est largement débattu.

K.Y. Wang et al. 27th International Conférence in the Physics of Semiconductors (2005)

12

Ondes de spin dans les gaz 2D d’électrons

L’onde étant un mode collectif d’excitation, d’après le théorème de Larmor son énergie est égale à l’énergie Zeeman (Z) en q=0.

Les spins flips individuels en q=0 possèdent une énergie Z* plus grande à cause des interactions entre électrons.

B. Jusserand et al. PRL 91, 086802 (2003)F.Perez et al. PRL 99, 026403 (2007)

Onde de spin en q=0, xeff=0.75% T=1.5K

13

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

14 0 50 100 150 200

(u

nité

arb.)

Retard pompe-sonde t (ps)

0 50 100 150 200

(u

nité

arb.)

Retard pompe-sonde t (ps)

Rotation Kerr résolue en temps : principes

0 50 100 150 200

(u

nité

arb.)

Retard pompe-sonde t (ps)

0 50 100 150 200

(u

nité

arb.)

Retard pompe-sonde t (ps)

B

My

t

Rotation Kerr résolue en temps

θMy

Orientation optiqueEffet Kerr

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Am

plit

ude

FFT (unité

arb.)

Fréquence (THz)

011609B2 : puits quantique CdMnTene=2.4 1011 cm-2

xeff=0.29%Teff=5.8KB=1T

manganèses

électrons

15

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

16

fente +miroir

Rotation Kerr résolue en temps : mise en oeuvreL

ase

r tit

an

esa

ph

ir

réseauréseau

L.R.

Hacheur

L.S.

E.O.M.

P.W

fente +miroir

échantillon

L.S. : lame séparatriceL.R. : ligne à retardE.O.M. : Modulateur élasto-optiqueP.W. : Prisme de Wollaston

/2

polariseur

Faisceaupompe

Faisceausonde

3°

Mill

en

ia

Expanseurde faisceau

Lock-inin

outsync

Lock-inin

outsync

Signal rotation Kerr

50kHz

17

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

18

Echantillons

Cd0.88Zn0.12Te

Cd0.715Zn0.085Mg0.2Te

Cd0.998Mn0.002Te

Cd0.715Zn0.085Mg0.2Te

Cd0.715Zn0.085Mg0.2Te:Al

Cd0.715Zn0.085Mg0.2Te

10

nm

50

0 n

m2

0 o

u 6

0 n

m4

0n

m

M1118 et M1120

GaAs

Cd0.8Mg0.2Te

Cd0.998Mn0.002Te

Cd0.8Mg0.2Te

Cd0.8Mg0.2Te:Al

Cd0.8Mg0.2Te

15

nm

10

0 n

m2

0 n

m4

0n

m

011609B2

ne

1011 cm-2

xeff

%

w

nm

M1118 1.34±0.1 0.25 10

011609B2 2.4±0.2 0.29 15

M1120 2.85±0.25 0.25 10

M2126 2.9±0.5 0.27 12

19

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

20

0 1 2 3 4 50,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25 Pompe-sonde Raman

Echantillon 011609B2x

eff=0.23 %

Pompe-sonde Teff

=2.8 K

Raman Teff

=2.1 K

Fré

qu

ence

(T

Hz)

Champ magnétique (T)

Ppompe

=70 W

Psonde

=56 W

0 1 2 3 4 5 60,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

Fré

qu

ence

s (T

Hz)

Champ magnétique (T)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

Fré

qu

ence

(T

Hz)

B/T (T/K)

Pompe-sondeRaman

011609B2x

eff=0,23%

Pompe-sonde Teff

=2,8K

Raman Teff

=2,1K

0 1 2 3 4 5 60,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

Fré

qu

ence

s (T

Hz)

Champ magnétique (T)

manganèses électrons

gm=2,02

xeff

=0,24%

Teff

=3,8K

60 80 100 120 140

B=0T

B=1T

B=2T

B=3T

B=4T

Sig

na

l d

e r

ota

tio

n K

err

(u

nit

é a

rb.)

Retard pompe-sonde (ps)

B=5T

Identification des modes en Rotation Kerr

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

B=5T

B=4T

B=3T

B=2TA

mp

litu

de

de

la

TF

(u

nit

é a

rb.)

Fréquence (THz)

B=1T

BgJw

nBez

me

BgSw

nBmz

em

meVcm10 213 z

mm J

w

nn

μeVcm10 211 z

ee S

w

nKn

)(,

kk

kk

kBMnBeimpkin JSRrBJgBSgVHH

Zeeman Echange

Échantillon M1120ne=2.85 1011 cm-2

xeff=0.25%

21

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

22

Observation des modes couplés en Raman

F. J. Teran et al, PRL 91, 077201 (2003)J. König and A. H. MacDonald PRL 91, 077202 (2003)

Mn e-

μeV20

2

2 4

2

1

2

1

K

meme

23

0 100 2000,10 0,15 0,20 0,25

Retard pompe-sonde (ps)

Fréquence (THz)

300 400

Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire en TRKR

TRKR FFT

B=5.7T

B=5.8T

B=5.9T

B=6T

B=6.05T

B=6.1T

Échantillon M1120Teff=3.8K ne=2.85 1011 cm-2

x50

x5

24

Equations de Bloch couplées en champ moyen

0

0

JJSJBJJ

SSJSBSS

m

eBm

e

mBe

w

ng

dt

dw

ng

dt

d

1

1

Linéarisation

2

2 4

2

1

2

1

K

meme

eee

i

mmm

i

B

J

S

z

x

y

JS

0S

0J

On retrouve les 2 modes qui s’anticroisent si

La partie imaginaire de ±donne les temps de relaxation des 2 modes.me

K

2

25

5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2

0,160

0,165

0,170

0,175

m

+

-F

réq

uen

ce (

TH

z)

Champ magnétique (T)

Comparaison théorie expérience pour lesmodes couplés

Le modèle ajuste en même temps les fréquences des modes couplés et leur temps de relaxation.

On observe un bon accord entre le modèle et les mesures.

5,6 5,8 6,0 6,210

100

1000

m

-

Tem

ps

de

rela

xati

on

(p

s)

Champ magnétique (T)

+

Échantillon M1120Teff=3.8K ne=2.85 1011 cm-2

Δ=1.2 meV K=0.34 μeV e=15ps

26

Plan

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Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

27

nnm

nne

nBmn

en

nn

Be

ng

dt

d

g

dt

d

0

0

JJSJR

BJJ

SSJSRBSS

1

12

Modèle tenant compte de la distribution spatiale des manganèses

dxxww

0

4

m N...1

Linéarisation

2

2 4

2

1

2

1

K

meme

S

1 N

1J NJ

2 modes couplés

N-1 modes découplés

N

1

2 0n

nnN

wJ 0Savec et

28

Modèle tenant compte de la distribution spatiale des manganèses

S

1 N

1J NJ

S

1 N

1J NJ

S

1 N

1J NJ

Les deux modes couplés - et +

Un mode découplé possible parmi les N-1 permis.

z

nm S

Kw

2

N...1

29

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

30

5,2 5,6 6,00,00

0,01

0,02

+-

- (TH

z)

Champ magnétique (T)

5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2

0,160

0,165

0,170

0,175

m

+

-F

réquen

ce (TH

z)

Champ magnétique (T)

Mesure du gap d’anticroisement

ze SK

4

2

22

5,6 5,8 6,0 6,210

100

1000

m

-

Tem

ps

de

rela

xation (ps)

Champ magnétique (T)

+

2

2 4

2

1

2

1

K

meme

eee

i

mmm

i

2

2

42

e

K

me

5,2 5,6 6,0

-400

-200

0

200

400

600

M1118 M1120 M2126 F303

+- -

(ps)

Champ magnétique (T)

31

Mesure de la polarisation de spin des électrons

2

2

22

e

eee n

w

n

wK

n

nn

ne (cm-2) 0.7x1011 1.5x1011 2.2x1011 3.2x1011

EF (meV) 1.6 3.5 5.1 7.5

(meV) 1.275 1.300 1.300 1.325

Teff(K) 2.9 5.35 4.2 6.1

B0 (T) 5.9 5.6 5.9 5.4

W (nm) 10 12 10 15

1.15 1.2 1.15 1.27

(µeV) 36 28 26 24

e (ps) 20 22 18 24

K (µeV) 0.4 0.27 0.29 0.22

0.4 0.19 0.13 0.15

On mesure une polarisation de spin plus grande que celle calculée sans interaction entre électrons.

1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

expérience gaz de Fermi sans interactions

||

ne (1011 cm-2)

32

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

/ 0

rS

approximation de Hartree-Fock Théorie d'Attaccalite Théorie d'Attaccalite

Comparaison des théories sur l’augmentation de la polarisation

00

•L’augmentation de la polarisation est un due à des interactions à N-corps•L’approximation d’Hartree-Fock diverge à rs2.1•La théorie d’Attaccalite dépend peu de la polarisation du gaz en dessous de =0.4

Attaccalite et al PRL 88 256601 (2002)

eB

sna

r1

33

0 1 2 30

2

4

théorie expérience

rs

/0

Comparaison entre la théorie et les mesures

• Nos mesures sont en accord semi-quantitatif avec la théorie d’Attaccalite.

• Cependant on mesure systématiquement une polarisation plus grande que prévue.

C. Aku-Leh et al PRB 76 155416 (2007)

34

Plan

Introduction Objectifs de l’ANR Les ondes de spin Les Semiconducteurs Magnétiques Dilués (DMS)

Rotation Kerr Résolue en Temps (TRKR) Principe Mise en oeuvre

Etude des excitations de spins de vecteur d’onde nul Échantillons Identification des modes d’excitations de spin Observation des modes couplés et d’un mode supplémentaire Modèle au-delà du champ moyen Polarisation en spin déduite de l’énergie d’interaction entre les modes

couplés Conclusions et perspectives

35

Conclusions et perspectives

Conclusions Identification de l’onde de spin en TRKR. Développement d’un modèle tenant compte de la distribution spatiale en

manganèses pour expliquer l’apparition d’un mode découplé à l’anticroisement

Mesure de la polarisation en spin différentes en Raman et en Pompe-sonde.

Variation du temps de relaxation de l’onde de spin. Amélioration de la détection des ondes de spin par la mise en forme des

impulsions. Perspectives

Mettre en place le mélange à 4 ondes pour étudier les ondes en q≠0. Etudier l’anticroisement en q≠0 Démontrer la propagation des ondes de spin. Optimiser les lignes à dispersion pour améliorer la génération des

ondes de spin. Etudier un plus grand nombre d’échantillons pour confirmer ou non

l’augmentation de la polarisation par rapport au modèle

Merci de votre attention

37

5,6 5,8 6,00,15

0,16

0,17

0,18

Fre

qu

en

cy (

TH

z)

Magnetic field (T)

5,6 5,8 6,010

100

1000

De

cay

time

(p

s)

Magnetic field (T)

38

k1

Bk2

k

k//

k//-q

k//+q

39

0,0 0,2-1,00E-014

0,00E+000

1,00E-014

2,00E-014

3,00E-014

4,00E-014

5,00E-014

6,00E-014

7,00E-014

8,00E-014

Y A

xis

Titl

e

X Axis Title

0 25 50 75 100 125 150

-0,003

0,000

0,003

Y A

xis

Titl

e

X Axis Title

TRKR - smooth

40

Excitations de spins présentent dans un puits quantique CdMnTe

)(,

kk

kk

kBMnBeimpkin JSRrBJgBSgVHH

BgJn Bezme

BgSn Bmzem

Zeeman échange

Approximation du champ moyen+ cristal virtuel

meVzm Jn

μeVKSn ze213

211

323

cm10

cm10

eV.cm105.1

m

e

n

n

41

Polarisation du gaz 2D

E

k

L’observation d’onde dans un gaz 2D d’électrons nécessite la polarisation en spin du

gaz par un champ magnétique

Pour éviter d’utiliser dans champs trop puissant on utilise des semiconducteurs magnétiques dilués (DMS)

0 1 2 3 4 5 6-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0E

nerg

ie (

meV

)

Champ Magnétique (T)

spin-flipSPE

SFW

q

E

SPEE

SFWE

44

0 1 2 3 4 50,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

En

erg

ie (

me

V)

Champ magnétique (T)

manganèses électrons

ge=-1,5

T=4,15Kx

eff=0,24%

gm=2

Echantillon M1120

60 80 100 120 140

Données expérimentales Ajustement

Sig

na

l d

e R

ota

tio

n K

err

(u

nit

é a

rb.)

Retard pompe-sonde (ps)

B=5T

Identification des modes en Rotation Kerr

45

Observation du troisième mode

0 100 200 300-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

Ro

tatio

n K

err

(u

nité

arb

.)

Retard pompe-sonde (ps)

0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22

FFT

Fréquences (THz)

B=6T

46

e-

Mn2+

e-

Mn2+

e-

Mn2+

Modèle au-delà du champ moyen

Les N manganèses agissentcomme un seul manganèse

Les N manganèses agissentindépendamment

47

48

Comparaison entre Raman et Rotation Kerr

0 1 2 3 4 50,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25 Pompe-sonde Raman

Echantillon 011609B2x

eff=0.23 %

Pompe-sonde Teff

=2.8 K

Raman Teff

=2.1 K

Fré

qu

en

ce

(T

Hz)

Champ magnétique (T)

49

Observation du troisième mode

0 100 200 300 400-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

Rota

tion K

err

(unité

arb

.)

Retard pompe-sonde (ps)

B=6T

0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22

FFT

Fréquences (THz)

x50

50

Rotation Kerr résolue en temps : principes

B

My

t

My

Orientation optique

Rotation Kerr résolue en temps

θMy

B

Effet Kerr

51

Anticroisement des modes d’excitations de spins

F. J. Teran et al, PRL 91, 077201 (2003)J. König and A. H. MacDonald PRL 91, 077202 (2003)

)(,

kk

kk

kBMnBeimpkin JSRrBJgBSgVHH

BgJn Bezme BgSn Bmzem

meVcm10 213 mn μeVcm10 211 Kne

323 eV.cm105.1

0 1 2 3 4 5 6-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Ene

rgie

de

spin

-flip

(m

eV)

Champs magnétique (T)

Puits CdMnTex

eff=0,2%

T=2Kg

e=-1,5

Bg Be

Bg Be

Bg Bm

52

53

Observation des modes couplés en TRKR

0 200 400 0,10 0,15 0,20 0,25

Pump-probe delay (ps)

Frequency (THz)

TRKR FFT

B=5.7T

B=5.8T

B=5.9T

B=6T

B=6.05T

B=6.1T

Échantillon M1120Teff=3.8K ne=2.85 1011 cm-2

x50

54

Conclusions et perspectives

Conclusions Identification de l’onde de spin en TRKR. Résolution de l’anticroisement et apparition d’un troisième mode

+ modèle au-delà du champ moyen. Mesure de la polarisation en spin du gaz d’électrons. Mesure du temps de relaxation de l’onde de spin. Mise en forme des impulsions pour améliorer la génération et la

détection des ondes de spin. Perspectives

Mettre en place le mélange à 4 ondes pour étudier les ondes en q≠0.

Etudier l’anticroisement en q≠0 Démontrer la propagation des ondes de spin. Etudier un plus grand nombre d’échantillons pour confirmer ou

non l’augmentation de la polarisation par rapport au modèle Optimiser les lignes à dispersion.